平面几何竞赛之三角形的“五心”2

平面几何竞赛之三角形的“五心”

一、基本概念

1、内心：与三角形所有边相切的圆叫做此三角形的内切圆，其圆心叫做此三角形的内心.内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心在三角形内部.

内心有以下常用的性质：

性质1：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是：I 到三角形三边的距离相等.

性质2：设I 是⊿ABC 内一点，AI 所在直线交⊿ABC 的外接圆于D ， I 为⊿ABC 内心的充要条件是：ID=DB=DC.

性质3：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是： ∠BIC=900

+

21∠A ，∠AIC=900+21∠B ，∠AIB=900+2

1

∠C. 证明：

性质4：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是： ⊿IBC 、⊿IAC 、⊿IAB 的外心均在⊿ABC 的外接圆上. 证明：

性质5：设I 为⊿ABC 内心，BC=a ，AC=b ，AB=c ，I 在BC 、AC 、AB

边上的射影分别为D 、E 、F ，内切圆的半径为r ，令p=2

1

(a+b+c),则

(1)ID=IE=IF=r ，

S ⊿ABC =pr=))()((c p b p a p p ---=xyz z y x )(++；

海伦公式推导：

(2)r=c

b a S ABC

++∆2；

(3)abc ·r=p ·AI ·BI ·CI.

性质6：设I 为⊿ABC 内心，BC=a ，AC=b ，AB=c ，∠A 的平分线交BC 于K ，交⊿ABC 的外接圆于D ，则IK AI =DI AD =DK DI =a c b +.

M

〖例1〗如图，设⊿ABC 的外接圆O 的半径为R ，内心为I ，∠B=600

，∠A<∠C,∠A 的外角平分线交圆O 于E ，证明：(1)IO=AE,(2)2R

〖例2〗如图，在⊿ABC 中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A 的平分线交⊿ABC 的外接圆于K ，O 、I 分别是⊿ABC 的外心和内心，求证：IO ⊥AK. (1982四川省数学竞赛题)

【练习1】如图，已知点I 是ABC ∆的内心，延长AI 交ABC ∆的外接圆于点D ，交BC 于点E ．求证：DI 是DE 、AD 的比例中项．

【练习2】⑴ 如图，在ABC ∆中，A ∠、B ∠，C ∠的平分线分别交外接圆于点P 、Q 、R ．

证明：AP BQ CR BC CA AB ++>++．

A

B

C

R

P

Q

I

B'

C'

A'

A

B

C

I

⑵ 如图，设I 为ABC ∆的内心，且'A 、'B 、'C 分别为IBC

∆、IAC ∆、IAB ∆的外心，

D

证明：ABC ∆与'''A B C ∆有相同的外心．

⑶ 已知I 是ABC ∆的内心，AI 、BI 、CI 的延长线分别交ABC ∆的外接圆于D 、E 、F ． 求证：EF AD ⊥．

M

F

E

D

I

C

B

A

D

⑷ 已知一等腰三角形的外接圆半径为R

，内切圆半径为r ， 证明：两圆心的距离为d =

【练习3】如图，ABC ∆的三边满足关系()1

2

BC AB AC =

+，O 、I 分别为ABC ∆的外心，内心，BAC ∠的外角平分线交圆O 于E ，AI 的延长线交圆O 于D ，DE 交BC 于H ．求证：

⑴ AI BD =；

⑵ 1

2

OI AE =．

I

H O

E

D

C

B

A

【练习3】设ABC ∆的内切圆O 切BC 于点D ，过点D 作直径DE ，连接AE ，并延长交BC 于点F ，则BF CD =．

F D C

B

2、外心：经过三角形各顶点的圆叫做此三角形的外接圆，其圆心叫做此三角形的外心.外心是三角形三条边的垂直平分线的交点. 锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部.

性质1：⊿ABC所在平面上一点是其外心的充要条件是：该点到三角形三顶点的距离相等.

性质2：设O是⊿ABC所在平面内一点，则O为⊿ABC的外心的充要条件是：

(1)∠BOC=2∠A，∠ACC=2∠B，∠AOB=2∠C.

(2)OB=OC, 且∠BOC=2∠A.

性质3：R=

ABC

S

abc

4

或S⊿ABC=

R

abc

4

.

〖例3〗如图，设AD是⊿ABC的∠BAC的平分线，O是⊿ABC的外心，01是⊿ABD的外接圆的圆心，02是⊿ADC的外接圆的圆心.求证：OO1=OO2. (1990高中联赛)

3、重心：三角形三条边中线的交点叫做此三角形的重心.

等于它到对边中点距离的2倍（即：重心将每条中线分成1:2两部分）.

重心有以下常用的性质：

性质1：设G 是⊿ABC 的重心，连AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点， AD 2

=

2

1(AB 2+AC 2)-BC 2

,且AG:GD=2:1.

性质2：设G 是⊿ABC 的重心，P 为⊿ABC 内任意一点，则

(1)AP 2+BP 2+CP 2=AG 2+BG 2+CG 2+3PG 2

；

(2)AG 2+BG 2+CG 2=3

1(AB 2+BC 2+CA 2

).

性质3：设G 是⊿ABC 内一点，G 是⊿ABC 的重心的充要条件是下列条件之一：

(1)S ⊿GBC =S ⊿GCA =S ⊿GAB =3

1

S ⊿ABC ；

(2)当AG 、BG 、CG 的延长线交三边于D 、E 、F 时，S ⊿AFG =S ⊿BDG =S ⊿CEG .

(3)当点G 在三边BC 、CA 、AB 上的射影分别为D 、E 、F 时，GD ·GE ·GF 值最大；

(4)过G 的直线交AB 于P ，交AC 于Q 时，AP AB +AQ

AC

=3；

(5)BC 2+3AG 2=CA 2+3GB 2=AB 2+3GC 2

.

4、垂心：三角形三条边高线的交点叫做此三角形的垂心。锐角三角形的垂心在三角形内部，直角三角形的垂心在直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外部.

C

垂心有以下常用的性质：

性质1：设H 是⊿ABC 的垂心，则∠BHC=∠B+∠C=1800-∠A ，∠CHA=∠C+∠A=1800

-∠B ，∠AHB=∠

A+∠B=1800

-∠C.

性质2：设H 是⊿ABC 的垂心，则H 、A 、B 、C 四点中任意一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点组为一垂心组，且一垂心组的四个外接圆的圆心是另一垂心组，与原垂心组全等）。

性质3：设⊿ABC 有三条高线为AD 、BE 、CF 。其中D 、E 、F 分别为垂足，垂心为H ， 则对于A 、B 、C 、H 、D 、E 、F 有六组四点共圆，有三组（每组四个）相似三角形， 且AH ·HD=BH ·HE=CH ·HF.

性质4：H 是⊿ABC 所在平面上一点，H 是其垂心的充要条件是下列条件之一： (1)H 关于三边的对称点都在⊿ABC 的外接圆上；

(2)⊿ABC 、⊿ABH 、⊿BCH 、⊿ACH 的外接圆是等圆； OB=OC, 且∠BOC=2∠A. (3)H 关于三边中点的对称点都在⊿ABC 的外接圆上； (4)∠HAB=∠HCB ，∠HBC=∠HAC ；

(5)∠BAO=∠HAC ，∠ABO=∠HBC 其中O 是⊿ABC 外心.