排序不等式及证明
第44讲 排序不等式
第四讲 排序不等式与琴生不等式本节主要内容有排序不等式、琴生不等式、幂平均不等式、切比雪夫不等式及应用．排序不等式（又称排序定理）：给定两组实数a 1，a 2，……，a n ；b 1，b 2，……，b n ．如果a 1≤a 2≤……≤a n ；b 1≤b 2≤……≤b n ．那么a 1b n ＋a 2b n －1＋……＋a n b 1（反序和）≤a 11i b ＋a 22i b ＋……＋a n n i b （乱序和）≤a 1b 1＋a 2b 2＋……＋a n b n （同序和）， 其中i 1，i 2，……，i n 是1，2，……，n 的一个排列．该不等式所表达的意义是和式∑=nj i j jba 1在同序和反序时分别取得最大值和最小值．切比雪夫不等式：设有两个有序数组a 1≤a 2≤……≤a n ；b 1≤b 2≤……≤b n ．则1n(a 1b n＋a 2b n －1＋……＋a n b 1)≤a 1＋a 2＋……＋a n n ·b 1＋b 2＋……＋b n n ≤1n(a 1b 1＋a 2b 2＋……＋a nb n )， 其中等号仅当a 1＝a 2＝……＝a n 或b 1＝b 2＝……＝b n 时取得．琴生不等式又称凸函数不等式，它建立在凸函数的基础上．定义 设连续函数f (x )的定义域是[a ，b ](开区间(a ，b )或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a ，b ]内的任意两点x 1，x 2有f (x 1＋x 22 )≤12 [f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )为[a ，b ]上的下凸函数．如图(１)定理一．若f (x )是下凸函数，则对其定义域中的任意几个点x 1，x 2，……，x n ，恒有f (x 1＋x 2＋……＋x n n )≤1n[f (x 1)＋f (x 2)＋……＋f (x n )]．定义 设连续函数f (x )的定义域是[a ，b ](开区间(a ，b )或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a ，b ]内的任意两点x 1，x 2有f (x 1＋x 22 )≥12 [f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )为[a ，b ]上的下凸函数．如图(2)x 1x 2M (1)P Q x 1x 2M P Q定理二：若)(x f 是上凸函数，则对其定义域中的任意n 个点n x x x ,...,,21恒有)](...)()([1)...(2121n n x f x f x f n n x x x f +++≥+++，容易验证x x x f 21log ,tan )(=分别是),0(),2,0(+∞π上的下凸函数。
经典不等式证明—排序不等式—切比雪夫不等式—平均不等式—柯西不等式
不妨设
a1 a2 ... an
b1 b2 ... bn
由切比雪夫不等式为
1 (a1 a2 ... an )(b1 b2 ... bn ) a1b1 a2b2 ... anbn n
令 ai bi (i 1, 2,..., n) 则有
aibi-ajbi+ajbj-aibj=(ai-aj)(bi-bj)≥0
即顺序和≥乱序和（当且仅当 ai=aj 或 bi＝bj 时等号成立） 当有多个乱序时可由数学归纳法即得结论： a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1bj1+a2bj2+„+anbjn≤a1b1+a2b2+„+anbn (其中 j1,j2,…，jn 是 1,2,…,n 的一个排列) 当且仅当 a1=a2=…=an 或 b1=b2=…=bn 时等号成立 2.切比雪夫不等式 若两个正实数数组{ai} , {bi} 满足 a1≤a2≤„≤an ,b1≤b2≤„ ≤bn,
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1. 排序不等式 设两个数组{ai} , {bi}满足 a1≤a2≤„≤an,b1≤b2≤„≤bn, 则有 a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1bj1+a2bj2+„+anbjn≤a1b1+a2b2+„+anbn (其中 j1,j2,…，jn 是 1,2,…,n 的一个排列) 当且仅当 a1=a2=…=an 或 b1=b2=…=bn 时等号成立 证明： （先证有一个乱序的情形，其余的可根据结论得证） 设序列{ai}中仅有 ai 与 aj 调换次序 由 a1b1+a2b2+…+ajbi+…+aibj+…+anbn 记为○ 1 式（为乱序） a1b1+a2b2+…+aibi+…+ajbj+…+anbn 2 -○ 1 得 ○ ： 记为○ 2 式（为顺序） 恒成立 .
经典不等式证明—排序不等式—切比雪夫不等式—平均不等式—柯西不等式
最小，因而其乘积和是反序的)
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即
x1 y1 x2 y2 ... xn yn
总是两数组的反序和。
于是由排序不等式的“乱序和 反序和” ，总有
x1 yn x2 y1 ... xn yn1 x1 y1 x2 y2 ... xn yn
n 1 1 1 ... a1 a2 an
n
n a1a2 ...an
证明：○ 1
（此处先利用 由于
a1a2 ...an
a1 a2 ... an n
的结论） 1式 ○
1 1 1 ... a1 a2 an 1 1 1 n ... n a1 a2 an
=n
1 a1a2 ...an
即
a a1 a2 ... n 1 1 ... 1 n c c c
a1 a2 ... an c n a1a2 ...an n
即
n
a1 a2 ... an a1a2 ...an n
（利用切比雪夫不等式证明） ,
2 2 a1 a2 ... an a 2 a2 ... an 1 n n ○ 3
c
c
y1= 1 = c ，y2= 1 =
x1 a1 x2
c2 a1a2
,„,yn= 1 =
xn
cn a1a2 ...an
=1
(其中 c n a1a2 ...an ，因为{xn},{yn}两个数列对应成倒数，所以 无论它们数列的各项的值的大小如何，乘积的和都是 1，且 可视为两个数列反序乘积和的形式， 比如： 若 xn 最大， 则 yn=
（提示：上式从第○ 2 行到最后一行可视为 ai 顺序乘以 bi 的一 个乱序） 根据“顺序和 乱序和” （从第○ 2 行到第○ n 行同时使用） ，可 得
成都七中高一竞赛数学不等式讲义：4.排序不等式与切比雪夫不等式
成都七中高一竞赛数学不等式专题讲义 A4.排序不等式与切比雪夫不等式一、基础知识排序不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤12,,,n j j j 是1,2,,n 的任意一个排列.则1111k nnnk n k k j k k k k k a ba b a b -+===≤≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.可简记为反序和≤乱序和≤同序和.切比雪夫不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≥≥≥则111()().nnni i i i i i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.二、典型例题与基本方法1.用排序不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,1,nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则11,1nii ni ian na ==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.3.已知,,0a b c >,证明：888333111.a b c a b c a b c ++++≤4.设,,a b c 是ABC ∆的三边长,证明：222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥5.设,,,0,a b c d >且22224,a b c d +++=证明：22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++6.设0(1,2,,),i a i n >=且11.ni i a ==∑求122313121111nnnn a a a S a a a a a a a a a -=+++++++++++++++的最小值.7.设,,1,a b c >且满足222111 1.111a b c ++=---证明：1111.111a b c ++≤+++8.设,,0,a b c >证明：2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++B4.练习 姓名：1.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.设,,0,x y z >求证：2222220.z x x y y z x y y z z x---++≥+++3.设12,,,(2)n x x x n ≥都是正数,且11,n i i x ==∑求证：1ni =≥A4.排序不等式与切比雪夫不等式参考解答一、基础知识排序不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤12,,,n j j j 是1,2,,n 的任意一个排列.则1111k nnnk n k k j k k k k k a ba b a b -+===≤≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.可简记为反序和≤乱序和≤同序和.证明：11111111()()(())()kk k i nnnnn kk kkj k k j n k j i j k k k k k k k i a b a ba b b a b b b b a a -+======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑111111111111()()()()()0.k i i n nn k k n k kn k j i j k k i j k k k k k i i k i i a b b b b a a b b a a --++=========-+--=--≥∑∑∑∑∑∑∑∑11111111()()(())()kk k i n nn n n kk kkj k k j n k j i j k k k k k k k i a b a ba b b a b b b b a a -+======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑.于是11.knnk j k k k k a ba b ==≤∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.111111111111()()(())()k k k i nn n n n kk n k k j k n k j n n k j n i j k k k k k k k i a ba b a b b a b b b b a a --+-+-+-++======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑111111111111111()()()()()0.k i i n n n k k n k kn n k j n i j k k n i j k k k k k i i k i i a b b b b a a b b a a ---+-++-++=========-+--=--≤∑∑∑∑∑∑∑∑于是111.k nnk n k k j k k a ba b -+==≤∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.切比雪夫不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≥≥≥则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.证明：法1由排序不等式知道1122112212231112212111122n n n n n n n n n n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b -+++=++++++≤++++++≤+++于是121111.nnnniin i i i i i i i a b a b a b n a b ====+++≤∑∑∑∑即111()().nnni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.法2 11111111111()()()().nnnnnnnnnnni iiii ii ji ii jiiji i i i j i j i j i j na b a b a b a b a b a b a b b ===========-=-=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑11111111()()()()().nnnnnnnni i i i j j j j j j i i i i j j j i j n a b a b n a b a b a b b ========-=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑于是1111111112(()())()()()()0.n n n n n n nn ni iiiiijjji i j i j i i i i j i j i j na b a b a b b a bb a a b b =========-=-+-=--≥∑∑∑∑∑∑∑∑∑于是111()().n n niii ii i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n aa a ===或12nb b b ===时取等.二、典型例题与基本方法1.用排序不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,1,nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：由排序不等式知道12121112111111.nnn n nx x x x x x n x x x x x x -+++≥+++= 即1211.nn n x x x n x x x -+++≥令G =12112122,,,.nn na a a a a a x x x G GG ===于是1211221211211.nn n n nn a a a a a a GG G n a a a a a a a G G G --+++≥即12.na a a n G G G+++≥ 于是1.nii anG =≤∑1.nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则11,1nii ni ian na ==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：不妨设120,n a a a ≥≥≥>则12111.na a a ≤≤≤由切比雪夫不等式知211111()().nn ni i i i i i in n a a a a ====⋅≤∑∑∑所以11.1ni i ni ia n n a ==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.3.已知,,0a b c >,证明：888333111.a b c a b c a b c ++++≤证明：不妨设0,a b c ≥≥>则555333333111,,a b c bc ca ab b c c a a b ≥≥≤≤≥≥由排序不等式知 888555555222333333333333333333.a b c a b c a b c a b c a b c b c c a a b c a a b b c c a b++=++≥++=++ 又222333111,,a b c a b c≥≥≤≤于是再使用排序不等式得222222333333111.a b c a b c c a b a b c a b c ++≥++=++所以888333111.a b c a b c a b c ++++≤4.设,,a b c 是ABC ∆的三边长,证明：222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥证明：等价于证明333222222.a b b c c a a b b c c a ++≥++再等价于222.a b c ab bc cac a b c a b++≥++(*) 不妨设,a b c ≥≥则111.a b c≤≤ 又,,a b c 是ABC ∆的三边长,所以,a b c +>从而()()().a b a b c a b +-≥-即22.a bc b ac +≥+因为,b c a +>从而()()().b c b c a b c +-≥-即22.b ac c ab +≥+所以222.a bc b ac c ab +≥+≥+由排序不等式知222222.a bc b ac c ab a bc b ac c aba b c c a b++++++++≤++ 即222.bc ac ab a b c a b c c a b++≤++于是(*)得证.从而222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥5.设,,,0,a b c d >且22224,a b c d +++=证明：22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++ 证明：不妨设.a b c d ≥≥≥则22221111,.a b c d b c d c d a d a b a b c≥≥≥≥≥≥++++++++先切比雪夫不等式,再使用柯西不等式,最后使用平均值不等式得2222222211114(+)()(+)a b c d a b c d b c d c d a d a b a b c b c d c d a d a b a b c++≥+++++++++++++++++++++211114(1111)644(+)3()3()b c d c d a d a b a b c a b c d a b c d +++=++≥=++++++++++++++16.3≥=于是22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++6.设0(1,2,,),i a i n >=且11.ni i a ==∑求122313121111nnnn a a a S a a a a a a a a a -=+++++++++++++++的最小值.解：1212222nna a aS a a a =+++---. 不妨设1210,n a a a >≥≥≥>则121110.222na a a ≥≥≥>--- 使用切比雪夫不等式有12121211111111()()().222222n n nS a a a na a a n a a a ≥++++++=+++------ 在使用柯西不等式得2121211111(111)()().22222221n n n S n a a a n a a a n +++≥+++≥=----+-++-- 当且仅当121n a a a n ====等号成立.所以S 的最小值为.21nn -7.设,,1,a b c >且满足222111 1.111a b c ++=---证明：111 1.111a b c ++≤+++证明：因为2222222221113,111111a b c a b c a b c ++=++-------所以222222 4.111a b c a b c ++=--- 又22222222211144(),111111a b c a b c a b c ++==++------所以2222224440.111a b c a b c ---++=--- 不妨设,a b c ≥≥于是222222,.111111a b c a b c a b c a b c ---+++≥≥≤≤+++--- 这是因为23()111x f x x x -==-++在(1,)+∞单调递增,23()111x g x x x +==+--在(1,)+∞单调递减. 于是使用切比雪夫不等式得22222244412222220()().1113111111a b c a b c a b c a b c a b c a b c ------+++=++≤++++---+++--- 因为,,1,a b c >所以2220.111a b c a b c +++++>--- 于是2220.111a b c a b c ---++≥+++ 因为22213131311133()0.111111111a b c a b c a b c a b c a b c ---+-+-+-++=++=-++≥+++++++++ 所以1111.111a b c ++≤+++8.设,,0,a b c >证明：2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++ 证明：即证2()()().a b b c c aab bc ca a b c b c c a a b+++++++≤+++++ 因为()()().a b a b bcab bc ca a a b b c b c ++++=++++ 同理()()().b c b c caab bc ca b b c c a c a++++=++++()()().c a c a abbc ca ab c c a a b a b++++=++++ 于是()()()()()()()()a b b c c a a b bc b c ca c a abab bc ca a a b b b c c c a b c c a a b b c c a a b++++++++++≤++++++++++++++ 222()()().a b bc b c ca c a aba b c ab bc ca b c c a a b+++=+++++++++++于是只须证明()()().a b bc b c ca c a abab bc ca b c c a a b+++++≤+++++(*)不妨设,a b c ≥≥于是111.a b c ≤≤从而111111.a b b c c a +≤+≤+即.a b c a b cab ca bc+++≤≤ 所以.ab ca bca b c a b c≥≥+++又.a b a c b c +≥+≥+ 使用排序不等式得()()()()()().a b bc b c ca c a ab ab ca bca b c a b c ab bc ca b c c a a b a b c a b c+++++≤+++++=++++++++于是(*)得证.从而2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++B4.练习 姓名：1.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：不妨设120.n a a a ≥≥≥>由切比雪夫不等式知2211111()()().nnnnnii i i i i i i i i i nan a a a a a ======⋅≤=∑∑∑∑∑所以1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.设,,0,x y z >求证：2222220.z x x y y z x y y z z x---++≥+++ 证明：所证不等式等价于222222.z x y x y z x y y z x z x y y z z x++≥++++++++(*) 不妨设,x y z ≤≤则222111,.x y z x y x z y z≤≤≥≥+++ 使用排序不等式得(*). 所以原不等式成立.3.设12,,,(2)n x x x n ≥都是正数,且11,n i i x ==∑求证：1ni =≥证明：不妨设12,n x x x ≥≥≥11x ≥≥≥-使用切比雪夫不等式得1111()(nnn ni i i i x n ===≥=∑使用柯西不等式得1ni n=≤==于是1nni =≥≥。
排序不等式 课件
【典型例题】
1．在△ABC中，ha,hb,hc为边长a,b,c
上的高，求证：asin A+bsin B+csin C≥ha+hb+hc.
2.设a，b，c都是正数，求证：1
a
1 b
1 c
a8
b8 a3b3c3
c8
.
【解题探究】 1.要用排序不等式证明，待证不等式的特征是什么？怎么办？ 2.题2应该如何寻找两个有序实数组？ 探究提示： 1.根据排序不等式可知，待证的不等式中左端是积的形式， 所以需要将右端的ha，hb，hc结合已知量转化为积的形式， 进而运用排序原理去求证.
S5=a1b3+a2b1+a3b2=185
(1,2,3) (45,30,25)
S6=a1b3+a2b2+a3b1=180 (最小值)
答案:220 180
备注 乱序和 乱序和 反序和
1.对排序不等式的证明的理解 对排序不等式的证明中,用到了“探究——猜想——检验—— 证明”的思维方法,这是探索新知识、新问题常用到的基本方 法,对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题,又使用了“一 一搭配”这样的描述,这实质上也是使用最接近生活常识的处 理问题的方法,所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事 例来理解.
1.使用排序不等式的关键是什么? 提示:使用排序不等式,关键是出现有大小顺序的两列数(或者 代数式)来探求对应项的乘积的和的大小关系.
2.如图所示,矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,则阴影部分的矩形的
面积之和
空白部分的矩形的面积之和.
【解析】这可沿图中线段MN向上
翻折比较即知.当然由图我们可知,
c3 b3 a3
a2 b2 c2 a2 b2 c2 1 1 1
排序不等式》ppt课件
( 2)将数组(a1 , a2 ,, an )和(b1 , b2 ,, bn )按相反顺序相乘 所得的和
S1 a1bn a2bn 1 a3bn 2 anb1
称为 反序和 ( 3)将数组(a1 , a2 ,, an )和(b1 , b2 ,, bn )按相同顺序相乘 所得的和 称为 顺序和
S2 a1b1 a2b2 a3b3 anbn
发现:反序和≤乱序和≤顺序和.
S3 1 5 2 4 3 6 31
S4 1 5 2 6 3 4 29
乱序和
乱序和 反序和
S5 1 6 2 4 3 5 29
S6 1 6 2 5 3 4 28
发现:反序和≤乱序和≤顺序和.
知识探究 已知：
理论迁移
变式： 设 a1 , a2 ,, an 为正数，试证明：
2 2 2 an1 an a12 a2 a1 a2 an a2 a3 an a1
方法总结 难点1：寻找公式中的两组数。 途径是通过不等式两边的结构特征，分析 两边和式因式的特征，从形式上去“凑”。 难点2：定序问题。 常用的几组序有：若 0 a b c ，则 1 1 1 1 1 2 2 2 1 ab ac bc, a b c , , c b a bc ac ab
新
理论迁移
反序和≤乱序和≤顺序和
引例： 已知a,b,c为实数，求证
a b c ab bc ca
三个重要不等式
三个重要不等式目的：掌握三个重要不等式及其应用重点、难点：综合应用三个重要不等式解决竞赛数学中的不等式问题 1、排序不等式[2]设有两组数1212, ,,;,,,n n a a a b b b L L ，满1212 ,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤L L ， 则有 1122n n a b a b a b +++L （顺序和）1212n i i n i a b a b a b ≥+++L （乱序和）1211n n n a b a b a b -≥+++L （逆序和）其中12, ,,n i i i L 是1,2,,n L 的一个排列，当且仅当12= n a a a ==L 或12n b b b ===L 时等号成立.证明 先证左端 设乱序和为S ,要S 最大,我们证明必须n a 配n b ,1n a -配1n b -,L ,1a 配1b , 设n a 配n i b ()n i n <,n b 配某个()k a k n <, 则有 n n n i n k k i n n a b b a a b a b +≤+这是因为 ()()0n n n n n k i k n n i n k n i a b a b a b a b a a b b +--=--≥ 同理可证1n a -必配1n b -，2n a -必配2n b -，L ，1a 必配1b ， 所以 12121122n i i n i n n a b a b a b a b a b a b +++≤+++L L 再证右端 又1211 ,n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-L L ，由以上证明结论(乱≤ 同) 可得，()()()()()()12121112nn n n i i n i a b a b a b a b a b a b --+-++-≥-+-++-L L于是有12121112n n n n i i n i a b a b a b a b a b a b -+++≤+++L L当且仅当12= n a a a ==L 或 12n b b b ===L 时，等号成立. 证毕. 2．均值不等式设12,n a a a L 是正实数，则n n n a a a n a a a ............2121≥+++na a a n1 (112)1+++≥即n n n H G A ≥≥,等号当且仅当n a a a ===......21时成立.证明： ),......,2,1(n i R a i =∈+Θ∴设)1(log )(>=a x f xa，则)(x f 为),0(+∞内的上凸函数 由琴生不等式，得：na a a a a a nnn n n a a a aa a a a a a nn ............log)log ......log (log 12121 (2121)++≤≤+++++即所以n n G A ≥对于na a a 1,......,1,121这n 个正数，应用n n G A ≥， 得0 (1)1 (112121)>≥+++n nn a a a n a a a 所以nn n a a a na a a 1......11......2121+++≥所以n n H G ≥成立 ,故n n n H G A ≥≥ 证毕. 此外，均值不等式还可用排序不等式、数学归纳法等其它方法证明，3、柯西不等式设,(1,2....)i i a b R i n ∈=则222111()()()nnni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑当且仅当(1,2....)i i b ka i n ==时等号成立证法一（数学归纳法）(1)当(1,2...)(1,2....)i i a i n b i n ==或全为零时，命题显然成立. (2)当数组1212,,...;,...n n a a a b b b 不全为零时， 采用数学归纳法.1） 当n=1时22221111a b a b =不等式成立 2）设当1n k =-时，不等式成立.令11122123111,,k k k i i i i i i i S a S b S a b ---======∑∑∑则有2123S S S ≥3）那么当n=k 时112222221111()()kkk k i i k i k i i i i a b a a b b --====⋅=++∑∑∑∑2212()()kk S a S b =++ =22221212k kk k S S S b S a a b +++223()k k S a b ≥+22332()k k k k S a b S a b ≥++=23()k k S a b + =121()k i i k k i a b a b -=+∑=21()k i i i a b =∑当且仅当(1,2....)i i b ka i n ==时等号成立综上述，对222111,,.1,2...()nnni i i i i i i i i n N a b R i n a b a b ===∀∈∀∈=≥∑∑∑均有证法二，作关于x 的二次函数222222212112212()(...)2(...)(...)n n n n f x a a a x a b a b a b x b b b =+++++++++++若22212...0n a a a +++=则12..0n a a a ====不等式显然成立.若22212...0n a a a +++≠ 则2221122()()()...()0n n f x a x b a x b a x b =++++++≥又22212...0n a a a +++>Q 222111[2()]4()()0nnni i i i i i i a b a b ===∴-≤∑∑∑222111()n n ni i i i i i i a b a b ===∴≥∑∑∑当且仅当1212...n na a ab b b ===时等号才成立 例1、（1935年匈牙利奥林匹克）假设12,,,n b b b L 是正数12, ,,n a a a L 的某个排列，证明：1212n na a a nb b b +++≥L 证明 1 不妨设12n b b b ≤≤≤L ，则12111nb b b ≥≥≥L 由排序不等式(乱序≥逆序)得，12121212111111n n n na a ab b b b b b b b b n⋅+⋅++⋅≥⋅+⋅++⋅=L L 例[5]3 设12,,,n a a a L 是个n 互不相同的自然数，证明：即1212n na a a nb b b +++≥L 例23（第20届IMO 试题） 设12,,,n a a a L 是n 个互不相等的自然数，证明：32122211112323n a a a a n n ++++≤++++L L 证法一 （用排序不等式）设12,,,n b b b L 是12,,,n a a a L 的一个排序，且12n b b b <<<L又221112n <<<L 由逆序和<乱序和得，22112222122n n b a b a b a n n ⋅+++<+++L L 又因为 121,2,,n b b b n ≥≥≥L 所以 21221111232n b b b n n ++++≤+++L L 当k k a b k ==，()1,2,k n =L 时，等号成立.即 111123n++++L ≤21222n a a a n +++L 证法二 （用柯西不等式）依题设12,,,n a a a L 是n 个互不相等的自然数，不妨设1212,,n a a a n ≥≥≥L ，，则1111nn k k kk a ==≥∑∑ 由柯西不等式有,22111nn k k k ==⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝∑2111n n k k k k a k a ==⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ ∴2211111nn n k k k k ka k a k ===⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 111111nnk nk k kkk a ====⋅∑∑∑∴2111nn k k k a k k==≥∑∑ 即 32122211112323n a a a a n n++++≤++++L L例12设,,a b c 为任意正数，求出a b c b c c a a b+++++的最小值.解 不妨设a b c ≥≥，则a b a c b c +≥+≥+,111b c c a a b≥≥+++, 由排序不等式得，a b c b c a b c c a a b b c c a a ba b c c a b b c c a a b b c c a a b++≥++++++++++≥++++++++上两式相加则，23ab c b c c a a b ⎛⎫++≥ ⎪+++⎝⎭即 32a b c b c c a a b ++≥+++ 且当仅当a b c ==时，a b c b c c a a b +++++取最小值32. 例1[10],x y R +∈,1x y +=,求证: 11(1)(1)9x y++≥.证明: 由1x y +=,且,x y R +∈,得 11(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y++++=++ ，(2)(2)y xx y =++52()y xx y=++又y x x y +≥ 故 11(1)(1)5229x y++≥+⋅=例2[1]若0,x > 0y >, 1x y +=,求证:221125()()2x y xy +++≥. 证明 由 222x y xy +≥， 得 2222()()x y x y +≥+，即 222()2x y x y ++≥，于是 22211()11()()2x y x yx y xy++++++≥21(1)2xy+=因为1x y =+≥所以14xy≥， 故 2221(1)11()()2xy x y xy++++≥252≥.此题用柯西不等式也可求解例[1]1 设0,1,2,,i x i n >=L ，求证：2222112231n n x x x x x x x x x +++≥+++L L .证明 构造均值不等式的模型 由均值不等式，得212122x x x x +≥ ， 223232x x x x +≥ ，L ，2112n n n n x x x x --+≥ ， 2112n n x x x x +≥ . 将上述n 个不等式相加得222211212231()()2()n n n x x x x x x x x x x x x +++++++≥+++L L L ， 所以 2222112231n n x x x x x x x x x +++≥+++L L .说明：该题的证明方法很多，也可以构造柯西不等式的模型. ：例[1]2 已知12,,,n a a a L 都是正数，试证：21212111()()n na a a n a a a ++++++≥L L . 证明 构造柯西不等式的模型 构造两个数组LL 利用柯西不等式，有222111([][]nn n i i i ===≤∑∑，即 21111(1)()()nnni i i i ia a ===≤∑∑∑，所以 21212111()()n na a a n a a a ++++++≥L L . 说明：该题也可以构造均值不等式的模型来求证. 例1[3]（1984年全国高中联赛题）设 12,,,n a a a L为正整数，求证：2221212231n n a a a a a a a a a +++≥+++L L证明 由柯西不等式得，()22212231231na a a a a a a a a ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭L L()2212n a a a ⎛≥=+++L L故2221212231n n a a a a a a a a a +++≥+++L L 例5]5[设12,...n a a a 都是正数，且12...1n a a a +++=求证222221212111(1)()()...()n n n a a a a a a n+++++++≥证明 由柯西不等式有221111[1()]()nn k k k k k ka n a a a ==⋅+≤+∑∑又2211111[1()]()n n n k k k k k k ka a a a ===⋅+=+∑∑∑211221(1)(1)nnk k k ka a n ===+∑∑≥+ 222111()(1)nk k k a n a n=∴+≥+∑ 例6]5[设12,...(1)n a a a n >均为实数。
排序不等式 课件
排序不等式
1．基本概念
一般地，设有两组数：a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，我们考察 这两组数两两对应之积的和，利用排列组合的知识，我们
知道共有6个2，a3) (b1，b2，b3) (a1，a2，a3) (b1，b3，b2) (a1，a2，a3) (b2，b1，b3)
备注 同序和 乱序和 乱序和 乱序和 乱序和 反序和
同序和a1b1＋a2b2＋a3b3＝220最大，反序和a1b3＋a2b2＋ a3b1＝180最小．
2．排序不等式的一般情形 一般地，设有两组实数：a1，a2，a3，…，an与b1，b2， b3，…，bn，且它们满足： a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn， 若c1，c2，c3，…，cn是b1，b2，b3，…，bn的任意一个排 列，则和数a1c1＋a2c2＋…＋ancn 在a1，a2，a3，…，an与b1，b2，b3，…，bn同序时最大， 反序时最小，即：
证明：由题意不妨设 a≥b≥c＞0，∴ab≥ac≥bc，1c≥1b≥1a. 由排序原理，知
ab×1c＋ac×b1＋bc×1a≥ab×b1＋ac×1a＋bc×1c＝a＋c＋b.
4．已知 a，b，c 为正数，求证：b2c2＋a＋a2bc＋2＋ca2b2≥abc.
分析：所要证的不等式中 a，b，c 的“地位”是对称的， 因此可以先设出 a，b，c 的大小．
排序不等式 证明-概念解析以及定义
排序不等式证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括对排序不等式的背景和重要性进行简要介绍。
以下是一个可能的概述部分的内容：在数学中，排序不等式是指一类关于数值大小顺序的不等式。
它们在数学推理和问题求解中具有重要的作用，并且在各个领域中都有广泛的应用。
排序不等式通过比较数值的大小关系，可以帮助我们理解和处理数学问题。
相比于其他类型的不等式，排序不等式通常具有更加明确和直观的形式，因此在解决数学问题时，我们往往会将其作为有力的工具。
通过排序不等式，我们可以确定数值的相对大小关系，从而得出更深入的结论。
排序不等式的证明方法也是数学学科中的一个重要研究方向。
由于排序不等式的普适性和实用性，人们一直在探索和发展各种证明方法，以便更加简洁和有效地证明这类不等式。
这些方法包括数学归纳法、反证法、推广法等，每一种方法都有其独特的优势和适用范围。
本文将围绕排序不等式的定义、性质和证明方法展开讨论。
首先，我们将介绍排序不等式的基本定义，探讨其数学背景和基本概念。
然后，我们将讨论排序不等式的性质，如传递性、反对称性等，以及这些性质在问题求解中的应用。
最后，我们将重点关注排序不等式的证明方法，介绍几种常用的证明技巧，并通过案例分析来说明其应用场景。
通过本文的研究，我们可以更深入地理解排序不等式的重要性，并掌握一些常用的证明方法。
同时，我们也能够认识到排序不等式在实际问题中的应用价值，并展望未来在这一领域的研究方向。
总而言之，排序不等式是数学中一个重要的概念和工具，具有广泛的应用前景。
本文旨在系统地介绍排序不等式的定义、性质和证明方法，以期读者能够更好地掌握和应用这一知识，拓宽数学思维和问题解决的能力。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行展开：1. 引言：首先对排序不等式进行概述，阐述其在数学和实际问题中的重要性。
2. 正文：对排序不等式进行详细的定义和解释，包括其性质和特点。
同时介绍排序不等式的证明方法，包括常用的数学归纳法、反证法等。
5.2-5.3排序不等式贝努利不等式
例2 P66-5设a1,a2,…,an是n个互不相等的 正整数，求证：
an a2 a3 1 1 1 1 ... a1 2 2 ... 2 2 3 n 2 3 n
证明：设b1,b2,…,bn是a1,a2,…an的一个排列， 且有 b1<b2<…<bn 因为b1,b2,…,bn是互不相等的正整数， 所以b1≥1,b2≥2,…,bn≥n. 1 1 1 又 1 2 2 ... 2 2 3 n
复习：二项式定理
(a b) C a C a b C a b C b
n 0 n n
1 n 1 n
r n r r n
n n n
n(n 1) 2 n(n 1)(n 2) 3 (1 x ) 1 nx x x xn 1 2 1 2 3
因为kx2≥0，所以左边≥右边，即(1+x)k+1≥1+(k+1)x．
这就是说，原不等式当n=k+1时也成立． 根据(1)和(2)，原不等式对任何正整数n都成立.
例 已知a c d b 0, a b c d , n为大于1的正整数，求证：
a b c d
n n n
n
证明 设a =c m , b d m , 则m 0，于是 a n b n c n d n (c m )n (d m )n c n d n m n m n n c (1 ) d (1 ) c n d n c d m n m 根据贝努利不等式，有 (1 ) 1 n c c m n m m (1 ) 1 n ( 1) d d d m m n n n n n n a b c d c (1 n ) d (1 n ) c n d n c d (c n 1 d n 1 )nm 0
排序不等式公式
排序不等式公式排序不等式是数学中一个非常重要的不等式，它在解决许多数学问题时都有着广泛的应用。
咱们先来瞅瞅排序不等式到底是啥。
简单说，设有两组数\(a_1, a_2, \cdots, a_n\)和\(b_1, b_2, \cdots, b_n\)，按照从小到大排序为\(a_{1} \leq a_{2} \leq \cdots \leq a_{n}\)，\(b_{1} \leq b_{2} \leq \cdots \leq b_{n}\)，那么就有\(a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \cdots + a_{n}b_{n} \geqa_{1}b_{j_{1}} + a_{2}b_{j_{2}} + \cdots + a_{n}b_{j_{n}} \geqa_{n}b_{1} + a_{n - 1}b_{2} + \cdots + a_{1}b_{n}\)，其中\(j_{1}, j_{2}, \cdots, j_{n}\)是\(1, 2, \cdots, n\)的任意一个排列。
我记得有一次给学生们讲这个排序不等式，那场面可有意思啦！当时有个学生，瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑了笑，跟他们说：“同学们，咱们来做个小游戏。
”我拿出一堆不同颜色、不同大小的积木，让他们把积木按照从大到小的顺序排列好，然后再把另一堆标有数字的卡片也按照从大到小排列。
接着我让他们把对应位置的积木和卡片相乘再相加。
然后我又打乱顺序让他们重新相乘相加。
这一对比，他们一下子就发现，按照顺序来相乘相加的结果总是更大或者相等。
这时候，那个之前迷茫的同学恍然大悟：“哦！原来是这样，老师，这太有趣啦！”那排序不等式在实际解题中怎么用呢？比如说，在求一些最值问题的时候就特别管用。
咱们来看一个例子：已知\(x + y + z = 1\)，\(x, y, z\)都是正数，求\(xy + yz + zx\)的最大值。
1_排序不等式(1)
例 2、设 a1, a2 , a3 , b1, b2 , b3 满足 a1 a2 a3 , b1 b2 b3 ， 则 a1b1 a2b2 a3b3 a1bj1 a2bj2 a3bj3 a1b3 a2b2 a3b1 ，其中 j1 , j2 , j3 是 1、2、3 的任 一排列方式．上式当且仅当 a1 a2 a3 或 b1 b2 b3
3．已知 x，y，z 是正数，且 x＋y＋z＝1，求 t＝xy2＋yz2＋zx2的最 小值．
[解] 不妨设 x≥y≥z>0，则 x2≥y2≥z2，1z≥1y≥1x. 由排序不等式，乱序和≥逆序和得， xy2＋yz2＋zx2≥x2·1x＋y2·1y＋z2·1z＝x＋y＋z， 又 x＋y＋z＝1，xy2＋yz2＋zx2≥1. 当且仅当 x＝y＝z＝13时，等号成立． 故 t＝xy2＋yz2＋zx2的最小值为 1.
【定理2】（排序不等式）
设有两个有序数组 a1 a2 a3 an 及 b1 b2 b3 bn 则（顺序和） a1b1 a2b2 a3b3 a n bn
（乱序和） a1b j1 a2b1 a3b j3 anb jn （逆序和） a1bn a2bn1 a3bn2 anb1 ． j1, j2 , jn 为 1、2、3、… ，n 的任一一个排列方式，上式当且仅 当 a1 a2 a3 an 或 b1 b2 b3 bn 时取等号．
【例 2】 已知 a，b，c 为正数．求证： a＋b＋c≤a2＋2cb2＋b22＋ac2＋c2＋2ba2≤bac3＋cba3＋acb3 . [精彩点拨] 解答此题需要假设 a≥b≥c 推出 a2≥b2≥c2，1c≥1b ≥1a，再利用排序不等式进行论证．
[自主解答] 不妨设 a≥b≥c，则 a2≥b2≥c2，1c≥1b≥1a.故由排序 不等式，得
排序不等式及证明
四、排序不等式（一)概念【9】：设有两组实数n a a a ，，，⋅⋅⋅21 （1)n b b b ，，，⋅⋅⋅21 （2）满足n a a a ≤⋅⋅⋅≤≤21 （3)n b b b ≤⋅⋅⋅≤≤21 (4)另设n c c c ,21⋅⋅⋅，， （5） 是实数组（2）的一个排列,记逆序积和1121b a b a b a S n n n +++=-乱序积和n n c a c a c a S +++=2211'似序积和n n b a b a b a S +⋅⋅⋅++=2211''那么'''S S S ≤≤且等式成立当且仅当n a a a =⋅⋅⋅==21或者n b b b =⋅⋅⋅==21证明【9】：1，预备知识引理1（Abel 变换） 设（1）（2）为任意两组有序的实数组，令 ,010∑===ki i k b B B ， 那么k n k n k k k n n k k B a a B a b a ∑∑=-=---=1111)(事实上:=-=∑∑==-n k nk k k k k k B B a b a 111)(112111)()(B a B B a B B a n n n n n n +⋅⋅⋅+-+------⋅⋅⋅-----=-------)()(2221111n n n n n n n n n n B a B a B a B a B a 112)(B a a -∑-=---=111)(n k k k k n n B a a B a引理2 设实数组（2）满足(4）式,实数组（5）是实数组（2）的任意一个排列，那么显然有∑∑∑=+-==≤≤k i i n k i ik i i b c b 1111引理3 设实数组(2）满足（4），那么∑∑=+-=≤k i i n k i ib b 111若存在n m k ≤=≤1使等号成立当且仅当 n b b b =⋅⋅⋅==212，证明首先:)()()(121211'n n n n c b a c b a c b a S S -+⋅⋅⋅+-+-=-- 不妨设∑=+--==ki i i n k c b B B 110)(,0那么由引理2，有0,0=≥n k B B则由Abel 变换以及1+≤i i a a ，得到 0)(1≥-+k k k B a a所以0)()(111111'≤--=--=-∑∑-=+-=-k n k k k k n k k k n n B a a B a a B a S S 即 'S S ≤同理，设∑=-==k i i i k b c B B 1''0)(,0 则可证)()()(222111'''n n n b c a b c a b c a S S -+⋅⋅⋅+-+-=- 0)('111≤--=∑-=-k n k k k B a a要使得等号成立,即 '''S S S ==则对,1,,2,1-⋅⋅⋅=n k 有0)(1=--k k k B a a0)('1=--k k k B a a那么有下列两种情形：)(i n a a a =⋅⋅⋅==21 )(ii 存在11-≤≤n m ,使得 121,+<=⋅⋅⋅==m m m a a a a a 这时必有0,0'==m m B B从而0)(11111=-=-=∑∑∑==+-=+-m i mi i i n m i i i n m c b c b B0)(111'=-=-=∑∑∑===mi i m i i m i i i m b c b c B 所以∑∑==+-=mi i m i i n b b 111由引理3得n b b b =⋅⋅⋅==21。
三个重要不等式及应用
i 1
n
1 xi 1 xi
i 1
i 1
1 xi
n
由柯西不等式，有：
i 1
1 x i ( 1 xi 1)
n
n
(1 xi ) 1
i 1 i 1
i 1 n
n
n 1 n
i 1
xi ( xi 1) xi 1 n
三个重要不等式及应用
目的要求：掌握排序不等式，平均不等式，柯 西不等式及其应用 重点：三个不等式的应用 难点：排序不等式的证明及综合应用
1 排序不等式 设有两组数 a1 , a2 ,
a1 a2
, an ; b1 , b2 , an , b1 b2 bn ，
anbn
a1 , a2 , , an 的某个排列，证明：
a1 a2 b1 b2
an n bn
证明 不妨设 b1 b2
bn ，则 1 1
b1 b2
1 an bn 1 bn bn
由排序不等式(乱序 逆序)得，
1 1 a1 a2 b1 b2 1 1 b1 b2 b1 b2 n
i 1 2 i i 1 2 i i 1
n
n
n
1 2 1 2 1 2 (n2 1) 2 求证 ： (a1 ) (a2 ) ... (an ) a1 a2 an n
1 2 (1 ak ) k 1 k 1 a k
n n
(1 n 2 ) 2 n 1 2 1 2 2 (ak ) (1 n ) k 1 ak n
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四、排序不等式
（一）概念【9】：
设有两组实数
n a a a ，，
，⋅⋅⋅21 （1） n b b b ，，
，⋅⋅⋅21 （2） 满足
n a a a ≤⋅⋅⋅≤≤21 （3）
n b b b ≤⋅⋅⋅≤≤21 （4）
另设
n c c c ,21⋅⋅⋅，
， （5） 是实数组（2）的一个排列，记
逆序积和1121b a b a b a S n n n +++=-
乱序积和n n c a c a c a S +++=2211'
似序积和n n b a b a b a S +⋅⋅⋅++=2211''
那么
'''S S S ≤≤
且等式成立当且仅当
n a a a =⋅⋅⋅==21
或者
n b b b =⋅⋅⋅==21
证明【9】：
1，预备知识
引理1（Abel 变换） 设（1）（2）为任意两组有序的实数组，令 ,010∑==
=k
i i k b B B ， 那么
k n k n k k k n n k k B a a B a b a ∑∑=-=---=1111)(
事实上：
=-=∑∑==-n k n
k k k k k k B B a b a 111)(112111)()(B a B B a B B a n n n n n n +⋅⋅⋅+-+-----
-⋅⋅⋅-----=-------)()(2221111n n n n n n n n n n B a B a B a B a B a 112)(B a a -
∑-=---=1
11)(n k k k k n n B a a B a
引理2 设实数组（2）满足（4）式，实数组（5）是实数组（2）的任意一个排列，那么显然有
∑∑∑=+-==≤≤k i i n k i i
k i i b c b 1111
引理3 设实数组（2）满足（4），那么
∑∑=+-=≤k i i n k i i
b b 111
若存在n m k ≤=≤1使等号成立当且仅当 n b b b =⋅⋅⋅==21
2，证明
首先：
)()()(121211'n n n n c b a c b a c b a S S -+⋅⋅⋅+-+-=-- 不妨设
∑=+--==k
i i i n k c b B B 110)(,0
那么由引理2，有
0,0=≥n k B B
则由Abel 变换以及1+≤i i a a ，得到 0)(1≥-+k k k B a a
所以
0)()(1
11111'
≤--=--=-∑∑-=+-=-k n k k k k n k k k n n B a a B a a B a S S 即 'S S ≤
同理，设
∑=-==k
i i i k b c B B 1'
'0)(,0 则可证
)()()(222111'''n n n b c a b c a b c a S S -+⋅⋅⋅+-+-=- 0)('1
11≤--=∑-=-k n k k k B a a
要使得等号成立，
即 '''S S S ==
则对,1,,2,1-⋅⋅⋅=n k 有
0)(1=--k k k B a a
0)('1=--k k k B a a
那么有下列两种情形：
)(i n a a a =⋅⋅⋅==21 )(ii 存在11-≤≤n m ，使得 121,+<=⋅⋅⋅==m m m a a a a a 这时必有
0,0'==m m B B
从而
0)(11111=-=-=∑∑∑==+-=+-m i m
i i i n m i i i n m c b c b B
0)(111'
=-=-=∑∑∑===m
i i m i i m i i i m b c b c B 所以
∑∑==+-=m
i i m i i n b b 111
由引理3得
n b b b =⋅⋅⋅==21。