基本初等函数(整理)

1.1初等函数图象及性质 1.1.1 幕函数

1函数 .1 ^ ■■-l ' GI 是常数） 叫做幕函数。

2幕函数的定义域，要看 ∙i 是什么数而定。

但不论取什么值，幕函数在（0,+ ：:）内总有定义。 3最常见的幕函数图象如下图所示：

［如图］

4①口 >0时，图像都过（0,0 ）、（ 1,1 ）点，在区间（0, +∞）上是增函数； 注意〉> 1与0<〉V 1的图像与性质的区别. -10

② 二V 0时，图像都过（1,1 ）点，在区间（0, +∞）上是减函数；在第一象限内，图像向 上无限

接近y 轴，向右无限接近 X 轴. ③ 当x>1时，指数大的图像在上方.

1.1.2 指数函数与对数函数

K,

15

图 1-2Q M

10

1指数函数

1函数.1 ' ■（a是常数且a>O,a U 1 ）叫做指数函数，它的定义域是区间

（-：：,+ ：：）。

2因为对于任何实数值X,总有•寸Iii ,又；-;,所以指数函数的图形，总在X轴的上方, 且通过点（0,1）

若a>1,指数函数「:’是单调增加的。若0

有理指数幕的意义、幕的运算法则:

∙a n = a m n;②(a m)n= a mn;③(ab)n= a n b n(这时m,n 是有理数)

(a> 0), / d 〜林

1 m

Rn Rnm

a a,a a ,a

1 上

T= — a n _ 』

。

a n, n a m

分数指数幕:

1

由此可知「二今后常用关系式―宀，

指数函数y=a的反函数，记作y =IO S a X（a是常数且a>0,式al ）,叫做对数函数。它的定义域是区间（0,+ ：：）。

对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = X对称（图1-22 ）。

丿…也” ■■■■■的图形总在y轴上方，且通过点（1,0）若a>1 ,对数函数•二=是单调增加的，在开区间（0,1）内函数值为负，而在区间（1,+二）内函数值为正。

若0

对数函数的图象和性质

a>10

图象

i—

■

1 J E≤1

Ii

0…f101

S

•"≡-

性质定义域：（0，+∞）

值域：R

过点（1, 0）,即当X= 1时，y= 0

x∈( 0, 1)时y v 0 x∈( 1,+∞)时y>0x∈( 0, 1)时y>0 X∈( 1, +∞)时y v 0在（0, +∞）上是增函数在（0, +∞）上是减函数

2 •对数函

数

a© —N 如:

重要公式：

⑴负数与零没有对数； ⑵Iog a 1 = 0, Iog a a = 1 ⑶对数恒等式a IogaN = N 一 (4) log a a b = b

运算法则

若 a >0, a ≠ 1, M >0, N > 0,贝U (1) Iog a (MN)= IogaW Iog a N ; M

(2) IOg a N = Iog a M - Iog a N ;

_ 1

⑶IOg a M r I

= nIog a M; IOg a n

M Iog a M

n

对数换底公式：

Iog a N = !°g m N

( a >0, a ≠1 m >0 , m ≠ 1, N >0)

Iog m a

1.1.3 三角函数与反三角函数 1.三角函数

:

1

'

1

- 1

,奇函数、有界函数、周期函数

;

. ■ .“丄I ,偶函数、有界函数、周期函数 「;

X ≠⅛ + -,k = 0*±l±2∙∙∙

2 的一切实数，奇函数、

COSX

y=ctgx = -

Sin X

Sln X y =⅛ = ---- COSX

' ■ λ-

的一切实数，奇函数、

1

y i

o

∖-∣

r

r I

V = CSCX =— Sin

y = arcsm X t [-1,1] ； y = arccosX P [-1J r

正弦函数和余弦函数都是以 2二为周期的周期函数，它们的定义域都是区间 （-：:,+ ：:）,

值

正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

正切函数和余切函数都是以 二为周期的周期函数，它们都是奇函数。

［如

1 ID(Ji)

Γf( I -Zttn))

2

双曲正弦:

,奇函数，单调增函数;

双曲余弦：单调增；ChX =

+八

2 ，

（_孔+ 00）

T,偶函数，x〈D时，单调减，x〉O时,

(—co +o□ J

双曲正切：ChTi,奇函数，单调增函数。

函数的图形见书P27~P2 &

下面公式成立

Sh(X ±y) = ShXChy ± ChXShy ,

Ch(Xiy} - ChXChy+ShXShy,

GrT 二IGL V；F二=S-十j。

反双曲正弦―匕L ' .

反双曲余弦V 一二l, I ■-

ar

thι∙-h-f (-1,1)

反双曲正切_ 1 ..

函数图形的变换

平移