高三基础知识天天练 数学10-1人教版
高中数学基础强化天天练必修1第10练 函数的图象(2)
第10练函数的概念和图象（图象）目标：会作出一些特殊函数的图象，并能根据图象解决一些问题；培养运用数形结合思想解题的能力．一．填空题1.将函数y＝3x2的图象向上平移一个单位长度，得到函数y＝________的图象，再将所得的图象向右平移两个单位长度，得到函数y＝________的图象.【答案】3x2＋13(x－2)2＋1解析左右平移遵循“左加右减”的原则，上下平移遵循“上加下减”的原则.2.函数y＝4(x＋3)2＋4的图象可以看作由函数y＝4(x－3)2－4的图象经过______________________变换得到.【答案】向左平移6个单位长度，向上平移8个单位长度【解析】根据平移遵循的原则.3.函数f(x)＝1＋23x的图象与y＝g(x)的图象关于x轴对称，则g(x)＝________，函数f(x)与y＝h(x)关于原点对称，则h(x)＝________.【答案】－1－23x－1＋23x【解析】根据函数图象关于轴与原点的对称性质.4.函数y＝1x的图象关于点________对称，则函数y＝1x＋1－1的图象关于点________对称.【答案】(0,0)(－1，－1)【解析】根据函数图象关于点的对称性质.5.下列可作为函数y＝f(x)的图象的是________.(填序号)【答案】(4)【解析】(1)中，当x∈(－1,1)时，y有两个值与它对应；(2)中，当x>－1时，y有两个值与它对应；(3)中，当x＝0时，y有两个值与它对应；(4)中，图象所体现的对应特点符合函数的概念.6.函数f(x)＝x＋2x＋1的图象为________.(填序号)【答案】 (4)【解析】因为f (x )＝x ＋2x ＋1＝1＋1x ＋1，所以将函数y ＝1x 的图象向左平移1个单位长度，然后再向上平移1个单位长度就可得到f (x )的图象，故(4)正确.7.已知二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m ＋1)与0的大小关系是________． 【答案】 f (m ＋1)>0【解析】 因为二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)的对称轴是x ＝－12，且与y 轴正半轴相交，所以由图象可知f (x )<0的解集的区间长度小于1，故若f (m )<0，则必有f (m ＋1)>0.8.若函数f (x )＝x 2－2x 在区间[a ，b ]上的值域是[－1，3]，则点(a ，b )的集合是下图中的线段 ________.【答案】 8.AC 和AB【解析】f (x )＝(x －1)2－1，a ＝－1,1≤b ≤3或b ＝3，－1≤a ≤1.9.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈(0，1]，则关于图中函数图象的说法正确的是________.(填序号)(1)是f (x －1)的图象； (2)是f (－x )的图象； (3)是f (|x |)或|f (x )|的图象；(4)以上说法都不对. 【答案】 (4)【解析】 对于(1)，当－1≤x ≤0时，f (x )＝x ＋1为上升的直线，与图中的所示不符，故(1)错误，根据图象又知(2)(3)均错误，(4)正确.10.设函数f (x )＝1－2x 2，g (x )＝x 2－2x ，若F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，f (x )≥g (x )，f (x )，f (x )<g (x )，则函数F (x )的值域为 .【答案】 ⎝⎛⎦⎤－∞，79.【解析】作出F (x )的图象，如图所示，当f (x )＝g (x )时，即1－2x 2＝x 2－2x ，解得x ＝－13或x ＝1，则由图可知F (x )的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，79.二．解答题画出函数y ＝x 2－4|x |＋3的图象，若该图象与y ＝b 有4个交点，求实数b 的取值范围.解 函数y ＝x 2－4|x |＋3可化为y ＝|x |2－4|x |＋3，在平面直角坐标系中画出y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1的图象，删去y 轴左侧的图象并将轴右侧的图象关于y 轴作对称即得y ＝|x |2－4|x |＋3＝x 2－4|x |＋3的图象(如下图)，由图象知若y ＝|x |2－4|x |＋3＝x 2－4|x |＋3与y ＝b 有4个交点，则b ∈(－1,3).12.设f (x )＝|2－x 2|，若a <b <0，且f (a )＝f (b )，求a 2＋b 2的值.解 保留函数y ＝2－x 2在x 轴上方的图象，将其在x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，即可得到函数f (x )＝|2－x 2|的图象(如图所示).通过观察图象，由a <b <0，且f (a )＝f (b )可知a <－2<b <0，所以f(a)＝a2－2，f(b)＝2－b2，从而a2－2＝2－b2，即a2＋b2＝4.。
2019年高考数学一轮复习(文科)训练题天天练 10 Word版含解析
天天练导数的应用(一)一、选择题．(·太原一模)函数＝()的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )．(－)为函数＝()的单调递增区间．()为函数＝()的单调递减区间．函数＝()在＝处取得极大值．函数＝()在＝处取得极小值答案：解析：由函数＝()的导函数的图象可知，当<－或<<时，′()<，＝()单调递减；当>或－<<时，′()>，＝()单调递增．所以函数＝()的单调递减区间为(－∞，－)，()，单调递增区间为(－)，(，＋∞)．函数＝()在＝－处取得极小值，在＝处取得极大值，故选项错误，选.．已知∈，函数()＝－＋＋的导函数′()在(－∞，)上有最小值，若函数()＝，则( ) ．()在(，＋∞)上有最大值．()在(，＋∞)上有最小值．()在(，＋∞)上为减函数．()在(，＋∞)上为增函数答案：解析：函数()＝－＋＋的导函数′()＝－＋，′()图象的对称轴为＝，又导函数′()在(－∞，)上有最小值，所以<.函数()＝＝＋－，′()＝－＝，当∈(，＋∞)时，′()>，所以()在(，＋∞)上为增函数．故选.．函数()＝＋－在[－]上的最大值和最小值分别是( )．，－．．，－．，－答案：解析：因为()＝＋－，所以′()＝＋，当∈[－，－)或∈(]时，′()>，()为增函数，当∈(－)时，′()<，()为减函数，由(－)＝，(－)＝，()＝－，()＝，故函数()＝＋－在[－]上的最大值和最小值分别是，－.．(·焦作二模)设函数()＝(－)－＋，则函数()的单调递减区间为( )．(，＋∞) ．(，＋∞)答案：解析：由题意可得()的定义域为(，＋∞)，′()＝(－)＋(－)·－＋＝(－)·.由′()<可得(－)<，所以(\\(－>，<))或(\\(－<，>，))解得<<，故函数()的单调递减区间为，选.．设′()是函数()的导函数，将＝()和＝′()的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )答案：解析：不存在选项的图象所对应的函数，因在定义域内，若上面的曲线是＝′()的图象，则′()≥，()是增函数，与图象不符；反之若下面的曲线是＝′()的图象，则′()≤，()是减函数，也与图象不符，故选.．(·江西金溪一中等校联考)已知函数()与′()的图象如图所示，则函数()＝的单调递减区间为( )．() ．(－∞，)，．()，(，＋∞)答案：解析：′()＝＝，令′()<，即′()－()<，由题图可得∈()∪(，＋∞)．故函数()的单调递减区间为()，(，＋∞)．故选.方法总结导数与函数的单调性()利用导数讨论函数单调性的步骤：①确定函数()的定义域；②求′()，并求′()＝的根；②利用′()＝的根将定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论′()的正负，确定()在该区间上的单调性．()求单调区间的步骤：①确定函数()的定义域；②求′()；③。
宿豫中学09届高三数学二轮复习天天练10
09届高三数学天天练10一、填空题1．对于命题p ：R x ∈∃，使得x 2+ x +1 < 0．则p ⌝为：_________．2．复数13i z =+，21i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于第_______象限． 3．“1x >”是“2x x >”的 条件．4．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为 .5．设x 、y 满足条件310x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，则22(1)z x y =++的最小值 ．6．如果执行下面的程序框图，那么输出的S =7．△ABC 中，︒=∠==30,1,3B AC AB ，则△ABC 的面积等于_________．8．给出下列命题：①变量 y 与x 之间的相关系数0.9568r =-，查表到相关系数的临界值为0.050.8016r =，则变量 y 与x 之间具有线性关系；② 0,0a b >>则不等式3323a b ab +≥恒成立；③ 对于函数()22.f x x mx n =++若()()0.0,f a f b >>则函数在(),a b 内至多有一个零点；④ ()2y f x =-与()2y f x =-的图象关于2x =对称．其中所有正确命题的序号是__________．9．若∆ABC 内切圆半径为r ，三边长为a 、b 、c ，则∆ABC 的面积S ＝12r (a +b +c ) 类比到空间，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为S 1、S 2 、S 3 、S 4，则四面体的体积V ＝ ．10．0≠=，且关于x 的函数f(x)=x x ⋅++2331在R 上有极值，则与b 的夹角范围为_______．11．已知数列{}n a 为等差数列，且17134a a a π++=，则212tan()a a +=________．12．函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的区间是（n ,n ＋1），则正整数n =______． 13．四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图：则四棱锥P ABCD -的表面积为 ．14．已知点P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是（4，a ），则当||a >4时，||||PA PM +的最小值是 ．0.0250.0150.010.005908070605040分数频率组距二、解答题：（文科班只做15题，30分，理科班两题都做，每题15分）15.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（是不小于40不大于100的整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后（1）求第四小组的频率，并补全这个画出如下部分频率分布直方图.(2) 观察频率分布直方图图形的 信息，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．16．已知数列{}n a 满足11a =，且11429n n n n a a a a ++-+=（n N *∈）（1）求1234,,,a a a a 的值；（2）由（1）猜想{}n a 的通项公式，并给出证明．俯视图左视图主视图a a a D C B A09届高三数学天天练10答案一、填空题：1． R x ∈∀，均有x 2+ x +1≥0 2．第一象限 3．充分而不必要条件 4．5． 4 6． 2550 7．4323或 8．①④ 9． 13 R(S 1＋S 2＋S 3＋S 4) 10． ],3(ππ，11． 12．1 13． 222S a = 14． 1二、解答题：15．（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：41(0.0250.01520.010.005)100.3f =-+⨯++⨯= 3′直方图如右所示 6′（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为 (0.0150.030.0250.005)100.75+++⨯=所以，抽样学生成绩的合格率是75%.. 9 ′ 利用组中值估算抽样学生的平均分123456455565758595f f f f f f ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅＝450.1550.15650.15750.3850.25950.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝71估计这次考试的平均分是71分 12′16．（1）由11429n n n n a a a a ++-+=得1921244n n n n a a a a +-==---， 求得23471319,,357a a a === 3′ （2）猜想6521n n a n -=- 5′ 证明：①当n=1时，猜想成立。
高中数学基础强化天天练必修1第1练
第39练任意角（1）目标：理解任意角的概念；能判定任一已知角为第几象限角；能写出与任一已知角终边相同的角的集合．一、填空题1.200°是第_____象限角【答案】三2．锐角α的取值范围是__________。
【答案】] 2 0[π，3. 下列说法中，正确的是________(填序号)．①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；③第二象限的角为钝角；④小于90°的角一定为锐角；⑤角α与－α的终边关于x轴对称．【答案】②⑤【解析】终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的．4.在－390°，－885°，1 351°，2 012°这四个角中，其中第四象限角的个数为________．【答案】2【解析】∵－390°＝－360°＋(－30°)，－30°是第四象限角，∴－390°是第四象限角；∵－885°＝－3×360°＋195°，195°是第三象限角，∴－885°是第三象限角；∵1 351°＝3×360°＋271°，271°是第四象限角，∴1 351°是第四象限角；∵2 012°＝5×360°＋212°，212°是第三象限角，∴2 012°是第三象限角．5.写出-720°到360°之间与-1068°终边相同的角的集合：__________________________．【答案】{-708°，-348°，12°}【解析】因为-720°到360°之间与-1068°终边相同的角有-708°，-348°，12°，所以-720°到360°之间与-1068°终边相同的角的集合为{-708°，-348°，12°}．6.终边落在坐标轴上的角的集合为___________________________．【答案】{α|α= k·90°，k∈Z}．7.若α与β的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.【答案】k·360°＋60°，k∈Z【解析】β与－120°角的终边互为反向延长线，则β与60°角的终边相同．∴β＝k·360°＋60°，k ∈Z .8.以下四个命题中，正确的命题的个数是_____．（1）终边相同的角一定相等；（2）相等的角终边一定相同；（3）始边与终边重合的角为0°；（4）第二象限角总比第一象限角大．【答案】1【解析】(2）正确，故正确的命题的个数是1个．9.与-1210°终边相同的最小正角和最大负角之和是_______．【答案】100°【解析】与-1210°终边相同的最小正角是230°，最大负角是-130°，故最小正角和最大负角之和是100°．10.若集合A={α|α=30°+k ·360°，k ∈Z }，B={β|β=30°+k ·720°，k ∈Z }，C={γ|γ=30°+k ·180°，k ∈Z }，则集合A 、B 、C 的关系是__________________．【答案】B ≠⊂A ≠⊂C【解析】A={α|α=30°+2k ·180°，k ∈Z }，B={β|β=30°+4k ·180°，k ∈Z }，C={γ|γ=30°+k ·180°，k ∈Z }）所以B ≠⊂A ≠⊂C二、解答题11.在与角－2 013°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角．解 (1)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与角－2 013°终边相同的最小正角是147°.(2)∵－2 013°＝－5×360°＋(－213°)，∴与角－2 013°终边相同的最大负角是－213°.(3)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与角－2 013°终边相同也就是与角147°终边相同．由－720°<k ·360°＋147°<720°，k ∈Z ，解得：k ＝－2，－1,0,1.代入k ·360°＋147°依次得：－573°，－213°，147°，507°.12.已知α与-240°角的终边相同，判断α2是第几象限角． 解：由α=k ·360°-240°（k ∈Z ）得α2=k ·180°-120°（k ∈Z ）．若k =2n ，n ∈Z ，则α2=n ·360°-120°，n ∈Z ，所以α2是第三象限角；若k =2n +1，n ∈Z ，则α2=n ·360°+60°，k ∈Z ，所以α2是第一象限角．综上所述，α2是第一或第三象限角．。
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第11模块 第6节[知能演练]一、选择题1．如右图，向圆内投镖，如果每次都投入圆内，那么投中正方形区域的概率为( )A.2π B.1π C.23D.13解析：投中正方形区域的概率为正方形的面积与圆的面积之比，设正方形的边长为1，则其面积为1，圆的半径为22，面积为π(22)2＝π2，故投中正方形区域的概率为1π2＝2π，故选A.答案：A2．在500 mL 的水中有一个细菌，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现这个细菌的概率是( )A ．0.004B ．0.002C ．0.04D ．0.02解析：由于取水样的随机性，所求事件A “在取出的2 mL 水样中有细菌”的概率等于水样的体积与总体积之比，即P ＝2500＝0.004.故选A.答案：A3．已知Ω＝{(x ，y )|x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤6}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落在区域A 内的概率为( )A.13B.23C.19D.29解析：由于点P 落在区域Ω内的位置的随机性，所求事件A 的概率等于区域A 的面积与区域Ω的面积之比，即P ＝12×4×212×6×6＝29.故选D.答案：D4．如下图所示，ABCD 是正方形，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 、CD 的中点，三只麻雀分别落在这三个正方形木板上休息，它们落在所在木板的任何地方是等可能的，麻雀落在甲、乙、丙三块木板中阴影部分的概率分别是P 1、P 2、P 3，则()A ．P 1<P 2＝P 3B ．P 1<P 2<P 3C ．P 1＝P 2＝P 3D ．P 1>P 2＝P 3解析：因为每一个图形中阴影部分的面积均是正方形面积的一半，所以麻雀落在甲、乙、丙三块木板中阴影部分的概率都是12.故选C.答案：C 二、填空题5．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是________、________、________.(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．解析：在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝亮红灯的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；(2)P ＝亮黄灯的时间全部时间＝575＝115；(3)P ＝不是亮红灯的时间全部时间＝亮黄灯或绿灯的时间全部时间＝4575＝35.故填25、115、35.答案：25 115 356．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b .若a 、b 都是从区间[0,4]内任取的一个数，则f (1)>0成立的概率是________．解析：f (1)＝－1＋a －b >0，即a －b >1，如右图，A (1,0)，B (4,0)，C (4,3)，S ΔABC ＝92，P ＝S ΔABC S 矩＝924×4＝932.故填932.答案：932三、解答题7．在1万平方千米的大陆架海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？解：石油在1万平方千米的大陆架海域中的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积，由几何概型的概率公式可以求得概率．记“钻到油层面”为事件A ，则P (A )＝储藏石油的大陆架面积大陆架海域的面积＝4010000＝0.004.答：钻到油层面的概率是0.004.8．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤0}，集合B ＝{x |ax ＋b ·2x －1<0,0≤a ≤2,1≤b ≤3}． (1)若a ，b ∈N ，求A ∩B ≠Ø的概率； (2)若a ，b ∈R ，求A ∩B ＝Ø的概率．解：(1)因为a ，b ∈N ，(a ，b )可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9组．令函数f (x )＝ax ＋b ·2x －1，x ∈[－1,0]，则f ′(x )＝a ＋b ln2·2x . 因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，所以f ′(x )>0， 即f (x )在[－1,0]上是单调递增函数．f (x )在[－1,0]上的最小值为－a ＋b 2－1.要使A ∩B ≠Ø，只需－a ＋b2－1<0，即2a －b ＋2>0.所以(a ，b )只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共7组． 所以A ∩B ≠Ø的概率为79.(2)因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，所以(a ，b )对应的区域为边长为2的正方形(如右图)，面积为4.由(1)可知，要使A ∩B ＝Ø，只需f (x )min ＝－a ＋b2－1≥0⇒2a －b ＋2≤0，所以满足A ∩B ＝Ø的(a ，b )对应的区域是图中的阴影部分，所以S 阴影＝12×1×12＝14，所以A ∩B ＝Ø的概率为P ＝144＝116.[高考·模拟·预测]1．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A的距离小于等于a 的概率为( )A.22B.22π C.16D.16π 解析：P ＝18×43πa 3a 3＝π6. 答案：D2．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )A.14 B.13 C.12D.23解析：如下图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为13.答案：133．已知如右图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为________．解析：设所求的面积为S ，由题意得6001000＝S5×12，∴S ＝36.答案：364．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧的长度小于1的概率为________．解析：如右图所示，可设＝1，＝1，根据题意只要点B在优弧上，劣弧的长度就小于1，由于点B 在圆周上的任意性，故这个概率是优弧的长度与圆的周长之比，即这个概率是23.故填23. 答案：235．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(Ⅰ)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．(Ⅱ) 若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(Ⅰ)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(Ⅱ)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.[备选精题]6．一条直线型街道的A ，B 两盏路灯之间的距离为120 m ，由于光线较暗，想在中间再随意安装两盏路灯C ，D ，路灯次序依次为A ，C ，D ，B ，求A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于40 m 的概率．解：设AC 长为x ，DB 长为y ，则CD 长为120－(x ＋y )且满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1200≤y ≤120120－(x ＋y )≥0设AC ，BD 之间都不小于40的事件为M ， 则⎩⎪⎨⎪⎧40≤x ≤12040≤y ≤120x ＋y ≤120满足条件的点P (x ，y )构成如右图所示的阴影区域，∴P (M )＝S △阴影S △OEF ＝19.。
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单元质量检测(11)一、选择题1．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有( )A ．12种B ．20种C ．24种D ．48种解析：甲、乙捆绑后与第5种商品排列有A 22种，产生的三个空排丙、丁，有A 23种，再排甲、乙有A 22种，共有A 22A 23A 22＝24种．答案：C2．直角坐标xOy 平面上，平行直线x ＝n (n ＝0,1,2，…，5)与平行直线y ＝n (n ＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有( )A ．25个B ．36个C ．100个D ．225个解析：从构成矩形的四条边入手，可以从6条竖着的直线中任取两条，共有C 26种选法；再从6条横着的直线中任取两条直线，共有C 26种选法，所以可构成矩形C 26·C 26＝225(个)． 答案：D3．(1＋3x )6⎝⎛⎭⎪⎫1＋14x 10的展开式中的常数项为( )A ．1B ．46C ．4245D ．4246 解析：(1＋3x )6的通项公式为C r 6x r3，⎝⎛⎭⎪⎫1＋14x 10的通项公式为C k10x －k 4，由r 3＋(－k 4)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝0k ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3k ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧r ＝6k ＝8共三项，所以常数项为C 06C 010＋C 36C 410＋C 66C 810＝4246. 答案：D4．在一底面半径和高都是2 cm 的圆柱形容器中盛满小麦种子，但有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出2 cm 3的种子，则取出带麦锈病的种子的概率是( )A.14B.18πC.14πD ．1－14π解析：可用体积作为几何度量，易知取出带有麦锈病的种子的概率为P ＝2π ·22·2＝14π.答案：C5．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12 C.34D.23解析：如右图，在AB 边取点P ′，使AP ′AB ＝34，则P 只能在AP ′内运动，则概率为AP ′AB ＝34.答案：C6．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 第n 次摸取红球1 第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57(13)2(23)5B ．C 27(23)2(13)5C ．C 57(13)2(13)5D ．C 37(13)2(23)5 解析：由题意得，在7次摸球中，摸得红球的次数恰为2次，则有S 7＝3. 又因为每次摸球，摸得红球的概率为23，设X 为摸得红球的次数，则X ～B (7，23)，在7次摸球中，恰有2次摸得红球的概率 P (X ＝2)＝C 27(23)2(13)5. 答案：B7．集合A ＝{(x ，y )|y ≥|x －1|，x ∈N *}，集合B ＝{(x ，y )|y ≤－x ＋5，x ∈N *}． 先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得点数记作a ，掷第二颗骰子得点数记作b ，则(a ，b )∈A ∩B 的概率等于( )A.14B.29C.736 D.536解析：由于y ≥|x －1|⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0x ＋y －1≥0，根据二元一次不等式表示平面的区域，可知A ∩B对应如下图所示的阴影部分的区域中的整数点．其中整数点有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，共14个．现先后抛掷2颗骰子，所得点数分别有6种，共会出现36种结果，其中落入阴影区域内的有8种，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．所以满足(a ，b )∈A ∩B 的概率为836＝29，故选B.答案：B8．设随机变量的概率分布为：则X ( )A.12B ．0C ．2D ．随p 的变化而变化 解析：EX ＝0×p 3＋1×p 3＋2×(1－2p3)＝2－p ，又∵p 3≥0,1－23p ≥0，∴0≤p ≤32，∴当p ＝32时，EX 的值最小，最小值为2－32＝12.答案：A9．利用计算机在区间(0,1)上产生两个随机数a 和b ，则方程x ＝－2a －bx 有实根的概率为( )A.12B.13C.16D.23解析：方程x ＝－2a －bx ，即x 2＋2ax ＋b ＝0，若方程有实根，则有Δ＝4a 2－4b ≥0即b ≤a 2，其所求概率可转化为几何概型，如右图，其概率等于阴影面积与正方形面积之比，S 阴影＝⎠⎛01a 2d a ＝13a 3| 10＝13，所以所求概率P ＝13.答案：B10．在区间[0,1]上任意两个实数a ，b ，则函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为( )A.18B.14C.34D.78解析：f ′(x )＝32x 2＋a ，故f (x )在x ∈[－1,1]上单调递增，又因为函数f (x )＝12x 3＋ax －b在[－1,1]上有且仅有一个零点，即有f (－1)·f (1)<0成立，即(12＋a －b )(－12－a －b )<0，则(12＋a －b )(12＋a ＋b )>0，可化为：⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤10≤b ≤112＋a －b >012＋a ＋b >0或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤10≤b ≤112＋a －b <012＋a ＋b <0，由线性规划知识在直角坐标系aOb 中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何概型可以知道，函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为：可行域的面积除以直线a ＝0，a ＝1，b ＝0，b ＝1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为78.答案：D11．若k 为实数，且k ∈[－2,2]，则k 的值使得过点A (1,1)的两条直线与圆x 2＋y 2＋kx －2y －54k ＝0相切的概率为( )A.14B.12C.34D ．不确定解析：由题意知点A (1,1)在圆x 2＋y 2＋kx －2y －54k ＝0，即(x ＋k 2)2＋(y －1)2＝k 24＋1＋54k的外部，所以⎩⎨⎧k 24＋1＋54k >012＋12＋k －2－54k >0，即⎩⎪⎨⎪⎧k >－1或k <－4k <0.又k ∈[－2,2]，所以－1<k <0.故由几何概型概率公式得所求概率为P ＝14.答案：A12．已知0≤a <2,0≤b ＜4，为估计在a >1的条件下，函数f (x )＝x 2＋2ax ＋b 有两相异零点的概率为P ，用计算机产生了[0,1)内的两组随机数a 1，b 1各2400个，并组成了2400个有序数对(a 1，b 1)，统计这2400个有序数对后得到2×2列联表的部分数据如下表：( )A.1348B.1124C.1324D.712解析：本题先对产生的随机数对(a 1，b 1)进行a ＝2a 1，b ＝4b 1的变换后可转化为满足题中条件的数对(a ，b )，而当4a 2－4b >0时，原函数f (x )有两个相异零点．所以先将表格补全，知当a >1即a 1>12时，满足a 21－b 1>0时，有两个相异零点，于是P ＝6501200＝1324. 答案：C 二、填空题13．已知(1＋kx 2)6(k 是正整数)的展开式中x 8的系数小于120，则k ＝________.解析：(1＋kx 2)6按二项式定理展开的通项为T r ＋1＝C r 6(kx 2)r ＝C r 6k r ·x 2r. 令2r ＝8，得r ＝4，∴x 8的系数为C 46·k 4，即15k 4<120，∴k 4<8.而k 是正整数，故k 只能取1. 答案：114．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有________种．(有数字作答)解析：由题意可知有一个工厂安排2个班，另外三个工厂每厂安排1个班，共有C 14·C 25·A 33＝240种安排方法．答案：24015．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(2，＋∞)上取值的概率为________．解析：由正态分布的特征易得 P (ξ>2)＝12[1－2P (0<ξ<1)]＝12(1－0.8)＝0.1. 答案：0.116．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望Eξ＝________.解析：因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得红球(成功)的次数，则ξ～B (4，35)，从而有Eξ＝np ＝4×35＝125.答案：125三、解答题17．在一个盒中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，求 (1)从中任取1支，得到一等品或二等品的概率； (2)从中任取2支，没有三等品的概率．解：(1)从6支笔中任取1支得一等品或二等品共有3＋2＝5种， 不同的取法，任取一支笔共有6种取法， ∴任取1支，得到一等品或二等品的概率为56.(2)从中任取2支，有三等品的取法，有5种，而任取2支共有C 26＝15种取法． ∴任取2支，有三等品的概率为515＝13，∴任取2支，没有三等品的概率为1－13＝23.18．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查员某天逮住这种动物600只做好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物500只，其中做过标记的有50只，根据上述数据，估算保护区内有多少只动物？解：设保护区内这种野生动物有x 只，每只动物被逮到的可能性是相同的，那么第一次逮到的600只占所有这种动物的概率为600x ，第二次逮到的500只中，有50只是第一次逮到的，即事件发生的频数为50，说明第一次逮到的在总的动物中的频率为110，由概率的定义知600x ＝110，解得x ＝6000，即按此方法计算，估计保护区内有6000只这种野生动物．19．一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球． (1)从中摸出两个球，求两球颜色不同的概率；(2)从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率．解：(1)记“摸出两个球，两球恰好颜色不同”为A ，摸出两个球共有方法C 25＝10种，其中，两球一白一黑有C 12·C 13＝6种．∴P (A )＝C 12C 13C 25＝35.(2)解法一：记“摸出一球，放回后再摸出一个球两球恰好颜色不同”为B ，摸出一球得白球的概率为25＝0.4，摸出一球得黑球的概率为35＝0.6，“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑后白”，∴P (B )＝2×3＋3×25×5＝0.4×0.6＋0.6×0.4＝0.48.解法二：有放回地摸两次，互相独立，摸一次得白球的概率为25，∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为 P (B )＝C 12·25·(1－25)＝0.48. 20．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{－1,1,2,3,4,5}和Q ＝{－2，－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0x >0y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解：(1)∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2ba ，要使函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2ba≤1，即2b ≤a .若a ＝1，则b ＝－2，－1； 若a ＝2，则b ＝－2，－1,1； 若a ＝3，则b ＝－2，－1,1；若a ＝4，则b ＝－2，－1,1,2； 若a ＝5，则b ＝－2，－1,1,2； ∴所求事件包含基本事件的个数是 2＋3＋3＋4＋4＝16. ∴所求事件的概率为1636＝49.(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧(a ，b )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b －8≤0a >0b >0，构成所求事件的区域为如右图阴影部分． 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0b ＝a 2得交点坐标为(163，83)，∴所求事件的概率为 P ＝12×8×8312×8×8＝13.21．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率是0.12，至少选修一门课的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．(1)记“函数f (x )＝x 2＋ξ·x 在R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望．解：设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z . 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x (1－y )(1－z )＝0.08xy (1－z )＝0.12.1－(1－x )(1－y )(1－z )＝0.88，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.4y ＝0.6z ＝0.5.(1)若函数f (x )＝x 2＋ξ·x 为R 上的偶函数，则ξ＝0. 当ξ＝0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选． ∴P (A )＝P (ξ＝0)＝xyz ＋(1－x )(1－y )(1－z ) ＝0.4×0.5×0.6＋(1－0.4)(1－0.5)(1－0.6)＝0.24. ∴事件A 的概率为0.24.(2)依题意知ξ的取值为0和2，由(1)所求可知P(ξ＝0)＝0.24，P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)＝0.76.则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为Eξ＝022．在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次：在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A处的命中率q1为0．25，在B处的命中率q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为(1)求q2的值；(2)求随机变量ξ的数学期望Eξ；(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．解：(1)由题设可知，“ξ＝0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质可知p(ξ＝0)＝(1－q1)(1－q2)2＝0.03，解得q2＝0.8(2)根据题意p1＝P(ξ＝2)＝(1－q1)C12(1－q2)q2＝0.75×2×0.2×0.8＝0.24，p2＝P(ξ＝3)＝q1(1－q2)2＝0.25×(1－0.8)2＝0.01，p3＝P(ξ＝4)＝(1－q1)q22＝0.75×0.82＝0.48，p4＝P(ξ＝5)＝q1q2＋q1(1－q2)＝0．25×0.8＋0.25×0.2×0.8＝0.24，因此Eξ＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.(3)用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，则P(C)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝p3＋p4＝0.48＋0.24＝0.72，P(D)＝q22＋C12q2(1－q2)q2＝0.82＋2×0.8×0.2×0.8＝0.896.故P(D)>P(C)．即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处以后都在B处投得分超过3分的概率．。
2019届高考一轮复习理科数学精练题辑天天练：天天练10
天天练10导数的应用(一)一、选择题1．(2018·太原一模)函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是()A．(－1,3)为函数y＝f(x)的单调递增区间B．(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值答案：C解析：由函数y＝f(x)的导函数的图象可知，当x<－1或3<x<5时，f′(x)<0，y＝f(x)单调递减；当x>5或－1<x<3时，f′(x)>0，y＝f(x)单调递增．所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y＝f(x)在x ＝－1,5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C错误，选C.2．已知a∈R，函数f(x)＝13x3－ax2＋ax＋2的导函数f′(x)在(－∞，1)上有最小值，若函数g(x)＝f′(x)x，则()A．g(x)在(1，＋∞)上有最大值B．g(x)在(1，＋∞)上有最小值C．g(x)在(1，＋∞)上为减函数D．g(x)在(1，＋∞)上为增函数答案：D解析：函数f(x)＝13x3－ax2＋ax＋2的导函数f′(x)＝x2－2ax＋a，f′(x)图象的对称轴为x＝a，又导函数f′(x)在(－∞，1)上有最小值，所以a<1.函数g(x)＝f′(x)x＝x＋ax－2a，g′(x)＝1－ax2＝x2－ax2，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上为增函数．故选D.3．函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4,2]上的最大值和最小值分别是( )A ．25，－2B ．50,14C ．50，－2D ．50，－14答案：C解析：因为f (x )＝2x 3＋9x 2－2，所以f ′(x )＝6x 2＋18x ，当x ∈[－4，－3)或x ∈(0,2]时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x ∈(－3,0)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，由f (－4)＝14，f (－3)＝25，f (0)＝－2，f (2)＝50，故函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4,2]上的最大值和最小值分别是50，－2.4．(2018·焦作二模)设函数f (x )＝2(x 2－x )ln x －x 2＋2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞)答案：B解析：由题意可得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2(2x－1)ln x ＋2(x 2－x )·1x －2x ＋2＝(4x －2)·ln x .由f ′(x )<0可得(4x －2)ln x <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －2>0，ln x <0或⎩⎪⎨⎪⎧4x －2<0，ln x >0，解得12<x <1，故函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，选B.5．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )答案：D解析：不存在选项D 的图象所对应的函数，因在定义域内，若上面的曲线是y ＝f ′(x )的图象，则f ′(x )≥0，f (x )是增函数，与图象不符；反之若下面的曲线是y ＝f ′(x )的图象，则f ′(x )≤0，f (x )是减函数，也与图象不符，故选D.6．(2018·江西金溪一中等校联考)已知函数f (x )与f ′(x )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (x )e x 的单调递减区间为( )A ．(0,4)B ．(－∞，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 D ．(0,1)，(4，＋∞)答案：D解析：g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，令g ′(x )<0，即f ′(x )－f (x )<0，由题图可得x ∈(0,1)∪(4，＋∞)．故函数g (x )的单调递减区间为(0,1)，(4，＋∞)．故选D.方法总结 导数与函数的单调性(1)利用导数讨论函数单调性的步骤：①确定函数f (x )的定义域；②求f ′(x )，并求f ′(x )＝0的根；②利用f ′(x )＝0的根将定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f ′(x )的正负，确定f (x )在该区间上的单调性．(2)求单调区间的步骤：①确定函数f (x )的定义域；②求f ′(x )；③由f ′(x )>0(f ′(x )<0)解出相应的单调区间．7．(2018·河南鹤壁高级中学基础训练)若函数f (x )＝13x 3－⎝⎛⎭⎪⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调函数，则f (x )在R 上的极小值为( )A ．2b －43 B.32b －23C ．0D ．b 2－16b 3答案：A解析：由题意得f ′(x )＝(x －b )(x －2)．因为f (x )在区间[－3,1]上不是单调函数，所以－3<b <1.由f ′(x )>0，解得x >2或x <b ；由f ′(x )<0，解得b <x <2.所以f (x )的极小值f (2)＝2b －43.故选A.方法总结 导数与函数的极值1．求函数极值的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )及f ′(x )＝0在定义域范围内所有的根；(3)列表检验根两侧值的符号，左负右正，有极小值；左正右负，有极大值；如果左右不改变符号，那么f (x )无极值．2．对含有参数的函数f (x )求极值，需要分类讨论．讨论常考虑的分界点为：(1)参数是否影响f ′(x )零点的存在；(2)参数是否影响f ′(x )的不同零点的大小；(3)参数是否影响f ′(x )的零点左右的符号．8．(2017·新课标全国卷Ⅱ理，11)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1答案：A解析：f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a－1]e x －1.∵x ＝－2是f (x )的极值点，∴f ′(－2)＝0，即(4－2a －4＋a －1)·e －3＝0，得a ＝－1.∴f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1.由f ′(x )>0，得x <－2或x >1；由f ′(x )<0，得－2<x <1.∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )的极小值点为1，∴f (x )的极小值为f (1)＝－1.方法点拨：解析本题的关键在于两点：(1)正确求解导数——正确运用[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )和复合函数求导公式f ′[g (x )]＝f ′(t )·g ′(x )求出该函数的导数；(2)正确区分极小值点和极小值之间的区别，极小值点是指x 的取值，极小值是指y ＝f (x )的取值(函数值)．二、填空题9．若函数f (x )＝13x 3－x 在()a ，10－a 2上有最小值，则实数a的取值范围为________．答案：[)－2，1解析：f ′(x )＝x 2－1＝(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＞0得x ＜－1或x ＞1，令f ′(x )＜0得－1＜x ＜1，所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，减区间为(－1,1)．所以要使函数f (x )＝13x 3－x 在(a,10－a 2)上有最小值，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1＜10－a 2f (a )≥f (1)， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜1＜10－a 213a 3－a ≥－23⇒⎩⎪⎨⎪⎧－3＜a ＜1a ≥－2⇒－2≤a ＜1. 10．在平面直角坐标系xOy 中，记曲线y ＝2x －m x (x ∈R ，m ≠－2)在x ＝1处的切线为直线l .若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，则m 的值为________．答案：－3或－4.解析：由于y ′＝2＋m x 2，则k ＝ y ′|x ＝1＝2＋m ，又f (1)＝2－m ，那么对应的切线l 的方程为y －(2－m )＝(2＋m )(x －1)，令x ＝0可得y ＝－2m ，令y ＝0可得x ＝2m m ＋2，根据题目条件可得－2m ＋2m m ＋2＝12，解得m ＝－3或m ＝－4. 11．(2018·山西怀仁一中期中)已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，且对任意的x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为________．答案：(－1，＋∞)解析：令g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴g (x )在R 上为增函数，且g (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝0.原不等式可转化为g (x )>g (－1)，解得x >－1，故原不等式的解集为(－1，＋∞)．三、解答题12．(2017·北京卷，19)已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值． 解析：(1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x ·(cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0.又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x ·(cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )<0， 所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减． 所以对任意x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<0. 所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减． 因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.。
高三基础知识天天练 数学检测4.人教版
单元质量检测(四)一、选择题1．若复数(a 2－4a ＋3)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值是( )A ．1B ．3C ．1或3D ．－1解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋3＝0a －1≠0，解得a ＝3.答案：B2．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( )A.15i B.15 C ．－15iD ．－15解析：∵1－2＋i ＋11－2i＝－2－i (－2＋i )(－2－i )＋1＋2i(1－2i )(1＋2i )＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i ， ∴虚部为15.答案：B3．平面向量a ，b 共线的充要条件是( )A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a ＋λ2b ＝0解析：A 中，a ，b 同向则a ，b 共线；但a ，b 共线则a ，b 不一定同向，因此A 不是充要条件．若a ，b 两向量中至少有一个为零向量，则a ，b 共线；但a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量，如a ＝(1,2)，b ＝(2,4)，从而B 不是充要条件．当b ＝λa 时，a ，b 一定共线；但a ，b 共线时，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 就不成立，从而C 也不是充要条件．对于D ，假设λ1≠0，则a ＝－λ2λ1b ，因此a ，b 共线；反之，若a ，b 共线，则a ＝nm b ，即m a －n b ＝0.令λ1＝m ，λ2＝－n ，则λ1a ＋λ2b ＝0. 答案：D4．如下图所示，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝3CD ，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，设AB →＝e 1，AD →＝e 2，MN →可表示为( )A ．e 2＋16e 1B ．e 2－12e 1C ．e 2－13e 1D ．e 2＋131解析：MN →＝12(MD →＋MC →)＝12(MD →＋MD →＋DC →)＝12[2(MA →＋AD →)＋DC →]＝12[2(－12e 1＋e 2)＋131]＝－12e 1＋e 2＋16e 1＝e 2－13e 1. 答案：C5．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，(a ＋b )⊥(2a －b )，则向量a 与b 的夹角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：由(a ＋b )⊥(2a －b )得(a ＋b )·(2a －b )＝0， 即2|a |2＋|a |·|b |cos α－|b |2＝0，把|a |＝1，|b |＝2代入得cos α＝0，∴α＝90°(其中α为两向量的夹角)． 答案：C6．设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：∵DC →＝2BD →，∴BC →－BD →＝2BD →，∴BD →＝13→.∵CE →＝2EA →，∴BE →－BC →＝2BA →－2BE →， ∴BE →＝23BA →＋13BC →.∵AF →＝2FB →，∴BF →－BA →＝－2BF →，∴BF →＝13BA →.∴AD →＋BE →＋CF →＝BD →－BA →＋BE →＋BF →－BC → ＝13BC →－BA →＋23BA →＋13BC →＋13BA →－BC → ＝－13BC →.∴AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行． 答案：A7．已知非零向量a ，b ，若a ·b ＝0，则|a －2b ||a ＋2b |等于( )A.14 B ．2 C.12D ．1解析：|a －2b ||a ＋2b |＝(a －2b )2(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2a 2＋4b 2＝1.答案：D8．在△ABC 中，若BC →2＝AB →·BC →＋CB →·CA →＋BC →·BA →，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：因为AB →·BC →＋CB →·CA →＋BC →·BA → ＝BC →·(AB →－CA →＋BA →)＝BC →·AC →，故BC →2－BC →·AC →＝BC →·(BC →－AC →)＝BC →·BA →＝0， 即∠B ＝π2.答案：B9．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．6B ．2C ．2 5D ．27解析：如图，F 3的大小等于F 1、F 2的合力的大小．由平面向量加法的三角形法则知，在△OAB 中OB 的长就是F 1、F 2的合力的大小，且在△OAB 中，∠OAB ＝120°，OB ＝F 21＋F 22－2F 1·F 2cos120°＝28＝27，即F 3为27.答案：D10．函数y ＝tan(π4－π2)的部分图象如下图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝( )A ．－6B ．－4C ．4D ．6解析：函数y ＝tan(π4x －π2)的图象是由y ＝tan x 的图象向右平移π2坐标扩大为原来的4π倍得到，所以点A 的坐标为(2,0)，令tan(π4x －π2)＝1得π4x －π2＝π4，故可得B 点坐标为(3,1)，所以(OA →＋OB →)·AB →＝(5,1)·(1,1)＝6.答案：D11．设点P 为△ABC 的外心(三条边垂直平分线的交点)，若AB ＝2，AC ＝4，则AP →·BC →＝( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：我们可以采用特殊方法解答，设A (－1,0)，B (1,0)，C (－1,4)，则外心P 为(0,2)，故AP →＝(1,2)，BC →＝(－2,4)，故AP →·BC →＝6.答案：B12．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →(其中λ∈R )，则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上解析：CB →＝PB →－PC →＝λPA →＋PB →化简即得－PC →＝λPA →，由共线向量的充要条件可知，点P ，A ，C 三点共线，所以答案选B.答案：B 二、填空题13．若复数a ＋3i1＋2i (a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝________.解析：∵a ＋3i 1＋2i ＝(a ＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝a ＋65＋3－2a5i ， ∴⎩⎨⎧a ＋6503－2a 5≠0，∴a ＝－6.答案：－614．向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________. 解析：|a －2b |＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝1＋4－4(cos10°cos70°＋sin10°sin70°) ＝5－4cos60°＝ 3. 答案： 315．已知AD 是△ABC 的中线，AD →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，那么λ＋μ＝________；若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AD →|的最小值是________．解析：若AD 为△ABC 的中线，则有AD →＝12(AB →＋AC →)，∴λ＋μ＝1.|AD →|2＝14(AB →＋AC →)2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－4)，∵|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝2AB →·AC →cos120°8，所以|AD →|≥1.答案：1 116．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．解析：以O 为坐标原点，OA 为x 轴建立平面直角坐标系，则可知A (1,0)，B (－12，32)，设C (cos α，sin α)(α∈[0，2π3])，则有x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值为2.答案：2 三、解答题17．如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.解法一：设AB →＝a ，AD →＝b ， 则a ＝AN →＋NB →＝d ＋(－12)①b ＝AM →＋MD →＝c ＋(－12a )②将②代入①得a ＝d ＋(－12)[c ＋(－12a )]⇒a ＝43d －23，代入②得b ＝c ＋(－12)(43d －23c )＝43c －23d .解法二：设AB →＝a ，AD →＝b . 因M ，N 分别为CD ，BC 中点， 所以BN →＝12b ，DM →＝12a .因而⎩⎨⎧c ＝b ＋12a d ＝a ＋12b ⇒⎩⎨⎧a ＝23(2d －c )b ＝23(2c －d )，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．18．设a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，c ＝(5，－2)，(1)求证a 与b 不共线，并求a 与b 的夹角的余弦值； (2)求c 在a 方向上的投影； (3)求λ1和λ2，使c ＝λ1a ＋λ2b .解：(1)∵a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，且－1×3≠1×4，∴a 与b 不共线． 又a ·b ＝－1×4＋1×3＝－1，|a |＝2，|b |＝5， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－152＝－210. (2)∵a ·c ＝－1×5＋1×(－2)＝－7， ∴c 在a 方向上的投影为a ·c |a |＝－72＝－72 2.(3)∵c ＝λ1a ＋λ2b ，∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3)＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ2－λ1＝5λ1＋3λ2＝－2，解得⎩⎨⎧λ1＝－237λ2＝37.19．设△ABC 的外心为O ，则圆O 为△ABC 的外接圆，垂心为H .求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.证明：延长BO 交圆O 于D 点，连AD 、DC ， 则BD 为圆O 的直径，故∠BCD ＝∠BAD ＝90°. 又∵AE ⊥BC ，DC ⊥BC ， 得AH ∥DC ，同理DA ∥CH . ∴四边形AHCD 为平行四边形， ∴AH →＝DC →.又∵DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →， ∴AH →＝OB →＋OC →. 又∵OH →＝OA →＋AH →， ∴OH →＝OA →＋OB →＋OC →.20．(1)如图，设点P ，Q 是线段AB 的三等分点，若OA →＝a ，OB →＝b ，试用a ，b 表示OP →，OQ →，并判断OP →＋OQ →与OA →＋OB →的关系；(2)受(1)的启示，如果点A 1，A 2，A 3，…，A n －1是AB 的n (n ≥3)等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．解：(1)OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13OB →－OA →)＝13OB →＋23OA →＝23a ＋13.同理OQ →＝13a ＋23b ，∴OP →＋OQ →＝a ＋b ＝OA →＋OB →.(2)OA 1→＋OA n －1 ＝OA 2→＋OA n －2 ＝…＝OA →＋OB →. 证明如下：由(1)可推出OA 1→＝OA →＋AA 1→＝OA →＋1n AB →＝OA →＋1n OB →－OA →)＝n －1n OA →＋1n OB →，∴OA 1→＝n －1n a ＋1n b ，同理OA n －1＝1n a ＋n －1nb ，OA 2→＝n －2n a ＋2n b ，OA n －2＝2n a ＋n －2n b ，…因此有OA 1→＋OA n －1＝OA 2→＋OA n －2＝…＝OA →＋OB →.21．已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB →·BC →＝6，AB →与BC →的夹角为θ. (1)求θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos 2θ的最小值． 解：(1)由题意知： AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos θ＝6① S ＝12|AB →|·|BC →|·sin(π－θ)＝12|AB →|·|BC →|·sin θ② ②÷①得S 6＝12tan θ，即3tan θ＝S .由3≤S ≤3，得3≤3tan θ≤3，即33≤tan θ≤1. ∵θ为AB →与BC →的夹角，∴θ∈(0，π)，∴θ∈[π6，π4]．(2)f (θ)＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos 2θ ＝1＋sin2θ＋2cos 2θ＝2＋sin2θ＋cos2θ ＝2＋2sin(2θ＋π4)．∵θ∈[π6，π4]，∴2θ＋π4∈[7π12，3π4]．∴当2θ＋π4＝3π4，即θ＝π4时，f (θ)有最小值为3.22．设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b . 解：(1)因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0， 因此tan(α＋β)＝2.(2)由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得 |b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2 ＝17－15sin2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .。
高三基础知识天天练 数学11-3人教版
第11模块 第3节[知能演练]一、选择题1．若二项式(x －2x)n 的展开式中第5项是常数项，则自然数n 的值可能为( )A ．6B ．10C ．12D ．15解析：T r ＋1＝C r n (x )n －r(－2x )r ＝(－2)r C rn x n －3r2，当r ＝4时，n －3r 2＝0，又n ∈N *，∴n ＝12. 答案：C2．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( )A ．74B ．121C ．－74D ．－121解析：展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121.答案：D3．在(x 2＋3x ＋2)5展开式中x 的系数为( )A ．160B ．240C ．360D ．800解析：∵(x 2＋3x ＋2)5＝(x ＋1)5·(x ＋2)5＝(x 5＋C 15x 4＋…＋1)(x 5＋2C 15x 4＋…＋25)， ∴其展开式中x 项的系数为C 4525＋C 4524＝240.答案：B4．在(1－x )5(1＋x )4的展开式中x 3项的系数为( )A ．－6B ．－4C ．4D ．6解析：(1－x )5(1＋x )4＝(1－C 15x ＋C 25x 2－C 35x 3＋…)(1＋C 14x ＋C 24x 2＋C 34x 3＋C 44x 4)， ∴x 3项的系数为1×C 34－C 15C 24＋C 25C 14－C 35×1＝4.答案：C 二、填空题5．已知二项式(1－3x )n 的展开式中所有项系数之和等于64，那么这个展开式中含x 2项的系数是________．解析：令x ＝1，则(1－3x )n ＝(－2)n ， 即(－2)n ＝64，∴n ＝6.又T r ＋1＝C r 6(－3x )r ，则T 3＝C 26(－3x )2＝135x 2，∴(1－3x )n 展开式中含x 2项的系数为135. 答案：1356．若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________. 解析：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36， 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.答案：364 三、解答题7．已知(4 41x ＋3x 2)n展开式中的倒数第三项的二项式系数为45.(1)求含有x 3的项； (2)求二项式系数最大的项．解：(1)由已知得C n －2n ＝45，即C 2n ＝45，∴n 2－n －90＝0，解得n ＝－9(舍)或n ＝10， 由通项公式得T r ＋1＝C r10(4·x －14)10－r (x 23)r . ＝C r 10·410－r·x －10－r 4＋23r .令－10－r 4＋23r ＝3，得r ＝6，∴含有x 3的项是T 7＝C 610·44·x 3＝53760x 3. (2)∵此展开式共有11项， ∴二项式系数最大项是第6项，∴T 6＝C 510(4x －14)5(x 23)5＝258048x 2512.8．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，求： (1)a 8＋a 7＋…＋a 1； (2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0.解：令x ＝0得a 0＝1. (1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0， ① ∴a 8＋a 7＋…＋a 2＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255. (2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0. ② 由①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)， ∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12(28＋48)＝32896.[高考·模拟·预测]1．在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x 5的展开式中，含x 4的项的系数是 ( )A ．－10B ．10C ．－5D ．5解析：T r ＋1＝C r 5x 2(5－r )(－x －1)r ＝(－1)r C r 5x10－3r(r ＝0,1，…，5)，由10－3r ＝4得r ＝2.含x 4的项为T 3，其系数为C 25＝10，故选B.答案：B2．若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝( )A ．45B ．55C ．70D ．80解析：由二项式定理得：(1＋2)5＝1＋C 15·2＋C 25·(2)2＋C 35·(2)3＋C 45·(2)4＋C 55·(2)5 ＝1＋52＋20＋202＋20＋42＝41＋292， ∴a ＝41，b ＝29，a ＋b ＝70.故选C. 答案：C3． (1＋ax ＋by )n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( )A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5解析：不含x 的项的系数的绝对值为(1＋|b |)n ＝243＝35，不含y 的项的系数的绝对值为(1＋|a |)n＝32＝25，∴n ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧1＋|b |＝3，1＋|a |＝2，故选D.答案：D4． (x －y )10的展开式中，x 7y 3的系数与x 3y 7的系数之和等于________解析：T 4＝－C 310x 7y 3，T 8＝－C 710x 3y 7，则x 7y 3与x 3y 7的系数之和为－2C 310＝－240. 答案：－2405．在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3x )3的展开式中，x 的系数为________(用数字作答)．解析：C 13＋C 23＋C 33＝23－1＝7.答案：7 6．已知(x x ＋23x)n 展开式的前3项系数的和为129，这个展开式中是否含有常数项、一次项？如没有，请说明理由；如有，请求出来．解：∵T r ＋1＝C r n (x x )n －r ·(23x)r ＝C r n 2r x 9n －11r 6(r ＝0,1,2，…，n )， ∴由题意得C 0n 20＋C 1n ·2＋C 2n ·22＝129， ∴1＋2n ＋2(n －1)n ＝129，∴n 2＝64，∴n ＝8.故T r ＋1＝C r 82r x 72－11r 6(r ＝0,1,2，…，8)． 若展开式存在常数项，则72－11r 6＝0，∴72－11r ＝0，∴r ＝7211∉N ，∴展开式中没有常数项．若展开式存在一次项，则72－11r6＝1，∴72－11r ＝6. ∴r ＝6，∴展开式中存在一次项，它是第7项，T 7＝C 6826x ＝1792x .。
高三数学上学期天天练11文 试题
汉学2021届高三数学〔文〕天天练〔11〕〔满分是100分，时间是60分钟〕一、选择题：〔8个小题一共40分〕1．过点)3,2(A 且垂直于直线052=-+y x 的直线方程为〔 〕 (A)042=+-y x (B)072=-+y x (C)032=+-y x (D)052=+-y x2．{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，那么过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率〔 〕 A ．4B ．41C ．－4D ．－143．直线1:60l x ay ++=和2l :()2320a x y a -++=，那么1l ∥2l 的充要条件是a=〔 〕 A ．3 B ．1 C ．-1 D ．3或者-14．过点()1,4A ，且横、纵截距的绝对值相等的直线的条数为 〔 〕 A. 1 B. 2 C. 3 D. 45．圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，那么圆2C 的方程为〔 〕A.2(2)x ++2(2)y -=1B.2(2)x -+2(2)y +=1 C.2(2)x ++2(2)y +=1 D.2(2)x -+2(2)y -=16．假设方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围为〔 〕A ．〔0，+∞〕B ．〔0，2〕C ．〔1，+∞〕D ．〔0，1〕7．椭圆1121622=+y x 的左焦点是1F ，右焦点是2F ，点在椭圆上，假如线段1PF 的中点在y 轴上，那么12:PF PF 的值是〔 〕A ．35B ．12C ．56D ．538．椭圆的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，M 是椭圆上一点，假设021=⋅MF MF ，128MF MF ⋅=，那么该椭圆的方程是〔 〕A ．12722=+y xB ．17222=+y xC ．14922=+y xD ．19422=+y x第二卷 非选择题二、填空题〔5个小题一共20分〕9．过抛物线24y x =的焦点，且被圆22420x y x y +-+=截得弦最长的直线的方程是_________ ____；10．假设圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=〔a>0〕的公一共弦的长为23，那么=a ___________；11．动圆222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=的圆心的轨迹方程是 .12．如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，假设090BAO BFO ∠+∠=，那么椭圆的离心率是 .汉学2021届高三数学〔文〕天天练〔11〕答题卡班级 姓名 成绩一、选择题：二、填空题：9. ；10. ；11. ；12． 三、解答题：〔3个小题一共40分〕 13．〔此题满分是13分〕直线l 过点P 〔3，2〕且与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于A 、B 两点 〔Ⅰ〕求△AOB 面积的最小值及此时直线l 方程〔O 为原点〕； 〔Ⅱ〕求直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值。
高三基础知识天天练2-9. 数学 数学doc人教版
第2模块 第9节[知能演练]一、选择题1．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利( )A ．25元B ．20.5元C ．15元D ．12.5元解析：每件获利100(1＋25%)×0.9－100＝100(1.25×0.9－1)＝12.5元． 答案：D2．某债券市场常年发行三种债券，A 种面值为1000元，一年到期本息和为1040元；B 种债券面值为1000元，买入价为960元，一年到期本息之和为1000元；C 种面值为1000元，半年到期本息和为1020元．设三种债券的年收益分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝c <bB ．a <b <cC ．a <c <bD ．c <a <b解析：设年初为1000元，则A 种债券收益40元，B 种债券收益1000960×40≈41.67元．C 种债券收益为20＋10201000×20＝40.4元．∴b >c >a . 答案：C3．在一次数学试验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：则x ，y ( )A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋bx解析：由表格数据逐个验证，知模拟函数为y ＝a ＋b x . 答案：B4．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为( )A ．2800元B ．3000元C ．3800元D ．3818元解析：设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x ≤800)(x －800)×14% (800<x ≤4000)11%·x (x >4000). 如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3800.答案：C 二、填空题5．计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．解析：设计算机价格平均每年下降p %，由题意可得13＝(1－p %)3，∴p %＝1－(13)13，∴9年后的价格y ＝8100[1＋(13)13－1]9＝8100×(13)3＝300(元)．答案：3006．如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的是________．①这几年人民生活水平逐年得到提高；②人民生活费收入增长最快的一年是2000年； ③生活价格指数上涨速度最快的一年是2001年；④虽然2002年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．解析：由题意，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；“生活费收入指数”在2000年～2001年最陡，故②正确；“生活价格指数”在2001年～2002年上涨速度不是最快的，故③不正确；由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故④正确．答案：①②④ 三、解答题7．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如下图)．(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？解：(1)设投资债券收益与投资额的函数关系为f (x )＝k 1x ，投资股票的收益与投资额的函数关系为g (x )＝k 2x ，由图象得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝k 2＝12，f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)．(2)设投资债券类产品x 万元， 则股票类投资为20－x 万元．y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)．令t ＝20－x ，则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t 2－4t －20)＝－18(t －2)2＋3.所以当t ＝2，即x ＝16时，投资债券16万元，股票4万元时，收益最大，y max ＝3万元． 8．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解：(1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115>0， 解得x >2.3.∵x ∈N *，∴x ≥3，∴3≤x ≤6，x ∈N *， 当x >6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115.令[50－3(x －6)]x －115>0，有3x 2－68x ＋115<0， 上述不等式的整数解为2≤x ≤20(x ∈N *)， ∴6<x ≤20(x ∈N *)． 故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115 (3≤x ≤6，x ∈N *)－3x 2＋68x －115 (6<x ≤20，x ∈N *)， 定义域为{x |3≤x ≤20，x ∈N *}．(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈N *)． 显然当x ＝6时，y max ＝185(元)， 对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3(x －343)2＋8113(6<x ≤20，x ∈N *)．当x ＝11时，y max ＝270(元)．∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多．[高考·模拟·预测]1．某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t (单位：分)与细胞数n (单位：个)的部分数据如下：( )A ．200B ．220C ．240D ．260解析：由表格中所给数据可以得出n 与t 的函数关系为n ＝2t 20，令n ＝1000，得2t20＝1000，又210＝1024，所以时刻t 最接近200分，故选A.答案：A2．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保证环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年解析：由题知第一年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年产量分别为a n ＝f (n )－f (n －1)＝12n (n ＋1)(2n ＋1)－12n (n －1)(2n －1)＝3n 2(n ∈N *)，令3n 2≤150，得1≤n ≤52⇒1≤n ≤7，故生产期限最长为7年．答案：C3．某市出租车收费标准如下： 起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.解析：设乘客每次乘坐出租车需付费用为f (x )元，由题意可得： f (x )＝4．一位设计师在边长为3的正方形ABCD 中设计图案，他分别以A ，B ，C ，D 为圆心，以b (0<b ≤32)为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧端点在正方形边上的连线)构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最小值为________．解析：由题意实线部分的总长度为l ＝4(3－2b )＋2πb ＝(2π－8)b ＋12，l 关于b 的一次函数的一次项系数2π－8<0，故l 关于b 为单调减函数，因此，当b 取最大值时，l 取得最小值，结合图形知，b 的最大值为32，代入上式得l 最小＝(2π－8)×32＋12＝3π.答案：3π5．如右图，一个铝合金窗分为上、下两栏，圆周框架和中间隔档的材料为铝合金，宽均为6 cm ，上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积为28800 cm 2，设该铝合金窗的宽和高分别为a (cm)，b (cm)，铝合金窗的透光部分的面积为S (cm 2)．(1)试用a ，b 表示S ；(2)若要使S 最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？ 解：(1)∵铝合金窗宽为a (cm)，高为b (cm)，a >0，b >0， ∴ab ＝28800. ①又设上栏框内高度为h (cm)，下栏框内高度为2h (cm)，则3h ＋18＝b ，∴h ＝b －183，∴透光部分的面积S ＝(a －18)×2(b －18)3＋(a －12)×b －183＝(a －16)(b －18)＝ab －2(9a ＋8b )＋288 ＝28800－2(9a ＋8b )＋288 ＝29088－2(9a ＋8b )． (2)∵9a ＋8b ≥29a ·8b＝29×8×28800＝2880，当且仅当9a ＝8b 时等号成立，此时b ＝98a ，代入①得a ＝160，从而b ＝180，即当a ＝160，b ＝180时，S 取得最大值．答：铝合金窗的宽为160 cm ，高为180 cm 时，可使透光部分的面积最大．[备选精题] 6．两县城A 和B 相距20 km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与对城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y .统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.(Ⅰ)将y 表示成x 的函数；(Ⅱ)讨论(Ⅰ)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，说明理由．解：(Ⅰ)根据题意∠ACB ＝90°，AC ＝x km ，BC ＝400－x 2 km ，且建在C 处的垃圾处理厂对城A 的影响度为4x 2，对城B 的影响度为k400－x 2，因此，总影响度y ＝4x 2＋k400－x 2(0<x <20)．又因为垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065，所以4(102＋102)2＋k400－(102＋102)2＝0.065， 解得k ＝9，所以y ＝4x 2＋9400－x 2(0<x <20)．(Ⅱ)因为y ′＝－8x 3＋18x(400－x 2)2＝18x 4－8×(400－x 2)2x 3(400－x 2)2＝(x 2＋800)(10x 2－1600)x 3(400－x 2)2.由y ′＝0解得x ＝410或x ＝－410(舍去)， 易知410∈(0,20)．y ，y ′随xy最小值＝y|x＝410＝116，此时x＝410，故在弧AB上存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小，该点与城A的距离x＝410 km.。
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第11模块 第4节[知能演练]一、选择题1．给出下列三个命题，其中正确命题的个数是( )①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品； ②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面向上．因此，出现正面向上的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：要明确在试验中，虽然随机事件发生的频率mn 不是常数，但它具有稳定性，且总是接近于某个常数，在其附近波动，这个常数叫做概率，所以随机事件发生的频率和它的概率是不一样的．由此可知①②③都是不正确的．答案：A2．对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测，数据如下：( )A ．0.92B ．0.94C ．0.95D ．0.96解析：由概率的定义可知，检测次数越多越接近概率值． 答案：C3．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则log 2X Y ＝1的概率为( )A.16B.536C.112D.12解析：由log 2X Y ＝1得Y ＝2X ，满足条件的X 、Y 有3对，而骰子朝上的点数X 、Y 共有6×6＝36对．∴概率为336＝112.答案：C4．在10支铅笔中，有8支正品和2支次品，从中不放回地任取2支，至少取到1支次品的概率是( )A.29B.1645C.1745D.25解析一：(直接法)．“至少取到1支次品”包括：A ＝“第一次取到次品，第二次取到正品”；B ＝“第一次取到正品，第二次取到次品”；C ＝“第一、二次均取到次品”三种互斥事件，所以所求事件的概率为P (A )＋P (B )＋P (C )＝2×8＋8×2＋2×110×9＝1745. 解析二：(间接法)“至少取到1支次品”的对立事件为“取到的2支铅笔均为正品”，所以所求事件的概率为1－8×710×9＝1745. 答案：C 二、填空题5．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则上述方程有实根的概率为________．解析：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件a ≥b .基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.答案：346．定义集合A 与B 的差集A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，记“从集合A 中任取一个元素x ，x ∈A －B ”为事件E ，“从集合A 中任取一个元素x ，x ∈A ∩B ”为事件F .P (E )为事件E 发生的概率，P (F )为事件F 发生的概率，当a ，b ∈Z ，且a <－1，b ≥1时，设集合A ＝{x ∈Z |a <x <0}，集合B ＝{x ∈Z |－b <x <b }，给出以下判断：①当a ＝－4，b ＝2时，P (E )＝23，P (F )＝13；②总有P (E )＋P (F )＝1成立； ③若P (E )＝1，则a ＝－2，b ＝1；④P (F )不可能等于1.其中所有判断正确的序号为________．解析：对于①，当a ＝－4，b ＝2时，A ＝{x ∈Z |－4<x <0}＝{－3，－2，－1}，B ＝{x ∈Z |－2<x <2}＝{－1,0,1}，A －B ＝{－3，－2}，A ∩B ＝{－1}，P (E )＝23，P (F )＝13，因此①正确；对于②，依题意知，对于集合A 中的任一元素x ，要么x 属于A －B ，要么x 属于A ∩B ，二者必居其一，因此P (E )＋P (F )＝1，②正确；对于③，由P (E )＝1得A ∩B ＝Ø，结合题意分析可知此时b ＝1，a 可以取－2、－3、－4等，因此③不正确；对于④，当a ＝－3，且b ＝4时，A ＝{－2，－1}，B ＝{－3，－2，－1,0,2,3}，此时A ∩B ＝A ，P (F )＝1，因此④不正确．综上所述，其中所有正确命题的序号是①②.答案：①② 三、解答题7．同时掷两颗骰子一次，(1)“点数之和是13”是什么事件？其概率是多少？(2)“点数之和在2～13范围之内”是什么事件？其概率是多少？ (3)“点数之和是7”是什么事件？其概率是多少？解：(1)由于点数最大是6，和最大是12，不可能得13，因此此事件是不可能事件，其概率为0.(2)由于点数之和最小是2，最大是12，在2～13范围之内，它是必然事件，其概率为1.(3)由(2)知，和是7是有可能的，此事件是随机事件，事件“点数和为7”包含的基本事件有{1,6}，{2,5}，{3,4}，{4,3}，{5,2}，{6,1}共6个，因此P ＝66×6＝16.8．口袋里装有不同的红色球和白色球共36个，且红色球多于白色球．从袋子中取出2个球，若是同色的概率为12，求：(1)袋中红色、白色球各是多少？(2)从袋中任取3个小球，至少有一个红色球的概率为多少？ 解：(1)令红色球为x 个，则依题意得C 2xC 236＋C 236－x C 236＝12，所以2x 2－72x ＋18×35＝0，得x ＝15或x ＝21， 又红色球多于白色球，所以x ＝21， 所以红色球为21个，白色球为15个．(2)设从袋中任取3个小球，至少有一个红色球的事件为A ，均为白色球的事件为B ， 则P (A )＝1－P (B )＝1－C 315C 336＝191204.[高考·模拟·预测]1．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是( )A.112 B.110 C.325D.12125解析：每条棱上有8块，共8×12＝96块． ∴概率为8×121000＝12125.答案：D2．福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成．甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为( )A.110 B.15 C.35D.45解析：本题分甲选中吉祥物和乙选中吉祥物两种情况，先甲选后乙选的方法有5×4＝20，甲选中乙没有选中的方法有2×3＝6，概率为620＝310，乙选中甲没有选中的方法有2×3＝6，概率为620＝310，∴恰有一个被选中的概率为310＋310＝35. 答案：C3．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为________．解析：依题意知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5. 答案：0.54．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为________． 解析：基本事件有6×6×6＝216个，点数依次成等差数列的有： (1)当公差d ＝0时，1,1,1及2,2,2，…，共6个．(2)当公差d ＝±1时，1,2,3及2,3,4；3,4,5；4,5,6，共4×2个． (3)当公差d ＝±2时，1,3,5；2,4,6，共2×2个．∴P ＝6＋4×2＋2×26×6×6＝112.答案：1125．某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队，具体情况如右图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率．解：(1)设“该队员只属于一支球队”为事件A ，则事件A 的概率P (A )＝1220＝35.(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B ，则事件B 的概率为P (B )＝1－220＝910.[备选精题]6．班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率； (2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率．解：(1)利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如下图所示)．由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因此每次都随机抽取，因此这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A 1表示事件“连续抽取2人一男一女”，A 2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A 1与A 2互斥，并且A 1∪A 2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A 1的结果有12种，A 2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1220＋220＝710＝0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出.概型．用A表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率P(A)＝525＝15＝0.2.。
基础知识天天练 数学10-2
第10模块 第2节一、选择题1．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁～18岁的男生体重(kg)，得到频率分布直方图如下．根据下图可得这100名学生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是( )A ．20B ．30C ．40D ．50解析：(0.03＋0.05＋0.05＋0.07)×2×100＝40. 答案：C2．如果数据x 1、x 2、…、x n 的平均值为x －，方差为s 2，则3x 1＋5、3x 2＋5、…、3x n ＋5的平均值和方差分别为( )A.x －和s 2 B ．3x －＋5和9s 2 C ．3x －＋5和s 2D ．3x －＋5和9s 2＋30s ＋25 答案：B3．甲、乙两名新兵在同样条件下进行射击练习，每人打5发子弹，命中环数如下：甲：6,8,9,9,8；乙：10,7,7,7,9.则这两人的射击成绩( )A ．甲比乙稳定B ．乙比甲稳定C ．甲、乙的稳定程度相同D ．无法比较解析：可以算得甲、乙两人射击成绩的平均值都是8，又甲的方差是1.2，乙的方差是1.6，而1.2<1.6，所以甲的稳定性比乙的好，故选A.答案：A4．甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如下图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲、x 乙，则下列结论正确的是( )A.x 甲<x 乙B ．x 甲>x 乙；甲比乙成绩稳定 C ．x 甲>x 乙；乙比甲成绩稳定 D ．x 甲<x 乙；甲比乙成绩稳定解析：甲同学的成绩为78,77,72,86,92， 乙同学的成绩为78,82,88,91,95， ∴x 甲＝78＋77＋72＋86＋925＝81，x 乙＝78＋82＋88＋91＋95586.8，∴x 甲<x 乙，从叶在茎上的分布情况看乙同学的成绩更集中于平均值附近，这说明了乙比甲成绩更稳定．答案：A 二、填空题5．某教师出了一份共3道题的测试卷，每道题1分，全班得3分，2分，1分，0分的学生所占比例为30%,40%,20%,10%，若全班30人，则全班同学的平均分是________分．解析：由已知得平均分为30×30%×3＋30×40%×2＋30×20%×1＋30×10%×030＝27＋24＋630＝1.9. 答案：1.96．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是________．解析：∵总体中位数为10.5， ∴a ＋b2＝10.5，即a ＋b ＝21， ∴总体平均数x －＝2＋3＋3＋7＋a ＋b ＋12＋13.7＋18.3＋2010＝10. 总体的方差s 2＝(2－10)2＋(3－10)2＋…＋(20－10)210＝13.758＋110(a 2＋b 2)， ∵7≤a ≤b ≤12且a ＋b ＝21， ∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝220.5，当且仅当a ＝b ＝10.5时，(a 2＋b 2)min ＝220.5. ∴a ＝b ＝10.5时，s 2min ＝13.758＋220.510＝35.808. 答案：10.5、10.5 三、解答题7．英才学校的四个年级学生分布如右面扇形图，通过对全体学生暑假期间所读课外书情况的调查，制成各年级读书情况的条形图如下图．已知英才学校被调查的四个年级共有学生1500人，则(1)高一年级学生暑假期间共读课外书多少本？(2)暑假期间读课外书总量最少的是哪一年级的学生，共读课外书多少本？ (3)该校暑假期间四个年级人均读课外书多少本？解：初一年级学生暑假期间读课外书的人数是1500×28%＝420，共读课外书420×5.6＝2352本．初二年级学生暑假期间读课外书的人数是1500×24%＝360，共读课外书360×6.6＝2376本．高二年级学生暑假期间读课外书的人数是1500×22%＝330，共读课外书330×7.3＝2409本．(1)所以高一年级学生暑假期间读课外书的人数是1500－420－360－330＝390，共读课外书390×6.2＝2418本．(2)暑假期间读课外书总量最少的是初一年级的学生，共读课外书2352本．(3)该校暑假期间四个年级人均读课外书为(2352＋2376＋2409＋2418)÷1500＝6.37本． 8．某中学高二(1)班有男同学45名，女同学15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；(2)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出一名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；(3)实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为68,70,71,72,74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．解：(1)P ＝460＝115∴某同学被抽到的概率为115设课外兴趣小组中有x 名男同学，则4560＝x4，∴x ＝3，∴男、女同学的人数分别为3,1.(2)把3名男同学和1名女同学分别记为a 1，a 2，a 3，b ，则选取两名同学的基本事件有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，a 3)，(a 2，b )，(a 3，a 1)，(a 3，a 2)，(a 3，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)，(b ，a 3)共12种，其中恰有一名女同学的有6种．∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率P ＝612＝12.(3)x －1＝68＋70＋71＋72＋745＝71，x －2＝69＋70＋70＋72＋745＝71，s 21＝(68－71)2＋…＋(74－71)25＝4，s 22＝(69－71)2＋…＋(74－71)25＝3.2，s 21>s 22，故第二次做实验的同学的实验更稳定．[高考·模拟·预测]1．如下图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是() A．62 B．63C．64 D．65解析：根据茎叶图中的“茎”为数据的十位数字，“叶”为个位数字，可知，甲运动员得分的中位数是28，乙运动员得分的中位数是36，从而和为64.答案：C2．对某校400名学生的体重(单位：kg)进行统计，得到如下图所示的频率分布直方图，则学生体重在60 kg以上的人数为() A．200 B．100C．40 D．20解析：由频率分布直方图可知学生体重在60 kg以上的频率为(0.04＋0.01)×5＝0.25，故学生体重在60 kg以上的人数为400×0.25＝100.答案：B3．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个为s 2＝________. 解析：由题中表格得，甲班：x －甲＝7， s 2甲＝15(12＋02＋02＋12＋02)＝25；乙班：x －乙＝7，s 2乙＝15(12＋02＋12＋02＋22)＝65.∵s 2甲<s 2乙，∴两组数据的方差中较小的一个为s 2＝s 2甲＝25.答案：254．某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是________．解析：若茎叶图中的x 对应的分数为最高分，则有平均分＝89＋89＋91＋92＋92＋93＋947≈91.4≠91.故最高分应为94.故去掉最高分94，去掉最低分88，其平均分为91， ∴89＋89＋92＋93＋90＋x ＋92＋917＝91，解得x ＝1.答案：15．某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A 类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人)．现用分层抽样方法(按A 类，B 类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)．(Ⅰ)A 类工人中和B 类工人中各抽查多少名工人？(Ⅱ)从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2. 表1：(ⅰ)先确定x ，y ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图，就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)(ⅱ)分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)解：(Ⅰ)A 类工人中和B 类工人中分别抽查25名工人和75名工人． (Ⅱ)(ⅰ)由4＋8＋x ＋5＋3＝25，得x ＝5，由6＋y ＋36＋18＝75，得y ＝15. 频率分布直方图如下：从直方图可以判断，B 类工人个体间的差异程度更小．(ⅱ)x －A ＝425×105＋825×115＋525×125＋525135＋325145＝123，x －B ＝675×115＋1575×125＋3675×135＋1875145＝133.8，x －＝25100×123＋75100×133.8＝131.1.A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1.。
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第1模块 第1节[知能演练]一、选择题1．满足条件M ∪{1}＝{1,2,3}的集合M 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：满足条件M ∪{1}＝{1,2,3}的集合M 为{2,3}，{1,2,3}，共两个． 答案：B2．已知集合P ＝{(x ，y )||x |＋|y |＝1}，Q ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}，则( )A ．P ⊆QB ．P ＝QC ．P ⊇QD ．P ∩Q ＝Ø 答案：A3．若集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |3≤x ≤22}，则能使A ⊆B 成立的所有a 的集合是( )A ．{a |1≤a ≤9}B ．{a |6≤a ≤9}C ．{a |a ≤9}D ．Ø解析：若2a ＋1>3a －5，即a <6时，A ＝Ø⊆B ； 若2a ＋1＝3a －5，即a ＝6时，A ＝{x |x ＝13}⊆B ； 若2a ＋1<3a －5，即a >6时，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥33a －5≤22，解得6<a ≤9.综上可得a ≤9. 答案：C4．已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪ (∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a <1C ．a ≥2D ．a >2解析：∁R B ＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，又A ∪(∁R B )＝R ，数轴上画图可得a ≥2，故选C. 答案：C 二、填空题5．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0} {(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.点(0,2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2.答案：26．对于集合M 、N 定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝{t |t ＝x 2－3x ，x ∈R }，B ＝{x |y ＝lg(－x )}，则A ⊕B ＝________.解析：∵t ＝x 2－3x ＝(x －32)2－94≥－94，∴A ＝{t |t ≥－94}．又由B 可知y ＝lg(－x )，则－x >0，得x <0， ∴B ＝{x |x <0}，∴A －B ＝{x |x ≥0}，B －A ＝{x |x <－94}，∴A ⊕B ＝(－∞，－94)∪[0，＋∞)．答案：(－∞，－94)∪[0，＋∞)三、解答题7．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B ⊆A ，求实数m 的值组成的集合．解：A ＝{x |(x －2)(x －3)＝0}＝{2,3}， 若m ＝0，B ＝Ø⊆A ；若m ≠0，B ＝{x |x ＝－1m}，由B ⊆A 得－1m ＝2，或－1m ＝3，解得m ＝－12，m ＝－13， 因此实数m 的值组成的集合是{0，－12，－13}．8．已知集合E ＝{x ||x －1|≥m }，F ＝{x |10x ＋6>1}．(1)若m ＝3，求E ∩F ；(2)若E ∪F ＝R ，求实数m 的取值范围； (3)若E ∩F ＝Ø，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝3时，E ＝{x ||x －1|≥3}＝{x |x ≤－2或x ≥4}，F ＝{x |10x ＋6>1}＝{x |x －4x ＋6<0}＝{x |－6<x <4}．∴E ∩F ＝{x |x ≤－2或x ≥4}∩{x |－6<x <4} ＝{x |－6<x ≤－2}． (2)∵E ＝{x ||x －1|≥m }，①m ≤0时，E ＝R ，E ∪F ＝R ，满足条件． ②m >0时，E ＝{x |x ≤1－m 或x ≥1＋m }， 由E ∪F ＝R ，F ＝{x |－6<x <4}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－6，1＋m ≤4，m >0，解得0<m ≤3.∴综上，实数m 的取值范围为(－∞，3]． (3)∵E ＝{x ||x －1|≥m }，①m ≤0时，E ＝R ，E ∩F ＝F ≠Ø，不满足条件．②m >0时，E ＝{x |x ≤1－m 或x ≥1＋m }，由E ∩F ＝Ø，F ＝{x |－6<x <4}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－6，1＋m ≥4，m >0，解得m ≥7.∴综上，实数m 的取值范围为[7，＋∞)．[高考·模拟·预测]1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x －1≤2}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个解析：∵阴影部分M ∩N ＝{x |－2≤x －1≤2}∩{x |x ＝2k －1，k ＝1,2，…}＝{x |－1≤x ≤3}∩{x |x ＝2k －1，k ＝1,2，…}＝{1,3}，∴阴影部分所示的集合的元素共有2个，故选B.答案：B 2．已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是( )解析：N ＝{x |x 2＋x ＝0}＝{－1,0}，而M ＝{－1,0,1}，故N M ，所以选B. 答案：B3．设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}．若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝______________.解析：由题意得U ＝A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A ∩(∁U B )＝{1,3,5,7,9}，所以B ＝{2,4,6,8}． 答案：{2,4,6,8}4．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集F ＝{a ＋b 2|a ，b ∈Q }也是数域，有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题的序号都填上)解析：对于整数集Z ，a ＝1，b ＝2时，a b ＝12∉Z ，故整数集不是数域，①错；对于满足Q ⊆M 的集合M ＝Q ∪{2},1＋2∉M ，M 不是数域，②错；若P 是数域，则存在a ∈P 且a ≠0，依定义，2a,3a,4a …均是P 中的元素，故P 中有无数个无素，③正确；类似数集F ，{a ＋b 3|a ，b ∈Q }，{a ＋b 5|a ，b ∈Q }等均是数域，④正确．答案：③④5．已知集合A ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]<0}，B ＝{x |x －2ax －(a 2＋1)<0}．(1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)求使B ⊆A 的实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，A ＝{x |2<x <7}，B ＝{x |4<x <5}． ∴A ∩B ＝{x |4<x <5}， (2)B ＝{x |2a <x <a 2＋1}，①当B ＝Ø时，2a ≥a 2＋1，∴a ＝1， 此时A ＝{x |2<x <4}，B ⊆A 符合题意．②若B ≠Ø，方程(x －2)[x －(3a ＋1)]＝0的两根为x 1＝2，x 2＝3a ＋1. ∵B ≠Ø.∴A ≠Ø∴3a ＋1≠2，即a ≠13.当3a ＋1>2，即a >13时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥2a 2＋1≤3a ＋12a <a 2＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≥10≤a ≤3⇒1<a ≤3a ≠1.当3a ＋1<2，即a <13时，⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≥3a ＋1a 2＋1≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1－1≤a ≤1⇒a ＝－1. ∴a 的取值范围为[1,3]∪{－1}．[备选精题]6．集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝Ø满足B ⊆A . 当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立， 需⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤5，可得2≤m ≤3， 综上，m 的取值范围是m ≤3.(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}， 所以A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)因为x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立．则①若B ＝Ø，即m ＋1>2m －1，得m <2时满足条件． ②若B ≠Ø，则要满足的条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －12m －1<－2，解得m >4. 综上，m 的取值范围是m <2或m >4.。
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答案：等边三角形
15．函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．
如下图所示，则k的取值范围是1<k<3.
答案：1<k<3
16．下面有五个命题：
①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；
()
解析：根据题意，可得f(x)＝|π－x－x|＝|π－2x|，图象即为选项A.
答案：A
9．如下图所示，函数y＝2sin(ωx＋θ)(|θ|<)的图象，那么
()
A．ω＝，θ＝B．ω＝，θ＝－
C．ω＝2，θ＝D．ω＝2，θ＝－
解析：由图知周期T＝π－(－)＝π，
∴ω＝＝2，∴y＝2sin(2x＋θ)，
解析：把y＝3sin(x＋)的图象向左平移个单位，得到的图象解析式为y＝3sin(x＋＋)＝3sin(x＋)，然后再把得到的图象横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象解析式为y＝3sin(2x＋π)．
答案：B
11．已知函数f(x)＝2sinωx在区间[－，]上的最小值为－2，则ω的取值范围是
()
②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝，k∈Z}；
③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象有三个公共点；
④把函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位得到y＝3sin2x的图象；
⑤函数y＝sin(x－)在[0，π]上是减函数．
其中真命题的序号是________．
解析：①y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，故最小正周期为π，①正确．
C.D.
解析：设函数f(x)的最小正周期为T，
点点练 10新高考数学天天练系列高考数学
点点练10 导数的综合应用1．函数f (x )＝ln x ＋a x (a ∈R )在区间[e －2，＋∞)上有两个零点，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e 2，1eB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2e 2，1e C.⎝ ⎛⎦⎥⎤2e 2，1e D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2，2e 2．定义域为R 的函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，且在[0，＋∞)上f ′(x )>0恒成立，则f (x ＋1)≥0的解集为( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)3．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间(－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．04．函数f (x )＝e x 2－2x 2的图象大致为( )5．若函数f (x )＝a e x＋4x 在R 上有小于零的极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－4，＋∞)B ．(－∞，－4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14 6．已知奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x >0时，xf ′(x )＋f (x )>0，若a ＝1e f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，b ＝－e f (－e)，c ＝f (1)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．a <c <bD ．c <a <b7．已知f (x )＝(x ＋1)3e －x ＋1，g (x )＝(x ＋1)2＋a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≥g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是__________．8．已知函数f (x )(x ∈R )的导函数为f ′(x )，且f (3)＝7，f ′(x )<2，则f (x )<2x ＋1的解集为______________．1．[2019·全国卷Ⅲ]已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－12．[2019·天津卷]已知a ∈R .设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax ＋2a ， x ≤1，x －a ln x ， x >1.若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[0，e]D ．[1，e]3．[2015·全国卷]设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)4．[2017·江苏卷]已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．1．[2020·河南驻马店月考]已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)2．[2020·河北内丘月考]设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )为偶函数，且在(0,1)上存在极大值，则f ′(x )的图象可能为( )3．[2020·长春质量监测(一)]已知函数f (x )是定义在R 上的函数，且满足f ′(x )＋f (x )>0，其中f ′(x )为f (x )的导数，设a ＝f (0)，b ＝2f (ln2)，c ＝e f (1)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c >b >aB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a4．[2020·安徽江淮十校联考]已知函数f (x )＝x 3＋2x ＋sin x ，若f (a )＋f (1－2a )>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13 5．[2020·江西九江一模]已知直线x ＝t 与曲线y ＝e x 和y ＝－x 2＋x －2分别交于B ，C 两点，点A 的坐标为(t －2,0)，则△ABC 面积的最小值为________．6．设函数f (x )＝x 2＋1x ，g (x )＝x e x ，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g (x 1)k ≤f (x 2)k ＋1恒成立，则正数k 的取值范围是________． 1．已知函数f (x )＝kx e x (k ∈R ，k ≠0)(e 为自然对数的底数)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当k ＝1，x ≥0时，若f (x )＋f (－x )＋ax 2≤0恒成立，求实数a 的取值范围．2．已知函数f (x )＝ax 2＋(a －2)x －ln x .(1)若函数f (x )在x ＝1时取得极值，求实数a 的值；(2)当0<a <1时，求f (x )零点的个数．。
高中数学基础强化天天练必修1第3练
第41练 弧度制（1）目标：使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数．一、填空题1. 将分针拨快10分钟，则分针所转过的弧度为 . 【答案】3π-【解析】 分针拨快为负角，所以32122ππ-=⨯-.2.用弧度制表示与60°角终边相同的角的集合是___________________________．【答案】{α|α=2k π + π3，k ∈Z }． 3 . 37π7是第_____象限角． 【答案】三【解析】因为37π7=4π+9π7，所以37π7是第三象限角．4.把下列各角从弧度化为度：（1）8π3=__________；（2）-1.5=__________． 【答案】 480°, - 270°π【解析】（1）8π3 = 8π3×180°π = 480°；（2）-1.5=-1.5×180°π = - 270°π．5.把下列各角从度化为弧度：（1）260°=__________；（2）33°45＇=__________．【答案】13π9,3π16【解析】（1）260°=260×π180 = 13π9；（2）33°45＇=33.75°=33.75×π180 = 3π16．6. 下列命题中，是假命题的序号为________．①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；②1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π； ③1 rad 的角比1°的角要大；④用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．【答案】 ④【解析】 ①②③正确，④错误，角的大小与圆的半径无关．7.已知角α的终边与π3的终边相同，在0,2π)内终边与α3角的终边相同的角为________.【答案】 π9，79π，139π 【解析】 由题意得α＝2k π＋π3(k ∈Z )， 故α3＝2k π3＋π9(k ∈Z )， 又∵0≤α3<2π，所以当k ＝0,1,2时， 有α3＝π9，79π，139π满足题意．8.若角θ的终边与9π5的终边相同，则[0，2π]内与θ3终边相同的角的集合为_________________． 【答案】{3π5，19π15，29π15}【解析】因为角θ的终边与9π5的终边相同，所以θ=2k π+9π5，k ∈Z ，所以θ3=2k π3+3π5，k ∈Z ．分别取k =0,1，2，则θ3=3π5，19π15，29π15，故所求集合为{3π5，19π15，29π15}．9.下列表示中不正确的是________．①终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }；②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝π2＋k π，k ∈Z ； ③终边在坐标轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π2，k ∈Z ； ④终边在直线y ＝x 上的角的集合是α⎪⎪ α＝π4＋2k π，k ∈Z . 【答案】 ④【解析】 ④错误，终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝π4＋k π，k ∈Z .10.把π411-表示成πθk 2+)(Z k ∈的形式，使||θ最小的θ的值是 . 【答案】34π- 【解析】 π411-=π43-),2(π-+∴使||θ最小的θ为34π-.二、解答题11.已知α=1680°．（1）把α写成2k π+β（k ∈Z ，0≤β<2π）的形式；（2）求θ，使θ与α的终边相同，且-4π<θ<-2π．解：（1）α=1680°=1680×π180 = 28π3 =8π+4π3； （2）因为α与4π3的终边相同，且θ与α的终边相同，所以θ与4π3的终边相同．设θ=2k π+4π3，k ∈Z ，当k =-2时，θ= - 8π3．12.已知角α的终边在如图所示的阴影区域内．（1）用弧度制表示角α的集合；（2）判定α2+7π12是第几象限角． 解：（1）角α的集合是{α|2k π - π6<α<2k π + π3，k ∈Z }； （2）由2k π - π6<α<2k π + π3，k ∈Z 得k π+π2<α2+7π12< k π+3π4，k ∈Z ． 当k =2n ，n ∈Z 时，2n π+π2<α2+7π12< 2n π+3π4，n ∈Z ，此时α2+7π12是第二象限角；当k =2n +1，n ∈Z 时，2n π+3π2<α2+7π12< 2n π+7π4，n ∈Z ，此时α2+7π12是第四象限角．综上所述，α2+7π12是第二或第四象限角．。
高三数学天天练(1) 文 新人教A版
汉台中学2013届文科数学综合考练一（时间:120分钟 满分:150分）一﹑选择题（5×10=50分）1．.设集合M={-1,0,1}，N={x|x 2=x}，则M ∩N=（ ）A.{-1，0，1}B.{0,1}C.{1}D.{0}2．命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是（ ） A.若α≠4π，则tan α≠1 B. 若α=4π，则tan α≠1C. 若tan α≠1，则α≠4πD. 若tan α≠1，则α=4π3．在集合{a ，b ，c ，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：那么d ⊗()a c ⊕=（ ）A ．aB ．bC ．cD ．d4．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的 体积为( )A ． B.5 C.4 D. 925．函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 A （-1,1] B （0,1] C.[1，+∞） D （0，+∞）6．已知α，β的终边均在第一象限，则“α>β”是“sin α>sin β”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是（ ）A ．(,1)-∞-B ．（1，+∞）C ．（-1，1）∪（1，+∞）D ．（-∞，+∞）8．已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =（ ）A ．4B ．14C ．-4D ．-149．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ） A ． 45-B ．35-C ．35 D ．4510．已知m<-2，点（m-1,y 1），（m,y 2），（m+1,y 3）都在二次函数x x y 22-=的图像上，则（ ）A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 1<y 3<y 2D ．y 2<y 1<y 3二﹑填空题（5×5=25分）11．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x =22x x -，则(1)f = 12．在ABC ∆中，若3a =，3b =，3A π∠=，则C ∠的大小为13．函数y=x 2-2ax-3在（2,+∞）上单调递增，则a 的取值范围是 14．函数2()2cos sin 2f x x x =+的最小值是15．【本题A 、B 、C 三个选答题，请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分】 （A 不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立， 则实数a 的取值范围是 .（B 几何证明选做题）如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若6AB =，1AE =，则DF DB ⋅= . 相交的（C 坐标系与参数方程）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=弦长为 ． 三﹑解答题（共75分）: 16．（12分）已知函数xx x x x f sin 2sin )cos (sin )(-=。
点点练 1新高考数学天天练系列高考数学
点点练1集合的概念与运算1．设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝()A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}2．已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－2,0,1,2}，则A∩B＝()A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{－2,0,1,2} D．{－1,0,1,2}3．已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝() A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)4．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2＋2x≤0}，则∁U M＝()A．{x|－2<x<0} B．{x|－2≤x≤0}C．{x|x<－2或x>0} D．{x|x≤－2或x≥0}5．已知集合M＝{x|－3≤x<4}，N＝{x|x2－2x－8≤0}，则() A．M∪N＝RB．M∪N＝{x|－3≤x<4}C．M∩N＝{x|－2≤x≤4}D．M∩N＝{x|－2≤x<4}6．集合M＝{x|2x2－x－1<0}，N＝{x|2x＋a>0}，U＝R.若M∩(∁N)＝∅，则a的取值范围是()UA．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]7．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．8．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，若A∩B＝B，则m＝________.1．[2019·浙江卷]已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁U A)∩B＝()A．{－1} B．{0,1}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}2．[2019·全国卷Ⅲ]已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝()A．{－1,0,1} B．{0,1}C．{－1,1} D．{0,1,2}3．[2019·天津卷]设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝()A．{2} B．{2,3}C．{－1,2,3} D．{1,2,3,4}4．[2019·全国卷Ⅰ]已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝()A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}5．[2011·上海卷]若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A＝________.6．[2012·天津卷]已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x －m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.1．[2020·贵州遵义联考]设集合A＝{x|x2－x－2<0且x∈N}，则集合A的真子集有()A．3个B．4个C．5个D．6个2．[2020·辽宁辽阳模拟]设集合A＝{x∈Z|x>4}，B＝{x|x2<100}，则A∩B的元素个数为()A．3 B．4C．5 D．63．[2020·天津河东区模拟]集合A＝{3,2a}，B＝{a，b}．若A∩B ＝{4}，则A∪B＝()A．{2,3,4} B．{1,3,4}C．{0,1,2,3} D．{1,2,3,4}4．[2020·江西上饶一模]设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，则使M∩N＝N成立的a的值是()A．1 B．0C．－1 D．1或－15．[2020·石家庄质检]已知集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|y＝lg(x －2)}，则A∩(∁R B)＝________.6．[2020·辽宁联考]已知集合P＝{x|x2－2x－8>0}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q＝R，则a的取值范围是________．1．[2020·内蒙古调研]已知集合A＝{x|0<x<2}，集合B＝{x|－1<x<1}，集合C＝{x|mx＋1>0}，若A∪B⊆C，求实数m的取值范围．2．[2020·福建师大附中考试]已知集合A＝{x|x2＋(5－a)x－5a≤0}，集合B＝{x|－3≤x≤6}，全集为R.(1)当a＝5时，求A∩(∁R B)；(2)若A∩(∁R B)＝A，求实数a的取值范围．。
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第10模块第1节
[知能演练]
一、选择题
1．春节前夕，质检部门检查一箱装有2500件包装食品的质量，抽查总量的2%，在这个问题中，下列说法正确的是
() A．总体是指这箱2500件包装食品
B．个体是一件包装食品
C．样本是按2%抽取的50件包装食品
D．样本容量是50
解析：由2500×2%＝50，所以样本的容量是50.A、B、C都应是包装食品的质量．答案：D
2．在简单的随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性是
() A．与第几次抽样有关，第一次抽中的可能性更大一些
B．与第几次抽样无关，每次被抽中的可能性都相等
C．与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性大一些
D．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一样
解析：由简单随机抽样的定义可知，每次抽取时总体的各个个体被抽到的机会都相等，与第几次抽样无关．
答案：B
3．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽取样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和
() A．4 B．5
C．6 D．7
解析：因为分层抽样的方法抽取样本时每个个体被抽到的机会相等，所以植物油类与果
蔬类食品种数之和是
10＋20
40＋10＋30＋20
×20＝6.
答案：C
4．为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况．若用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为
() A．3,2 B．2,3
C．2,30 D．30,2
解析：因为92÷30不是整数，因此必须先剔除部分个体数，因为92÷30＝3……2，故剔除2个即可，而间隔为3.
答案：A
二、填空题
5．某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人，为了检查普通话在该校教师中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取的人数是________．
解析：由题意得70
490×350＝50(人)．
答案：50
6．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是________．
解析：设第1组抽出的号码为x ，则第16组应抽出的号码是8×15＋x ＝126.∴x ＝6. 答案：6
三、解答题
7．某网站欲调查网民对当前网页的满意程度，在登录的所有网民中，收回有效贴子共50000
打算从中抽选500份，为使样本更具有代表性，每类中各应抽取出多少份？
解：首先确定抽取比例，然后再根据各层份数确定各层要抽取的份数．
∵50050000＝1100，∴10800100＝108，12400100＝124，15600100＝156，11200100
＝112. 故四种态度应分别抽取108、124、156、112份进行调查．
8．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n 的样本．如果采用系统抽样法和分层抽样法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体．求样本容量n . 解：总体容量为6＋12＋18＝36(人)．当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n 36抽取工程师n 36×6＝n 6(人)，抽取技术员n 36×12＝n 3
(人)，抽取技工n 36×18＝n 2
(人)．所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18,36. 当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1
必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量n ＝6.
[高考·模拟·预测]
1．现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．
②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．
③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
较为合理的抽样方法是
( )
A ．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B ．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C ．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D ．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
解析：①总体较少，宜用简单随机抽样；②已分段，宜用系统抽样；③各层间差距较大，宜用分层抽样，故选A.
答案：A
2．某单位200名职工的年龄分布情况如右图，现要
从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工
随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5
号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为
22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方
法，则40岁以下年龄段应抽取________人．
解析：由系统抽样知识可知，将总体分成均等的若干部分指的是将总体分段，分段的间
隔要求相等，这时间隔为k ＝[N n
]．在第1段内采用简单随机抽样的方法确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号．由题意，第5组抽出的号码为22，因为2＋(5－1)×5＝22，则第1组抽出的号码应该为2，第8组抽出的号码应该为2＋(8－
1)×5＝37.由分层抽样知识可知，40岁以下年龄段的职工占50%，按比例应抽取40×50%＝20(人)．
答案：37 20
3．某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1020 h,1032 h ，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________h.
解析：根据分层抽样知识可知，从3个分厂抽出的100件电子产品中，每个分厂抽取的个数比也为1∶2∶1，故分别有25个，50个，25个．再由3个分厂算出的使用寿命的平均
值可得抽取的100件产品的使用寿命的平均值为980×25＋1020×50＋1032×25100
＝1013(h)． 答案：1013
4．某学校的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生．为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取________名学生．
解析：依题意，C 专业的学生有1200－380－420＝400(名)，∴C 专业应抽取400×1201200
＝40(名)学生．
答案：40
5．为了考察某校的教学水平，将抽查这个学校高三年级部分学生的本学年考试成绩进行考察．为了全面
地反映实际情况，采取以下三种方式进行(已知该校高三年级共有14个班，并且每个班内的学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同)．
①从全年级14个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取14人，考察他们的学习成绩；
②每个班都抽取1人，共计14人，考察这14个学生的成绩；
③把学校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生有420名，普通学生有175名)．根据上面的叙述，试回答下列问题：
(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？
(2)上面三种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法？
(3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤．
解：(1)这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的14名学生本年度的考试成绩，样本容量为14；第二种抽取方式中样本为所抽取的14名学生本年度的考试成绩，样本容量为14；第三种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.
(2)上面三种抽取方式中，第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；第二种方式采用的方法是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法．
(3)第一种方式抽样的步骤如下：
首先在这14个班中用抽签法任意抽取一个班，然后从该班中按学号用随机数表法或抽签法抽取14名学生，考察其考试成绩．
第二种方式抽样的步骤如下：
首先在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取一个学生，记其学号为x ，然后在其余的13个班中，选取学号为x 的学生，共计14人．
第三种方式抽样的步骤如下：
首先分层，因为若按成绩分，其中优秀生共105人，良好生共420人，普通生共175人，所以在抽取样本中，应该把全体学生分成三个层次，然后确定各个层次抽取的人数，因
为样本容量与总体的个体比为100∶700＝1∶7，所以在每个层次抽取的个体数依次为1057
，4207，1757
，即15,60,25. 再按层次分别抽取，在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人，在良好生中用简单随机抽样法抽取60人，在普通生中用简单随机抽样法抽取25人．。