二次函数专题训练(正方形的存在性问题)含答案

1.如图，已知抛物线y=x２+bx+c的图象经过点A（l，0）,Ｂ(﹣3,０），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D,对称轴与x轴相交于点E,连接BD．

（１)求抛物线的解析式.

（２）若点Ｐ在直线BD上,当PE＝PC时，求点Ｐ的坐标．

（3）在(2）的条件下，作ＰＦ⊥x轴于F,点M为x轴上一动点,N为直线PＦ上一动点,G为抛物线上一动点,当以点Ｆ,N,G，Ｍ四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．

2．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与ｘ轴交于点Ａ和点B,与y轴交于点C，点B坐标为(6，０),点C坐标为

(0，６）,点D是抛物线的顶点，过点Ｄ作x轴的垂线,垂足为E，连接BD.

（1）求抛物线的解析式及点Ｄ的坐标；

(2）点F是抛物线上的动点,当∠FＢＡ＝∠ＢDＥ时，求点Ｆ的坐标；

（3)若点M是抛物线上的动点，过点M作MＮ∥x轴与抛物线交于点N,点P在x轴上，点Q在坐标平面内,以线段MＮ为对角线作正方形ＭＰNQ，请写出点Ｑ的坐标.

3.如图,已知抛物线y=ax2+bｘ﹣３过点A（﹣1,0）,B（3,０)，点M、N为抛物线上的动点，过点M作M Ｄ∥y轴,交直线BC于点D，交x轴于点Ｅ.过点N作NＦ⊥x轴,垂足为点F

（1)求二次函数y=ａｘ２+bｘ﹣3的表达式;

（2）若Ｍ点是抛物线上对称轴右侧的点,且四边形ＭNＦE为正方形，求该正方形的面积；

(3）若M点是抛物线上对称轴左侧的点,且∠DMN=９0°，MＤ＝ＭN，请直接写出点M的横坐标．

4．（20１５贵州省毕节地区) 如图,抛物线y＝ｘ2+bx＋c与x轴交于Ａ(﹣1,０），B（3,０)两点，顶点Ｍ关于x轴的对称点是M′．

（１）求抛物线的解析式；

(２)若直线AM′与此抛物线的另一个交点为Ｃ，求△CAＢ的面积;

（３)是否存在过A,B两点的抛物线,其顶点P关于x轴的对称点为Ｑ,使得四边形APＢＱ为正方形?若存在,求出此抛物线的解析式;若不存在，请说明理由．

5. (20１６辽宁省铁岭市) ．如图,抛物线y=﹣ｘ２+ｂx+ｃ与x轴交于点A，点Ｂ，与y轴交于点C,点

Ｂ坐标为（6，0）,点Ｃ坐标为(0，６）,点D是抛物线的顶点，过点Ｄ作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标;

(2）点Ｆ是抛物线上的动点,当∠ＦBA=∠ＢＤＥ时,求点F的坐标；

（3)若点Ｍ是抛物线上的动点,过点Ｍ作ＭＮ∥ｘ轴与抛物线交于点N，点P在x轴上,点Q在平面内,以线段MN为对角线作正方形MPＮQ，请直接写出点Q的坐标．

6．(2016 广东省茂名市) .如图，抛物线y=﹣x２+bx＋c经过A(﹣1，0），B（3,０)两点,且与ｙ轴交于点C，点D是抛物线的顶点,抛物线的对称轴DE交ｘ轴于点E，连接BD.

(１)求经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式;

(2)点P是线段BＤ上一点，当PE＝PC时,求点P的坐标；

(3)在（2)的条件下,过点P作PF⊥x轴于点Ｆ,G为抛物线上一动点,M为x轴上一动点，Ｎ为直线PF上一动点，当以F、Ｍ、Ｇ为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．

二次函数专题训练(正方形的存在性问题）参考答案

1.如图,已知抛物线y=x2＋bx＋c的图象经过点A(l，0),B(﹣3,0）,与y轴交于点C,抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点Ｅ，连接BＤ.

(１）求抛物线的解析式．

（2）若点P在直线BD上,当PE＝PC时，求点P的坐标．

（３)在(２)的条件下,作PF⊥x轴于F，点M为ｘ轴上一动点，N为直线ＰＦ上一动点,G为抛物线上一动点，当以点F,Ｎ，G,M四点为顶点的四边形为正方形时,求点Ｍ的坐标.

【解答】解：(1）∵抛物线y=x２＋bｘ+ｃ的图象经过点A（１，０),Ｂ（﹣3，0）,

∴，∴，∴抛物线的解析式为y=x2＋2x﹣3;

（2)由(1）知，抛物线的解析式为y=x2+2x﹣３;

∴C（０，﹣3），抛物线的顶点Ｄ(﹣1，﹣4),

∴E（﹣1,0),

设直线BD的解析式为y=mｘ+n,

∴，∴,∴直线ＢD的解析式为ｙ=﹣2x﹣6,

设点P（a，﹣２a﹣6),

∵C(０，﹣3），Ｅ(﹣1，0),

根据勾股定理得，PＥ2=(a＋1)2+（﹣2a﹣6）2,

PＣ2=ａ2+(﹣2ａ﹣６+３)2，

∵PC=ＰＥ,

∴（a+1）2+（﹣２a﹣6)2=a2+（﹣2a﹣6＋3）2,

∴a＝﹣2，∴y=﹣2×(﹣2）﹣６=﹣２，

∴P（﹣2,﹣２）,

（3）如图,作PF⊥x轴于F,

∴F（﹣2,0）,

设M（d,０）,

∴G（d,d２+2d﹣３),Ｎ(﹣2，ｄ2+2d﹣３)，

∵以点F，N，G,M四点为顶点的四边形为正方形,必有FＭ=ＭG，

∴｜d＋2|=|ｄ2+２d﹣3｜,

∴d=或d=,

∴点M的坐标为（,０)，(，0），(，０）,（,0)．

2.如图，抛物线y=﹣ｘ2＋bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C，点B坐标为（6，０）,点C坐标为（0,6），点D是抛物线的顶点,过点D作x轴的垂线，垂足为E,连接BD．

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;(2)点Ｆ是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDＥ时，求点F的坐标;（3)若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点Ｎ，点P在x轴上,点Q在坐标平面内，以线段ＭN为对角线作正方形MPＮＱ，请写出点Q的坐标.

【解答】解:(１)把B、Ｃ两点坐标代入抛物线解析式可得,解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x２＋2x＋6,

∵y=﹣x２＋2x+6=﹣（x﹣2）２＋8,∴D（2，8);

(2）如图1,过F作FＧ⊥x轴于点G，

设F（ｘ，﹣x２+2x+６),则FG=｜﹣x2+2x+６|,

∵∠FBA=∠BDE,∠FＧB=∠ＢED=９０°，

∴△FBＧ∽△ＢDＥ，∴=，∵B(6，0),D(2，8)，

∴Ｅ(2,0），BE＝4，DE=8,OB=6，∴ＢＧ=６﹣x,∴＝,

当点F在x轴上方时,有＝，解得ｘ＝﹣1或x＝6(舍去）,此时F点的坐标为（﹣1,)；当点F在x轴下方时，有=﹣,解得x＝﹣３或x=６(舍去）,此时

Ｆ点坐标为(﹣3，﹣)；

综上可知Ｆ点的坐标为（﹣1,）或(﹣3,﹣）;

（３）如图2，设对角线ＭN、PＱ交于点Ｏ′，

∵点M、N关于抛物线对称轴对称,且四边形MPＮQ为正方形，

∴点Ｐ为抛物线对称轴与ｘ轴的交点，点Ｑ在抛物线的对称轴上,

设Q（2，2n）,则M坐标为(2﹣ｎ，ｎ),

∵点M在抛物线y=﹣x2+２x+6的图象上，