概率论复习

P( AB ) P( B A) P( A) (2) P( A B ) P( B ) P( B ) 0.01 0.95 0.1743 0.0545
例2-16：用X射线检查肺癌的可靠性有下列数据，肺 癌患者通过检查被确诊的有98%，而未患肺癌者经检查 有99%可正确诊断为未患肺癌，误诊率分别为2%及1%。 在某人口密集的工业区，估计有3%的人患肺癌，现从 该地区任选1人检查，试求: （1）若此人被诊断为患肺癌，他确患此病的概率;
ab(b c) (a b)(a b c)(a b 2c)
例2-16： 用X射线检查肺癌的可靠性有下列数据，肺癌患 者通过检查被确诊的有98%，而未患肺癌者经检查有99%可正确诊 断为未患肺癌，误诊率分别为2%及1%。在某人口密集的工业区， 估计有3%的人患肺癌，现从该地区任选1人检查，试求:
件、17件;不合格产品5件、4件、5件。现任意打开一箱，
（2）若此人被诊断为未患肺癌，他实患此病的概率;
(3）解释以上结论的意义。
16、解：
A={被诊断患有肺癌} B={确实患有肺癌}
P( A) P( A B) P( B) P( A B ) P( B ) 0.98 0.03 0.01 0.97 ＝0.0391 P( AB) P( B A) P( A) P( B A) P( A) P( A) 0.98 0.03 0.7519 0.0391
概率论复习
主讲：翁刚杰
第一章 随机事件与概率
大纲要求：
理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。
了解概率的统计定义和公理化定义，掌握概率的基本性质。 会计算古典概型的概率和几何概型的概率。
重点知识结构图 随机现象 随机试验 事件运算 样本空间 随机事件 事件域 概率的统计定义 古典概率 概率 几何概率 概率的公理化定义 概率的性质 事件关系 包含、相等、互斥、对立 和、积、差
2
9 1 9 10 10 100
， P A
3
9 9 1 81 10 10 10 1000
A1 A2 A3 表示不超过三次拨通电话
A1 、 A2 、 A3 是互斥事件，则
P A1 A2 A3 P A1 P A2 P A3

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则
P A PA B PB P A B PB
0.98 0.03 0.01 0.97

（１） PB A P AB P A （２） PB A PA B
P A
PB PA B P A PB PA B P A
例2-8： 三个人同时独立地破译一密码，若各人能译出的概 率分别是1/5、1/3、1/4，求此密码能被他们破译出的概率。
8、解：设Ai={第i人破译出密码}
i=1,2,3
1 1 1 P ( A1 ) , P ( A2 ) , P ( A3 ) 5 3 4 P ( A1 A2 A3 ) 1 P ( A1 A2 A3 ) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) 4 2 3 1 5 3 4 0 .6
n i 1
独立试验概型
贝叶斯公式：
P Bj A


PB j P A B j
n i 1 i


i
PB PA B
二项概率公式
典型例题
例2-11： 袋中装有a只白球、b只黄球，现从袋中任意取出1个球， 观察颜色后放回袋中，并另加入c只与之同色的球。如此观察了3次，试
求前2次取得黄球且第3次取得白球的概率。
0.7519
0.0001
（３）即使诊断为患肺癌，仍有 25％的机会没有患上 肺癌，因此，被检查者不必过于紧张，可进一步检查。
例2-5 ：设已知事件A、B、C相互独立，试证:A∪B、
AB、A-B与C独立。
解：
( A B)C AC BC P( AC BC ) P( AC ) P( BC ) P( ABC ) P( A) P(C ) P( B) P(C ) P( A) P( B) P(C ) P(C )[ P( A) P( B) P( A) P( B)] P(C ) P( A B) A B与C相互独立。
理解事件独立性概念，掌握应用事件的独立性进行概率计算
了解独立重复试验概型，掌握有关事件概率的计算方法，熟悉二项概率公 式的应用
重点知识结构图 概率 条件概率定义：
PB A
P AB P A
条件概率
乘法公式：
P AB P APB A
事件独立性的定义
全概率公式：
P A PBi PA Bi
（1）若此人被诊断为患肺癌，他确患此病的概率;
（2）若此人被诊断为未患肺癌，他实患此病的概率; (3）解释以上结论的意义。
解：设Ａ＝｛此人被诊断为患肺癌｝ Ｂ＝｛此人确实患肺癌｝
PA B 0.98 ， P A B 0.99 ， PA B 0.02 ， P A B 0.01
PB 0.03， PB 0.97
4 P p 124 12
解
例1-13：将3个球放置到4个盒子中去，求下列事件的概率: （1）A=｛没有一个盒子里有2个球｝;（2）B=｛3个球全在 一个盒子内｝。
解
P43 4! P ( A) 3 3 4 4 1 C4 4 P( B) 3 3 4 4
例1-19：在一副扑克牌中，任取3张，求取出的牌
例2-9 ：盒中装有编号1～10的十张卡片，现从中任意抽看两张的编号，
第一次看一张，看后放回，混合后再抽看一张。若记第一张卡片的编号 为ξ1 ，第二张卡片的编号为ξ2 ，现令A=｛ξ1 =4｝，B=｛ξ1 +ξ2 =7｝，试 求P（B|A）及P（A|B）。
9、解：
P( AB) P{1 4, 2 3} (1) P( B A) P( A) P{1 4} P{1 4}P{ 2 3} 1 / 10 2 1 / 10 1 1 / 10 10
品，经检验定为次品的概率是90%;若产品是
正品，经检验定为正品的概率是99%。现从含
5%次品的一批产品中任取1件进行检验，求下
列事件的概率:
（1）经检验定为次品; （2）经检验定为次品而实为正品。
14、解：
A={产品为正品} B={产品经检验为正品}
P( A) 0.95 P( B A ) 0.9 P( B A) 0.99 (1) P( B ) P( B A) P( A) P( B A ) P( A ) 0.01 0.95 0.9 0.05 0.0545
运算性质
典型例题
例1-9： 某人忘记了一个电话号码的最后一位数字，因此只能 试着随意地拨这位数，试求他拨号不超过三次就能接通电话的 概率是多少?若记得最后一位是奇数，则此概率又是多少?
解：设 A1 表示“一次拨通过”
A2 表示“第二次拨通过”
A3 表示“第三次拨通过”
P A1 1 10
， P A
中至少有2张牌的花色相同的概率。
解
设A={取出的牌中至少有2张牌的花色相同} 则 A={取出的3张牌中没有花色是相同的}
P43133 52728 P( A ) 0.35 3 P54 148824 P( A) 1 P( A ) 0.65
第二章 条件概率与独立性
大纲要求： 理解条件概率定义 掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式
P( A3 ) P( A3 B3 ) P( B3 ) P( A3 B3 ) P( B3 ) 96 96 0.99 0.05(1 ) 100 100 0.9524
P(C ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 0.9524 0.8639
3
例2-22：有三箱同型号产品，分别装有合格品20件、12
例2-19 ：设盒中有5个外形一样而均匀性不同的硬币，每 个硬币经抛掷出现字面的概率分别为p 1 =0，p 2 =1/4，p 3 =1/2，p 4 =3/4，p 5 =1，试求下列事件的概率: （1）任取1个硬币抛掷出现字面;
（2）任取1个硬币抛掷后出现字面，这个硬币是第i个硬
币（i=1，2，3，4，5）; （3）若将（2）中的这个硬币再抛掷1次，又出现字面。
例2-7： 投掷两颗均匀的骰子，试求:
（1）若已知点数和是偶数时，点数和等于8的概率;
（2）若已知点数和是奇数时，点数和大于6的概率; （3）若已知点数和大于6时，点数和是奇数的概率。
解：(1)
A={点数之和为偶数}
B={点数之和等于8}
rA 18 B {( 2,6) , (6,2) , (3,5) ， (5,3) ， (4,4)} P( AB) P( B) 5 / 36 5 P( B A) P( A) P( A) 18 / 36 18
解：设Ａ＝｛第一次取得全是黄球｝ Ｂ＝｛第二次取得全是黄球｝ Ｃ＝｛第三次取得全是白球｝ 则
1 Cb P A 1 C a b
1 Cb ， PB | A 1 c C a b c
， PC | AB
1 Ca 1 Ca b 2 c
P ABC P APB APC AB
P( AB) 1 / 100 (2) P( A B) P( B) P{1 2 7} 1 / 100 1 6 / 100 6 其中 {1 2 7} {(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3), (3,4)}
例2-14：用某种方法检验产品，若产品是次
中抽取样本来检验:无放回地抽取3件，对每1件独立地进行
检验。若3件全验定为正品，这批元件就可出厂。现送来元 件100件，已知其中有4件次品，求这批元件能出厂的概率。
21、解：
Ai={第i件产品，经检验为正品}
Bi={第i件产品是正品}
C={这批元件能出厂}
显然 P(C)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)
271 0.271 1000
例1-7：已知10个电子管中有7个正品和3个次品，每次任 意抽取1个来测试，测试后不再放回去，直至把3个次品都找
到为止，求需要测试7次的概率。
解
CP P 1 p P 8
1 2 4 3 6 7 7 10
例1-10：房间中有4个人，试问没有2个人的生日在同一
个月份的概率是多少?
P( A1 ) P( A1 B1 ) P( B1 ) P( A1 B1 ) P( B1 ) 96 4 0.99 0.05 0.9524 100 100
P( A2 ) P( A2 B2 ) P( B2 ) P( A2 B2 ) P( B2 ) 96 4 0.99 0.05 100 100 0.9524
(3) P( A) P( A Bi ) P( Bi )
i 1
5
1 1 3 0.1 0.2 0.3 1 0.4 0.75 4 2 4
例2-21：用某种仪器检验电子元件，若元件是正品，经检验 定为正品的概率是0.99;若元件是次品，经检验被定为正品的 概率是0.05。当有大批元件送检时，检验员只能从一批元件
P( A B) P( A B) P( B) P( B A ) P( A ) P( A ) 0.02 0.03 0.0006 0.9609
19、解： A={出现正面}
Bi={是第i个硬币}
(1) P( A) P( A Bi ) P( Bi )
i 1
5
1 1 3 1 1 (0 1) 4 2 4 5 2 1 1 P( A B2 ) P( B2 ) 4 5 1 (2) P( B2 A) P( A) 1 / 2 10