北航线性系统理论真题及答案
北京航空航天大学(已有09试题)
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北航《信号与系统》在线作业三
答案:B 满分：3分得分：3 9.信号时移只会对幅度谱有影响。 A. 错误 B. 正确
答案:A 满分：3分得分：3 10.系统的极点分布对系统的稳定性是有比较大的影响的。 A. 错误 B. 正确
答案:ABC 满分：4分得分：4 8.根据信号定义域的特点，信号可以分为________。 A. 连续时间信号 B. 离散时间信号 C. 实信号 D. 复信号
答案:AB 满分：4分得分：4 9.已知f(t)，为求f(t0-at) 则下列运算错误的是（其中 t0， a 为正数） ________。 A. f(-at)左移t0 B. f(-at)右移t0 C. f(at)左移t0 D. f(at)右移t0
答案:B 满分：3分得分：3 4.已知某系统的系统函数H(s), 是 ________。 A. H(s)的零点
唯一决定该系统冲激响应h(t)函数形式的
B. H(s)的极点 C. 系统的激励 D. 激励与H(s)的极点
答案:B 满分：3分得分：3 5.将信号f(t)变换为________称为对信号f(t)的尺度变换。 A. f(at) B. f(t–k0) C. f(t–t0) D. f(-t)
北航《信号与系统》在线作业三
试卷总分：100 测试时间：-- 试卷得分：100 一、单选题（共10道试题，共30分。）得分：30 1.时域是实偶函数，其傅氏变换一定是 ________。 A. 实偶函数 B. 纯虚函数 C. 任意复函数 D. 任意实函数
答案:A 满分：3分得分：3 2.功率信号其 ________。 A. 能量E＝0 B. 功率P＝0 C. 能量E＝无穷大 D. 功率P＝无穷大
15秋北航《信号与系统》在线作业二100分答案
北航《信号与系统》在线作业二一、单选题（共10 道试题，共30 分。
）1. 信号〔ε(t)－ε(t－2)〕的拉氏变换的收敛域为________。
A. Re[s]>0B. Re[s]>2C. 全S平面D. 不存在-----------------选择：C2. 信号的时宽与信号的频宽之间呈________。
A. 正比关系B. 反比关系C. 平方关系D. 没有关系-----------------选择：B3. If f1(t) ←→F1(jω)，f2(t) ←→F2(jω) Then________。
A. [a f1(t) + b f2(t) ] ←→ [a F1(jω) *b F2(jω) ]B. [a f1(t) + b f2(t) ] ←→ [a F1(jω) - b F2(jω) ]C. [a f1(t) + b f2(t) ] ←→ [a F1(jω) + b F2(jω) ]D. [a f1(t) + b f2(t) ] ←→ [a F1(jω) /b F2(jω) ]-----------------选择：D4. 某信号的频谱是周期的离散谱，则对应的时域信号为________。
A. 连续的周期信号B. 连续的非周期信号C. 离散的非周期信号D. 离散的周期信号-----------------选择：D5. 信号在时域拥有的总能量，________其频谱在频域内能量的总和。
A. 大于B. 等于C. 小于D. 不等于-----------------选择：B6. 理想低通滤波器是________。
A. 因果系统B. 物理可实现系统C. 非因果系统D. 响应不超前于激励发生的系统-----------------选择：C7. 连续周期信号的傅氏变换是________。
A. 连续的B. 周期性的C. 离散的D. 与单周期的相同-----------------选择：C。
北航线性系统理论完整版答案
1-1 证明：由矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12-n 1-n n- - - -1 0 1 0 00 0 1 0a a a a A可知A 的特征多项式为nn n n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A I ++++++=+++++=+++=++=+=-+λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ1-3-32-21-11-3-3122-2-1-n 13-n 2-n 21-1n 12-n 1-n 12-n 1-n n1- )1(-)1(- 00 0 1- )1(-)1(- 0 00 1-1 0 1- 0 00 1-若i λ是A 的特征值，则00 0 0 1 10 1- 0 0 0 1-111n 1-n i 12-n 1-n n =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--ni n i n i i i i i a a a a a a a λλλλλλλλ 所以[]Ti i 1-n i 2 1 λλλ 是属于i λ的特征向量。
1-7 解：由于()ττ--t e t g =，，可知当τ<t 时，()0≠τ，t g ，所以系统不具有因果性。
又由于()()0 ，，ττ-=t g t g ，所以系统是时不变的。
1-8 解：容易验证该系统满足齐次性与可加性，所以此系统是线性的。
由于()()t 0 t ⎩⎨⎧>≤-=-=ααββαβαt u t u P u Q P 而()()⎩⎨⎧+>+≤-=⎩⎨⎧>≤=βαβαβααβαβ t 0 t t 0 t t u t u Q u P Q ，故u P Q u Q P αββα≠，所以系统是时变的。
又因为()()()()()⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=ααααα，，T T t u t u P u P P T T min t 0 min t t 0 t 而()()()()()()()⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=ααααα，，，，T T t u T T t u P u P P P T T T min t 0 min t min t 0 min t ，故()()u P P P u P P T T T αα=，所以系统具有因果性。
北航线性系统2017第12讲
！
q ×1 向量
⎡#⎤ ni −1 N i (s ) = ⎢ ⎥ s + #⎦ ⎣ N
Ni ni −1
Ni ni − 2
⎡#⎤ ni −2 ⎡#⎤ 1 ⎡#⎤ + " + ⎢ ⎥s + ⎢ ⎥ ⎢#⎥ s #⎦ #⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ N N N
1 ⎡1 s " s n −1 ⎤ co (s I − Ao ) = ⎦ det(s I − A o ) ⎣
−1
容易验证，c( sI − A ) −1 B=G ( s )。
2）实现中(A, c)与单变量时的可观测标准形是完全一样的。
3）注意到在严格正则、各元互质时，d (s )既是系统的 极点多项式，又是特征多项式，故由定理(3-8)， 极点多项式 是特征多项式 故 定 (A, B, c)必是最小实现。
二、向量传递函数的实现
一个元素为多项式的矩阵，总可以写成矩阵 为系数的多项式，例如：
⎡2s3 + 5s2 + 3s s3 + 4s2 + 6s + 4⎤ ⎢ ⎥ 2 s +6 s +1 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2×2
⎡ 2 1 ⎤ 3 ⎡5 4 ⎤ 2 ⎡ 3 6 ⎤ ⎡0 4⎤ =⎢ s +⎢ s +⎢ s+⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 0 1 0 0 1 6 1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(3 37) (3-37)
- 7：若Δ( s )与Cadj ( sI − A )B无非常数的公因式， 定 定理3 无非常数的公因式 则系统( A, B, C)是可控和可观测的。
北航电路考试13年题
������������
=
������������
5、图示电路中 a，b 端的等效电阻������������������为（ ）
A、4Ω
B、2Ω
C、8Ω
D、0Ω
三、填空题（共 54 分，其中 2、4、6、7 小题 6 分，其他每小题 5 分）
1、电容在 t=0 时与二端电阻网络������������相接。已知t ≥ 0时端口电流 i(t)为20������−������������������，则t ≥ 0时端口电压
5
2、（10 分）图（a）所示电路中 N0 为无源线性电阻网络，已知当 Is=0 时，I1=-1A；当 Is=9A 时， I1=5A。若将 N0 的外电路改接成如图（b）所示，且已知 R 可获得最大功率，试求 R 值及其最大功率 Pmax 值。
6
u(t)=
V。
2、图示电路在 t=0 时开关闭合，闭合时电容初始电压，电感初始 电流均为零。Us=10V，则 t>0 时 iL 的微分方程和初始条件为：
2
3、NA 和 NB 均为含源线性电阻网络，在图示电路中 3Ω的电阻的端电压 U 应为
V。
4、图 N 为含源线性电阻网络，已知当 R=10Ω时，I=1A；当 R=40Ω时，I=0.5A。
1
4、图示电路中结点 a 的节点方程为（ ）
A、( 1
������1
+
1 ������2
+
1)
������3
������������
−
(1
������1
+
1)
������3
������������
=
������������
第一篇线性系统理论习题答案
9－7 设有三维状态方程
⎡0 ⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1 ⎥ ⎦
1 s + s +1 s 2 s + s +1
2
0
⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎡0 ⎤ s 2 + 2 s 1⎥ = 3 0 ⎥ ⎢ ⎢ s −1 ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎢ ⎣1⎥ ⎦ s − 1⎥ ⎦
⎡ R M ⎤ ⎡ R −1 ∵⎢ ⎥×⎢ ⎣0 T ⎦ ⎣ 0
− R −1 MT −1 ⎤ ⎡ R −1 ⎥=⎢ T− ⎦ ⎣ 0
⎡R M ⎤ ∴⎢ ⎥ ⎣0 T ⎦
9－10 解
−1
⎡ R −1 =⎢ ⎣ 0
− R −1 MT −1 ⎤ ⎥ T −1 ⎦
−1
对可控标准形 A 和 b ，计算 ( sI − A) b
+
v2
& 2 = x1 + y = x1 − C 2 x
写成矩阵形式为
1 1 x2 + U R2 R2
图 9－1 RLC 网络
⎡ R1 − & x ⎡ 1 ⎤ ⎢ L1 ⎢x ⎥=⎢ ⎣ &2 ⎦ ⎢ 0 ⎢ ⎣
⎤ ⎡ 1 ⎤ 0 ⎥ x ⎡ ⎤ ⎢ L ⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 1 ⎥U − 1 ⎥ ⎣ x2 ⎦ ⎢ − 1 ⎥ ⎢ R2 C 2 ⎥ ⎦ ⎣ R2 C 2 ⎥ ⎦
x1 ， x 2 有下列关系存在 x1 = x1 + x 2 x 2 = − x1 − 2 x 2
试求系统在 x 坐标中的状态方程。 解 ①
&1 = x & = x2 x &2 = & & = −2 x1 − 3 x 2 + u x x
北航matlab考试题及答案
北航matlab考试题及答案北航MATLAB考试题及答案1. MATLAB中，如何创建一个3x3的矩阵，其中元素从1到9？答案：可以使用以下代码创建一个3x3的矩阵：```matlabA = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];```或者使用内置函数`magic`：```matlabA = magic(3);```2. MATLAB中，如何计算一个向量的范数？答案：可以使用`norm`函数来计算向量的范数。
例如，计算向量`v = [1 2 3]`的2-范数：```matlabv = [1 2 3];n = norm(v);```3. MATLAB中，如何实现矩阵的转置？答案：可以使用`transpose`函数或者简单的`.'`操作符来实现矩阵的转置。
例如，转置矩阵`A`：```matlabA = [1 2; 3 4];A_transpose = transpose(A);```或者```matlabA_transpose = A.';```4. MATLAB中，如何求解线性方程组？答案：可以使用`\`操作符来求解线性方程组。
例如，求解方程组`Ax = b`：```matlabA = [1 2; 3 4];b = [5; 6];x = A\b;```5. MATLAB中，如何绘制函数的图像？答案：可以使用`plot`函数来绘制函数的图像。
例如，绘制函数`f(x) = x^2`在区间[0, 10]上的图像：```matlabx = 0:0.1:10;y = x.^2;plot(x, y);```6. MATLAB中，如何计算矩阵的行列式？答案：可以使用`det`函数来计算矩阵的行列式。
例如，计算矩阵`A`的行列式：```matlabA = [1 2; 3 4];det_A = det(A);```7. MATLAB中，如何进行矩阵的元素级运算？答案：可以使用`.*`、`./`、`.^`等操作符来进行矩阵的元素级运算。
北航线性系统理论答案
2-17 证明：①首先证明()T T T B C A ，，是()s G 的不可简约实现（该题有问题，不是()TT TCB A，，）。
由于()s G 是对称传递函数阵，故有()()T T T C sI B B A sI C 1-1-A --=，所以()TT TBC A，，是()s G 的实现。
又因为()[]n CA CA Crank CA C A C rank n Tn TT T T =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1-1- ，其可控； 同理可证其可观，故系统()T T T B C A ，，是可控可观的。
所以其是()s G 的不可简约实现。
②证明P 的对称性。
由题设易知，由于()T T T B C A ，，是()s G 的不可简约实现，则存在非奇异阵P ，使得TT T BCPC PB A PAP===--11，，。
由T T T T T T P P I P P P CP P B C C PB =⇒=⇒==⇒=--11 所以P 是非奇异对称阵。
③证明P 的唯一性。
由T C PB =，很容易知道1-=B C P T ，故知P 是唯一的。
综上可知，命题得证。
2-18 解：[]1 1 3- 4 2301 4 0 2- 3-0 3 2- 6-0 02 0 0 0 0 1 -=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=C B A 。
a.① ><B A |由[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==65 17 5 2 3 3 3 3 00 0 0 1 1 1 1 32B A B A AB B U 所以)53012301(|⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡>=<，span B A 。
② η()⇔⋂=kCAker η064 27 118- 145-16 9 34- 43-4 3 10- 13-1 1 3- 4 032=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⇔=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡x x CACA CA C故)12101301(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=，span η ③ ><⋂B A |η即任意>⇔<⋂∈B A x |η2153012301x x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=，同时有4312101301x x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=故0--1 1 5 22 3 3 31 0 0 00 1 1 14321=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡x x x x ，有)1301(|⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡>=<⋂span B A η ④ ⊥><⋂B A |η 易知，⇔>∈<⊥B A x |[]065 17 5 2 3 3 3 3 0 0 0 0 1 1 1 1 32=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=T TxB A B A AB B x，即 065 3 0 117 3 0 15 3 0 12 3 0 1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡x 所以)0103-0010(|⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=><⊥，span B A 同③，可知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=><⋂⊥0000|B A η⑤ ><⋂⊥B A |η)101-1-0123(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⊥，span η同③可知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡>=<⋂⊥0000|B A η⑥ ⊥⊥><⋂B A |η易知)0123(|⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=><⋂⊥⊥span B A η 综上可知，上述空间的维数加起来不等于4，故在上述空间的直和空间中不能取到状态空间的基底。
线性系统理论习题答案
《线性系统理论》作业参考答案1-1 证明：由矩阵úúúúúúûùêêêêêêëé----=--121000001000010a a a a A n n nL M O M M M L L L则A 的特征多项式为nn n n n n n n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a a A I +++==+--++--=--++--=+--=--------+-----L L L M O MM ML LL L M O M M M L L L L M O MMM L L L112114322111321121)1()1(00001001)1()1(000010001000010001l l l l l l ll l l l l l l l l ll 若i l 是A 的特征值，则00001000010001)(1112121=úúúúúúûùêêêêêêëé+++=úúúúúúûùêêêêêêëéúúúúúúûùêêêêêêëé+--=-----n n i n i n i i i in n ni i i i i a a a a a a A I L M M L M O M M M L L L l l l l l l l l l u l 这表明[]Tn ii i121-l l l L 是i l 所对应的特征向量。
北航 线性系统第14讲
第十四讲用状态反馈进行极点配置1得以这组给定的复平面上的点为闭环系统极点。
2一、状态反馈对系统可控性、可观测性的影响、、1.状态反馈不改变系统的可控性系统的动态方程如下,(41)x x u y x =+=−A B C 引入线性状态反馈控制律为(42)u v x =+−K 式中的v 是参考输入，K 称为状态反馈增益矩阵，这里它是p ×n 的矩阵。
将(4-1)式和(4-2)式用方块3()()图表示，见图4-1，它是一个闭环系统。
x yB C v x u A∫K 图4-1：闭环系统结构图图4-1所示，引入状态反馈后的闭环系统的状态空间表达式为：u v x =+K (将代入状态方程后得到）()(43)xx u x v y x =+=++=−A B A BK B C 4式中A +BK 为闭环系统的系数矩阵。
,(41)A B C =+=− 前：x x u y x (43) 后(),A BK B C =++=−后：x x v y x 43(41)−⇔−（）可控可控。
定理4-1：K,∀证因为明：0I ⎡[][]()I A BK B I A B K I λλ⎤−+=−⎢⎥−⎣⎦n p K ,K,λ∀因此，(44)I A BK B I A B λλ−+=−−rank rank 即状态反馈不影响可控性。
证完。
[][]()()容易得到如下结论：定理状态反馈不能改变不可控的模态即开环的5定理：状态反馈不能改变不可控的模态，即开环的不可控模态在闭环中得到保持。
2. 状态反馈不改变可控子空间1,U 定义状态反馈前的可控性矩阵为即111[]|Im U B AB A B A B U −=⇒<>= n 2,U 定义经状态反馈后的可控性矩阵为即1Im U B A+BK)B A+BK)B A+BK B U −=⇒<>= n 我们有如下结论：22[((]|))定理4-2 ：状态反馈不改变可控子空间，即1|(Im )∀<>K A B U ，62|(Im )=<>A +B K B U001|0A B U ⊥∈<>⇒=任取，即T x x 明：证00,0,1,,1A B ==− T i x i n 00(T i x ⇒=(A+BK)B 展开）0|||A+BK B A B A+BK B ⊥⊥⊥⇒∈<>⇒<>⊂<>x ||⊥⊥<>⊃<>A B A+BK B 同理，我们可以证明。
《线性系统理论基础》第二章作业及答案
第二章作业及答案2.1 用三种方法计算下列矩阵A 的矩阵指数函数At e 。
1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=5160A ；解：（1）用定义计算At e22332323232323112!3!1006-6 -30 30 114110115 5 19-19 -6523!135615195191965152626AteI At A t A t t t t t t t t t t t t t t t =++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤-++-++⎢⎥=⎢⎥-+-+-+++⎢⎥⎣⎦＋ （2）拉氏变换法计算At e （注意 求逆 伴随矩阵 计算能力）11111112323[()]6155656(s 3)(2)(s 3)(2)111s (5)6(s 3)(2)(s 3)(2)32662323113232323266Att tt teL sI A s L s s s s s LL s s s s s s s s s L ss s s e e e e-----------=--⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦+⎡⎤⎢⎥+++++⎡⎤⎢⎥==⎢⎥--++⎢⎥⎣⎦⎢⎥++++⎣⎦⎡⎤--⎢⎥++++=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥++++⎣⎦--=323232tttt e eee ----⎡⎤⎢⎥--⎣⎦（3）待定系数法（凯莱－哈密尔顿Cayley-Hamilton 法）计算Ate256I A λλλ-=++ ∴123,2λλ=-=-112210)()()()(--++++=n n AtAt A t A t I t eαααα ，根据凯莱－哈密尔顿定理，有112i 2i 10)()()()(i --++++=n n tt t t t eλαλαλααλ （注意：书上p42-43错！0α后不应乘以I ）01201()()(3)()()(2)t te t t et t αααα--=+-=+-解之得 232301()32()t t ttt e e t ee αα----=-=-，0123233232()()326632Att t t ttttt et I t A e e e ee eee αα--------=+⎡⎤--=⎢⎥--⎣⎦ （4）非奇异变换法（对角、约旦标准形法）计算At e11n t AtPAP11t ePePP P e e λλ---⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦256I A λλλ-=++ ∴123,2λλ=-=-当31-=λ时，求A 的特征向量11112p p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1111111112126p p 36(I A)p 0015p p 12λλλ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=⇒==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1112111123p 6p 02p p 2p 01--=-⎧⎡⎤∴⇒=⎨⎢⎥+=⎣⎦⎩（注意，p 1不唯一，但最终求得的A P P 1-唯一）当2-=λ时，求A 的特征向量21222p p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2212122222226p p 26(I A)p 0015p p 13λλλ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=⇒==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1112211122p 6p 03p p 3p 01--=-⎧⎡⎤∴⇒=⎨⎢⎥+=⎣⎦⎩（同样，p 2不唯一）[]1223P p p 11--⎡⎤∴==⎢⎥⎣⎦ 113-13P-121-2--⎡⎤⎡⎤∴=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦112tAtPAP11t 3t23232t 32320ePePP P 023-1303266111-2032ttt tt ttt e e e e e e ee e e ee λλ-------------⎡⎤==⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（注意：P 中一列对应的特征向量应与1n t t e e λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦相对应）2.3 已知系统方程如下，[]xy ux x 11015610-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= ，求输入和初值为以下值时的状态响应和输出响应。
(完整版)北航有限元分析与应用试题库
1． 证明3结点三角形单元的插值函数满足ij j i i y x N δ=),(，及1=++m j i N N N 。
2． 图示3三结点三角形单元，厚度为t ，弹性模量为E ，泊桑比ν＝0。
试求：插值函数矩阵N ，应变矩阵B ，应力矩阵S ，单位刚度矩阵K e。
3． 以平面问题常应变三角形单元为例，证明单元刚度矩阵的任何一行（或列）元素的总和为零。
4． 试证明面积坐标与直角坐标满足下列转换关系。
m m j j i i l x l x l x x ++= m m j j i i l y l y l y y ++=5． 写出题5图所示三角形单元的插值函数Ni ，Nj ，Nm 以及应变矩阵B 。
6． 题5图中单元在jm 边作用有线性分布的面载荷（x 方向），试求结点载荷问题。
7． 证明常应变三角形单元发生在刚体位移时，单元中将不产生应力。
8． 求图示二次三角形单元在1 4 2边作用有均布侧压g 时的等效结点载荷，假设结点坐标已知，单元厚度为t 。
9． 验证用面积坐标给出二次（三角形）单元的插值函数的N 1～N 6满足∑==6~11i i N10． 二维单元在xy 坐标平面内平移到不同位置，单元刚度矩阵相同吗?在平面内旋转时怎样？单元旋转180o 后单元刚度矩阵与原来的相同吗？单元作上述变化时，应力矩阵S 如阿变化？11． 图中两个三角形单元组成平行四边形，已知单元○1按局部编码i ，j ，m 的单元刚度矩阵K ○1和应力矩阵S ○1为 K ○1=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------5.55.15.95.15.15.135.45.75.45.134012016626608 S ○1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----5.15.05.15.102103000030300 按图中单元○2的局部编码写出K ○2，S ○2。
12． 图示为二次四边形单元，试计算x N ∂∂1和y N ∂∂2在自然坐标为(1/2,1/2)的点Q 的数值（因为单元的边是直线，可用4个结点定义单元的几何形状）。
北航《信号与系统》在线作业一1
北航《信号与系统》在线作业一
试卷总分:100 得分:100
一、单选题 (共 10 道试题,共 30 分)
1. 信号〔ε(t)－ε(t－2)〕的拉氏变换的收敛域为 ________。
A. Re[s]>0
B. Re[s]>2
C. 全S平面
D. 不存在
满分：3 分
正确答案:C
2. 将信号f(t)变换为 ________称为对信号f(t)的平移或移位。
A. f(t–t0)
B. f(ｋ–k0)
C. f(at)
D. f(-t)
满分：3 分
正确答案:A
3. 计算ε(3-t)ε(t)= ________。
A. ε(t)-ε(t-3)
B. ε(t)
C. ε(t)- ε(3-t)
D. ε(3-t)
满分：3 分
正确答案:A
4. 对因果系统，只要判断H(s)的极点，即A(s)=0的根（称为系统特征根）是否都在左半平面上，即可判定系统是否稳定。
下列式中对应的系统可能稳定的是？ ________
A. s*s*s+2008s*s-2000s+2007
B. s*s*s+2008s*s+2007s
C. s*s*s-2008s*s-2007s-2000
D. s*s*s+2008s*s+2007s+2000
满分：3 分
正确答案:B
5. 幅度调制的本质是 ________。
A. 改变信号的频率
B. 改变信号的相位
C. 改变信号频谱的位置。
北航矩阵理论期末试卷有解析
姓名： 学号：1. （42分）填空（1）设1234=(1,1,1,1),=(1,1,1,1),=(1,1,1,1),=(1,1,1,1)T T T T αααα------是R 4的一组基, 则(1,2,1,1)T 在上述基下的坐标是___________________. (--5111(,,,)4444T ) （2）在三次多项式空间3R[x]中，由多项式组2312()142,()19f x x x x f x x =+-+=-+ 233233432,()56,()5752x x f x x x f x x x x -+=-++=+-+张成的子空间维数是___2___.（3）设矩阵123100A=024B=52000161a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，, 当参数a 满足_______ ( 65≠ )时,矩阵A 与B 相似.（4）A = ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭50203121-7, 则A 的全部盖尔圆为_______________________________,且A 是一个________（可逆或者不可逆）矩阵.（5）设⨯∈nC m n A , 则矩阵A 的正奇异值有______个，_____(是或否)存在矩阵B 使得BA=I n .（6）矩阵幂级数kk ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛04.07.05.02.0=_____⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛87561310_____________。
（7）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A ，则A 的Jordan 标准形J=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010011100110002或 。
（8）设10022i A i ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A +=_____10210-2i 10i ⎛⎫ ⎪-⎝⎭___________。
（9）若⨯∈442C ，且A =A ，A 的秩是2，则|A-2I|A =__4__, Sin A 的迹=__2sin1__.（10）设023302230i A i i ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则||A||1 = _6___, ||A||F___. 2．（15分） 设 A = ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1-13-3-33, 求A 的奇异值分解.解：⎛⎫= ⎪⎝⎭H 13-3-1-33A ，则 ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫- ⎪==⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭Ｈ１1１３-３1919ＡＡ３-３1-３３1919-３３ ()()λλλλλλ--==--=--221919A A 1919381919T Iλλ==1238,0，对λ=138 ，求⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12191901919x x 得η⎛⎫⎪⎝⎭11=-1对λ=20 ，求⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭12191901919x x 得η⎛⎫⎪⎝⎭21=1分别单位化为; ⎪⎪11-11令 ⎪11=-11V而η⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11-121A 3-36-1-33-6，补充基为⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10-63，1，1-31-1令 ⎪=0311-311U所以⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0A 0000H U V⎛⎫⎫⎫⎪⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1-600311A0000110000-311HU V3．（10分）设nA R n⨯∈并且A是正交矩阵，证明A的每个特征值iλ的模等于1. 课本P51推论2证明：设A,x x xλλ=为属于的特征向量,共轭转置得H T HA,x xλ=所以H T H HA A=,x x x x x xλλ=即2||=1.λ4．（18分）已知A =⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭-112-221-1-2011-2，b =⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭154.（1）求A的满秩分解，并用满秩分解求+A.（2）判断方程组Ax = b是否有解. （3）求Ax = b的极小范数解或极小最小二乘解.解：（1）101001120000A-⎡⎤⎢⎥−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行11101021=011201A FG-⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2）()115145111363514T T TF F F F F--+--⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()11612112116511124T T TG G GG G--+⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥--⎣⎦1833181191262210154162218A G F +++--⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥---⎣⎦（3）66=33,55AA b b Ax b +⎛⎫⎪≠= ⎪ ⎪⎝⎭故无解.（4）()b 1,T A +=-，9,10,-185．（15分）设 210420101A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求t A e .解：2||(1)I A -=-λλλ，因为()0A A I -≠所以最小多项式为2(1)-λλ， 设2()c ,()t P a b f e =++=λλλλλ.有：(0)(0)11(0)(0)(1)(1)1t t f P a a tf P t b b t f P e a b c c e t ===⎧⎧⎧⎪⎪⎪''=⇒=⇒=⎨⎨⎨⎪⎪⎪==++=--⎩⎩⎩A 2120=4210211t t t t t e aI bA cA t t e t e t e λ-⎡⎤⎢⎥++=-+⎢⎥⎢⎥-++--⎣⎦。
线性系统理论多年考题和答案
线性系统理论多年考题和答案2019级综合大题⎡400⎤⎡1⎤⎥x +⎢1⎥u x =⎢0-21⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣00-1⎥⎦⎣0⎥⎦y =[112]x1 能否通过状态反馈设计将系统特征值配置到平面任意位置？2 控规范分解求上述方程的不可简约形式？3 求方程的传递函数；4 验证系统是否渐近稳定、BIBO 稳定、李氏稳定；（各种稳定之间的关系和判定方法！）5 可能通过状态反馈将不可简约方程特征值配置到-2，-3？若能，确定K ，若不能，请说明理由；6 能否为系统不可简约方程设计全阶状态观测器，使其特征值为-4，-5； 7画出不可简约方程带有状态观测器的状态反馈系统结构图。
参考解答： 1.判断能控性：能控矩阵M =⎡⎣B可控，不能任意配置极点。
2按可控规范型分解AB⎡1416⎤⎢1-24⎥, rank (M ) =2. 系统不完全A 2B ⎤=⎦⎢⎥⎢⎣000⎥⎦⎡1⎢3140⎡⎤⎢1⎢⎥-1取M 的前两列，并加1与其线性无关列构成P =1-20，求得P =⎢⎢⎥⎢6⎢⎥⎢⎣001⎦⎢0⎢⎣2⎤⎡08⎢3⎥⎡1⎤⎢⎥1⎢⎥-1-1进行变换=PAP ⎢12-⎥, =PB =0, =cP =[222]⎢⎥⎢6⎥⎢⎢⎥⎣0⎥⎦001⎢⎥⎢⎥⎣⎦2⎤0⎥3⎥1-0⎥⎥6⎥01⎥⎥⎦⎧⎡08⎤⎡1⎤⎪x =⎢⎥x +⎢0⎥u12所以系统不可简约实现为⎨⎣⎦⎣⎦⎪y =[22]x ⎩3.G (s ) =c (sI -A ) -1B =4.2(s -1)(s +1) 2(s -1)=(s -4)(s +2)(s +1) (s -4)(s +2)det(sI -A ) =(s -4)(s +2)(s +1) ，系统有一极点4，位于复平面的右部，故不是渐近稳定。
G (s ) =c (sI -A ) -1B =2(s -1)，极点为4，-2，存在位于右半平面的极点，故系统不(s -4)(s +2)是BIBO 稳定。
系统发散，不是李氏稳定。
北航硕士研究生线性系统课件1
线性系统 论 线性系统理论(Linear System Theory)程鹏 教授 编写北京航空航天大学内部讲义参考书：一、矩阵方面： 1.(日)须田信英等，曹长修译 信英等 曹 修 ： 《自动控制中的矩阵理论》 科学出版社 1979 2 黄琳 ： 2.黄琳 《系统与控制理论中的线性代数》, 科学出版社 1984 3 韩京清，许可康 ，何关钰： 3.韩京清，许可康 《线性系统理论的代数基础》，辽宁科技出版社1987二、线性系统理论方面： 1. T.KAILATH：Linear Systems 1985年有中译本，李清泉等译：凯拉斯： 年有中译本 李清泉等译：凯拉斯：《线性系 统》。
2. C.T.CHEN: Linear System Theory and Design (王纪文、毛剑琴等译 王纪文 毛剑琴等译)： 《线性系统理论与设计》，1988年中译本 3. 郑大钟： 《线性系统理论》 清华大学出版社，1992 其余见篇末文献。
课程的地位与目的本课程是控制科学与工程一级学科研究生的公共学 位课和专业基础课。
通过本课程学习，要求学生掌握线性系统的 一般概念和分析研究线性系统的一般方法，为进一 步学习其它控制理论奠定坚实的基础。
步学习其它控制理论奠定坚实的基础 本课程理论性强，用到较多数学工具，因此， 对培养学生的抽象思维、逻辑思维，提高学生运 用数学知识处理控制问题的能力具有重要作用。
一、控制论产生的背景社会背景现代社会的生产和管理对于高度自动化水平的需要社会一旦有技术上的需要，则这种需要就会比十所大学更 能把科学推向前进。
—— 恩格斯直接原因二战期间，维纳参加了火炮控制和电子计算机的研制工作。
1943年，维纳、毕格罗和罗森勃吕特三人共同发表了 年，维纳、毕格罗和罗森勃吕特三人共同发表了《 《行为、 目的和目的论》 目的和目的论 》，首先提出了“控制论”这个概念，第一次把 只属于生物的有目的的行为赋予机器 阐明了控制论的基本思 只属于生物的有目的的行为赋予机器，阐明了控制论的基本思 想。
北航 线性系统 第20讲
基于观测器的状态反馈与动态输出反馈系统1结论:以上分析表明，(5-45)、(5-46)确实给出了一个n-q 维的状态观测器。
现将以上结论总结如下：定理5-18若（A, C ）可观测，rank C=q ，则对(A, B,−(5-45)(5-46)C ）可构造n q 维状态观测器(5-45),(5-46)，而且观测器的极点可任意配置。
若再假定（A, B ）可控，则该观测器具有最小维数。
事实上，若假定（A, B ）可控，定理5-12的基本条件：(A, B ）可控、可观测满足。
此时，根据F E 条件(,控观测满时根据定义5−1可知，当K=I 时就构成了一个(n −q )维的状态观测器，而定理5−17表明，它是一个最小维观测(,)定明个维器。
利用(5-46)，可得11−−⎡⎤⎡⎤−−⎥C C C I C G 121222()ˆq n qx w z y −==+⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦I G 01011z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−+−−12121g g y g g ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦最后，需要指出，K x 观测器的维数可能会比n −q 低，究竟低到什么程度则尚不清楚。
最小阶K x 观测器的设计仍是一个困难的问题。
状态观测器小结1）当(A,B,C)可控、可观测时，则一定存(,,)在系统的基本全维状态观测器和Kx 状2）当(A,B,C)可控、可观测且态观测器。
(,,)rank C=q时，可求得其最小维状态观测器。
3）最小维Kx 状态观测器存在性问题？例题系统方程为21000−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−021*******⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥−A B 1000110001⎣⎦⎣⎦⎡⎤=C 000⎢⎥⎣⎦=[0101]时当取K =[ 0 1 0 1 ]时，K x 观测器为3[25]z z y u=−−+ [13]w z y=+其维数其维数小于n −2=2。
§5-3利用观测器构成的状态反馈系统一、基于观测器的状态反馈系统的构成设原系统(对象)方程为=+=A B C x x u x (5-48),y ()且(A ,B ,C )可控、可观。