弹性力学答案

【1-4】应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面力的方向。 【解答】应力的符号规定是：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时），这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时），该面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。

面力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负。 由下图可以看出，正面上应力分量与面力分量同号，负面上应力分量与面力分量符号相反。

正的应力 正的面力

【2-1】试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中(图2-14)其应力状态接近于平面应力的情况。

【解答】在不受任何面力作用的空间表面附近的薄层中，可以认为在该薄层的上下表面都无面力，且在薄层内所有各点都有0===z xz yz σττ，只存在平面应

力

分

量

,,x y xy σστ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数。可以认为此问题是

平面应力问

题。

【2-2】试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15），当板边上只受x ，y 向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态接近于平

面应变的情况。

【解答】板上处处受法向约束时0z ε=，且不受切向面力作用，则

0xz yz γγ==(相应0zx zy ττ==)板边上只受x ，y 向的面力或约束，所以仅存

在,,x y xy εεγ，且

不沿厚度变化，仅为x ，y 的函数，故其应变状态接近于平面应变的情况。

【2-3】在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平很条件

C

M

0=∑改为对角点的力矩平衡条件，

试问将导出什么形式的方程？ 【解答】将对形心的力矩平衡条件

C

M

0=∑，

改为分别对四个角点A 、B 、D 、E 的平衡条件，为计算方便，在z 方向的尺寸

取为单位

1。

1()1()11222

()1()1110

222

xy x y x xy y y yx y yx x x dx dy dy

dx dx dy dx dy dx dy x x dx dy dx dy dx dy dx dy f dxdy f dxdy y y τσσστσστστ∂∂⋅⋅++⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅

∂∂∂∂-+⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅=∂∂ (a)

()1()1()122

111110

2222

yx y x x yx y xy x y x y dy dx

dx dy dy dx dy dy dx x y y dy dx dy dx

dy dx dy dx f dxdy f dxdy τσσστστσσ∂∂∂+⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅

∂∂∂-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

(b)

O

z

y

()111122

1()1110

2222

y

y xy x yx x x x x y dx dy

dy dx dy dx dy dx dy

y dx dy dy dx

dx dx dy f dxdy f dxdy x σστστσσσ∂+

⋅⋅

-⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅∂∂-⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅=∂ (c)

()1111222

()1()1110

222

y y x yx y xy x x xy x y dx dy dx dy dx dy dx dy dx y dy dy dx

dx dy dx dy dx f dxdy f dxdy x x σσστστσστ∂-+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅-

∂∂∂+⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅=∂∂ (d)

略去(a)、(b)、(c)、(d)中的三阶小量（亦即令2

2

,d xdy dxd y 都趋于0），并将各式都除以dxdy 后合并同类项，分别得到xy yx ττ=。

【分析】由本题可得出结论：微分体对任一点取力矩平衡得到的结果都是验证了切应力互等定理。 【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。

图2-17

图2-18

【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。

【解答】图2-17：

上（y =0）

左(x =0) 右（x =b ）

0 -1 1 -1 0

0 0 代入公式（2-15）得

①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件： ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件： ③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件：

这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为：

由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：

⑵图2-18

①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）

x f (s)

y f (s)

0 -1 0

1

-1q

-/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==-

②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有 ③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力