(完整版)换元法在因式分解中的应用

人教版-数学-八年级上册-15.4因式分解用“换元法”分解因式

用“换元法”分解因式我们的课本中介绍了对一个多项式进行因式分解的两种方法，比如提公因式法、运用公式法，这些方法都是最基础的因式分解方法．一些同学在解答课外题时，往往感到只用这些方法还是有点力不从心，于是他们纷纷找到李老师，请她“再传授几招，以便能够解答更多类型的因式分解题目”．李老师欣然同意，当场就为同学们介绍了一种因式分解的常用方法———换元法．李老师把换元法分解因式分成了三种情况．一、换单项式例1分解因式x6+16x3y+64y2．析解：注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3= m，则x6=m2，原式变形为m2+16my+64y2=（m+8y）2=（x3+8y）2．二、换多项式例2分解因式（x2+4x+6）（x2+6x+6）+x2．析解：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设x2+6=m，则x2+4x+6=m+4x，x2+6x+6=m+6x，原式变形为（m+4x）（m+6x）+x2=m2+10mx+24x2+x2=m2+10mx+25x2=（m+5x）2=（x2+6+5x）2=2=（x+2）2（x+3）2．以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”．当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”．比如，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为m（m+2x）+x2=m2+2mx+x2=（m+x）2=（x2+4x+6+x）2=（x2+5x+6）2=2=（x+2）2（x+3）2．三、换系数例3分解因式x3+x2-2004×2005x．析解：此题若按照一般思路解答，很难奏效．注意到2004、2005两个数字之间的关系，把其中一个常数换元．比如，设2004＝m，则2005=m+1．于是，原式变形为x3+x2-2004×2005x=x2（x+1）-m（m+1）x=x=x（x2+x-m2-m）=x=x=x（x-m）（x+m+1）=x（x-2004）（x+2004+1）=x（x-2004）（x+2005）．以上介绍的是用换元法进行因式分解的初步知识，同学们在以后解题时要多分析题目的结构特点，灵活运用各种因式分解的方法．也可以多进行一题多解的训练，达到举一反三的目的．最后请同学们思考一下：刚才举的几道例题，还有没有其它解法？如果有的话，赶快把你的新解法写出来吧．。

因式分解的常用方法(基本公式法,分拆法,配方法,换元法,待定系数法)

因式分解方法归纳总结第一部分：方法介绍初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，进一步着重换元法，待定系数法的介绍.、提公因式法.：ma+mb=m(a+b)、运用公式法.(1) (a+b)(a -b) = a 2-b2 ---------- a 2-b2=(a+b)(a -b);, 2 2, 2 2 , 2,2(2) (a ± b) = a ± 2ab+b ----------------- a ± 2ab+b =(a ± b);(3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a 3+b3------ a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);2 2、33 3 3 2 2、(4) (a -b)(a +ab+b ) = a -b -------------- a -b =(a -b)(a +ab+b ).F面再补充两个常用的公式：(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2;3,3 3 2,2 2(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca);例.已知a, b, c是ABC的三边，且a2 b2 c2则ABC的形状是()(二)分组后能直接运用公式ab bc ca,A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解: a2 b2 c2 ab bc ca 2 2 22a 2b 2c 2ab 2bc 2ca(a b)2 2 2(b c) (c a)三、，分组分解法例 2、分解因式：2ax 10ay 5by解法一：第、二项为一组；第三、四项为一组。

解:原式=(2ax 10ay) (5by bx)= 2a(x 5y) b(x 5y)=(x 5y)(2a b)bx解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。

原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =x(2a b)5y(2a b) =(2a b)(x 5y)练习：分解因式1、a2 ab ac bc 2、xy x y 1例3、分解因式：x2 y2 ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

因式分解的数学方法

因式分解的数学方法因式分解的数学方法要想能在综合性较强的几何题目中能灵活应用，就必须要熟记啦。

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。

店铺为大家整理了数学公式：因式分解的方法，方便大家查阅。

一、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。

注意:换元后勿忘还元.【例】在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x^2+x+5)(x^2+x-2)=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).二、运用公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。

① 平方差公式：a-b=(a+b)(a-b);② 完全平方公式：a±2ab+b=(a±b) ;注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

③ 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a-ab+b);④ 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a+ab+b);⑤ 完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.【例】a+4ab+4b =(a+2b)三、分组分解法把一个多项式适当分组后，再进行分解因式的方法叫做分组分解法。

用分组分解法时，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此选择合理选择分组的方法，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。

【例】m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n).四、拆项、补项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。

换元法因式分解

换元法因式分解
【原创实用版】
目录
1.换元法因式分解的概念
2.换元法的基本步骤
3.换元法因式分解的实际应用
4.换元法因式分解的优点与局限性
正文
一、换元法因式分解的概念
换元法因式分解，是一种将复杂多项式进行因式分解的有效方法。

它通过引入一个新的变量，将原多项式转化为一个新的多项式，从而简化因式分解的过程。

这种方法在代数学、解析几何等领域有着广泛的应用。

二、换元法的基本步骤
1.选择一个合适的换元函数，通常记为 y=f(x)。

2.将原多项式中的 x 用换元函数表示，即用 y 代替 x，得到一个新的多项式。

3.对新多项式进行因式分解。

4.将因式分解后的新多项式中的 y 用 x 替换，得到原多项式的因式分解式。

三、换元法因式分解的实际应用
例如，对多项式 x^3 - 3x^2 - 12x + 9 进行因式分解，可以采用换元法。

1.选择换元函数 y=x^2-3x，将原多项式写成 (x^2-3x)^2 -
12(x^2-3x) + 9 的形式。

2.对新多项式进行因式分解，得到 (y-3)^2。

3.将 y 用 x 替换，得到原多项式的因式分解式为 (x^2-3x-3)^2。

四、换元法因式分解的优点与局限性
换元法因式分解的优点在于，通过引入新的变量，可以将原多项式转化为一个更容易因式分解的新多项式，从而简化因式分解的过程。

初中数学因式分解常用七大解题方法,分类讲解+例题解析,收藏

初中数学因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏初中数学|因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏 -一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；三、分组分解法（一）分组后能直接提公因式比如，从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

（二）分组后能直接运用公式分组后能直接运用公式，主要是通过对题目当中各因式的观察，进行分组后，能够进行提公因式分解，直到分解的最后能够变成几个多项式或单项式与多项式的乘积为止。

综合练习：四、十字相乘法.十字相乘法是因式分解当中比较难的一种分解方式。

在运用过程当中，对同学们的思维提出了更高的要求，等大家都熟练了这种方法以后，其实对于因式分解是非常简单的，而且比较方便。

对于十字相乘法，我们分为四种类型。

给大家做详细的讲解。

针对每一种方法都有经典的例题解析，通过例题解析的方式让大家明白因式分解时该如何操作，遵循怎样的分解步骤，才能比较顺利的解决和掌握十字相乘法。

因式分解有妙方,化繁为简“换元法”

因式分解有妙方,化繁为简“换元法”“换元法”是初中数学中经常用到的一个方法。

在因式分解中，我们可以将多项式的某些项用字母替换，将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式，达到“化繁为简”的目的。

下面，我们谈谈因式分解中的“换元法”。

一、整体代换例1 因式分解：a2（__y）-b2（__y）。

题目中出现了相同的因式__y。

我们可以将__y看作一个整体，提取公因式，运用整体代换的方法。

解：a2（__y）-b2（__y）=（__y）（a2-b2）=（__y）（a+b ）（a-b）。

当题中出现相同因式，我们可以将其看作一个整体进行运算。

为让式子更为简约，我们也可以在这道题中令u=__y，变原式为a2u-b2u，那么下一步的提取公因式就更为明朗。

这种方法我们称之为“换元法”。

要注意的是，最终的结果不能写成u·（a+b）（a-b），要将换掉的“元”重新换回去，将结果书写为（__y）（a+b）（a-b）的形式。

例2 因式分解：（x+y）2-4（x+y）+4。

题目中出现了相同因式（x+y），我们用整体代换，将x+y看作整体，令u=x+y。

解：令u=x+y，得原式=u2-4u+4=（u-2）2，即原式=（x+y-2）2。

例3 因式分解：（m2-3m+2）（m2-3m-4）+9。

本题如果利用整式乘法将两个多项式相乘，会得到一个四次多项式。

高次多项式因式分解是比较困难的。

我们可以看到题目中两个括号内也有相同因式m2-3m，利用换元法，令t=m2-3m。

解：令t=m2-3m，得（t+2）（t-4）+9=t2-2t+1=（t-1）2，即原式=（m2-3m-1）2。

本题利用整体代换达到降次目的，但要注意，最后将“元”换回去后，括号里的因式是否还能进行分解，如果可以，则要继续分解到不能分解为止。

二、平均代换对于例3，有同学会疑惑：能将m2-3m+2看成一个整体进行换元吗？当然可以。

那么m2-3m加上任意一个常數为新元可以吗？哪种换元法呈现出的因式最简洁？下面我们给出另一种较为简洁的换元法，称之为平均代换。

(完整版)用换元法分解因式

用换元法分解因式我们的课本中介绍了对一个多项式进行因式分解的很多方法，比如提公因式法、运用公式法、分组分解法等等，这些方法都是最基础的因式分解方法. 一些同学在解答课外题时，往往感到只用这些方法还是有点力不从心，于是他们纷纷找到李老师，请她“再传授几招，以便能够解答更多类型的因式分解题目”.李老师欣然应允，当场就为同学们介绍了一种因式分解的常用方法——换元法. 李老师把换元法分解因式分成了三种情况：一、换单项式例1 分解因式x6 + 14x3 y + 49y2.分析：注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3 = m，则x6= m2，原式变形为m2 + 14m y + 49y2= (m + 7y)2= ( x3 + 7y)2.二、换多项式例2 分解因式(x2+4x+6) + (x2+6x+6) +x2.分析：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设x2 +6= m，则x2+4x+6= m+4x，x2+6x+6= m+6x，原式变形为(m+4x)(m+6x)+x2= m2 +10mx+24x2+x2= m2 +10mx+25x2= (m+5x)2= ( x2 +6+5x)2= [(x+2)(x+3)]2= (x+2) 2 (x+3)2.以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”. 当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”. 比如，设x 2+4x+6=m ，则x 2+6x+6=m+2x ，原式变形为m(m+2x)+ x 2= m 2+2mx+x 2= (m+x)2= ( x 2+4x+6+x)2= ( x 2+5x+6)2= [(x+2)(x+3)]2= (x+2) 2 (x+3)2.另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算. 对于本例，设m= 12 [(x 2+4x+6)+ (x 2+6x+6)]= x 2+5x+6，则x 2+4x+6=m-x ，x 2+6x+6=m+x ，(m+x)(m-x)+x 2= m 2-x 2+x 2= m 2= (x 2+5x+6)2= [(x+2)(x+3)]2= (x+2) 2 (x+3)2.例3 分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.分析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积. 无论如何分组，最高项都是x 2，常数项不相等，所以只能设法使一次项相同. 因此，把 (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为[(x-1) (x+2)][(x-3)(x+4)] = (x 2+x-2) (x 2+x-12)，从而转化成例2形式加以解决.我们采用“均值换元法”，设m= 12 [ (x 2+x-2)+ (x 2+x-12)]=x 2+x-7，则x 2+x-2=m+5，x 2+x-2= m-5，原式变形为(m+5)(m-5)+24= m2-25+24= m2-1= (m+1)(m-1)= ( x2+x-7+1)( x2+x-7-1)= ( x2+x-6)( x2+x-8)= (x-2)(x+3)( x2+x-8).三、换常数例3 分解因式x2(x+1)-2003×2004x.分析：此题若按照一般思路解答，很难奏效. 注意到2003、2004两个数字之间的关系，把其中一个常数换元. 比如，设m=2003，则2004=m+1. 于是，原式变形为x2(x+1) – m(m+1)x= x[x(x+1)-m(m+1)]= x(x2+x-m2-m)= x[(x2 -m2) +(x-m)]= x[(x+m) (x-m)+(x-m)]= x(x-m)(x+m+1)= x(x-2003)(x+2003+1)= x(x-2003)(x+2004).以上介绍的是用换元法因式分解的初步知识，同学们在以后解题时可以多分析题目的结构特点，灵活运用各种因式分解的方法. 也可以多进行一题多解的训练，达到举一反三的目的. 最后，就请同学们思考一下：刚才举的几道例题，还有没有其他解法？如果有的话，赶快把你的新解法写出来吧.。

因式分解进阶——换元法的妙用.doc

因式分解进阶——换元法的妙用换元法换元法又称变量替换法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。

-----引自百度百科上面的文字看起来有点懵，我们通俗一点讲就是，把某个式子看成一个整体用一个变量（字母）去替代它，从而使问题简化，这就叫换元法。

换元法是整体思想的体现，是非常重要的数学思维，也是高中阶段常用的数学方法，希望大家能好好研究一下。

数学解题思想之整体思想，快看看你家孩子会不会一、整体换元例1：乍一看，好像能提公因式，但是当我们尝试后发现，提完公因式就没法继续下一步了，后面的括号里也不满足十字相乘法，所以，我们今天使用换元法。

整体换元法通常把相同的部分设为一个字母。

整体换元我们可以看到，在综合练习中，一般不会只使用一种方法就解分解完全，一定是几个方法来回不断地使用，所以我们一定要记住每一种方法，并养成检查的习惯。

二、均值换元顾名思义，均值换元法就是求出两个部分的平均值，然后把这个平均值设为字母。

例2：仔细观察，两个括号中式子相差2，很容易求出他们的平均值：所以，我们可以这样做：均值换元三、双换元有时候根据题目需要，我们可以用双换元法，把其中的两个部分，分别设为两个字母，然后再根据和差关系推导出另外的部分，再代入原式进行分解。

例3：很明显，c-a、a-b、b-c这三个式子是首尾相连的，很容易得到他们的关系。

双换元还有两种比较罕见的换元法，正常的考试中碰到这类题的机率很小了，但是可以做一个了解，增加一下自己的认知度。

四、倒数换元例4：倒数换元这个题目没有太多需要讲的，基本上是比较佛系的题了，随缘，能碰到对的思路就对了，碰不到，可能想破脑袋都难想出思路。

但是提公因式后的设元，还是值得研究推敲！五、和差换元和差换元可以算是均值换元的进阶版，脑路清奇的可以记住有这么个方法，一般情况下用不到，我们直接来看个例题吧。

因式分解的几种方法(一提二套三分四造),换元法和十字相乘法的运用

因式分解的几种方法（一提二套三分四造），换元法和十字相乘法的运用全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：因式分解是一种将复杂的多项式分解成简单的乘积的数学方法。

在代数学习中，因式分解是一个重要的基本技能，可以帮助我们更好地理解多项式的性质和特点。

根据多项式的特点和形式，可以采用不同的方法来进行因式分解，比较常用的方法有一提二套三分四造法、换元法和十字相乘法。

一提二套三分四造法是一种比较常用的因式分解方法，适用于一些简单的多项式。

具体来说，一提二套三分四造法是指首先找出多项式中的公因式，然后再根据不同的拆解方式，逐步将多项式分解成简单的乘积。

对于多项式3x^2+9x，首先可以提取出公因式3x，然后可以将其分解为3x(x+3)。

通过这种方法，可以有效地将多项式分解为简单的因式，从而更好地理解和计算多项式的性质。

另外一个常用的因式分解方法是换元法。

换元法是指通过引入一个新的变量或代数式来简化多项式的分解过程。

换元法常用于一些复杂的多项式，特别是含有平方项或立方项的多项式。

对于多项式2x^2+5xy+3y^2，可以引入一个新的变量u=x+y，然后将多项式转化为2u^2+3y^2，再利用一提二套三分四造法进行因式分解。

通过换元法，可以将原本较为复杂的多项式简化成易于处理的形式，达到更好地进行因式分解的目的。

因式分解是一项非常重要的数学技能，可以帮助我们更好地理解并处理复杂的多项式。

根据多项式的特点和形式，我们可以选择不同的因式分解方法，比如一提二套三分四造法、换元法和十字相乘法等。

通过灵活运用这些方法，我们可以更加高效地进行因式分解，从而提高数学问题的解决能力和计算速度。

希望通过不断练习和探索，我们可以更好地掌握因式分解的技巧，为数学学习打下坚实的基础。

【注：本文涉及的因式分解方法仅为数学入门级别的基本方法，详情请参考更为深入的数学教材和资料。

】第二篇示例：因式分解是代数学中非常重要的一种运算方法，它可以帮助我们简化复杂的代数式，将其分解成更简单的乘积形式。

因式分解换元法

因式分解换元法一、引言因式分解是数学中重要的概念之一，它在代数运算和解方程中起着重要作用。

在因式分解中，换元法是一种常用的技巧，它能够将复杂的代数式转化为更简单的形式，从而使问题的求解更加便利。

本文将介绍因式分解的换元法，并通过几个具体的例子来说明其应用。

二、基本概念1. 因式分解因式分解是将一个代数式表示为几个因子的乘积的过程。

通过因式分解，我们可以将复杂的代数式简化为更简单的形式，便于我们进行计算和求解问题。

2. 换元法换元法是一种将复杂的代数式通过引入新的变量，从而将原式转化为更简单形式的方法。

通过选择合适的换元方法，我们可以使原问题的求解变得更加容易和直观。

三、因式分解的换元法1. 一次换元法一次换元法是指通过引入一个新的变量，将原式转化为一次方程的形式。

例如，对于一个二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过令x=y+m，其中m是一个常数，来进行一次换元。

通过一次换元，我们可以将原方程转化为一个新的二次方程，其中不含有一次项，从而更容易求解。

2. 二次换元法二次换元法是指通过引入一个新的变量，将原式转化为一个完全平方的形式。

例如，对于一个二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过令x=y+m，其中m是一个常数，来进行二次换元。

通过二次换元，我们可以将原方程转化为一个新的二次方程，其中含有完全平方的项，从而更容易求解。

3. 分组换元法分组换元法是指通过将原式中的项进行分组，引入新的变量，从而简化原式的形式。

例如，对于一个多项式ab+ac+bd+cd，我们可以通过将其进行分组，引入新的变量，例如令x=a+b，y=c+d，从而将原式转化为一个更简单的形式，从而更容易求解。

四、应用实例1. 例题一将代数式x^2+2xy+y^2进行因式分解。

解：我们可以通过引入一个新的变量，令z=x+y，从而将原式转化为(z-y)^2。

通过展开，我们可以得到z^2-2zy+y^2。

因此，原代数式可以写为(z-y)^2。

中考数学解题方法选讲@3——换元法

中考数学解题方法选讲@3——换元法1、换元法在因式分解中的应用例1.分解因式：()()442++-+y x y x例2.分解因式：()()()22224432134-+--+--x x x x x x使用换元法的关键是选择辅助元。

在选择辅助元时，要反复比较式子中重复出现的整体结构，以便寻找最恰当的辅助元。

2、换元法在化简二次根式中的应用例3. 化简ab a b b a a +-解题时，根据需要，把较大的数字或复杂的式子用字母代换，这样会使得式子中的各种关系更加明朗，化简或计算也会更加简便。

3、换元法在解方程中的应用（1）利用换元法解分式方程的四种常见类型a 、直接换元：解方程015)1(2)1(2=----x x x xb 、配方换元：解方程 1)1(3)1(222=+-+x x x x .c 、倒数换元：解方程031)1(21122=-+++++x x x x .d 、变形换元：解方程12222422=+-+-x x x x .（2）一元二次方程形如()()()02=++c x bf x f a 令()x f u =，原方程化为一元二次方程02=++c bx ax 解得a ab c c u 242-±-=，原方程化为两个简单方程()aab c c x f 2421-+-=，()aab c c x f 2422---= 当()x f 是整式时，上述两方程的根都是原方程的跟，当()x f 是分式或无理式时，应进行验根。

例4.解方程()()376276222=---x x x x4、换元法在证明不等式中的应用例5.已知a >2,b >2,求证：b a +<ab。

《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳

因式分解—待定系数法、换元法、添项拆项法引言因式分解是初中数学中的一个重要知识点，也是解决代数式化简、解方程等问题的基础方法。

在因式分解中，待定系数法、换元法和添项拆项法是常用的三种方法。

本文将分别介绍这三种方法的基本思想、操作步骤和应用场景。

一、待定系数法1. 基本思想待定系数法是一种通过猜测待定系数的方法来进行因式分解的技巧。

在待定系数法中，我们假设因式分解的结果中存在未知系数，并通过代数运算和方程求解的方法确定这些未知系数的值，从而完成因式分解过程。

2. 操作步骤待定系数法的操作步骤如下：1.根据给定的代数式，猜测待定系数的形式，通常选择简单的常数作为待定系数；2.将猜测出的待定系数带入原代数式中，得到待定系数的方程组；3.解方程组，确定待定系数的值；4.将确定的待定系数带入原代数式中进行验证；5.若验证正确，将原代数式分解为因式的乘积，其中包含待定系数。

3. 应用场景待定系数法常用于分解小数项的平方差式、三项立方差式等情况。

通过猜测待定系数的形式，可以简化复杂的因式分解过程，并在解题过程中培养学生的逻辑思维和方程求解能力。

二、换元法1. 基本思想换元法是一种通过引入新的变量来进行因式分解的方法。

通过适当选择新的变量，可以将原代数式转化为较简单的形式，从而便于因式分解。

2. 操作步骤换元法的操作步骤如下：1.分析原代数式的结构和特点，选取适当的新变量；2.对原代数式进行变量替换，将原代数式转化为新变量的代数式；3.对新的代数式进行因式分解；4.将因式分解的结果转化回原变量，得到最终的因式分解形式。

3. 应用场景换元法常用于分解含有平方根、分数等特殊形式的代数式。

通过适当的变量替换，可以将原代数式转化为一次方程、二次方程等常见形式，从而简化因式分解的过程。

三、添项拆项法1. 基本思想添项拆项法是一种通过添加、拆分代数式中的项来进行因式分解的方法。

通过适当添加一些项，并进行合并和拆分，可以将原代数式转化为更简单的形式，从而便于因式分解。

因式分解之换元法课件

因式分解在各个数学领域都有广泛的应用，如代数方程求解、不等式证明、函数性质研究等。
简化问题
通过因式分解，可以将复杂的多项式简化成易于处理的形式，有助于解决代数、几何和三角函数等问题。
换元法在数学中的地位与作用
解题策略
换元法是一种重要的代数解题策略，通过引入新的变量或参数，将复杂问题转化为简单问题，降
因式分解之换元法课件
contents
目录
• 引言 • 换元法的原理 • 换元法的实施步骤 • 换元法的应用实例 • 练习与巩固 • 总结与展望
01
引言
什么是因式分解
总结词
因式分解的定义
详细描述
因式分解是一种数学方法，用于将一个多项式表示为几个整式的积的形式。
因式分解的重要性
总结词
因式分解的意义
应用拓展
随着各个领域的数学需求增加，因式分解的应用范围将不断扩大，为解决实际问题提供更多帮助。
技术结合
随着计算机技术的发展，因式分解将与计算机技术相结合，实现更高效、精确的计算和求解。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
对于形如 $frac{x^2}{a} + frac{y^2}{b} = 1$ 的分式方程，设 $x = at$，则原方程转化为 $t^2 + frac{y^2}{b/a} = 1$。通过因式分解，可以得到 $(t+1)(t-1) = 0$，解得 $x = at = 1$ 或 $x = at = -1$。
-1$。
05
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念
详细描述
提供一系列简单的因式分解题目，涉及基本的换元法，目的是让学生熟悉和理解因式分解的基本概念和步骤。

“换一换”就是不一样——例说换元法在因式分解中的运用

作一个整体，用一个新的字母代替（即换杂的类型更是如此，我们可以设４（叶６）＝ｍ，
元），不仅可以简化要分解的多项式的结５（ｒ卜６）＝，贝Ｕ构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察出如何进行因式分解，这种方法就是
原式＝（叶６＋＋１）（叶６＋一１）．
２０ —１５—３３
。
侈ｑ５才巴（ｙ＋１）（），＋２）（ｙ＋３）＋１分解因式．
＝
一
２ｎ一４８
＝
（８）（叶６）．
【解析】注意到ｙ（ｙ＋３）与（ｙ＋１）（ｙ＋２）结果中都含有（＋３），可以重组运算后再换元．
【解析】对部分同学而言，完全平方公级中学）
Ｔｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
Ｊ．＿一冀数学
１歹ｚ］２把
因式．
【解析】注意到两个因式中都含有＋７ｘ．
方法一：可以设２＋７ｘ＝ａ，则原式＝（（卜５）（叶３）一３３
＝一
・．．
（ｍ＋ｎ）一１
＝
（ｍ＋ｎ＋１）（ｍ＋ｎ一１）．
原式＝［ｙ（ｙ＋３）］［（ｙ＋１）（ｙ＋２）］＋１

谈谈换元法在解题中的妙用

数学篇解法荟萃在解答比较复杂的代数问题时，我们通常会采用换元法来帮助我们理清题目中的数量关系，使问题化难为易、化繁为简，然后顺利获解.运用换元法解题首先要根据问题的特征或数量关系引进新的辅助元来替换原问题中的数、字母、式子等，然后求出新元的值，再将求得的值带回所设的换元式，带入替换关系中，求出原来的未知量或变量，最后对解出的答案进行检验.本文主要介绍换元法在因式分解、解方程以及整式运算中的应用.一、换元法在因式分解中的妙用当我们在进行因式分解时，如果一个多项式的项数、字母较多，次数较高或含有代数式乘积的项时，可对多项式中某些相同的部分设辅助元进行代换，让整个题干的因式项数减少或因数次数降低，从而方便解题.例1分解因式(x 2+4x +6)(x 2+6x +6)+x 2.分析：本题中所提供的因式中存在一部分相同的多项式x 2+6，因此在进行因式分解的过程中可以将这部分的多项式利用新元代替，设：x 2+6=y ，因此原式中的x 2+4x +6=4x +y ；x 2+6x +6=6x +y .解：设x 2+6=y ，原式(x 2+4x +6)(x 2+6x +6)+x 2=(4x +y )(6x +y )+x 2，化简得出y 2+10xy +25x 2=(y +5x )2，将x 2+6=y 代入(y +5x )2可得，（x 2+6+5x ）2=[（x +2）（x +3）]2=（x +2）2（x +3）2.评注：用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新的变元可以一起变形.换元法的本质就是简化多项式．二、换元法在解方程中的妙用当我们遇到分式方程、无理方程、高次方程等直接求解比较困难的方程问题时，可考虑运用换元法，把方程中的某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，通过变量代换实现降次、无理式转化为有理式、分式转化为整式的目的，从而使较繁难的问题变为较简易的问题.例2解方程式2x 2-6x -1+3x 2-3x +2=0.分析：要利用换元法解答这题，首先需要让根号内的代数式和根号外的部分代数式相同.如果将x 2-3x +2设为y ，那么就可以将2x 2-6x -1化成与根号内相同的式子，以此来谈谈换元法在解题中的妙用盐城市新洋初级中学林正坤32数学篇解法荟萃换元，就可以把这个无理方程转化为有理方程.解：设x 2-3x +2=y ，那么x 2-3x +2=y 2.原方程式2x 2-6x -1+3x 2-3x +2=0可化为2(x 2-3x +2)+3x 2-3x +2-5=0，将新元代入可将方程式转换为2y 2+3y -5=0，解得y 1=-52，y 2=1，当y =-52的时候，原方程无解，舍去，所以y =1，即x 2-3x +2=1，同理得到x 2-3x +2=1.解得x 1=3-5；x 2=3+5.评注：如果用开平方的方式解答无理方程，会导致整个方程的次方数过高，使解题过程更加困难.因此我们可以根据题目的要求和代数式的特性，利用换元法把无理方程巧妙地转化为有理方程.三、换元法在整式运算中的妙用在整式运算中，对一些较为复杂的题目，直接求解显然不易入手时，同学们可以考虑整体换元.整体换元的关键是要构造元和设元，就是要将已知式中结构相同的某个部分看作一个整体，用一个新的变量去替代它，然后再结合题目形式进行变形求值，从而使问题得以简化.例3求（1+2+3+…+998）（2+3+4+…+999）-（1+2+3+…+999）（2+3+4+…+998）的值.分析：从整式的整体上来看，我们需要找寻其中的共同点，将这些共同点利用新元进行代替，让整个式子得以简化.通过观察我们可以将第一个式子（1+2+3+…+998）设为x ，将（1+2+3+…+999）设为y ，然后就可以将其带入后面两个式子中将整式进行简化.1+2+3+…+999=y .将x ,y 代入原式后可得x (y -1)-y (x -1)=(xy -x )-(xy -y )=y -x =999.评注：本题中每一个代数式都可以用新元替代原有的式子，但是取不同的代数式换元后，运算难度会有所不同，所以我们在利用换元法解题的时候需要仔细观察，寻找规律，找到最合适设置新元的位置代入换算.上期《<勾股定理>拓展精练》参考答案1.B ；2.D ；3.A ；4.C ；5.(0,0)或(94,0)或(-3,0)；6.16；7.7；8.10，4；9.解：（1）∠BAC =90°；理由略；（2）当△ACP 为等腰三角形时，有三种情况：①当AC =AP 时，CP =2CD =2；②当AC =CP 时，∵AC =12+22=5，∴CP =5；③当CP =AP 时，CP =12BC=2.5；因此，当△ACP 为等腰三角形时，CP 的长为2或5或2.5．10.解：（1）设半圆O 的半径为R ，则R =2，作弦EF ∥AD ，且EF =2.8，OH ⊥EF 于H ，连接OF ，图略，由OH ⊥EF ，得HF =1.4，又OH =22-1.42=2.04>1.96=1.4，∴此时隧道的高AB +OH >2.6+1.4=4米，∴这辆卡车能通过此隧道；（2）当车高3.9米时，OH =3.9-2.6=1.3米，此时HF =22-1.32=2.31米，∵通道正中间有一个0.4米宽的隔离带，∴HM =0.2米，。

换元法在因式分解中的应用

换元法在因式分解中的应用
换元法是中学数学中一种重要的解题方法，属于非常规思维，带有试探性、不规则性及创造性．用换元法解题，不蹈常规，见解独特，是培养学生创造性思维能力的重要手段。

因式分解是初中数学的重要内容之一，是多项式乘法的逆运算，在代数式的化简、求值、解方程等领域中都有着广泛、直接的应用。

但当一个多项式的项数、字母较多，次数较高或还含有代数式乘积的项时，结构复杂，容易造成思路混乱，这时可对多项式中某些相同的部分设辅助元代换，达到减少项数、降低次数，便于分解因式。

把复杂、繁难的问题变得简单、容易的目的。

举例简解如下。

一、整体换元
例1因式分解
解：设，原式
例2若是方程的两根。

因式分解
解：因为是方程的两根，所以
设，原式
但
同理
所以原式
二、局部换元
例3因式分解
解：设
原式
例4因式分解
解：设，原式
三、局部分解后，重组再换元
例5因式分解
解：原式
原式
例6因式分解
解：原式
设，原式
注：这里分解后重组的目的是为了寻找整体或局部换元的可能。

四、多元换元
例7因式分解
解：设
原式
例8因式分解
解：设
原式
例9因式分解
解：设注意到
所以原式
注：类似例7、8、9等，不能展开，否则将不堪繁琐，难以继续分解。

由上述数例可知，比较复杂的多项式因式分解，需综合应用多种分解方法，而换元法是一种行之有效的手段，在换元分解结束后，必需把原代换的代数式代换回来，恢复成原字母的分解式。

(完整版)因式分解的十二种方法(已整理)

因式分解的十二种方法:把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)解：a +4ab+4b =（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析：1 -37 22-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。