【2020年数学高考】安徽等省全国名校2020届高三第四次联考 数学文.doc

全国名校大联考2017～2020学年度高三第四次联考
数学（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{1,0,1,2}A =-
，集合{|B x y =，则A
B =（ ）
A ．(0,2]
B ．{0,1,2}
C ．{1,2}
D ．(1,2] 2.若方程22448430x y x y +-+-=表示圆，则其圆心为（ ） A ．1(1,)2-- B ．1(1,)2 C ．1(1,)2- D ．1(1,)2
- 3.
函数()f x =的定义域为（ ） A ．(0,1000] B ．[3,1000] C ．1(0,
]1000 D ．1[,3]1000
4.已知直线220ax y +-=与圆22(1)(1)6x y -++=相交于,A B 两点，且,A B 关于直线0x y +=对称，则a 的值为（ ）
A ．1
B ．-1 C.2 D ．-2
5.设变量x y 、满足约束条件236y x
x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≥-⎩
，则目标函数4z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．5 C.15 D ．12
6.如图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为
4
3
，则它的正视图为（ ）
A ．
B ． C. D ．
7.等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13- B ．-3或13
C.3或1
3
D ．-3或13-
8.已知,αβ是相异两平面，,m n 是相异两直线，则下列命题中错误．．
的是（ ） A ．若//,m n m α⊥，则n α⊥ B ．若,m m αβ⊥⊥，则//αβ C.若,//m m αβ⊥，则αβ⊥ D ．若//,m n αα
β=，则//m n
9.若点(,)b a 在函数x y e =的图像上，1a ≠，则下列点在函数ln y x =的图像上的是（ ） A ．2(,)a b B ．(,1)ae b - C.(,)a b D ．1
(,)b a
10.“1a =”是“直线：210x a y ++=与直线：240ax y ++=垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．即不充分也不必要条件 11.已知函数()y g x =满足(2)()g x g x +=-，若()y f x =在(2,0)
(2,0)--上为偶函数，且其解析式
为2log ,02
()(),20x x f x g x x <<⎧=⎨-<<⎩
，则(2017)g -的值为（ ）
A ．-1
B ．0 C.
12 D ．1
2
-
12.已知底面为正方形的四棱锥O ABCD -，各侧棱长都为16，以O 为球心，2为半径作一个球，则这个球与四棱锥O ABCD -相交部分的体积是（ ） A ．
29π B ．89π C.169
π
D ．43π 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若4
sin()25
π
α-
=，α为第二象限角，则tan()πα-= ． 14.已知三棱锥S ABC -的三条侧棱两两垂直，且1SA =，2SB SC ==，若点P 为三棱锥S ABC -的外接球的球心，则这个外接球的半径是 ．
15.已知圆22:(4)(2)5C x y -++=.由直线2y x =+上离圆心最近的点M 向圆C 引切线，切点为N ，
则线段MN 的长为 ． 16.设,a b 是两个非零平面向量，则有： ①若||||a b a b +=-，则a b ⊥ ②若a b ⊥，则||||||a b a b +=-
③若||||||a b a b +=-，则存在实数λ，使得b a λ=
④若存在实数λ，使得b a λ=，则||||||||a b a b +=-或||||||a b a b +=+四个命题中真命题的序号为 ．（填写所有真命题的序号）
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知在ABC ∆中，2B A C =+，且2c a =. （1）求角,,A B C 的大小；
（2）设数列{}n a 满足2|cos |n n a nC =，前n 项和为n S ，若20n S =，求n 的值.
18.在ABC ∆中，90BAC ∠=，60B ∠=，1AB =，D 为线段BC 的中点，,E F 为线段AC 的三等分点（如图1）.将ABD ∆沿着AD 折起到AB D '∆的位置，连接B C '（如图2）.
（1）若平面AB D '⊥平面ADC ，求三棱锥B ADC '-的体积；
（2）记线段B C '的中点为H ，平面B ED '与平面HFD 的交线为l ，求证：//HF l . 19.（1）求圆心在直线2y x =-上，且与直线1y x =-+相切于点(2,1)P -的圆的方程；
（2）求与圆22240x y x y +--=外切于点(2,4)且半径为.
20.如图所示，PA ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的O 上，30CBA ∠=︒，2PA AB ==，点E 为线段PB 的中点，点M 在弧AB 上，且//OM AC .
（1）求证：平面//MOE 平面PAC ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PCB ；
21.已知圆22:9C x y +=，点(5,0)A -，直线:20l x y -=. （1）求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；
（2）在直线OA 上（O 为坐标原点），存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆C 上任一点P ，都
有
PB
PA
为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标. 22.已知函数()f x 的导函数为1
'()f x a x
=+，其中a 为常数.
（1）当1a =-时，求()f x 的最大值；
（2）若()f x 在区间(0,]e （e 为自然对数的底数）上的最大值为-3，求a 的值.
试卷答案
一、选择题
1-5:BDADC 6-10:BCDCD 11、12：BC
二、填空题
13.
34 14.3
2
15.①③④ 三、解答题
17.解：（1）由已知2B A C =+，又A B C π++=，所以3
B π
=.又由2c a =，
所以222242cos
33
b a a a a a π
=+-⋅=，所以222c a b =+，
所以ABC ∆为直角三角形，2
C π
=，2
3
6
A π
π
π
=
-
=
.
（2）2|cos |2|cos
|2n n n n a nC π===0,2,n
n n ⎧⎪
⎨⎪⎩
为奇数为偶数. 所以212n k k S S S +===2
4
2020202k
++++
++=
2224(12)24
143
k k +--=-，*k N ∈由2224
203
k n S +-==，得
22264k +=，所以226k +=，所以2k =，所以4n =或5n =.
18.解：（1）在直角ABC ∆中，D 为BC 的中点，所以AD BD CD ==. 又60B ∠=，所以ABD ∆是等边三角形.
取AD 中点O ，连接B O '，所以B O AD '⊥.
因为平面AB D '⊥平面ADC ，平面AB D '⋂平面ADC AD =，B O '⊂平面AB D '， 所以B O '⊥平面ADC .
在ABC ∆中，90BAC ∠=，60B ∠=，1AB =，D 为BC 的中点，所以AC =B O '
所以11122ADC S ∆=
⨯⨯=
. 所以三棱锥B ADC '-的体积为1
138
ADC V S B O ∆'=⨯⨯=. （2）因为H 为B C '的中点，F 为CE 的中点，所以//HF B E '. 又HF ⊄平面B ED '，B E '⊂平面B ED '，所以//HF 平面B ED '. 因为HF ⊂平面HFD ，平面B ED '⋂平面HFD l =，所以//HF l .
19.解：（1）过点(2,1)P -且与直线1y x =-+垂直的直线为30x y --=，
由230y x x y =-⎧⎨--=⎩1
2x y =⎧⇒⎨=-⎩
.
即圆心(1,2)C -，半径||r CP == 所求圆的方程为22(1)(2)2x y -++=.
（2）圆方程化为22(1)(2)5x y -+-=，得该圆圆心为(1,2)42
221
k -=
=-.设所求圆心为(,)a b ，
|(1)3a a -=-=，∴4a =，
|226b b --=，∴8b =. ∴22(4)(8)20x y -+-=.
20.（1）证明：因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，
所以//OE PA ，因为PA ⊂平面PAC ，OE ⊄平面PAC ，所以//OE 平面PAC . 因为//OM AC ，且AC ⊂平面PAC ，OM ⊄平面PAC ，所以//OM 平面PAC . 因为OE ⊂平面MOE ，OM ⊂平面MOE ，OE OM O ⋂=，所以平面//MOE 平面PAC . （2）证明：因为点C 在以AB 为直径的O 上，所以90ACB ∠=，即BC AC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.
因为AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，PA AC A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC . 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PCB .
21.解：（1）设所求直线方程为2y x b =-+，即20x y b +-=，
3=
，得b =±
∴所求直线方程为2y x =-±（2）方法1：假设存在这样的点(,0)B t ，
当P 为圆C 与x 轴左交点(3,0)-时，|3|
2PB t PA +=
； 当P 为圆C 与x 轴右交点(3,0)时，|3|
8
PB t PA -=
， 依题意，|3||3|28t t +-=
，解得，5t =-（舍去），或9
5
t =-. 下面证明点9(,0)5B -对于圆C 上任一点P ，都有PB
PA
为一常数.
设(,)P x y ，则229y x =-，
∴222
2229()5(5)x y PB PA x y ++==++2222
1881952510259x x x x x x +++-=+++-18
(517)
9252(517)25
x x +=+， 从而
3
5
PB PA =为常数. 方法2：假设存在这样的点(,0)B t ，使得
PB
PA
为常数(0)λλ>，则222PB PA λ=， ∴22222()[(5)]x t y x y λ-+=++，将229y x =-代入得，
22222229(10259)x xt t x x x x λ-++-=+++-，即 2222(5)3490t x t λλ++--=对[3,3]x ∈-恒成立，
∴2
22
503490
t t λλ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，解得3595t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
或15t λ=⎧⎨=-⎩（舍去）
， 所以存在点9
(,0)5B -对于圆C 上任一点P ，都有PB
PA
为常数35.
22.解：（1）∵()1
f x a x
'=+
，∴()ln f x ax x =+. 当1a =-时，()ln f x x x =-+，()111x
f x x x
-'=-+=.
当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.
∴()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，()()max 11f x f ==-. （2）∵()1f x a x '=+
，(0,]x e ∈，∴11
[,)x e
∈+∞. ①若1
a e
≥-，则()0f x '≥，()f x 在(0,]e 上是增函数， ∴()()max 10f x f e ae ==+≥.不合题意. ②若1a e <-，则由()100f x a x '>⇒+>，即10x a
<<-， 由()100f x a x <⇒+
<，即1
x e a
-<≤. 从而()f x 在1
(0,)a
-上为增函数，在1(,e)a -上为减函数，
∴()max 11
()1ln()f x f a a =-=-+-.
令11ln()3a -+-=-，则1ln()2a -=-，∴21
e a --=，即2a e =-.
∵21
e e
-<-，∴2a e =-为所求.。