第一次作业及答案

的价值。为此，他设计了如下赔偿方案：两位旅客各写下一个 2 到 100 数字（整数），以表 示他们认为被打碎古董的价值。记两位旅客写下的数字分别为������1和������2，若������1 = ������2，两位旅 客均得到������1元的赔偿；若������1 > ������2，则认为旅客 2 说实话，而旅客 1 在说谎，因此旅客 1 获 得������2 − 2，而旅客 2 获得������2 + 2；反之，若������1 < ������2，则旅客 1 获得������1 + 2，旅客 2 获得������1 − 2。
乙： 6������ + (1 − ������) = ������ + 6(1 − ������) 得到������ = 0.5
因此存在一个混合策略纳什均衡(0.5, 0.5)
3.（Hotelling 模型）假定有一个城市，用一条长度为 1 的线段表示，消费者均匀地分布在这 个线段上，消费者的总测度为 1。厂商 1 和厂商 2 分别处于线段的 ������ 和 1 − ������ 点，其中 ������ + ������ ≤ 1。厂商的边际成本为 ������。每个消费者有一单位的产品需求，从消费者的位置移动到 厂商需要耗费的成本为二次的，即距离 ������ 给消费者带来的负效用为 ������������2。求解这个模型的 纳什均衡。
2
������ − ������
������ − ������
������1 = ������ + ������(1 − ������ − ������) (1 + 3 ) ������2 = ������ + ������(1 − ������ − ������) (1 + 3 )
4.（合伙人博弈）张三和李四合伙创业，他们可以分别选择自己的努力程度������和������，整个公司 的利润是������和������的函数：������ = 4(������ + ������ + ������������������)，其中������ ∈ (0, 0.5)为参数。两人努力的成本是其努 力程度的函数，张三的努力成本为������2，李四的努力成本为������2。由于两人都不能确切观察到对 方的努力程度，因此不能订立完全契约。他们约定，在利润实现后将对其平分。 （1）请问本博弈中两人的最优反应函数是什么？纳什均衡是什么？这个均衡是帕累托最优 的吗？为什么？ （2）在������ < 0的情况下重新讨论（1）中的问题，你的结论和（1）有什么不同？请给出直观 的解释。
+
������∗
=
2 2−������
=
1 1−������/2
>
1 ，此时社会个人由于没有完全考虑双方努力负
1−������
外部性带来的坏处从而使得均衡努力大于社会最优。
5.（旅行者困境）在一次飞行过程中，由于飞机的颠簸，有两个古董被打碎。这两个古董完 全相同，但分属于两个不同的旅客。机场经理需要赔偿两位旅客，但他;
������2 − ������1 2������(1 − ������ −
������)]
一阶条件可以得到������1
=
������2+������ 2
+
������(1+������−������)(1−������−������)。厂商
2
2
的最大化问题为：
m������a2x(������2
假设朱诺比在街道上遭遇劫匪并大声呼救，周围至少有������个目击者听到了呼救。当听到 呼救后，目击者可以选择报警或漠视。如果选择报警，他需要支付的成本为������。只要有一个 人报警，朱诺比就会得救，所有目击者会因此而获得效用������。这里假设������ > ������，而如果没有人 报警，则所有目击者都只能获得效用 0。 （1）当我们考虑所有目击者的同时行动的博弈时，这个博弈有纯策略纳什均衡吗？ （2）这个博弈有对称的混合策略纳什均衡吗？如果有，请解出来。 （3）请计算在混合策略均衡中，至少有一个人报警的概率，并回答这个概率如何随着������变动。 这个结果对你有什么启示？
若������满足������
−
������1
−
������(������
−
������)2
≥
������
−
������2
−
������(������
−
1
+
������)2，或������
≤
1+������−������ 2
+
������2−������1 ，则消费者将
2������(1−������−������)
1−������
这里纳什均衡������∗ + ������∗ = 2 = 1 < 1 ，即当������ > 0的时候，社会个人由于没有完全考虑双
2−������ 1−������/2 1−������
方努力的正外部性带来的好处从而使得均衡努力小于社会最优。
（2）当������
<
0时，������∗
参考答案：
（1）张三、李四的最优化问题分别为max 2(������ + ������ + ������������������) − ������2，max 2(������ + ������ + ������������������) − ������2，
������
������
由一阶条件得到最优反应函数：������ = 1+������������，������ = 1+������������，解出纳什均衡：������∗ = ������∗ = 1
请找出这个同时行动博弈的纳什均衡。
注：如果对“旅行者困境”问题感兴趣，可以进一步阅读 K. Basu, The Traveler’s Dilemma: Paradoxes of Rationality in Game Theory, American Economic Review Papers and Proceedings, Vol. 84, No. 2, pp. 391-395。
参考答案：
给定厂商 1 和 2 的价格������1, ������2，对于[0,1]上任意一点������的消费者，其去厂商 1 和厂商 2 的支付 分别为：
������ − ������1 − ������(������ − ������)2 ������ − ������2 − ������(������ − 1 + ������)2
我们假设，如果在上述博弈中，参与人们通过契约建立了“利维坦”，如果某人发动“战 争”，“利维坦”会对其施加惩罚，且惩罚力度为������ (������ > 0)。因此，博弈变成了如下形式：
（3）请问������需要怎样取值，才能让人们走出“战争”状态？ 参考答案： （1）囚徒困境 （2）（战争，战争）是唯一的纳什均衡，不是帕累托最优的 （3）需要选择������使得战争不再是严格占优策略，即3 ≥ 4 − ������，或������ ≥ 1 2. 博弈参与人甲和乙同时选择自己的策略，并且其支付状况如以下矩阵所示：
再证明，仅有一人报警确实构成 Nash 均衡。这只需用定义证明就可以了。前面已经证 明了如果其他人里有一个人报警，则最优反应是不报警，这里只需证明给定其他人都不报警 是，最优反应是报警即可。这一点是直观的，如果其他人都不报警，则选择报警得到的支付 是 v-c，而不报警得到的支付是 0，由于 v-c>0，因此报警是最优反应。这就证明了仅有一人 报警确实构成 Nash 均衡。由于这样的情况一共有 n 个，因此有 n 个纯策略 Nash 均衡。 （2）可以根据“选择任何纯策略得到的期望支付相等”这一事实求解。由对称性，假设所 有人选择报警的概率都为 p，不报警的概率为 1-p。这样，对于每一个目击者，在其选择是 否报警时，其他任何目击者都不报警的概率为(1-p)n-1，至少有一人报警的概率为 1-(1-p)n-1。
（1）对于每一个参与人而言，是否存在占优策略或被占优策略？ （2）假设参与人乙认定甲总会用最优反应来应对自己的策略。那么他有可能会选择策略������ 吗？ （3）本博弈中有几个纯策略纳什均衡，有几个混合策略纳什均衡？
参考答案：
（1）对于参与人甲，纯策略������被混合策略0.5������ + 0.5������严格占优 （2）由上一问，参与人甲的������策略可以被删除，此时参与人乙的策略������会被混合策略0.5������ + 0.5������严格占优，因此不会选������ （3）在删掉������和������后，博弈变为
下一个策略 2。因此该博弈唯一的纳什均衡为������1 = ������2 = 2。
6. （38 个目击者）在美国的法制史上，有个被称为“38 个目击者”的著名案例。1964 年 3 月 13 日夜，在美国纽约郊外某公寓前，一位叫朱诺比的女子在回家途中遇刺。其 间，尽管她大声求救，并且至少有 38 位目击者看到了犯罪经过或听到了呼救，但竟没有一 人拨打电话。本题将通过一个博弈模型来对这个案例进行分析。
2
2
2−������
帕累托最优：假设有一个社会计划者，最优化社会福利：
max
������,������
������1[2(������
+
������
+
������������������)
−
������
2]
+
������2[2(������
+
������