理论力学第十章

示位置时，BD∥AE杆 AB 的角速度为 ω =5 rad·s － 1 。试
求此瞬时杆BD的角速度和杆BD中点C的速度。
B ω
A
60
C D
60
E
解：
1. 求杆BD的角速度。
杆BD作平面运动， vB大小为
vDB
B ω A
60
vB l 1.5 m s－1
60

C
vB
vD
60
方向与AB垂直。 以B点为基点，应用速度合成定理， D点的速度可表示为
ωAB
arctan
所以
100
CE 26.6 BC
A
50
vE
vB cos( ) 199 mm s－1 cos
第四节 速度瞬心法
1、问题的提出 利用基点法求平面图形上点的速度，如若基点的速 度为零的话，问题的求解将变的极为简单。速度瞬心 法就是建立在这样一个思想基础上的。 2、引例 右图所示为一沿直线轨道滚 动而不滑动的车轮，所以车轮与 地面接触点C具有与地面相同的 速度；由于地面上的点总是不动 的，其速度为零，故车轮上与地 面接触点C的速度也必为零，即
2. 求E点的速度。 由于构件BCE上C点的速度vC垂直 于 CE ，根据速度投影定理可知 E 点的 速度 vE 也应垂直于 CE 。应用速度投影 定理， vB与vE在BE连线上的投影相等，
50
E
B α vB
120
vE
vC
即
C
D ω0
60
vB cos( ) vE cos
式中

60
φ
A
50 100
D
ω0
顺时针转向转动，尺寸如图。
试求图示位置时曲柄AB的角 速度 ωAB 和构件 BCE 上点 E的 速度vE。
解： 1. 求曲柄AB的角速度ωAB 。
C点速度已知， vC CD 0 ，B点速
度垂直于曲柄AB。根据速度投影定理
E 得 vC C vB
120
v B cos vC
求得ω之后，应用基点法各点的速度就很容 易求得如下： A点： B点：
vDO D
vD vO
A
vO vO B
vAO vA vO vB
v A 2vO i,
v A 2vO
Oω vCO
vB vO i vO j, vB 2vO
vD vO i vO j,
vD 2vO
vC=0 vO C
即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该 点随图形绕基点转动的速度的矢量和。 ——速度合成法，基点法
例10-1 发动机的曲柄连杆机构如下图所示，曲柄OA长为 r=30cm,以等角速度=2rad/s绕Ｏ点转动，连杆AB长为 l=40cm，试求：当OAB=900时，滑块B的速度和连杆AB的 角速度。
vB= vA+ vBA
大小： ？
方向：


？

（4）由三角关系求出所求量。
第三节 速度投影定理
1、定义 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相 等。——速度投影定理 2、定理证明
将矢量式
vB v A vBA
向பைடு நூலகம்B连线上投影可得：
(vB ) AB (v A ) AB (vBA ) AB
B
50
根据已知数据，得到：
2 πn0 4.19 rad s－1 60 120 12 , 22.6 13 1202 502
60
0
φ
ωAB
D
ω0
cos
A
50 100
故
vB
0 CD 272 mm s－1 cos
曲柄AB的角速度 v AB B 2.09 rad s－1 AB
1、分析运动，选取研究对象
曲柄OA绕O轴转动，滑 块B 沿水平方向运动，连杆 AB作平面运动，因此选AB杆 作为研究对象。
2、选基点 由于连杆AB上A 点的速度已知，故选A 点为基点。
3、根据速度合成法（基点法）求未知量
vB v A v AB
vB v A v AB
如图所示，作出速度平行四边形。
C*
（4）如果平面图形上两点的速度平行且相等，则速度瞬 心在无远处。故图形的角速度=0，该时刻图形上各点速 度相等，平面图形做瞬时平动。
例10-4 如图所示，半径为R的车轮，沿直线轨道作无滑动
的滚动，已知轮心O以匀速vO前进。求轮缘上A，B，C和D
各点的速度。 A vO B
D
O
C
解：
基点法
因为轮心O点速度已知，故选O为基点。 应用速度合成定理，轮缘上C点的速度可 表示为
结论 （1）平面运动刚体上各点速度的大小与该点到瞬心的距离 成正比，速度的方向垂直于该点到瞬心的连线，指向图形 转动的一方。
（2）平面图形的运动可看成绕瞬心的瞬时转动，此时 瞬心又称为转动瞬轴。
（3）已知平面图形在某瞬时的瞬心位置和转动角速度， 则可以求出平面图形上任一点的速度。 （4）速度瞬心的位置随时间不断变化，在不同瞬时平 面图形上有不同的速度瞬心。 。 （5）同一瞬时，速度瞬心的速度为零，但加速度不为零。
结论：
（1）刚体平面运动可分解为基点（动系原点）的平移运动 （牵连运动）和绕该基点的转动（相对运动）。
（2）将刚体平面运动分解平移和转动时，基点选择不同， 基点的平动轨迹不同，但转动规律与基点选择无关。
（3）平面图形相对于任选基点所建立的平移动系的角速度 就是它的绝对角速度。
三、平面运动刚体的运动方程
A
vC vO vCO
vO B
其中 vCO 的方向已知，其大小vCO =R ω 。 注意，为求车轮的角速度，可利用车轮作 无滑动的滚动的条件，它与地面的接触点C 的 速度为零，即
D
vCO
Oω
vC=0 vO C
vC vO vCO 0
因此

vCO v O R R
（顺时针）
vCO vO R R
vA 5 vB 60 75cm / s cos 4
vBA 3 v A tan 60 45cm / s V A 4
水平方向
vBA 45 AB 1.13rad / s l 40
瞬时针方向
AB VB VBA
例10-2 如图所示平面机构中，AB=BD=DE=l=300mm。在图
vc=0。
3、速度瞬心
平面图形上，某瞬时速度等于零的点称为瞬时速度
中心，简称速度瞬心。
上例中，因基点C的瞬时速度为零，故平面图形上 任一点的速度就等于该点绕瞬心转动的速度。图中A、 B两点的速度应分别为：
v A v AC CA , v A CA vB vBC CB , vB CB vo vOC CO , vo CO
平面图形的角速度和角加速度
1 AB // A 1B // A B
1 2
则，AB转动的角速度为：
1 2 d lim lim t t dt t 0 t 0
则，AB转动的角加速度为：
d dt
1、基本概念
基点：O'（与x'o'y'固结） 角坐标：
2、运动方程
xo f1 t yo f 2 t (10—1 ） f3 t
特例：
1、若φ= 常数，Ｏ‘Ｍ的方位不变， 刚体作平动
则刚体作定轴转动 2、若 xＯ‘= 常数、 yＯ’= 常数，
vMO
x
vM
M
vO

O
vO
y
va ve v r
va ve v r
v a v M , v e v O , v r v MO vOM OM , 方向 OM
vMO
x
vM
M
vO

O
vO
则M点速度为：
y
vM vO vMO
4、速度瞬心法 利用速度瞬心求解平面图形上各点速度的方法称为 速度瞬心法。 5、速度瞬心位置的确定方法 （1）当平面图形沿一固定平面作无滑动的滚动时，图形 与固定平面的接触点即为平面图形的速度瞬心。 只滚不滑
（2 ）如果已知平面图形上两点速 度的方向，则分别通过这两点作速 度的垂线，垂线的交点即为平面图 形的瞬心。 （3）如果已知平面图形上A、B两点速度的方向互相 平行，且垂直于两点的连线AB，则此平面图形的速度 瞬心必在AB线上或其延长线上，具体见下图所示。
A点的运动可以代表直线A1A2的运动
刚体的平面运动可以简化为平面 图形S在其自身平面内的运动．
二、平面运动的分解——平动和转动
举例
分解方式：先由A1B1平移到A2B'1位移为r，再绕A2转到 A2B2，转角。 先绕A1转到A1B'2，转角，再由A1B'2平移 到A2B2位移为r。
因为vBAAB，所以（ vBA ）AB=0 从而可得：
(vB ) AB (v A ) AB
例10-1 发动机的曲柄连杆机构如下图所示，曲柄OA长 为r=30cm,以等角速度=2rad/s绕o点转动，连杆AB长 为l=40cm，试求：当OAB=900时，用速度投影法求滑 块B的速度。 解 因为A点的速度大小、方向已知，B点速度的方向已 知，根据速度投影定理，将vA、vB向AB杆轴线上投影，得
D
vB
60
E
vD vB vDB
其中，D 点绕 B 的转动速度 vDB 的方向与BD垂直，D点的速 度 vD与DE 垂直。
由速度合成矢量图可得
vD vDB vB 1.5 m s－1
ωBD
B ω A
60
vDB
C D
60
vD
60
vDB 为D点绕B的转动速度，应有
vB
vB
60
一般刚体平面运动的分解：
如图，平面S在定系中的运动可由其中的直线AB来代替， 而AB的又可看成平动和转动的合成，或者说刚体的平面运动 可分解成平动和转动，具体方法有如下两种：
以A为原点建立动坐标系x'Ay'，A为基点。 AB先随动系 平移到A'B1 ，再绕基点转 1。 以B为原点建立平 移动系Bx''y''，B为 基点。AB先随动系 平移到B'A1，再绕 基点转2。
向与BD杆垂直，大小为
E
vCB
l BD 0.75 m s－1 2
由此瞬时速度矢的几何关系，得出此时vC的方向恰好沿杆
BD，大小为
vC vB vCB 1.3 m s
2
2
－1
基点法解题步骤
（1）分析各刚体的运动，取研究对象； （2）分析与平面运动刚体连接点的运动，选取运动已知 的点为基点； （3）由基点法的速度合成定理确定其余量；
(vB ) AB (v A ) AB
即 v cosα= v cos00 B A
4 cosα 代入上式 5 将 v A 60cm / s
vB 75cm / s
例10-3 图示一连杆机构，曲
E
柄 AB 和圆盘 CD 分别绕固定 轴A和D转动。BCE为三角形
50
B
C
120
构件，B，C为销钉连接。设 圆盘以匀速 n0=40 r﹒min － 1
举例
圆轮A，半径为R，沿直线向右作纯滚动，轮心A 的速度：v0 = 常数。试求圆轮的平面运动方程。
x A v0t
y A R 常数 x A v0t R R
—— 圆轮的平面运动方程
第二节：求平面图形内各点速度的基点法
1、矢量表达式
任何平面图形在自身平面内的 运动都可以分解为随基点O 的 平移（牵连运动）和绕基点O 的转动（相对运动）。
主要内容
第一节 第二节 第三节 第四节 刚体平面运动的运动方程 求平面图形内各点速度的基点法 速度投影定理 速度瞬心法
第一节：刚体平面运动的运动方程
一、平面运动的特征 在运动过程中，刚体内任一点始终保持在与某一固定 平面平行的平面内运动，该种运动称为刚体的平面运动。 平面Ⅱ与固定平面Ⅰ平行 A1A2⊥S平面
vBO
D点 ：
其中，i ，j 为x，y 轴的单位矢量。
瞬心法
车轮上与地面相接触的C点的速度为零
y
A vO B
Oω C
即为车轮的瞬心。利用已知速度 vO ，可求 得车轮的角速度为

vO v O OC R
（顺时针）
D
x
vB
此ω与以O点为基点求出的角速度ω完全相 同，说明图形的角速度与基点选择无关。 车轮上点B的速度方向垂直于连线
vDB BD BD
于是可得此瞬时杆BD的角速度为
E
BD vBD l 5 rad s－1
转向为逆时针
2. 求杆BD 中点C 的速度。 仍以B点为基点，应用速度合成定理， C点的速度可表示为
B ω A
60
vCB vC C
vB vB
vC vB vCB
D
60
其中vB大小和方向均为已知，vCB 方