平面法向量的求法

A(1,0,0)
,
A1(1,0,1)
x
D
Cy
A
故平面AC1D1的截距是 1 ,∞ ,1
B
故平面AC1D1的法向量为
r n (1,0,1)
绕轴轴为○
uuur r
故所求距离为
OA• n
uuuur
| DA1 |
( 1 , - 1 , -1)g(1,0,1) 22 2
-
2 4
2 4
三、法向量的求法：
1.直接法：特殊易得直接写 2.验证法：感觉良好验证法 3.三步法：一设二乘三特值 4.平面方程(截距)法： 5.含0速算法：
n
•
CD1
（1,1,1）(0,1,1）
0
A x
D
故 n （1,1,1）是平面A1C1B的法向量
C1
B1
y C B
3.三步法： 一设二乘三特值
设 n （x, y, z）是平面α的法向量，则
n • AB 0
不妨取
n • AC 0
即 n （x0 , y0 , z0）
x x0 y y0
3
2
4 3
4
3 4 2
＝ 1(8) 27 4(2) ＝ 14
xyz
②1 2 1
2
＝ x 3
1
1
y
4
2
1 4
1 z
2
2 3
234
＝ 5x 2y z
一、法向量的概念： 二、相关知识：
1.几个常见的结论： 2.平面方程与法向量： 3.行列式简述： 4.向量积：
4.向量积：
①定义:
rr r
是α一个的法向量
n
l
n
α
显然法向量
只关心方向
n
不关心长度
○向量除外
一、法向量的概念： 二、相关知识：
1.几个常见的结论： 2.平面方程与法向量： 3.行列式简述： 4.向量积：
二、相关知识：
1.几个常见的结论：
①
若若若双○aaarrr 就（ （ （是00x轴,,,00y,,,z0谁0）））,,,非则则则谁平aaarrr 与与与行xyz
a31 a32 a33
(1)沙路法
a11 a12 a13 a11 a12
D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
z
D1
A1
C1
B1
y
D A
x
C B
2.验证法：感觉良好验证法
已感知到某向量是所求法向量 用线面垂直判定定理验证即可
例1.如图,已知正方体ABD-A1B1C1D1的棱长为1
则平面ACD1的法向量是________ z
解：建立如图所示的坐标系……
D1
令 n （1,1,1）
A1
因
n • AD1 （1,1,1）(1,0,1） 0
(
11
,
)
24
（5 , 2 , 1 ）
三、法向量的求法：
1.直接法：特殊易得直接写 2.验证法：感觉良好验证法 3.三步法：一设二乘三特值 4.平面方程(截距)法： 5.含○速算法： 6.行列式(叉积)法：
均要伪装成： 三步法
1.直接法：特殊易得直接写
坐标面或于其平行的面的法向量，r 可直接写出： 面xoy或于其平行的面的法向量是 nr （0, 0,1） 面yoz或于其平行的面的法向量是 nr （1, 0, 0） 面zox或于其平行的面的法向量是 n （0,1, 0）
设 c 由 a 与r b 按r 下r列方式给出r :r
ⅰ: 模： r| c || ar|| b r| sin a,b
ⅱ: 方向：cr垂直于 a 与 b所决定的平面
c
的指向遵循右手规则
rr
那么,
(从
r
a
c 叫做
转ar向与bbr来的确向定量) 积
又称外积 ,叉积
rr 记作: c a b
右手规则
4.向量积：
当平面α的横、纵、竖截距分别是：
a，b，c (abc≠0)时
有
r n
（ 1
,1
, 1）
abc
二、相关知识：
1.几个常见的结论： 2.平面方程与法向量： 3.行列式简述：
3.行列式简述：
①二阶行列式：
a.定义：
引入符号 a1
a2
b1 b2
表示算式 a1b2
a2b1
即 a1
a2
b1 b2
a1b2
a2b1
②若AC⊥AB1，∠CBB1=600，AB=BC
求二面角A-A1B1-C1的余弦值
z
A1
析1：三线垂直要证明……
A
建立如图所示的坐标系
不妨设 OB1 = 1 ……
则 B1(0,1,0)
B
B( 3 ,0,0)
x
A(0,0,1)
C
C1
O
B1
y
析2：因平面AA1B1就是平面ABB1 ,故其截距是 3 ,1 ,1
r 故其法向量是 n （
3 ,1,1）
3
例3.(2014年新课标Ⅰ)如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中， 侧面BB1CC1为菱形,AB⊥B1C ①证明：AC=AB1
②若AC⊥AB1，∠CBB1=600，AB=BC
z
A1
求二面角A-A1B1-C1的余弦值
A
析1：三线垂直要证明……
则 B1(0,1,0)
＝5
②1 1 24
＝ 2
③
12 23
＝ 1
① 二阶行列式：a1
a2
b1 b2
a1b2
a2b1
② 三阶行列式：
a.定义：
a11 a12 a13
定义 a21 a22 a23 ＝ a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
z
A1
A
C
C1
B
O
B1
x
y
例4.(2005年湖南) 如图,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1
O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面AC1D1的距离为
【B】 A. 1 B. 2 C. 2 D. 3
D1 zO
2
4
2
2 A1
B1
C1
析：建立如图所示的坐标系,
则
O( 1 , 1 ,1) 22
,
①定义:
②坐标运算:
r
r
若 a （x1, y1, z1）, b （x2, y2, z2）, 则
( r r
ab =
x1 z1 , x2 z2
)
记忆方法: S1：构造三阶行列式 S2：将行列式展开即可
x, y, z
x1, y1, z1 x2 , y2 , z2
＝……
练习3.求向量积
r
r
已知ra （r 1 , 2 ,1 ）, b （2 ,3 , 4 ）
称符号 a1 b1 为二阶行列式
a2 b2
二行二列
a1b2 a2b1是上述行列式的展开式
其计算的结果叫做行列式的值
3.行列式简述：
① 二阶行列式：
a.定义：
a1 a2
b1 b2
a1b2
a2b1
b.运算——对角线法则：
a1 b1
＝
－
a2 b2
主对角线
副对角线
练习1.计算下列二阶行列式的值：
①
21 34
x
(
1A
,1,
z
)
r B (1,1,0) n (1, y,1)L
r uuuur
2
析4：又因 n BC1 (1,r2, z)•(1, 0,1) z 1 0
故 z 1 即 n (1, 2,1)
r ar
（x, 0, 0）的法向量是
r n r
（0,
y,
z）
a （0, y, 0）的法向量是 n （x, 0, z）
r
r
a （0, 0, z）的法向量是 n （x, y, 0）
④ 单○负倒参
r
r
a （0, y, z）的法向量是 n ( x
,
1 ,
1
)
r
yz
或 n （x, z, y）
r a （x, 0, z）的法向量是
＝
(3)性质法
a11 a12 a13 a221 a21a2a2 23 a2233 a331 a31a3a2 33 a3333
＝ a11
a22 a32
a23 a33
(3)性质法
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
＝ a11
a22 a32
a23 a33
a21 a23 a12 a31 a33
r n( r
1 x
,
y,
1 z
)
或 n （ z, y, x）
r a （x, y, 0）的法向量是
r n( r
1 x
,
1 y
,
z)
或 n （ y, x, z）
二、相关知识：
1.几个常见的结论： 2.平面方程与法向量：
在空间直角坐标系中，平面α的方程是：
Ax＋By＋Cz＋D＝0 (ABC≠0)
r 则 n （A, B, C）是平面α的一个法向量
4.平面方程(截距)法：
当平面α的横、纵、竖截距分别是：
a，b，c (abc≠0)时
有
r n
（ 1
,1
, 1）
abc
z C (0,0,c)
O x A (a,0,0)
B (0,b,0) y
例3.(2014年新课标Ⅰ)如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中， 侧面BB1CC1为菱形,AB⊥B1C ①证明：AC=AB1
称其为三阶行列式 三行三列
称其为行列式的展开式
其计算的结果叫做 行列式的值
a11 a12 a13
a a a 行
标
21
22
23
列 标
a31 a32 a33
② 三阶行列式：
a.定义： b.运算： (1)沙路法： (2)对角线法则：
(3)性质法：二阶行列式
a11 a12 a13 记 D a21 a22 a23
1.单○负倒参
例5.在棱长为1的正方体AC1中，M为棱A1B1的中点
求平面BMC1的一个法向量 z
析1：
uuuur
1
MC1 uuuur
(1,
2
,
0)
BC1 (1,0,1)
A1
D1
C1 (0,1,1)
1
M (1, 2,1)
B1
析2：单○负倒参
D O
C y
析3：故r平面BMC1的法向r 量 为 n (1, 2, z) n
D1
A1
n ••DB1MM22 （x, y, z）(2,0,1） z 2x 0 M1 D
x 1
A
x
不妨取 y 1
z2
C1
B1 M2
Cy
B
即 n （1,1,2）是平面M1BM2D1的法向量
三、法向量的求法：
1.直接法：特殊易得直接写 2.验证法：感觉良好验证法 3.三步法：一设二乘三特值 4.平面方程(截距)法：
z z0
A
n
C
α
B
例2.如图,已知正方体ABD-A1B1C1D1的棱长为2 ,M1,M2 分别 是A1A ,CC1中点，则平面M1BM2D1的法向量是______
解：建立如图所示的坐标系……
设 n （x, y, z）是平面M1BM2D1的法向量,则 z
n • BM1 （x, y, z）(0,2,1） z 2 y 0
a21 a23 a12 a31 a33
a13
a21 a31
a22 a32
＝ a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
练习2.利用性质计算三阶行列式的值 ：
1 2 4
21
2 1
2 2
① 2 2
1
＝ 1
4
2
2
附录28 平面法向量的求法
一、法向量的概念： 二、相关知识： 三、法向量的求法：
1.直接法：特殊易得直接写 2.验证法：感觉良好验证法 3.三步法：一设二乘三特值 4.平面方程(截距)法： 5.含○速算法： 6.行列式(叉积)法：
均要伪装成： 三步法
一、法向量的概念： （参课本P：103）
已知直线l⊥平面α，则称直线 l 的方向向量 n
(3)性质法
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
＝ a11
a22 a32
a23 a33
a21 a23 a12 a31 a33
(3)性质法 三阶行列式 二阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
＝ a11
a22 a32
a23 a33
轴平行 轴平行 轴平行
② 单○r 就是面 谁○谁垂r 直 若 ar （0, y, z）, 则 ar 与x 轴垂直 若 ar （x, 0, z）, 则 ar 与y 轴垂直 若 a （x, y, 0）, 则 a与z 轴垂直
1.几个常见的结论：
① 双○就是轴 谁非谁平行
② 单○就是面 谁○谁垂直
③ 双○补单○
求 arbr
析：因 a b （1 , 2 ,1 ）（2 ,3 , 4 ）
1 2 2314 12
rr 问题： 是两向量的向量积 ar br
不是两向量的数量积 a • b
练习3.求向量积
r
r
已知ra （r 1 , 2 ,1 ）, b （2 ,3 , 4 ）
求 arbr
析：因 a b （1 , 2 ,1 ）（2 ,3 , 4 ）
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 红线上三元素的乘积冠以正号 蓝线上三元素的乘积冠以负号
(3)性质法 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
C
C1
B( 3 ,0,0) A(0,0,1)
B
O
B1
x百度文库
y
平面AA1B1的法向量是
r n
（
3 3
,1,1）
析2：因平面A1B1C1//平面ABC ,故其截距是 3 ,-1 ,1
故其法向量是
ur m
（
3 , 1,1）
3
……
1 7
应用平面方程(截距)法求法向量时，要注意： 1.要充分利用割补法、运动观…… 2.书写要伪装成：三步法