3.4 高阶系统分析

z p
jd
n
n

n
则：
z n (s) 2 p ( s 2 2 n s n )
2

jd
说明：假设输入为单位阶跃函数，则化简前后的稳态值如下
n (s z) 1 z lim s 2 s ( s 2 n s n 2 )(s p) p
写成零极点形式：
( s)
n1
k g ( s zi )
i 1 n2 2
m
2 ( s p ) ( s 2 l nl s nl ) j j 1 l 1
, n1 2n2 n, m n
其单位阶跃响应函数为： 2 n1 n2 a ( s ) 1 1 a j l nl l nl l C ( s ) ( s) 0 l 2 s s j 1 s p j l 1 s 2 2 l nl s nl
2
c(t ) a0 et (1 cosd t 1 sin d t )
利用主导极点概念可以对高阶系统特性做近似的估计分析。 高阶系统近似简化原则： 在近似前后，确保输出稳态值不变； 在近似前后，瞬态过程基本相差不大。
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n 2 (s z) 例如：( s) 2 2 ( s 2 n s n )(s p) z p 5以及 5 如果：
一、典型三阶系统的瞬态响应
n 2 传递函数：( s) 2 ，当 0 1时，极 2 ( s 2 n s n )(Ts 1) 点分布如下：
p2
p1 n jn 1 ,
2
p2 n jn 1 ,
2
p3
2 s 0
n z 1 z 而 lim s 2 2 s ( s 2 n s n ) p p
2 s 0
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时域分析法--高阶系统分析
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小结
零、极点位置对高阶系统单位阶跃响应曲线的影响情况。 极点位置决定衰减快慢，零点和极点同时决定各项系数 的大小 主导极点 高阶系统简化为二阶系统的原则
2 2 l 1
n2
可见，c(t)不仅与 p j , l ,nl （闭环极点）有关，而且与系数 a j , l , l 有关（这些系数都与闭环零、极点有关）。所以，高 阶系统的单位阶跃响应取决于闭环系统的零、极点分布。 [定性分析]： 对于闭环极点全部位于s左半平面的高阶系统（否则系统不 稳定），极点为实数（指数衰减项）和共轭复数（衰减正弦项） 的衰减快慢取决于极点离虚轴的距离。远，衰减的快；近，衰 减的慢。所以，近极点对瞬态响应影响大。
第四节 高阶系统分析
在控制工程中，几乎所有得控制系统都是高阶系 统，即用高阶微分方程描述的系统。
对于不能用一、二阶系统来近似的高阶系统来说，
其动态性能指标的确定是比较复杂的。
工程上常采用闭环主导极点的概念对高阶系统进
行近似分析，从而得到高阶系统动态性能指标的估算
公式。
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n 1 2
1 p3 T
p1

n 0
n 1 2
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三阶系统单位阶跃响应
单位阶跃响应的表达式和曲线： n 2 p3 1 1 C (s) (s) 2 2 s ( s 2 n s n )(s p3 ) s A3 1 A1s A2 2 2 s s 2 n s n s p3 p3 A1, A2 , A3 与 , n , 式中： （实极点与共轭极点的位置关 n 系）有关。
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[主导极点]：满足下列条件的极点称为主导极点。
存在一对离虚轴最近的共轭极点；
附近无零点； 其他极点距虚轴的距离是它的5倍以上。
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主导极点及应用
主导极点在c(t)中的对应项衰减最慢，系数最大，系统的瞬 态性能指标主要由它决定。具有主导极点的高阶系统可近似为 二阶系统。 [例如]： p1, 2 1 n1 j n1 1 1 j d 为某高阶系统 的主导极点，则单位阶跃响应近似为：
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高阶系统分析，主导极点
系数 a j , l , l 取决于零、极点分布。有以下几种情况： 若极点远离原点，则运动模态的系数小； 极点靠近一个零点，远离其他极点和零点，系数小； 极点远离零点，又接近原点或其他极点，系数大。
衰减慢且系数大的项在瞬态过程中起主导作用。
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高阶系统分析，单位阶跃响应
c(t ) a0 a j e
j 1
n1
p jt
l e
l 1
n2
l nl t
cos nl 1 l t l e l nl t sin nl 1 l t
在β小于等于1时，即闭环实数极点的数值小于闭环复数极 点的实部数值时，三阶系统将表现出明显的过阻尼特性。
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高阶系统分析
二、高阶系统分析
m m1 b s b s ... b0 m1 高阶系统的传递函数为： (s) m n ,m n n 1 an s an1s ... a0
c(t ) 1
A1e nt sin( n 1 2 t ) 1 2
2
A2 e nt sin n 1 2 t
n 1
A3e p3t
式中： tg
1
1 2

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时域分析法--高阶系统分析
三阶系统单位阶跃响应
c(t )
1
p3和 p1 , p2
的相对位置。
p3 n ，它表示
2
0.1
0
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ຫໍສະໝຸດ Baidut
表示无 p3 极点，由图 图中， 可见，加入极点 p3 后，当 不变 时，超调量下降了，但调节时间增 加了。
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h(t)
[分析]：三阶系统的单位阶跃响应由三部分组成：稳态项，共 轭复极点形成的振荡分量，实极点构成的衰减指数项分量。 影响瞬态特性的有两个因素：第一是
当 1 时，表示 p3 离虚轴远， p1 , p2 离虚轴近， 系统的瞬态特性主要由 p1 , p2 决定，呈二阶系统的特性。 反之，当 1 时，表示 p3 离虚轴近， p1 , p2离虚轴远， 系统的瞬态特性主要由 决定，呈一阶系统的特性。第二 p3 个因素是阻尼系数，同前。如下图所示：
1.4
1.2
1
0.8
0.6
β值下降
0.4
0.2
ωnt 三阶系统单位阶跃响应曲线（阻尼系数＝0.5） 由图可见，当系统阻尼系数不变时，随着实数极点向虚轴 方向移动，即随着β值下降，响应的超调量不断下降，而峰值 时间、上升时间和调节时间不断加长。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0