第一次作业及答案

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的价值。为此,他设计了如下赔偿方案:两位旅客各写下一个 2 到 100 数字(整数),以表 示他们认为被打碎古董的价值。记两位旅客写下的数字分别为������1和������2,若������1 = ������2,两位旅 客均得到������1元的赔偿;若������1 > ������2,则认为旅客 2 说实话,而旅客 1 在说谎,因此旅客 1 获 得������2 − 2,而旅客 2 获得������2 + 2;反之,若������1 < ������2,则旅客 1 获得������1 + 2,旅客 2 获得������1 − 2。
乙: 6������ + (1 − ������) = ������ + 6(1 − ������) 得到������ = 0.5
因此存在一个混合策略纳什均衡(0.5, 0.5)
3.(Hotelling 模型)假定有一个城市,用一条长度为 1 的线段表示,消费者均匀地分布在这 个线段上,消费者的总测度为 1。厂商 1 和厂商 2 分别处于线段的 ������ 和 1 − ������ 点,其中 ������ + ������ ≤ 1。厂商的边际成本为 ������。每个消费者有一单位的产品需求,从消费者的位置移动到 厂商需要耗费的成本为二次的,即距离 ������ 给消费者带来的负效用为 ������������2。求解这个模型的 纳什均衡。
2
������ − ������
������ − ������
������1 = ������ + ������(1 − ������ − ������) (1 + 3 ) ������2 = ������ + ������(1 − ������ − ������) (1 + 3 )
4.(合伙人博弈)张三和李四合伙创业,他们可以分别选择自己的努力程度������和������,整个公司 的利润是������和������的函数:������ = 4(������ + ������ + ������������������),其中������ ∈ (0, 0.5)为参数。两人努力的成本是其努 力程度的函数,张三的努力成本为������2,李四的努力成本为������2。由于两人都不能确切观察到对 方的努力程度,因此不能订立完全契约。他们约定,在利润实现后将对其平分。 (1)请问本博弈中两人的最优反应函数是什么?纳什均衡是什么?这个均衡是帕累托最优 的吗?为什么? (2)在������ < 0的情况下重新讨论(1)中的问题,你的结论和(1)有什么不同?请给出直观 的解释。
+
������∗
=
2 2−������
=
1 1−������/2
>
1 ,此时社会个人由于没有完全考虑双方努力负
1−������
外部性带来的坏处从而使得均衡努力大于社会最优。
5.(旅行者困境)在一次飞行过程中,由于飞机的颠簸,有两个古董被打碎。这两个古董完 全相同,但分属于两个不同的旅客。机场经理需要赔偿两位旅客,但他;
������2 − ������1 2������(1 − ������ −
������)]
一阶条件可以得到������1
=
������2+������ 2
+
������(1+������−������)(1−������−������)。厂商
2
2
的最大化问题为:
m������a2x(������2
假设朱诺比在街道上遭遇劫匪并大声呼救,周围至少有������个目击者听到了呼救。当听到 呼救后,目击者可以选择报警或漠视。如果选择报警,他需要支付的成本为������。只要有一个 人报警,朱诺比就会得救,所有目击者会因此而获得效用������。这里假设������ > ������,而如果没有人 报警,则所有目击者都只能获得效用 0。 (1)当我们考虑所有目击者的同时行动的博弈时,这个博弈有纯策略纳什均衡吗? (2)这个博弈有对称的混合策略纳什均衡吗?如果有,请解出来。 (3)请计算在混合策略均衡中,至少有一个人报警的概率,并回答这个概率如何随着������变动。 这个结果对你有什么启示?
若������满足������

������1

������(������

������)2

������

������2

������(������

1
+
������)2,或������

1+������−������ 2
+
������2−������1 ,则消费者将
2������(1−������−������)
1−������
这里纳什均衡������∗ + ������∗ = 2 = 1 < 1 ,即当������ > 0的时候,社会个人由于没有完全考虑双
2−������ 1−������/2 1−������
方努力的正外部性带来的好处从而使得均衡努力小于社会最优。
(2)当������
<
0时,������∗
参考答案:
(1)张三、李四的最优化问题分别为max 2(������ + ������ + ������������������) − ������2,max 2(������ + ������ + ������������������) − ������2,
������
������
由一阶条件得到最优反应函数:������ = 1+������������,������ = 1+������������,解出纳什均衡:������∗ = ������∗ = 1
请找出这个同时行动博弈的纳什均衡。
注:如果对“旅行者困境”问题感兴趣,可以进一步阅读 K. Basu, The Traveler’s Dilemma: Paradoxes of Rationality in Game Theory, American Economic Review Papers and Proceedings, Vol. 84, No. 2, pp. 391-395。
参考答案:
给定厂商 1 和 2 的价格������1, ������2,对于[0,1]上任意一点������的消费者,其去厂商 1 和厂商 2 的支付 分别为:
������ − ������1 − ������(������ − ������)2 ������ − ������2 − ������(������ − 1 + ������)2
我们假设,如果在上述博弈中,参与人们通过契约建立了“利维坦”,如果某人发动“战 争”,“利维坦”会对其施加惩罚,且惩罚力度为������ (������ > 0)。因此,博弈变成了如下形式:
(3)请问������需要怎样取值,才能让人们走出“战争”状态? 参考答案: (1)囚徒困境 (2)(战争,战争)是唯一的纳什均衡,不是帕累托最优的 (3)需要选择������使得战争不再是严格占优策略,即3 ≥ 4 − ������,或������ ≥ 1 2. 博弈参与人甲和乙同时选择自己的策略,并且其支付状况如以下矩阵所示:
再证明,仅有一人报警确实构成 Nash 均衡。这只需用定义证明就可以了。前面已经证 明了如果其他人里有一个人报警,则最优反应是不报警,这里只需证明给定其他人都不报警 是,最优反应是报警即可。这一点是直观的,如果其他人都不报警,则选择报警得到的支付 是 v-c,而不报警得到的支付是 0,由于 v-c>0,因此报警是最优反应。这就证明了仅有一人 报警确实构成 Nash 均衡。由于这样的情况一共有 n 个,因此有 n 个纯策略 Nash 均衡。 (2)可以根据“选择任何纯策略得到的期望支付相等”这一事实求解。由对称性,假设所 有人选择报警的概率都为 p,不报警的概率为 1-p。这样,对于每一个目击者,在其选择是 否报警时,其他任何目击者都不报警的概率为(1-p)n-1,至少有一人报警的概率为 1-(1-p)n-1。
(1)对于每一个参与人而言,是否存在占优策略或被占优策略? (2)假设参与人乙认定甲总会用最优反应来应对自己的策略。那么他有可能会选择策略������ 吗? (3)本博弈中有几个纯策略纳什均衡,有几个混合策略纳什均衡?
参考答案:
(1)对于参与人甲,纯策略������被混合策略0.5������ + 0.5������严格占优 (2)由上一问,参与人甲的������策略可以被删除,此时参与人乙的策略������会被混合策略0.5������ + 0.5������严格占优,因此不会选������ (3)在删掉������和������后,博弈变为
下一个策略 2。因此该博弈唯一的纳什均衡为������1 = ������2 = 2。
6. (38 个目击者)在美国的法制史上,有个被称为“38 个目击者”的著名案例。1964 年 3 月 13 日夜,在美国纽约郊外某公寓前,一位叫朱诺比的女子在回家途中遇刺。其 间,尽管她大声求救,并且至少有 38 位目击者看到了犯罪经过或听到了呼救,但竟没有一 人拨打电话。本题将通过一个博弈模型来对这个案例进行分析。
2
2
2−������
帕累托最优:假设有一个社会计划者,最优化社会福利:
max
������,������
������1[2(������
+
������
+
������������������)

������
2]
+
������2[2(������
+
������
+
������������������)

������
2
]
一阶条件得到:(������1 + ������2)(1 + ������������) = ������1������,(������1 + ������2)(1 + ������������) = ������2������,两式相加消去������1, ������2便得 到帕累托最优的条件:������ + ������ = 1 。

l
n

U
4,6
9,1
D
9,1
4,6
该博弈不存在纯策略纳什均衡,混合策略纳什均衡,假设甲选择������的概率为������,乙选择������的概
率为������,根据无差异条件:
甲: 4������ + 9(1 − ������) = 9������ + 4(1 − ������) 得到������ = 0.5
去厂商 1 购买;反之若������ ≥ ������ + 1−������−������ + ������2−������1 ,消费者将去厂商 2 购买。于是厂商 1 的最
2
2������(1−������−������)
大化问题为:
m������a1x(������1

������)
1 [
+
������ 2
参考答案:
对于参与人������,最优反应函数为���������∗��� (������������)
=
{������������
− ������������
1
������������ ������������
> =
22,因此选择
100
决不是一个最优反
应,可以剔除,于是策略空间为 2-99。类似地,也可以重复依次剔除 99,98,…直到只剩

������)
[1

1
+
������ 2

������

������2 − ������1 2������(1 − ������ −
������)]
一阶条件可以得到������2
=
������1+������ 2
+
������(1−������+������)(1−������−������)。从而得到:
《博弈论与信息经济学》第一次作业
1.(利维坦)假设两个博弈参与人生活在“丛林法则”之下,每一个参与人都可以选择“战 争”与“和平”并且其支付矩阵如下所示:
(1)请问,这个博弈类似于我们遇到过的哪类博弈? (2)什么是这个博弈的纳什均衡,它是帕累托最优的吗?
出于对“战争”状况下人民福祉的忧虑,霍布斯建议采用“利维坦”来终结战争状态, 即“把大家所有的权利和力量托付给某一个人或一个能通过多数人的意见把大家的意志化为 一个意志的多人组成的集体”。由于“利维坦”拥有惩罚“战争”的力量,因此可以协调人 们走出“战争”,迎来“和平”。
注:如果对 38 个目击者这个故事感兴趣,可以进一步阅读 Rosenthal A., 1964, Thirty-Eight Witnesses, New York: McGraw-Hill。
参考答案: (1)有 n 个纯策略均衡。在所有的纳什均衡中,只有一个目击者报警。对此可以证明如下:
先证明,多于一人报警不构成 Nash 均衡。这是因为,当每一参与人决策时,如果其他 参与人中已有一人报警,则其选择报警的话,得到支付为 v-c,而如果选择不报警,则得支 付 v,显然其最优反应是不报警。
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