第四章 梁弯曲变形与内力

根据正应力强度条件 Mmax/W≤ [σb]可得 所需的最小抗弯截面模量为： W=Mmax/ [σb]=6000/（120×106）=50cm3
50
（1）当横截面采用矩形平放时 W=ab2/6=2b·b2/6=b3/3=50cm3 b3=150cm3，b=5.3cm，a=10.6cm 截面面积A=10.6×5.3=56.2cm2 每米的质量 G=56.2×100×7.8×103=43.8kg/m
剪力图和弯矩图:为了形象地表示梁各个横截面上 弯矩的大小与正负，将剪力方程和弯矩方程用图 表示 。
剪力图和弯矩图的作法：按选定的比例，以横截 面上的剪力或弯矩为纵坐标，以横截面位置为横 坐标，把Q=Q （x）， M=M（x） 的图线表示出来。
31
例：图中所示为简支梁，跨度l=1m，作用三个集 中载荷，P1=500N,P2=1000N,P3=300N,a=0.25m， b=0.2m，P3作用在梁的中央。试作该梁的剪力图和弯
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。 7
二 梁的几何形状和名称
轴线
对称面
8
9
平面弯曲：当作用在梁上的所有横向力均作用
在梁的对称平面内时，则在梁发生弯曲变形后， 梁的轴线便在对称平面内弯成一条曲线。
10
三 梁上的外力、梁的支座及分类
分布力 均匀分布力
q
非均匀（线 性）分布力
q(x) T
集中力 P
载荷集度 q(N/m) 未知外力：支Βιβλιοθήκη Baidu反力
WZ 右

hb2 6
58
第四节 梁的变形——梁弯曲时的位移
dx
59
7-1
一.梁的弹性曲线,挠度和转角
y x
转角 挠度 y
挠曲线
p
挠曲线方程：
y y(x)
挠度y：截面形心 在y方向的位移
y 向上为正
转角θ：截面绕中性轴转过的角度。 逆时针为正
由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
挠度转角关系为： tan dy
28
2 弯矩的计算
弯矩的符号约定
M
M
+
-
M
M
上压下拉为正
上拉下压为负
29
计算弯矩法则：梁在外力作用下，其任意指定截面 上的弯矩等于该截面一侧所有外力对该截面中性轴取 矩的代数和；凡是向上的外力，其矩取正；向下的外 力，其矩取负值。
30
三 剪力图和弯矩图
梁的剪力方程和弯矩方程：
以坐标 x 表示横截面位置，则剪力和弯矩可表 示为x的函数：Q = Q(x)， M = M(x)
YB
外伸梁
13
简支梁
外伸梁
悬壁梁
14
第二节 梁的内力分析
一 梁横截面内的两种内力 1 从力的平衡看梁中的内力
RA=RB=P 外力RA
内力Q1: Q1=RA 梁在该截面上的剪力
矩M1： M1=RA x1 梁在该截面上的弯矩
15
梁段CD上，只有弯矩， 没有剪力－纯弯曲
梁段AC和BD上，既有弯矩， 又有剪力－ 剪切弯曲
空心圆截面
IZ

D4
64
(1
4)
WZ

D3
32
(1
4)
47
6. 弯曲正应力的强度条件
弯曲正应力强度条件
σmax


M
Wz
σ
max
1.等截面直梁，弯矩最大的截面上下边缘
2.变截面梁要综合考虑 M 与 Wz
3.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑
t,max t
矩图。
32
解：由平面平行力系平衡条件可得：
M A＝0， MB＝0
RA×l = P1×（l－a）+P2×l/2 +P3 b
RA=500 ×0.75+1000 ×0.5 +300 ×0.2=935N
RB×l = P1 × a +P2×l/2 +P3（l － b）
RB=500 ×0.25+1000 ×0.5 +300 ×0.8=865N
虎克定理
E
E y
梁在弯曲时，其横截面上任一点的正应力与该点到中
性轴的距离成正比；距中性轴同一高度上的各点的正应力
具有相同的数值。
max
E
ymax

p
42
3、曲率1/ρ与弯矩MZ的关系
该截面的弯矩为：
轴惯性矩
相对转角dθ/dx越大的横截面，弯矩 越大，反映截面转动与截面内力距的 关系
dx 60
7-2
二.梁的刚度校核
1.刚度条件
y [ y], [ ]
max
max
建筑钢梁的许可挠度： l ~ l
250 1000
1
机械传动轴的许可转角： 3000
精密机床的许可转角：
1
5000
61
7-5
本章小结:
一 、梁的种类和支座种类 二、剪力和弯矩的计算 三、弯曲正应力的强度条件
18
中性层：梁内纵向长度既没有伸长也没有缩短的纤 维层。
中性轴：中性层与横截面的交线 。
19
中性层将梁分成受压和受拉区，即中性层一侧作 用拉伸应力，另一侧作用压缩应力，中性层上正应 力为零，梁横截面的偏转就是绕其中性轴旋转的。
20
根据弯矩的定义：
M A y dA
σ：横截面上距中性轴为y处的正应力
16
2 从弯曲变形看横截面的弯矩
研究对象：纯弯曲段
实验现象:
1、纵线弯成曲线，且梁 的下侧n1n2伸长，上侧 m1m2缩短； 2、横线a1b1、 b1c1、 c1d1、d1a1仍是直线， 梁 横截面变形前后均为一 平面。
17
3、 梁的横向线 a1b1、a2b2由平行 变为不平行，相 邻的两个横截面 发生相对转动。
c,max c
48
例：一反应釜重30kN，安放在跨长为1.6m的两根横梁截面中央， 若梁的横截面采用图所示的两种形状（其中矩形截面 a/b=2），试确定梁的截面尺寸，并比较钢材用量。梁的材 料为Q235-A,许用应力[σb]=120MPa。
49
解：从图可知： 最大弯矩： Mmax=RA·l/2=p·l/4=15000×1.6/4=6000kN
第四章 直梁的弯曲
1
一. 弯曲的概念与梁的分类
二. 梁的内力分析
三. 纯弯曲时梁的正应力及正应力 强度条件
四. 梁的变形——梁弯曲时的位移
2
第一节 弯曲的概念与梁的分类
一、弯曲变形的宏观表现和实例
桥板
3
起重机大梁
P
4
目录
火车轮轴
5
目录
火车轮轴简化
6
弯曲特点：
P
P
受力特点：受到垂直于杆件轴线的外力（即横 向力）或力偶的作用 变形特点：杆件的轴线由原来的直线变成曲线
33
分段列剪力方程：
AC段 CD段 DE段 EB段
0<x≤0.25m， Q=RA=935N=Q1
0.25m≤x≤0.5m, Q=RA － P1=935 －500 = 435N = Q2
0.5m≤x<0.8m, Q=RA－P1－P2 = 935－500－1000 = － 565N=Q3
0.8m≤x<1m, Q = RA －P1 －P2 －P3= 935 － 500 －1000 －300
x=0.8m，M=173N·m ; x=1，M=0
35
例：试求出图中的的Qmax与Mmax。
36
解： 1 支座反力
RA

RB

ql 2
2 剪力方程 Q RA qx
当 x 0 时 Q ql / 2 x l 时 Q ql / 2
3. 弯矩方程
Qmax ql / 2
M RA x qx x / 2 RA x qx2 / 2
dA：横截面上距中性轴为y处的一微面积
y：正应力到中心轴的距离
21
知识回顾:
22
剪力 弯矩
23
弯矩 ： M A y dA
24
二、剪力与弯矩的计算 剪力：抵抗该截面一侧所有外力对该截面的剪
切作用，大小应该等于该截面一侧所有横向外力 之和。
25
弯矩：抵抗该截面一侧所有外力使该截面绕其
52
7 提高梁强度的主要措施
max

M max WZ
[ ]
1. 降低 Mmax ： 合理安排支座
合理布置载荷
53
合理布置支座
54
合理布置载荷
F
55
max

M max WZ
[ ]
2.增大 WZ ：
合理设计截面 合理放置截面
56
合理设计截面
57
合理放置截面
WZ 左

bh2 6
:抗弯刚度
1 M
EIZ
43
4、 正应力的计算公式
E y
1 M
EIZ
My
IZ
44
My
IZ
WZ

IZ ymax
max

Mymax IZ
max
M WZ
WZ:横截面对中性轴z的抗弯截面模量
45
弯曲正应力公式的适用范围
1、纯弯曲梁。弹性力学精确分析表明，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，
中性轴转动，大小应等于该截面一侧所有外力对 该截面中性轴取距之和。
26
1、剪力的计算
剪力的符号约定
27
计算剪力的法则：梁的任一横截面上的剪力等于 该截面一侧所有横向外力的代数和；截面左侧向 上的外力和截面右侧向下的外力取正值，截面左 侧向下的外力和截面右侧向上的外力取负值。
据此法则： 截面左侧 Q左=RA －P1 截面右侧 Q右=P2 + P3 －RB
σmax


M
Wz
max
σ
62
T 集中力偶 T
11
支座种类
支座反力
A
XA
YA 固定铰链支座 (pin support)
A
活动铰链支座 (roller support)
A
XA
YA MA
固定支座（fixed support)
YA
12
梁的类型
XA A
P1
P2
B
XA
A
P1 P2 B
MA YA
YA
YB
简支梁
悬臂梁
P1
P2
XA A
B
C
YA
2、变形后 a1a2压缩， b1b2拉伸，o1o2不变，由 直线变成曲线
39
为曲率半径
d dx
1 d dx
1
为梁弯曲变形后的曲率
40
二 弯曲正应力公式的推导
1、几何关系
dx
横截面上点的线应变取决于该点距中性轴的距离和梁轴线
在该截面形心处的曲率半径值
41
2、弯曲正应力的计算
DE段 0.5m≤x<0.8m, M=RA·x－P1(x －0.25）－P2(x－0.5）= －565x+625 x=0.5，M=342.5N·m ; x=0.8m，M=173N·m
EB段 0.8m ≤x<1m, M=RA·x－P1(x －0.25）－P2(x－0.5）－P3(x －0.8） = －865x+865
51
（2）当横截面采用矩形立放时 W=ba2/6=a3/(6×2)=a3/12=50cm3 a3=600cm3， a=8.4cm ， b=4.2cm 截面面积A=8.4×4.2=35.3cm2 每米的质量G=35.3×100×7.8×10-
3=27.5kg/m
可得两种不同截面所需钢材质量比为： 矩形立放：矩形平放=27.5：43.8= 1：1.59
纯弯曲正应力公式对于剪力弯曲近似成立。
2、横截面不对称于中性轴的梁，上下表面的抗弯截 面模量不同。
46
5 常用截面的轴惯性矩和抗弯截面模量
常见截面的 IZ 和 WZ
IZ y2dA
A
WZ

IZ y max
圆截面 矩形截面
IZ

d 4
64
bh3
IZ 12
WZ

d 3
32
bh2
WZ 6
= －865N=Q4
34
分段列弯矩方程，作弯矩图： AC段 0<x≤0.25m， M=RA·x=935x x=0，M=0; x=0.25m，M=233.8N·m
CD段 0.25m≤x≤0.5m, M=RA·x－P1(x －0.25）=435x+125 x=0.25m，M=233.8N·m ; x=0.5，M=342.5N·m
dM ql / 2 qx 0
x l / 2 M max ql2 / 8
37
第三节 纯弯曲时梁的正应力及正应力强度条件
弯矩M
弯矩计算法则 M= ∫ Aσ·y·dA
任意点σ
σ与M的关系
最大弯曲正应力的计算式
建立强度条件 解决梁的弯曲强度问题
38
一 变形分析
1、没有变形前 a1b1,a2b2两个平面平行 ，相距为dx。 a1a2=b1b2=o1o2= dx