13—立体几何中的向量方法

13—立体几何中的向量方法

【基础巩固】

1.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a ∥b,则λ与μ的值可以是( ) (A)2,

(B)-, (C)-3,2

(D)2,2

2.如图所示,PD 垂直于正方形ABCD 所在平面,AB=2,E 为PB 的中点,cos<

,

>=,若以DA,DC,DP 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则点

E 的坐标为( )

(A)(1,1,1) (B)(1,1,) (C)(1,1,) (D)(1,1,2) 3.正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a,点M 在AC 1上且=

,N 为B 1B 的中点,则|

|为( )

(A)

a (B) a (C)

a

(D)

a

4.如图所示,已知PA ⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则|

|等于( ) 5.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为,则λ= . 6.已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点P(x,-1,3)在平面ABC 内,则x= .

【空间三种角】 1．异面直线所成角

设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b |

|a ||b |， 其中a ，b 分别是直线a ，b 的方向向量． 2．直线与平面所成角

如图所示，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a·n |

|a ||n |．

3．二面角

(1)若AB ，CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→

的夹角，如图(1)．

平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ．设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2

|，如图(2)(3)．

考点一 异面直线所成角

[典例引领]

(2015·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC ．(1)证明：

平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．

[即时应用]

如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝

AD＝2．(1)求证：AO⊥平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．

考点二直线与平面所成角

[典例引领]

(2016·全国丙卷)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD ＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

(1)证明MN∥平面PAB；

(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．

[即时应用]

(2016·合肥市第二次质量检测)如图，六面体ABCD-HEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD．若DA＝DH＝DB＝4，AE＝CG＝3．(1)求证：EG⊥DF；(2)求BE与平面EFGH所成角的正弦值．

考点三二面角

[典例引领]

(2016·全国乙卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF

为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°．(1)

证明：平面ABEF⊥平面EFDC；(2)求二面角E-BC-A的余弦值．

[即时应用]

(2017·河北省三市联考)如图，三棱柱ADE-BCG中，四边形ABCD是矩形，F是EG 的中点，EA⊥AB，AD＝AE＝EF＝1，平面ABGE⊥平面ABCD．

(1)求证：AF⊥平面FBC；

(2)求二面角B-FC-D的正弦值．

13—立体几何中的向量方法

基础巩固

1.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是(A)

(A)2,(B)-,(C)-3,2 (D)2,2

解析:由题意知,

解得或

2.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<,>=,

若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为(A)

(A)(1,1,1) (B)(1,1,) (C)(1,1,) (D)(1,1,2)

解析:设P(0,0,z),

依题意知A(2,0,0),B(2,2,0),

则E(1,1,),

于是=(0,0,z),=(-1,1,),

cos<,>===.

解得z=±2,

由题图知z=2,故E(1,1,1).

3.正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为(A)

(A) a (B) a (C) a (D)a

解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,

则A(a,0,0),C1(0,a,a),

N(a,a,).

设M(x,y,z).

∵点M在AC1上且=,

∴(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z)

∴x=a,y=,z=.

∴M(,,),

∴||=

= a.

故选A.

4.如图所示,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则||等于(C)

(A)6(B)6(C)12 (D)144

解析:因为=++,

所以=+++2·

=36+36+36+2×36cos 60°

=144.

所以||=12.

5.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为,则λ=.

解析:由已知得==,

∴8=3(6-λ),

解得λ=-2或λ=.

答案:-2或