专题椭圆双曲线抛物线的性质综合问题

椭圆、双曲线、抛物线的性质综合问题
C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，I 与C 交于A 、B 两点，AB 为
xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点 F 1 , F 2在x 轴上，离心率为 J ，过
2
F i 作直线I 交C 于A , B 两点，且AABF 2的周长为16,那么C 的方程为
2
3.【2011 U 新课标全国】椭圆 —+丿
16
C 的准线上一点，贝y A AB P 的面积为
【三年真题重温】
4.【2011 U 新课标全国】已知直线
过抛物线 C 的焦点，且与C 的对称轴垂直。

・1与C 交于A,B 两点，|AB =12, P 为
1.【2011 新课标全国】设直线I 过双曲线 C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为(
2.【2011 '新课标全国】在平面直角坐标系
.2
厶=1的离心率为()
8
(A ) 18
(B ) 24 (C ) 36 (D ) 48
5.【2012U 新课标全国】 设是椭圆
2
+爲=1(a>b>0)的左、右焦点, b
P 是直线上一点， 也 F 2PF 1,
2
是底角为30。

的等腰三角形，则 E 的离心率为(
)
A 、
6.【2012U 新课标全国】等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线
2
y =16x 的准线交于A, B 两点,
AB =4胎；则C 的实轴长为(
(A)迈
(B) 2迈
(C)4
(D)8
7.【2013新课标全国】
2
已知双曲线 C : x
y
a
匚1 (aMb>0)的离心率为五
b 2
2
则C 的渐近线方程为(
8.【2013，新课标全国】
(B) y = ±-x
3
(C ) y=±1
x
2
(D) y = ±x
2
b 2
=1 (a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于 A B 两点。

若AB 的中点坐标为(1 , - 1)，贝U E 的方程为
2 2
x _y_
A 45+ 36=1
2 2
x _y_
— B 36+ 27= 1 C 、心"1
2
y_
27 ' 18 2 2
x y_
D 皆 9 = 1
的面积为(
【方法技巧提炼】
1.焦点三角形问题的求解技巧
⑴所谓焦点三角形，就是以椭圆或双曲线的焦点为顶点，另一个顶点在椭圆或双曲线上的三角形.
(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知.识:
①椭圆或双曲线的定义；②勾股定理或余弦定理；③基本不等式与三角形的面积公式.
2 .离心率的求法
c
的值，有些试题中可以直接求出 a,c 的值再求离心率，在有些试题中不能直接求出 a,c 的
a
c b c
因此只要能够找到一个关于 a,c 或a,b 的方程，通过这个方程解出 上或r,利用公式e = -
a a a
3 .求圆锥曲线方程的方法
(1)定义法：在所给的条件满足圆锥曲线的定义时或已知圆锥曲线的焦点及其上一点的坐标时常用此方法. (2)待定系数法：①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线
■，可设为y
个半轴上的分类讨论，此时 a 不具有P 的几何意义. ②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上,
2 2 2
x y
x
椭圆方程可设为一=1 ( m >0, nA0),
双曲线方程可设为
m n
这样可以避免繁琐的计算.
利用以上设法，根据所给圆锥曲线的 .性质求出参数，即得方程.
4. 最值或范围问题的解决方法
解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下几种:
(1)利用函数，尤其是二次函数求最值;
⑵利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值;
(3) 利用不等式，尤其是基本不等式求最值; (4) 利用判别式求最值;
(5) 利用数形结合，尤其是切线的性质求最值. 5. 求定值问题的方法
定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解方法是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知 条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题.
6. 有关弦的问题 (1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线
9.【2013 ”新课标全国】0为坐标原点，F 为抛物线C: y 2
= 4j 2x 的焦点，P 为C 上一点，若I P F|=4j 2，则A PO
(A ) 2
(B ) 2 返
(C ) 2j 3 (D ) 4
双曲线与椭圆的离心率就是 值，由于离心率是个比值,
求出，对双曲线来说，e =』1+p
¥ a
b ，对椭圆来说，e = J .
a
V a
2
=2ax 或x = 2ay ( a H 0)，避开对焦点在
2
y
—=1 ( mn >0).
定义
P i ( x i , y i ), P 2( X 2, y 2)，则所得弦长 I PP 21二 J l + k 2
| x - -X 2 |或 吋2| =』1+占|丫2 -%|，其中求IX 1-X 2I 与〕2-力|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形:
|X 1 -X 21= J(X 1 +X2)-4x 1X 2 , | y 2-y 1 |=J(y 1 +y 2 i -4%丫2.
②当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算
(利用两点间距离公式)• (2)弦的中点问题
有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算. 【考场经验分享】
1.圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础
点为(3,4)，则此双曲线的方程为(
2 2 2 2
A X y X y 9 16 3 4
的运用，以简化运算.
①斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点 .因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,
要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求
PF i + PF 2 > F 1F 2 ,双曲线的定义中要求 PF i - PF 2 < F 1F 2 .
2•区分双曲线中的a,b, c 大小关系与椭圆a,b,c 关系，在椭圆中a 2=b 2 +c 2，而在双曲线中 c 2
= a 2
+b 2.
3.双曲线的离心率大于 1,而椭圆的离心率 e 迂(0,1卜
4.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤: (1)设方程及点的坐标;
(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程 (注意二次项系数是否为零 );
(3)应用根与系数的关系及判别式;
(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解
5.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、
例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、 定值.化解 这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程
6.求解圆锥曲线的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出
a,c ，然后根据离心
率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于
a,c 的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率
方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数.
7.求解抛物线中的最值问题要注意定义的灵活运用，即抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离相等，解该题
的关键就是利用此定义将问题转化为求解圆上的点到定点距离的最值问题.
【猜题押题演练】
2 2
1.已知双曲线"X
2—¥?=1 (a ：>0,bA0)的左、 右焦点分别为 F-i ，F 2 , 以I F 1F 2 |为直径的圆与双曲线渐近线的一个交
2 2
X y . ——=1 2 2
X y . —=1
A.相同的准线
B.相同的焦点
C.相同的离心率
D.相同的长轴
X2y222
7.已知双曲线———S=1（bA0），过其右焦点F作圆x2+y2=9的两条切线，切点记作C,D，双曲线的右顶点为
9 b
NCED =150，则双曲线的离心率为
8在^ ABC中, 心Be, COSB —18 .若以A B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率
B. D.
3
18
9.已知椭圆
2
令甘1(a>b>0), O为圆心, 短半轴长为半径作圆O过椭圆的长轴的一
端点P作圆0的两条切线，切点为
2 B, 若四边形
B. C. PAOE为正方形，则椭圆的离心率为（
）享D-申
D.
10.已知斜率为2的直线I与双曲线
2 2
X y
C:飞—活二1
（a：＞0,b：＞0）交于A, B两点，若点P（2,1）是AB的中点，则C的离
2.双曲线C的左右焦点分别为 F1,F2，且F2恰为抛物线y2 =4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若MF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）
3.已知抛物线寸=2 px （p ＞0）,过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的中点的横坐标为3,
则该抛物线的准线方程为（
A. X=1 B . X=2 C . X = —1 D . X = -2
2 2
X y
4.点P是双曲线—-2_^1（^0,^0）左支上的一点，其右焦点为F（c,0）,若M为线段FP的中点，且M至U坐标
a b
A. 42
B. i+v2
C. 1 +v/3
D. 2+73
原点的距离为c，则双曲线的离心率e的取值范围是（）
8
A. (1,8] B I勺C .
(4,5) D . a*
2 5.椭圆C ：笃
a
■ 0 (a A b A 0)的左、右焦点分别为F1,F2 , A, B是C上两点，AF, = 3F1B , N BAF^ 90 ，则
椭圆C的离心率为（
A.丄B . - C
2 4
42
6.已知^4，则曲线
2 2 _
1十工=1和亠+丄=1有() 9 4 9-k 4—k
X2
C .至
D .刃
2 2
12. P 为抛物线y 2
=4x 上任意一点，P 在y 轴上的射影为 Q 点M （4, 5），则PQ 与 PM 长度之和的最小值为
13 。

已知抛物线y 2 =2 px （ p >0）的焦点为F ，准线为I , P 为抛物线上一点，PA 丄I ，垂足为A .如果L APF 是
小值的差为（
2
16.设F1,F2是双曲线x 2
-^=1的两个焦点，P 是双曲线与椭圆
24
X 2
y
2
17.过双曲线
=1 （^0,^0）的左焦点F （—c,0）（CA0），作倾斜角为
a b
若OE =5（OF +OP ）,且OE ” EF =0,则双曲线的离心率为
2 2 2 2
18.已知椭圆C 1 ：务+每=1（a 1 >b^ >0）与双曲线C 2 : S -七=1@2 ：>0,b 2
A0）有相同的焦点F 1, F 2,点P 是两曲线的一个
a 1
b 1 a 2 b 2
-21 (B ) 18 25 (C ) 聖(D) 25 15.已知-椭圆C 1 : X 2
m +2 n =1与双曲线
2 2
X y C 2 :
——+ —
m n =1有相同的焦点，则椭圆 G 的离心率e 的取值范围为（
A (刍,1)
B . (0,丰) 2 2
C . (0,1)
D . (0,—)
2
心率为（
(A ) 2j 2
(B)2
(C) y/3 (D)
72
2
11. P 是双曲线务
a
= 1(a :>0,b :>0)上的点，F i 、F 2是其焦点，且 PR FF 2 = 0,若△F 1PF 2的面积是 9, a +b=7.
则双曲线的离心率为（
边长为4的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为
,点P 的横坐标Xp =
X 2
14.过椭圆—+
4
=1的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于 A,C,B,D 四点，则四边形面积的最大值与最
2 2
—=1的一个公共点，则
△ PF 1F 2的面积等_—.
49 24
-的直线FE 交该双曲线右支于点 P ,
6
公共点，e,e2又分别是两曲线的离心率，若PF丄PF2,则4詁览2的最小值为（）
B. 4 Cj D. 9。