等价无穷小量替换定理

( x)是比 ( x)高阶的无穷小
( x) lim 0 x x ( x)
0
( x) ( x) （
x x0 ）
( x)与 ( x)是同阶的无穷小
x x0
lim
( x) C (C为不等于零的常数) ( x) ( x) ~ ( x) （
k
（ k ＞ 0 ）是同阶的无穷小，即
lim
wk.baidu.com k
= c≠ 0，则称β是关于α的 k 阶无穷小。
重点难点突破
1．关于无穷小的比较 要确定两个无穷小量是同阶、高阶和等价的关系，其实就是求这两个无穷小量比的极限，再根据定义判 断两个无穷小的关系。 注意 （1）符号β=O(α)与β～α的含义
β=O(α)表示β是α的高阶无穷小，即 lim β～α表示β与α是等价无穷小，即 lim
§2–6 无穷小与无穷大的比较
基础知识导学
1、无穷小的比较 定义 1 设α、β是某一极限过程中的两个无穷小，若
lim
c （c 为常数）
则（1）当 c ≠ 0 时，称在此极限过程中β与α是同阶无穷小； （2）当 c = 0 时，称在此极限过程中β是α的高阶无穷小，记作β=o(α)(读作小欧α)； （3）当 c = 1 时，称在此极限过程中β与α是等价无穷小，记作β～α。 2、无穷大的比较 定义 2 设 Y、Z 是同一极限过程中的两个无穷大量，
x 0
sin xtgx 1 x2
解：①通过分子有理化将原式变形
1 x 1 x =
2x 1 x 1 x
由此看出，当 x→0 时， 1 x 1 x 是 x 的一阶无穷小，事实上
x x0
2 ( x) ( x) 2 ( x) 存在，则 lim 1 ． x x 2 ( x) 1 ( x) 2 ( x)
0
解题方法指导
1．判断无穷小的阶有以下几种方法（仅供参考） ： 例 1 当 x→0 时，下列无穷小量是 x 的几阶无穷小 ① x - 3x3 + x5 ②sinxtgx 解 ： ① 因 为 当 x → 0 时 ， 在 x - 3x3 + x5 中 3x3 与 x5 都 是 x 的 高 阶 无 穷 小 ， 由 恒 等 式 （ ⅰ ）
lim
x 3x3 x5 1 x 0 x
所以，当 x→0 时，x - 3x3 + x5 是 x 的一阶无穷小 ②因为当 x→0 时，sin x～x，tg x～x，由恒等式（ⅱ）可得 所以，当 x→0 时，sin x tg x 是 x 的二阶无穷小 （2）先将原式变形，再判断阶数 例 2 当 x→0 时，下列无穷小量是 x 的几阶无穷小 ① 1 x 1 x ②tg x –sin x sin x tg x=o(x2)，即 lim
x x0 ）
a ( x)与 ( x)是等阶无穷小
2．关于无穷小的阶 当 x→0 时，由恒等式 （ⅰ）o(xn)+ o(xm)= o(xn) （ⅱ）o(xn) o(xm)= o(xm+n) 3．关于无穷小的替换定理
x x0
lim
( x)
a( x)
1
0＜n＜m m＞0, n＞0
设当 x x0 时， 1 ( x ) ~ 2 ( x ) ， 1 ( x ) ~ 2 ( x ) ， lim
1
0；
（1） 同阶不一定等价，等价一定同阶。 （2） 利用等价无穷小求极限 等价无穷小在求极限的过程中可以进行如下替换： 若α～αˊ，β～βˊ，且 lim
存在，则 lim = lim
无穷小量的比较表 设在自变量 x x0 的变化过程中， ( x)与 ( x) 均是无穷小量 无穷小的比较 定 义 记 号
Z = c ≠ 0，则称 Y 与 Z 是同阶无穷大量； Y Z （2）如果 lim = ∞时，则称 Z 是 Y 的高阶无穷大量； Y
（1）如果 lim （3）如果 lim
Z Yk
= c ≠ 0（k＞0） ，则称 Z 是关于（基本无穷大量）Y 的 k 阶无穷大量。
3、无穷小的阶与主部 定义 3 把某极限过程中的无穷小α作为基本无穷小，如果 β 与