第五章 计量经济学检验

x12i 1 x12i 2 2 2 x1i
x1i y i 1 X Y x y x1i y i 2i i
该回归模型的正规方程为 ˆ ( X X) B X Y 或
ˆ ˆ 1 x12i 2 x1i x 2i x1i y i
2 ˆ ˆ 1 x 2i x1i 2 x 2i x 2i y i
解该线性方程组得：
ˆ 1
x y x x x y x x x x x x x
1i i 1i 2i i 2 2i 2 1i 1i 2 i 1i
例如：在中国消费模型中的2个变量：
收入(Y：GDP)与消费 C 的总量与增量数据
1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 Y 4901 5489 6076 7164 8792 10133 11784 14704 16466 18320 21280 25864 34501 47111 59405 68498 C(-1) 2976 3309 3638 4021 4694 5773 6542 7451 9360 10556 11362 13146 15952 20182 27216 34529 C(-1)/Y 0.6072 0.6028 0.5996 0.5613 0.5339 0.5697 0.5552 0.5067 0.5684 0.5762 0.5339 0.5083 0.4624 0.4284 0.4581 0.5041
1

1
2 这里 R k . 是 x k 基于其它解释变量进行回归的决定系数 R 2 。在多元线性
回归模型中，第 k 个系数最小二乘估计的方差是 2 乘以这个比值。因此，当 x k
2 与其它解释变量之间的相关性越强(即 R k . 越大)，则该系数估计的方差就越大。
从而bk的方差为：
(2.6.4)
如果存在完全共线性，则(X’X) -1不存在，无法得 到参数的估计量。
例如：对一个离差形式的二元回归模型
y 1 x1 2 x 2
如果两个解释变量完全相关，如x 2 x1 ，则有
x12i X X x x 2 i 1i x1i x 2i x12i 2 x 2i x12i
一般经验
对于采用时间序列数据作样本、以简单线性形 式建立的计量经济学模型，往往存在多重共线性。
以截面数据作样本时，问题不那么严重，但多 重共线性仍然是存在的。
二、多重共线性的后果
1、完全共线性下参数估计量不存在
多元线性模型
Y X
的普通最小二乘参数估计量为：
( X X ) 1 X Y
(x M ( k ) x k ) 1 [x x k x X ( k ) ( Xk ) X ( k ) ) 1 Xk ) x k ]1 k k k ( ( xk X( k ) ( Xk ) X( k ) ) Xk ) xk ( ( x x k 1 k x x k k 1 (1 Rk2. ) Skk
在矩阵表示的线性回归模型 Y=XB+N 中，完全共线性指：秩(X)<k+1，即矩阵
1 X 11 1 X 12 X 1 X 1n X 21 X 22 X 2n X k1 X k2 X kn
中，至少有一列向量可由其他列向量（不包 括第一列）线性表出。
例：有人在建立某地区粮食产量回归模型时，以粮 食产量为因变量y，以化肥用量为x1，水浇地面积为 x2，农业投入资金为x3等作为自变量。 从表面上看到x1，x2，x3都是影响粮食产量的重要因 素，可是建立的回归方程效果很差，原因何在呢？
注意： 完全共线性的情况并不多见，一般出现的是在一定 程度上的共线性，即近似共线性。
ˆ Cov () 2 ( X X) 1
由于此时|X’X|0，从而使参数估计值的方差 增大，OLS参数估计量非有效。
例如，如果一个模型中仅仅包含两个解释变量和一个常数， 则对其中任何一个斜率系数，可以得到：
2 2 Var[bk ] ， k 1, 2 n 2 2 2 (1 r12 ) S kk (1 r12 )i 1 ( xik x k )
2
三、多重共线性的检验
由于实际样本数据永远不会是正交的，则多 重共线性总是在一定程度上存在的。但是， 什么时候多重共线性成为严重的问题呢？也 就是受到变量之间交互关系影响促使估计量 方差扩散到什么程度时，才能够引起我们的 关注呢？ 检验多重共线性的方法主要有：经验判断法、 相关系数判断法、条件数判断法、方差膨胀 因子判断法、逐步回归判断法等。

四、克服多重共线性的方法
1、第一类方法：排除引起共线性的变量
找出引起多重共线性的解释变量，将它排除出去， 是最为有效的克服多重共线性问题的方法。
注意： 剩余解释变量参数的经济含义和数值都发生了变化。
2、第二类方法：差分法 对于以时间序列数据为样本、以直接线性关系
为模型关系形式的计量经济学模型，将原模型变 换为差分模型 Yi=1 X1i+2 X2i++k Xki+ i 可以有效地消除存在于原模型中的多重共线性。 一般讲，增量之间的线性关系远比总量之间的 线性关系弱得多。
2i

2i
2 2i
x y x y x x
1i i 1i 2 1i 2 1i
i
x12i 2 x12i
x12i 2 x12i

0 0
ˆ 1 为不定式；
ˆ 同理， 2 也为不定式，其值无法确定。
2、近似共线性下普通最小二乘法参数估计量 非有效
在一般共线性（或称近似共线性）下，虽然可以得 到OLS法参数估计量，但是由参数估计量方差的表达 式为
2 越强(即 R k . 越大)，则由于多重共线性，该系数估计的方差就越大。
一种最普遍的情形是，解释变量之间是高度相关，而不是 确切相关的。在这种情形下，回归模型仍然保持那些常见的性质， 但是出现了一些潜在的统计问题： 1. 数据扰动存在巨大影响。 2. 虽然模型的整体效果比较好（ R 较大），但参数b不显著。 3. 导致参数估计“变性”（符号不合理）。 4．解释变量前的参数并不反映各自与被解释变量之间的结构 关系，而是反映它们对被解释变量的共同影响。
如果这两个解释变量是完全相关的，则上述方差具有无限大。 确切相关的情形是完全违反了模型的假设，这不是数据的问题。
若模型中存在k个解释变量： 为了方便，定义数据矩阵 X 包含常数和 ( K 1) 个利用与均值偏离 度量的解释变量。假设 x k 表示第 k 个变量， X (k ) 表示剩余的包括常数 项的变量，则逆矩阵 ( X X) 1 中的第 k 个对角元是：
统计软件一般提供各解释变量两两之间的相关 系数矩阵，如发现某些相关系数高（绝对值高于 0.8），则表明多重共线性存在。但即使解释变量两 两之间的相关系数都低，也不能排除存在多重共线性 的可能性。 此方法更多被用于只存在两个解释变量的情况。
3.VIF检验
VIF是方差膨胀因子的英文 (Variance Inflation Factors) 缩写, 这是一种比较正规的检验方法。该 方法通过检查指定的解释变量能够被回归方程中 其它全部解释变量所解释的程度来检测多重共线 性。方程中每个解释变量有一个VIF值，高VIF值 表明多重共线性增大了系数估计值的方差，从而 产生一个减小了的t值。
1．经验判别法（最常用的方法）
在OLS法下，模型的R2与F值较大，但各参数估 计值的t检验值较小，说明各解释变量对Y的联合线性 作用显著，但各解释变量间存在共线性而使得它们对 Y的独立作用不能分辨，故t检验不显著。 此方法简便易行，因而是实践中最常用的方法，缺 点是无法确诊。
2.使用相关矩阵检验
X1 = 1 + 2X2 + 3X3 +… + kXk +v
(2) 计算的方差膨胀因子(VIF)：
ˆ VIF ( i ) 1 (1 Ri2 )
其中Ri2是第一步辅助回归的决定系数。
(3) 分析多重共线性的程度
VIF越高, 多重共线性的影响越严重。由于没 有VIF临界值表，我们只能使用经验法则：有人 建议用VIF>10作为存在严重多重共线性的标准, 特别在解释变量多的情形应当如此。
2、实际经济问题中的多重共线性现象
经济变量的共同变化趋势
时间序列样本：经济繁荣时期，各基本经济 变量（收入、消费、投资、价格）都趋于增长； 衰退时期，又同时趋于下降。 横截面数据：生产函数中，资本投入与劳动 力投入往往出现高度相关情况，大企业二者都大， 小企业都小。
滞后变量的引入
在计量经济模型中，往往需要引入滞后经济变 量来反映真实的经济关系。 例如，消费=f(当期收入, 前期收入） 显然，两期收入间有较强的线性相关性。
第五章 计量经济学检验 ——违背基本假设的情况
一方面，建立一个计量经济学模型要经过四 重检验，其中经济意义检验、统计检验、预 测检验已讲，这一章主要讲计量经济学检验 的范畴。 另一方面，前面讨论了最小二乘估计的优良 性质，但都是基于经典假设。如果这些假设 不满足，会出现什么问题呢？这一章对其进 行分析。
2 Var[bk ] n 2 (1 Rk . )i 1 ( xik x k ) 2
该公式表明： (1) 在其他情况相同时， x k 与其它解释变量之间的相关性 (2) 在其他情况相同时， x k 自身的变差越大，则该系数估计 的方差就越小。 (3) 在其他情况相同时，线性模型的整体拟合效果越好 (体现在 2 上)，则该系数估计的方差就越小。