不等式的证明PPT课件
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《不等式的证明》PPT课件
2
∵-1<a<1,-1<b<1, ∴(a-b)2≥0, 1+ab>0， 1-a2>0,1-b2>0, 1-ab>0. 所以，(1-a2)(1-b2)(1-ab)>0,
(a-b)2(1+ab)≥0.
1 1 2 故 2 2 1 a 1 b 1 ab
证明二:分析法 证明三:综合法 ∵a2+b2≥2ab, ∴-a2-b2≤-2ab. 从而0<1+a2b2-a2-b2≤1+a2b2-2ab=(1-ab)2,1-ab>0. 1 1 1 1 2 2 2 2 1 a 1 b 1 a 1 b2
证明二：(分析法)
证明三：(综合法)
一般地,对任意实数ai,bi(i=1,2,3, …,n),都有:
(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)
≥(a1b1+a2b2+…+anbn) 2.(柯西不等式)
【例4】设-1<a<1,-1<b<1,求证: 1 1 2 . 2 2 1 a 1 b 1 ab
证明二：比较法（作商） ∵a2+b2≥2ab，
2 2 3 3 ( a b )( a b ab) a b ∴ 2 2 ab(a b) a b ab 2 2 a b ab 2ab ab 1 ab ab
又a>0，b>0，所以ab>0，
故a3+b3≥a2b+ab2.
证明一:比较法(作差)
1 1 2 2 2 1 a 1 b 1 ab
(1 b 2 )(1 ab) (1 a 2 )(1 ab) 2(1 a 2 )(1 b 2 ) (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab)
∵-1<a<1,-1<b<1, ∴(a-b)2≥0, 1+ab>0， 1-a2>0,1-b2>0, 1-ab>0. 所以，(1-a2)(1-b2)(1-ab)>0,
(a-b)2(1+ab)≥0.
1 1 2 故 2 2 1 a 1 b 1 ab
证明二:分析法 证明三:综合法 ∵a2+b2≥2ab, ∴-a2-b2≤-2ab. 从而0<1+a2b2-a2-b2≤1+a2b2-2ab=(1-ab)2,1-ab>0. 1 1 1 1 2 2 2 2 1 a 1 b 1 a 1 b2
证明二：(分析法)
证明三：(综合法)
一般地,对任意实数ai,bi(i=1,2,3, …,n),都有:
(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)
≥(a1b1+a2b2+…+anbn) 2.(柯西不等式)
【例4】设-1<a<1,-1<b<1,求证: 1 1 2 . 2 2 1 a 1 b 1 ab
证明二：比较法（作商） ∵a2+b2≥2ab，
2 2 3 3 ( a b )( a b ab) a b ∴ 2 2 ab(a b) a b ab 2 2 a b ab 2ab ab 1 ab ab
又a>0，b>0，所以ab>0，
故a3+b3≥a2b+ab2.
证明一:比较法(作差)
1 1 2 2 2 1 a 1 b 1 ab
(1 b 2 )(1 ab) (1 a 2 )(1 ab) 2(1 a 2 )(1 b 2 ) (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab)
基本不等式证明
只要证 0 （ a b )2 因为最后一个不等式成立
所以，ab a b 成立 2
当且仅当a b时取“”
分析法——执果索因
证法3：
对于正数 a,b，有
( a b)2 0 a b 2 ab 0
a b 2 ab
a b ab 2
综合法——由因索果
如果 a,b 是正数，那么 ab a b
2
当且仅当a b时取" " 号
问题 3、当a 0, b 0时 ，这个不等式仍然成立吗？
把不等式 ab a b (a 0,b 0) 称为基本不等式。 2
注意 （1）不等式成立条件（2）等号成立条件
问题4： 你能给出基本不等式几何解释吗？
ab
a
b
“半径不小于半弦”
回顾反思
1、今天这节课学了哪些主要知识？ 2、在解决问题时用了哪些方法？
问题1、如何合理的表示物体的质量？Βιβλιοθήκη b两个正数a、b ，我们把
称为a、b
2
的算术平均数， ab 称为几何平均数。
问题2、两个正数a、b的算术平均数与几何平均数 之间具有怎样的大小关系呢？
猜想：ab a b（a 0,b 0） 2
问题3：如何证明 ab a b（a 0,b 0） 2
不等式证明的基本方法 比较法（作差、作商法）
基本不等式的证明(一)
一、创设问题情景：
❖ 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子 上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a。如果 天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他 因素不计），那么a并非物体的实际质量。不过， 我们可以作第二次测量：把物体调换到天平的另一 个盘上，此时称得物体的质量为b。
拓展延伸
这个基本不等式可否推广到“n个非负数”的情 形，有兴趣的同学可作进一步的研究，也可 查阅有关资料。
所以，ab a b 成立 2
当且仅当a b时取“”
分析法——执果索因
证法3：
对于正数 a,b，有
( a b)2 0 a b 2 ab 0
a b 2 ab
a b ab 2
综合法——由因索果
如果 a,b 是正数，那么 ab a b
2
当且仅当a b时取" " 号
问题 3、当a 0, b 0时 ，这个不等式仍然成立吗？
把不等式 ab a b (a 0,b 0) 称为基本不等式。 2
注意 （1）不等式成立条件（2）等号成立条件
问题4： 你能给出基本不等式几何解释吗？
ab
a
b
“半径不小于半弦”
回顾反思
1、今天这节课学了哪些主要知识？ 2、在解决问题时用了哪些方法？
问题1、如何合理的表示物体的质量？Βιβλιοθήκη b两个正数a、b ，我们把
称为a、b
2
的算术平均数， ab 称为几何平均数。
问题2、两个正数a、b的算术平均数与几何平均数 之间具有怎样的大小关系呢？
猜想：ab a b（a 0,b 0） 2
问题3：如何证明 ab a b（a 0,b 0） 2
不等式证明的基本方法 比较法（作差、作商法）
基本不等式的证明(一)
一、创设问题情景：
❖ 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子 上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a。如果 天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他 因素不计），那么a并非物体的实际质量。不过， 我们可以作第二次测量：把物体调换到天平的另一 个盘上，此时称得物体的质量为b。
拓展延伸
这个基本不等式可否推广到“n个非负数”的情 形，有兴趣的同学可作进一步的研究，也可 查阅有关资料。
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
2.2基本不等式课件(人教版)(4)
∴2( + ) ≥ 40，
当且仅当 = = 10时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为10的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的
长度为40.
例析
(2)用一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的
边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
+ =
解：(2)由已知得2( + ) = 36，矩形菜园的面积为2 .
例1.(1)用篱笆围一个面积为1002 的矩形菜园，当这个矩形
的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
=
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为，，篱笆的长度为2( + ).
(1)由已知得 = 100.
+
由
2
≥ ，可得 + ≥ 2 = 20，
第二章 一元二次函数、方程、不等式
2.2 基本不等式
学习目标
1.了解并掌握基本不等式以及基本不等式的证明过程。
重点
2.会用基本不等式证明不等式，以及求简单的最值问题
难点
复习导入
我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不
等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来
2.已知x>0，求 x +
1
的最小值.
练一练
3.试判断x(2-x)(0<x<2)与 1 的大小关系.
解答：
+(2−) 2
x(2-x)≤(
) =1
2
, 只有x=1时才取等号
课堂小结
课堂小结：
(1)重要不等式；
5.3 证明不等式的基本方法 课件(人教A版选修4-5)
= (a b)(lg a lg b) ∵ a b 与 lg a lg b 同号，∴ (a b)(lg a lg b) >0
(a lg a b lg b) (b lg a a lg b) 0 a lg a b lg b b lg a a lg b,
2．非负实数 x1、x2，且 x1+x2≤1， 求证： 1 x1 1 x2 ≥ 1 x1 x2 1
证明： x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1 x2 ≤1, 1 x1 ≥ 0,1 x2 ≥ 0,1 x1 x2 ≥ 0 要证 1 x1 1 x2 ≥ 1 x1 x2 1，
只要证 a 2 ab b2 ab ,只要证 a 2 2ab b2 0 . ∵ a b 0 ,∴ (a b)2 0 即 a 2 2ab b2 0 得证.
注：分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不 明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径. 另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这 样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通! （如课本第 24 页例 3）
∵ a , b 是正数，且 a b ,∴ a b 0 , (a b)2 >0
∴ (a3 b3 ) (a2b ab2 ) >0,∴ a 3 b3 a 2b ab2
注：比较法是证明不等式的基本方法，也是 最重要的方法,另外， 有时还可作商比较(如课本 第 22 页例 3).
am a . 求证: bm b 4.(课本第 24 页例 2)已知 a1 , a2 ,, an R ,且 a1a2 an 1 ,
求证: (1 a1 )(1 a2 )(1 an ) ≥ 2n 5.(课本第 26 页习题 2.2 第 9 题)已知 a 1 , b 1 , 求证: 1 ab a b
《柯西不等式》课件
感谢您的观看
THANKS
应用场景
幂和不等式在数学分析和最优化理论等领域有应用，例如在求解约束优化问题、估计函数 的极值以及分析函数的收敛性等方面。
05
习题与解答
习题一：证明柯西不等式
总结词
通过数学推导证明柯西不等式
详细描述
这道习题要求学生掌握柯西不等式的证明方法，通过数学推导和证明，理解柯西不等式的原理和性质 。
习题二：应用柯西不等式解决问题
总结词
运用柯西不等式解决实际问题
详细描述
这道习题要求学生能够运用柯西不等式解决实际问题，如最大值、最小值问题等，培养学生的数学应用能力。
习题三：探索柯西不等式的变体
总结词
研究柯西不等式的变体形式
详细描述
这道习题要求学生探索柯西不等式的变体形式，理解不同形式的不等式及其应用，培养学生的数学探究能力。
详细描述
平方和不等式是指对于任意非负实数序列a_1, a_2, ..., a_n，有(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) >= (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2。
应用场景
平方和不等式在数学、物理和工程领域有广泛的应用，例如在求解最优 化问题、估计数值稳定性以及分析信号处理中的频率响应等方面。
时。
数学期望
柯西不等式在大数定律的研究中也有应用， 如在研究强大数定律和弱大数定律时。
大数定律
利用柯西不等式，可以推导出一些数学期望 的性质和计算方法。
概率不等式
柯西不等式在概率不等式的证明中也有应用 ，如Chebyshev不等式等。
不等式的证明课件3(人教A版选修4-5)
2
2
2
a b c d
2 2 2
0 不等式显然成立
c
2
a
2
b
2
2
d
2
2
0
原不等式即证
2 2 2
ac
2 2 2
bd
2
2
a
2 2
b
2 2
c
2
2
2
d
2 2
2
2
即证 a c b d 2 abcd a c b d a d b c 即证 2 abcd a d b c 即证 ad bc 0
21 25
因 为 21 25 成 立 ，
所以（ 3 7） (2 5 ) 成 立 ，
2 2
即证明了 3
7 2 5
证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困 难。例如，在例9中我们很难想到从”21<25“入手。 在不等式的证明中，分析法占有重要位置。我们常用 分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证 明过程。这是解决数学问题的一种重要思想。
而此式显然成立
原不等式
C 1
C 12
C 成立
练习3
1 求证
6
7 2
2
5
(2)已知：a1，a2，b1，b2∈R+,求证：
( a1 b1 ) ( a 2 b 2 )
≥
a1 a 2 b1b 2
1 1 1
3 求 证
1
a a
2 2
例3：若a、b、c是不全相等得正数
2
为了证明上式成立，只需证明
即证 1 1 42 , 因此只需证明 4
2
2
a b c d
2 2 2
0 不等式显然成立
c
2
a
2
b
2
2
d
2
2
0
原不等式即证
2 2 2
ac
2 2 2
bd
2
2
a
2 2
b
2 2
c
2
2
2
d
2 2
2
2
即证 a c b d 2 abcd a c b d a d b c 即证 2 abcd a d b c 即证 ad bc 0
21 25
因 为 21 25 成 立 ，
所以（ 3 7） (2 5 ) 成 立 ，
2 2
即证明了 3
7 2 5
证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困 难。例如，在例9中我们很难想到从”21<25“入手。 在不等式的证明中，分析法占有重要位置。我们常用 分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证 明过程。这是解决数学问题的一种重要思想。
而此式显然成立
原不等式
C 1
C 12
C 成立
练习3
1 求证
6
7 2
2
5
(2)已知：a1，a2，b1，b2∈R+,求证：
( a1 b1 ) ( a 2 b 2 )
≥
a1 a 2 b1b 2
1 1 1
3 求 证
1
a a
2 2
例3：若a、b、c是不全相等得正数
2
为了证明上式成立，只需证明
即证 1 1 42 , 因此只需证明 4
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件•课程介绍与目标•基本不等式概念及性质•基本不等式证明方法•基本不等式应用举例目录•拓展与提高：含参数的基本不等式问题•课程总结与回顾01课程介绍与目标人教版必修五数学教材基本不等式章节内容概述与前后知识点的联系教材版本及内容概述教学目标与要求知识与技能目标掌握基本不等式的形式、性质和应用方法，能够运用基本不等式解决简单的最值问题。
过程与方法目标通过探究、归纳、证明等过程，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标让学生感受数学的美和严谨性，培养学生的数学兴趣和数学素养。
本节课共分为引入、新课、巩固练习、小结四个部分。
课程安排时间分配重点与难点引入部分5分钟，新课部分30分钟，巩固练习部分15分钟，小结部分5分钟。
本节课的重点是基本不等式的形式、性质和应用方法；难点是运用基本不等式解决复杂的最值问题。
030201课程安排与时间02基本不等式概念及性质不等式定义及表示方法不等式的定义用不等号连接两个解析式所组成的数学式子。
不等式的表示方法常见的不等号有“<”、“>”、“≤”、“≥”和“≠”，用于表示两个量之间的大小关系。
对称性传递性可加性同向正值可乘性基本不等式性质探讨01020304当a=b 时，a<b,b>a 同时成立，反之亦然。
若a>b 且b>c ，则a>c ；若a<b且b<c ，则a<c 。
同向不等式可以相加，即若a>b 且c>d ，则a+c>b+d 。
若a>b>0且c>d>0，则ac>bd 。
特殊情况下的基本不等式均值不等式对于任意两个正数a和b，有√(ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b 时取等号。
柯西不等式对于任意两组实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn，有(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当且仅当ai/bi为常数时取等号。
基本不等式的证明方法-PPT课件
用综合法证明不等式的逻辑关系
A B1 B2 Bn B (已 知)(逐 步 推 演 不 等 式 成 立 的必 要 条 件)(结 论)
例1 已知a, b, c 0, 且不全相等,
求证a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
证明: b2 c2 2bc,a 0,a(b2 c2) 2abc c2 a2 2ac,b 0,b(c2 a2) 2abc a2 b2 2ab,c 0,c(a2 b2) 2abc
即证： 2 x1 x2 2 1 x1 x2 x1x2 ≥2 x1 x2 2 1 x1 x2 只要证： x1x2 ≥ 0
x1x2 ≥ 0 成立，故原不等式也成立。
3.(课本第 26 页习题 2.2 第 9 题)(分析法是解题的绝招) 已知 a 1 , b 1 ,求证: 1 ab a b
用分析法证“若A则B”这个命题的模式是: 为了证明命题B为真, 只需证明命题B1为真,从而有…… 只需证明命题B2为真,从而有……
…… 只需证明命题A为真. 而已知A为真,故B必真.
例3 求证 2 7 3 6
证明: 2 7和 3 6都是正数, 所以要证 2 7 3 6, 只需证( 2 7 )2 ( 3 6)2 , 展开得9 2 14 9 2 18, 只需证 14 18, 只需证14 18,14 18成立, 所以 2 7 3 6成立.
求证：lg a b ＋lg b c ＋lg c a ＞lga+lgb+lgc
2
2
2
证明: 要证 lg a b＋lg b c ＋lg c a ＞lga+lgb+lgc
2
2
2
只需证 lg a b b c c a ＞lgabc
222
A B1 B2 Bn B (已 知)(逐 步 推 演 不 等 式 成 立 的必 要 条 件)(结 论)
例1 已知a, b, c 0, 且不全相等,
求证a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
证明: b2 c2 2bc,a 0,a(b2 c2) 2abc c2 a2 2ac,b 0,b(c2 a2) 2abc a2 b2 2ab,c 0,c(a2 b2) 2abc
即证： 2 x1 x2 2 1 x1 x2 x1x2 ≥2 x1 x2 2 1 x1 x2 只要证： x1x2 ≥ 0
x1x2 ≥ 0 成立，故原不等式也成立。
3.(课本第 26 页习题 2.2 第 9 题)(分析法是解题的绝招) 已知 a 1 , b 1 ,求证: 1 ab a b
用分析法证“若A则B”这个命题的模式是: 为了证明命题B为真, 只需证明命题B1为真,从而有…… 只需证明命题B2为真,从而有……
…… 只需证明命题A为真. 而已知A为真,故B必真.
例3 求证 2 7 3 6
证明: 2 7和 3 6都是正数, 所以要证 2 7 3 6, 只需证( 2 7 )2 ( 3 6)2 , 展开得9 2 14 9 2 18, 只需证 14 18, 只需证14 18,14 18成立, 所以 2 7 3 6成立.
求证：lg a b ＋lg b c ＋lg c a ＞lga+lgb+lgc
2
2
2
证明: 要证 lg a b＋lg b c ＋lg c a ＞lga+lgb+lgc
2
2
2
只需证 lg a b b c c a ＞lgabc
222
数学课件：不等式的性质及比较法证明不等式
反证法适用于一些难以直接证 明的不等式，但要注意假设的 正确性和推导过程中的逻辑严
密性。
CHAPTER 03
实际应用举例
代数问题中的不等式应用
代数方程的解
通过比较法证明不等式， 可以确定代数方程的解的 范围，从而找到满足条件 的解。
函数的最值
利用不等式的性质，可以 确定函数的最值，从而解 决一些优化问题。
在学习过程中，我遇到了一些困难，如理解不等式性质的推 导过程和灵活运用不等式证明技巧，但在老师和同学的帮助 下，我克服了这些困难，取得了进步。
下一步学习计划
深入学习不等式的其他性质和 证明技巧，如均值不等式、柯 西不等式等。
练习更多的不等式证明题目， 提高自己的解题能力和思维灵 活性。
学习与不等式相关的其他数学 知识，如函数、导数等，以便 更好地理解和应用不等式。
CHAPTER 05
总结与回顾
本章重点回顾
不等式的性质
01
包括传递性、加法性质、乘法性质等。
比较法证明不等式的基本步骤
02
选取适当的比较对象，利用已知的不等式性质推导所需证明的
不等式。
常见的不等式证明技巧
03
如放缩法、构造法、反证法等。
学习心得与体会
通过本章学习，我掌握了不等式的基本性质和比较法证明不 等式的方法，对不等式证明的思路和方法有了更深入的理解 。
利用不等式的性质，可以比较几何图 形的面积，从而解决一些面积问题。
物理问题中的不等式应用
物理量的范围
在物理问题中，经常需要确定物 理量的范围，如速度、加速度、 力等的范围，通过比较法证明不
等式可以得到这些范围。
物理过程的优化
利用不等式的性质，可以优化物理 过程，如最小作用量原理、最小能 量原理等。
密性。
CHAPTER 03
实际应用举例
代数问题中的不等式应用
代数方程的解
通过比较法证明不等式， 可以确定代数方程的解的 范围，从而找到满足条件 的解。
函数的最值
利用不等式的性质，可以 确定函数的最值，从而解 决一些优化问题。
在学习过程中，我遇到了一些困难，如理解不等式性质的推 导过程和灵活运用不等式证明技巧，但在老师和同学的帮助 下，我克服了这些困难，取得了进步。
下一步学习计划
深入学习不等式的其他性质和 证明技巧，如均值不等式、柯 西不等式等。
练习更多的不等式证明题目， 提高自己的解题能力和思维灵 活性。
学习与不等式相关的其他数学 知识，如函数、导数等，以便 更好地理解和应用不等式。
CHAPTER 05
总结与回顾
本章重点回顾
不等式的性质
01
包括传递性、加法性质、乘法性质等。
比较法证明不等式的基本步骤
02
选取适当的比较对象，利用已知的不等式性质推导所需证明的
不等式。
常见的不等式证明技巧
03
如放缩法、构造法、反证法等。
学习心得与体会
通过本章学习，我掌握了不等式的基本性质和比较法证明不 等式的方法，对不等式证明的思路和方法有了更深入的理解 。
利用不等式的性质，可以比较几何图 形的面积，从而解决一些面积问题。
物理问题中的不等式应用
物理量的范围
在物理问题中，经常需要确定物 理量的范围，如速度、加速度、 力等的范围，通过比较法证明不
等式可以得到这些范围。
物理过程的优化
利用不等式的性质，可以优化物理 过程，如最小作用量原理、最小能 量原理等。
基本不等式ppt课件
基本不等式
我们都知道，把一个物体放在天平的一个盘
子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，
可称得物体的质量为 .
如果是一架臂长不同（其他因素不计）的天平，
那么 并非物体的实际质量.
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
取平均值：
ab
导果”的证明思路.
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
当 a，b 0 时，不等式仍然成立.
基本不等式:
ab
ab
（a，b 0）
2
对于正数 a，b ，
ab
算术平均数:
2
几何平均数: ab
两个正数的几何平均数不大于算术平均数
问题3.设 a，b为正数，证明下列不等式成立：
2
证法2： 对于正数 a，b ，
ab
要证 ab
，
2
只要证 2 ab a b ，
只要证 0 a 2 ab b ，
只要证 0 ( a b ) 2 .
ab
因为最后一个不等式成立，所以 ab
成立，
2
当且仅当 a b时，等号成立.
分析法：是从结论出发，分析确定不等式成立的
2
1
( a b)2
2
ab
- ab 0
因为 ( a b ) 0， 所以
2
ab
得 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
2
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
我们都知道，把一个物体放在天平的一个盘
子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，
可称得物体的质量为 .
如果是一架臂长不同（其他因素不计）的天平，
那么 并非物体的实际质量.
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？
取平均值：
ab
导果”的证明思路.
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
当 a，b 0 时，不等式仍然成立.
基本不等式:
ab
ab
（a，b 0）
2
对于正数 a，b ，
ab
算术平均数:
2
几何平均数: ab
两个正数的几何平均数不大于算术平均数
问题3.设 a，b为正数，证明下列不等式成立：
2
证法2： 对于正数 a，b ，
ab
要证 ab
，
2
只要证 2 ab a b ，
只要证 0 a 2 ab b ，
只要证 0 ( a b ) 2 .
ab
因为最后一个不等式成立，所以 ab
成立，
2
当且仅当 a b时，等号成立.
分析法：是从结论出发，分析确定不等式成立的
2
1
( a b)2
2
ab
- ab 0
因为 ( a b ) 0， 所以
2
ab
得 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
2
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
证明不等式的基本方法高考复习课件和练习数学课件PPT
∵x>0,y>0,∴x2y2>0.
即证3x2+3y2>2xy,∵3x2+3y2>x2+y2≥2xy,
1
1
∴3x2+3y2>2xy成立，∴x2y2 2 x3y3 3.
【拓展提升】1.综合法与分析法的逻辑关系 （1）用综合法证明不等式是“由因导果”,分析法证明不等 式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法. （2）综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理、清楚， 所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤. （3）分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分 利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.
【变式训练】已知a,b∈R+,且a+b=1,求证：（a1）（b1） 25.
a
b4
【证明】方法一：∵a，b∈（0，+∞），且a+b=1,
ab(a当b)且2 仅1,当a=b时，等号成立.
24
( a 1 ）( b 1 ） b a a b 1
a b ab
ab
(b a ) ( 1 ab )2 2
【变式训练】用反证法证明下列结论：
已知0＜a＜1，则 1 4 9.
a 1a
【证明】假设 1 4 ＜9,
a 1a
通分得
1
a 1
3
a a
＜
9
.
∵0＜a＜1,∴1+3a＜9a(1-a).
整理得（3a-1）2＜0.
这与平方数不小于0矛盾.
∴假设不成立，则 1 4 9.
a 1a
71.今天有许多人不是不愿接受新观念，而是不愿抛弃旧观念。 53.用这生命中的每一秒，给自己一个不后悔的未来。 74.上苍不会给你快乐也不会给你痛苦，它只会给你真实的生活。有人忍受不了生活的平淡而死去，却不知道生命本身就是奇迹！ 10.没有错误的行为，就不会有失败的结果。如果你不能正确分析失败的原因，即使做再多的努力，也于事无补。 61.少年时要恢宏气度，青年时肯吃苦耐劳，壮年时不妄自菲薄，老年时能传递经验。人生给父母最好的礼物是争光，给儿女最好的礼物是榜样，给社会最好的礼物是奉献。 48.当你看到一个没有右手的人，就不会抱怨你右手上的哪个胎记了。 16.你不能左右天气，但可以改变心情。你不能改变容貌，但可以掌握自己。你不能预见明天，但可以珍惜今天。 16.外在压力增加时，就应增强内在的动力。 6.人生舞台的大幕随时都可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。 62.人生的路，难与易都得走。世间的情，冷与暖总会有。如果有些事无法回避，那我们能做的，就是把自己变得更强大，强大到能够应对这一次挑战。智慧的人不徘徊在过去，豁达的人不忧患 于未来，聪明的人懂得把握现在！
高中数学第一章不等式的基本性质和证明的基本方法课件新人教B版选修4
⇔
或
或
4-2 > 10,
2-4 > 10
10 > 10
⇔x>7或x<-3.
所以不等式的解集为{x|x<-3或x>7}.
专题一
专题二
专题三
专题四
(2)设f(x)=|x+3|+|x-7|,有f(x)≥|(x+3)-(x-7)|=10,当且仅当(x+3)(x7)≤0,即-3≤x≤7时,f(x)取得最小值10,
域为[8,+∞),因为原不等式无解,所以只需a≤8,故a的取值范围是(∞,8].
方法二:由绝对值不等式,得|x-5|+|x+3|≥|(x-5)-(x+3)|=8,
故不等式|x-5|+|x+3|<a无解时,a的取值范围为(-∞,8].
答案:(-∞,8]
1
2
3
4
5
6
7
3(陕西高考)已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则
号的代数式值等于零的未知数的值,将这些值依次在数轴上标注出
来,它们把数轴分成若干个区间,讨论每一个绝对值符号内的代数
式在每一个区间上的符号,转化为不含绝对值的不等式去解.
专题一
专题二
专题三
专题四
应用1解下列关于x的不等式:
(1)|x-x2-2|>x2-3x-4;
(2)|x-2|-|2x+5|>2x.
(-)
16
≥2 4(-)·
=
(-)
16
(-)
16,
当且仅当 a=2b,(a-b)b=2,即 a=2 2,b= 2时等号成立,
或
或
4-2 > 10,
2-4 > 10
10 > 10
⇔x>7或x<-3.
所以不等式的解集为{x|x<-3或x>7}.
专题一
专题二
专题三
专题四
(2)设f(x)=|x+3|+|x-7|,有f(x)≥|(x+3)-(x-7)|=10,当且仅当(x+3)(x7)≤0,即-3≤x≤7时,f(x)取得最小值10,
域为[8,+∞),因为原不等式无解,所以只需a≤8,故a的取值范围是(∞,8].
方法二:由绝对值不等式,得|x-5|+|x+3|≥|(x-5)-(x+3)|=8,
故不等式|x-5|+|x+3|<a无解时,a的取值范围为(-∞,8].
答案:(-∞,8]
1
2
3
4
5
6
7
3(陕西高考)已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则
号的代数式值等于零的未知数的值,将这些值依次在数轴上标注出
来,它们把数轴分成若干个区间,讨论每一个绝对值符号内的代数
式在每一个区间上的符号,转化为不含绝对值的不等式去解.
专题一
专题二
专题三
专题四
应用1解下列关于x的不等式:
(1)|x-x2-2|>x2-3x-4;
(2)|x-2|-|2x+5|>2x.
(-)
16
≥2 4(-)·
=
(-)
16
(-)
16,
当且仅当 a=2b,(a-b)b=2,即 a=2 2,b= 2时等号成立,
3.4基本不等式 课件(共43张PPT)
A
a
2ab 面积和S’ =＿＿
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
> S′ S____
问：那么它们有相等的情况吗？
D b G A H F E
D
a 2 b2
a a
C
A
E(FGH)
b
C
B
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a b 2ab
2 2
当且仅当a=b时，等号成立。
思考：你能给出不等式 a 2Hale Waihona Puke §3.4 基本不等式（3）
ab ab 2
2 2 1、重要不等式 a + b ≥ 2ab（当且仅当a = b时，等号成立）
2、基本不等式； a b 2 a＋b 3、均值不等式： ab≤ 2
ab
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当
a＝b
时取等号．
[证明]
∵a，b，c∈{正实数}，a＋b＋c＝1，
1－a b＋c b c 2 bc 1 ∴a－1＝ a ＝ a ＝a＋a≥ a ， 1 2 ac 1 2 ab 同理b－1≥ b ，c －1≥ c . 由上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 1 1 1 2 bc 2 ac 2 ab ∴( －1)( －1)( －1)≥ · · ＝8. a b c a b c 1 当且仅当 a＝b＝c＝3时取等号．
a2＋b2 a＋b2 (4) ≥ (a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． 2 2 a＋b 2 (5)ab≤ 2 (a，b∈R)，当且仅当
a＝b 时取等号．
5：用均值不等式求最值：已知 和x
数学(选修4-5)课件1.2比较法证不等式
第1章 基本不等式和证明不等式的基本方法
1.2 比较法证不等式
学习目标
重点难点
1.了解比较法证明不等式的意义．
2.理解比较法的解题步骤及书面表
1.重点是利用比较法 证明不等式．
达．
2.难点是利用分类讨
3.能够应用比较法证明简单的不等
式.
论思想证不等式.
1．比较法 (1)求差比较法 我们已经知道a＞b⇔a－b＞0，a＜b⇔a－b＜0，因此，要 证明a＞b，只要证明__a_－__b_＞__0__即可，这种方法称为求差比较 法． (2)求商比较法 由于 a＞b＞0⇔ba＞1 且 a＞0，b＞0，因此，当 a＞0，b＞0 时，要证明 a＞b，只要证明___ba_＞__1____即可，这种方法称为求
；
当 b＞a＞0 时，0＜ab＜1，a－2 b＜0，
由指数函数的性质，得aba－2 b
a+b
＞1，∴aabb＞(ab) 2
.
a+b
综上知，aabb＞(ab) 2 .
【点评】 当被证明的不等式(或变形后)的两端都是正数 且为乘积形式或幂指数形式时，一般用求商比较法．
a+b
2．当 a，b∈(0，＋∞)时，求证：abba≤(ab) 2 .
商比较法．
(1)求差比较法主要适用的类型是什么？实质是什么？ (2)求商比较法主要适用的类型是什么？ 提示：(1)求差比较法主要适用于具有多项式结构特征的不 等式证明．实质是把判断两个数(或式子)大小的问题转化为判 断一个数(或式子)与0大小的问题． (2)求商比较法主要适用于积(商)、幂(根式)、指数式形式 的不等式证明．
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谢谢观看！
3．已知－π2≤α≤π2，－π2≤β≤π2，求α＋2 β，α－2 β的取值范
1.2 比较法证不等式
学习目标
重点难点
1.了解比较法证明不等式的意义．
2.理解比较法的解题步骤及书面表
1.重点是利用比较法 证明不等式．
达．
2.难点是利用分类讨
3.能够应用比较法证明简单的不等
式.
论思想证不等式.
1．比较法 (1)求差比较法 我们已经知道a＞b⇔a－b＞0，a＜b⇔a－b＜0，因此，要 证明a＞b，只要证明__a_－__b_＞__0__即可，这种方法称为求差比较 法． (2)求商比较法 由于 a＞b＞0⇔ba＞1 且 a＞0，b＞0，因此，当 a＞0，b＞0 时，要证明 a＞b，只要证明___ba_＞__1____即可，这种方法称为求
；
当 b＞a＞0 时，0＜ab＜1，a－2 b＜0，
由指数函数的性质，得aba－2 b
a+b
＞1，∴aabb＞(ab) 2
.
a+b
综上知，aabb＞(ab) 2 .
【点评】 当被证明的不等式(或变形后)的两端都是正数 且为乘积形式或幂指数形式时，一般用求商比较法．
a+b
2．当 a，b∈(0，＋∞)时，求证：abba≤(ab) 2 .
商比较法．
(1)求差比较法主要适用的类型是什么？实质是什么？ (2)求商比较法主要适用的类型是什么？ 提示：(1)求差比较法主要适用于具有多项式结构特征的不 等式证明．实质是把判断两个数(或式子)大小的问题转化为判 断一个数(或式子)与0大小的问题． (2)求商比较法主要适用于积(商)、幂(根式)、指数式形式 的不等式证明．
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3．已知－π2≤α≤π2，－π2≤β≤π2，求α＋2 β，α－2 β的取值范
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b 1 2 3 2 2 2 =(a+ 2 ) + 4 (b- 3) + 3
>0. ∴a2+b2+ab+1﹥a+b.
例2、已知a,b,c,d都是实数， 2 2 2 2 且a +b =1,c +d =1,求 证:∣ac+bd∣≤1
huan
zong
bi
fen
证法1:（换元法） a2+b2=1,c2+d2=1. 可设a=cosα,b=sinα, c=cosβ,d=sinβ, ∣ac+bd∣=|cosαcosβ+ sinαsinβ|=|cos(α-β)|≤1.
不等式的证明方法主要有：
比较法 综合法
换元法、 放缩法
分析法
反证法、
判别式法、
构造法
典例分析
例1 、 已知：a, b ∈R 求证： a2 +b2 +ab+1>a + b
3 1 2 b 42 3
证法一: 2(a2+b2+ab+1)-2(a+b) =a2+b2+2ab+a2-2a+1+b2-2b+1 =(a+b)2+(a-1)2+(b-1)2 >0. ∴a2+b2+ab+1﹥a+b.
不等式的证明
数学组 马迪
复习回顾 双向沟通 练习 总结
证明不等式的主要依据
1 a-b>0 a>b,a-b<0 a<b 2不等式的性质 3几个重要不等式 (1)a2≥0(a∈R) (2)a2+b2≥2ab(a,b∈R) a b (3) ≥ ab(a,b∈R,且a>0,b>0) 2 2 2 a b 2 ab a b (4) a b ≤ ab≤ 2 ≤ 2 (a,b∈R,且a>0,b>0) (5)a2+b2+c2≥ab+bc+ac
1 1 再证ac +bd ≤ 1, 2 2 a b c d ∵1-(ac+bd)= + -(ac+bd) 2 2 (b d ) -ac-bd = (a c)+ 2 = ≥0, ∴ ac+bd ≤ 1. 综上得∣ac+bd∣≤1
2 2
2 2
2
2
证法4（分析法） 要证∣ac+bd ∣≤ 1 , 2 只需证(ac+bd) ≤ 1 . 2 2 2 2 即只要证 a c +2abcd+b d ≤ 1 . 由于a2+b2=1 , c2+d2=1, 因此上式等价于 a2c2+2abcd+b2d2≤(a2+b2 )(c2+d2) 2 即证 (ad-bc) ≥0, 2 而(ad-bc) ≥0显然成立. 故∣ac+bd ∣≤ 1 .
证法二: a2+b2+ab+1-a-b
= a2+a(b-1)+ b2-b+1
把a作变元 ,Δ=(b-1)2-4(b2-b+1) =-3b2+2b-3
1 2 8 =-3(b- ) 3 3
< 0. ∴a2+b2+ab+1﹥a+b.
证法三： a2+b2+ab+1-a-b = a2+a(b-1)+ b2-b+1
证法2:(综合法) ∣ac+bd∣≤∣ac∣+∣bd∣
a c b d ≤ + = 2 2
2 2
பைடு நூலகம்
2
2
a b c d 2
2 2 2
2
=1
证法3:(比较法)显然有
∣ac+bd∣≤1 -1≤ac+bd≤1. 先证ac+bd≥-1, 1 1 ∵ac+bd+1=ac+bd+ +2 2 2 2 2 2 c d (a c) 2 (b d ) 2 a b =ac+bd+ + = 2 2 2 ≥0, ∴ac+bd≥-1.
练习
1、已知a>b>c, 求证： +
1 ab
1 bc
4 ac
+>
x xy y
2
y yz z
2
2
2.已知：x﹥0, y﹥0, z﹥0, 求证： >x+y+z. +
3、已知x>0,求证：2 x
x
2
4
1 2
总结
(1)不等式的方法是多种多样的，要根 据不等式的特点选择适当的方法。 (2)一些不等式证明之前要先做必要的 变形，然后再与熟知或证明过的不等 式进行联想、类比，从而选择最佳证 法。
>0. ∴a2+b2+ab+1﹥a+b.
例2、已知a,b,c,d都是实数， 2 2 2 2 且a +b =1,c +d =1,求 证:∣ac+bd∣≤1
huan
zong
bi
fen
证法1:（换元法） a2+b2=1,c2+d2=1. 可设a=cosα,b=sinα, c=cosβ,d=sinβ, ∣ac+bd∣=|cosαcosβ+ sinαsinβ|=|cos(α-β)|≤1.
不等式的证明方法主要有：
比较法 综合法
换元法、 放缩法
分析法
反证法、
判别式法、
构造法
典例分析
例1 、 已知：a, b ∈R 求证： a2 +b2 +ab+1>a + b
3 1 2 b 42 3
证法一: 2(a2+b2+ab+1)-2(a+b) =a2+b2+2ab+a2-2a+1+b2-2b+1 =(a+b)2+(a-1)2+(b-1)2 >0. ∴a2+b2+ab+1﹥a+b.
不等式的证明
数学组 马迪
复习回顾 双向沟通 练习 总结
证明不等式的主要依据
1 a-b>0 a>b,a-b<0 a<b 2不等式的性质 3几个重要不等式 (1)a2≥0(a∈R) (2)a2+b2≥2ab(a,b∈R) a b (3) ≥ ab(a,b∈R,且a>0,b>0) 2 2 2 a b 2 ab a b (4) a b ≤ ab≤ 2 ≤ 2 (a,b∈R,且a>0,b>0) (5)a2+b2+c2≥ab+bc+ac
1 1 再证ac +bd ≤ 1, 2 2 a b c d ∵1-(ac+bd)= + -(ac+bd) 2 2 (b d ) -ac-bd = (a c)+ 2 = ≥0, ∴ ac+bd ≤ 1. 综上得∣ac+bd∣≤1
2 2
2 2
2
2
证法4（分析法） 要证∣ac+bd ∣≤ 1 , 2 只需证(ac+bd) ≤ 1 . 2 2 2 2 即只要证 a c +2abcd+b d ≤ 1 . 由于a2+b2=1 , c2+d2=1, 因此上式等价于 a2c2+2abcd+b2d2≤(a2+b2 )(c2+d2) 2 即证 (ad-bc) ≥0, 2 而(ad-bc) ≥0显然成立. 故∣ac+bd ∣≤ 1 .
证法二: a2+b2+ab+1-a-b
= a2+a(b-1)+ b2-b+1
把a作变元 ,Δ=(b-1)2-4(b2-b+1) =-3b2+2b-3
1 2 8 =-3(b- ) 3 3
< 0. ∴a2+b2+ab+1﹥a+b.
证法三： a2+b2+ab+1-a-b = a2+a(b-1)+ b2-b+1
证法2:(综合法) ∣ac+bd∣≤∣ac∣+∣bd∣
a c b d ≤ + = 2 2
2 2
பைடு நூலகம்
2
2
a b c d 2
2 2 2
2
=1
证法3:(比较法)显然有
∣ac+bd∣≤1 -1≤ac+bd≤1. 先证ac+bd≥-1, 1 1 ∵ac+bd+1=ac+bd+ +2 2 2 2 2 2 c d (a c) 2 (b d ) 2 a b =ac+bd+ + = 2 2 2 ≥0, ∴ac+bd≥-1.
练习
1、已知a>b>c, 求证： +
1 ab
1 bc
4 ac
+>
x xy y
2
y yz z
2
2
2.已知：x﹥0, y﹥0, z﹥0, 求证： >x+y+z. +
3、已知x>0,求证：2 x
x
2
4
1 2
总结
(1)不等式的方法是多种多样的，要根 据不等式的特点选择适当的方法。 (2)一些不等式证明之前要先做必要的 变形，然后再与熟知或证明过的不等 式进行联想、类比，从而选择最佳证 法。