第5讲-函数的奇偶性对称性周期性(师)

第５讲 函数的奇偶性对称性周期性 2０17.３．26

一、函数的奇偶性 1. 奇偶性的定义

如果对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x =-，则称函数()f x 为偶函数; 如果对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x =--，则称函数()f x 为奇函数。 2.奇偶性的几何意义

具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称,奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y 轴对称。 3．常用性质

(１)0)(=x f 是既奇又偶函数； (2)奇函数若在0=x 处有定义,则必有0)0(=f ；

(３）偶函数满足)()()(x f x f x f =-=； (4)奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于y 轴对称; (5)0)(=x f 除外的所有函数奇偶性满足:

奇函数±奇函数=奇函数 奇函数×奇函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶 奇函数×偶函数=奇函数 偶函数±偶函数＝偶函数 偶函数×偶函数＝偶函数

(6)任何函数)(x f 可以写成一个奇函数2)()()(x f x f x --=ϕ和一个偶函数2

)

()()(x f x f x -+=ψ的和。

4.复合函数的奇偶性。

性质1、复数函数)]([x g f y =为偶函数，则)]([)]([x g f x g f =-; 复合函数)]([x g f y =为奇函数，则)]([)]([x g f x g f -=-. 性质2、复合函数)(a x f y +=为偶函数，则)()(a x f a x f +-=+; 复合函数)(a x f y +=为奇函数，则)()(a x f a x f +-=+-.

性质3、复合函数)(a x f y +=为偶函数,则)(x f y =关于直线ｘ=ａ轴对称。 复合函数)(a x f y +=为奇函数,则)(x f y =关于点（ａ，0)中心对称。 练习:

1.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时,

=)(x f

2.已知定义域为R 的函数12()2x x b

f x a

+-+=+是奇函数

(1)求,a b 的值；（2)若对任意的t R ∈,不等式2

2

(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,求k 的取值范围;

3.已知函数1

().21

x f x a =-

+，若()f x 为奇函数,则a =________。 4. 已知)(x f 在(-1，1）上有定义,且满足),1(

)()()1,1(,xy

y

x f y f x f y x --=--∈有 证明：)(x f 在(－1，1）上为奇函数；

５.若奇函数))((R x x f ∈满足1)2(=f ,)2()()2(f x f x f +=+，则=)5(f _____＿＿ 二、函数的对称性 1.函数自对称

(1）关于y 轴对称的函数(偶函数)的充要条件是)()(x f x f =- (2）若函数)(x f y =关于点)0,(a 对称,则以下四式成立且等价:

①)()(x a f x a f --=+②)()2(x f x a f -=- ③)()2(x f x a f --=+④)(a x f y +=是奇函数 （３）若函数)(x f y =关于直线a x =对称，则以下四式成立且等价：

①)()(x a f x a f -=+②)()2(x f x a f =- ③)()2(x f x a f -=+④)(a x f y +=是偶函数 （4)如果函数)(x f y = 对于一切x ∈R, 都有f （a+x ）=f(ｂ-x)成立，那么函数)(x f y =的图像关于直

线x ＝

2

b

a +对称 (5)如果函数)(x f y =对于一切x ∈R, 都有

b x a f x a f 2)()(=-++成立， 则函数)(x f y =图像关于

点),(b a 对称 2.两个函数的图象对称性

(1))(x f y =与)(x f y -=关于x 轴对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=,即它们关于0=y 对称。 (２）)(x f y =与)(x f y -=关于y 轴对称。

换种说法:)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=,即它们关于0=x 对称。 （3）)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。

换种说法:)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。 (４）)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。

换种说法:)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+,即它们关于a y =对称。 (5))2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(),a b 对称。

换种说法:)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(),a b 对称。 （6）)(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2

b

a x +=

对称。 若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2

(a

对称；

３．几个常见的函数方程

(1）正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2）指数函数()x

f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.

（3）对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠． (4）幂函数()f x x α

=,'

()()(),(1)f xy f x f y f α==. 三、函数的周期性

定义：对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数Ｔ，使得当ｘ取定义域内的每一个值时,都有

)()(x f T x f =+，则)(x f 的最小正周期为T ，T 为这个函数的一个周期(说明：ｎＴ也是)(x f 的周期） 注意：关于函数的周期性的几个重要性质：

1．如果函数)(x f 是R 上的奇函数，且最小正周期为T ，那么0)2

()2(=-

=T

f T

f 2.如果函数)(x f 所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期，如果函数)(x f 的最小正周期为T 则函数)(ax f 的最小正周期为

a

T

，如果)(x f y =是周期函数,那么)(x f y =的定义域无界

3.若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数，Ｔ是它的一个周期，说明：nT 也是)(x f 的周期 推广：若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期

４.定义在Ｒ上的函数)(x f 图象关于直线a x =和b x =)(b a ≠对称,则)(x f 是周期函数,)(2a b -是它的一个周期 推论:若定义在Ｒ上的偶函数)(x f 的图象关于直线a x =)0(≠a 对称,则)(x f 是周期函数,a 2是它的一个周期

5.定义在Ｒ上的函数)(x f 图象关于点)0,(a 和点)0,(b )(b a ≠对称，则)(x f 是周期函数,)(2a b -是它的一个周期

推论:若定义在R 上的奇函数)(x f 的图象关于点)0,(a )0(≠a 对称，则)(x f 是周期函数，a 2是它的一个周期

6.定义在R 上的函数)(x f 图象关于直线a x =和点)0,(b )(b a ≠对称,则)(x f 是周期函数，)(4a b -是它一个周期

推论:若定义在Ｒ上的奇函数)(x f 的图象关于直线a x =)0(≠a 对称,则)(x f 是周期函数,a 4是它的一个周期

7.若ａ是非零常数，对于函数)(x f y =定义域内的任一变量ｘ,有下列条件之一成立，则函数ｙ＝f(x ）是