高考数学一轮复习讲义 第二章 2.4 函数的奇偶性与周期性课件
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2 定义在(－1,1)上的函数 f(x)． (ⅰ)对任意 x，y∈(－1,1)都有：f(x)＋f(y)＝f 1x＋＋xyy； (ⅱ)当 x∈(－∞，0)时，f(x)>0，回答下列问题． (1)判断 f(x)在(－1,1)上的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数 f(x)在(0,1)上的单调性，并说明理由； (3)若 f 15＝12，试求 f 12－f 111－f 119的值．
一轮复习讲义
函数的奇偶性与周期性
要点梳理
忆一忆知识要点
1．奇、偶函数的概念 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 A.如果对于任意的 x∈A， 都有 f(－x)＝f(x) ，那么称函数 y＝f(x)是偶函数． 如果对于任意的 x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数 y ＝f(x)是奇函数． 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称．
函数奇偶性的判断
例 1 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝ 9－x2＋ x2－9；(2)f(x)＝(x＋1) (3)f(x)＝|x＋4－3|－x23.
11－＋xx；
确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点 对称．若对称，再验证 f(－x)＝±f(x)或其等价形式 f(－x)±f(x) ＝0 是否成立．
故原函数是奇函数．
(2)由22＋－xx≥0 且 2－x≠0⇒－2≤x<2，
定义域关于原点不对称，故原函数是非奇非偶函数．
(3)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又当 x>0 时，f(x)＝x2＋x，则当 x<0 时，－x>0， 故 f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当 x<0 时，f(x)＝x2－x，则当 x>0 时，－x<0， 故 f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数． (4)由1|x－2－x22>|－0，2≠0 得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对 称，∴f(x)＝－l(gx(21－－2x)2－) 2＝－lg(1x－2 x2). ∵f(－x)＝－lg[1(－－(x－)2x)2]＝－lg(1x－2 x2)＝f(x)，
4．对称性 若函数 f(x)满足 f(a－x)＝f(a＋x)或 f(x)＝f(2a－x)，则函数 f(x)
关于直线 x＝a 对称．
[难点正本 疑点清源] 1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于函 数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)(或 f(－ x)＝－f(x))，那么函数 f(x)就叫做偶函数(或奇函数)．其 中包含两个必备条件： ①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不 充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地解决 问题； ②判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性 的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋ f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
2．奇、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同 ，偶函数 在关于原点对称的区间上的单调性 相反 ．
(2)在公共定义域内，
①两个奇函数的和是奇函数 ，两个奇函数的积是偶函数；
要点梳理
忆一忆知识要点
②两个偶函数的和、积都是 偶函数 ； ③一个奇函数，一个偶函数的积是 奇函数 ．
3．周期性 (1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使 得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就称 函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一 个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．
解 (1)由9x－2－x92≥≥00 ，得 x＝±3. ∴f(x)的定义域为{－3,3}． 又 f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0. 即 f(x)＝±f(－x)． ∴f(x)既是奇函数，又是偶函数． (2)由11－＋xx≥0 ，得－1<x≤1.
1＋x≠0 ∵f(x)的定义域(－1,1]不关于原点对称． ∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)由4|x－＋x32|≥－03≠0 ，得－2≤x≤2 且 x≠0.
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．
∴f(x)＝(x＋4－3)－x23＝
4－x2 x.
∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)是奇函数．
探究提高
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分 条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的； (2)判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运 算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－ x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分 段函数奇偶性的判断，要分别从 x>0 或 x<0 来寻找等式 f(－ x)＝f(x)或 f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满 足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
2．函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单 调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单 调性，则其单调性恰恰相反． (2)若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0，则必有 f(0)＝0. f(0)＝0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件． (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表 示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”． (5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”． (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如 f(x)＝0，定义域是关 于原点对称的任意一个数集)．
变式训练 1
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝lg11－＋xx；(2)f(x)＝(x－1)
22＋－xx；
(3)f(x)＝xx22＋－xx
(x>0)， (x<0)；
(4)f(x)＝|xlg2(－1－2|－x2)2.
解 (1)由11－ ＋xx>0⇒－1<x<1，定义域关于原点对称． 又 f(－x)＝lg11＋ －xx＝lg11＋－xx－1＝－lg11＋－xx＝－f(x)，
一轮复习讲义
函数的奇偶性与周期性
要点梳理
忆一忆知识要点
1．奇、偶函数的概念 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 A.如果对于任意的 x∈A， 都有 f(－x)＝f(x) ，那么称函数 y＝f(x)是偶函数． 如果对于任意的 x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数 y ＝f(x)是奇函数． 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称．
函数奇偶性的判断
例 1 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝ 9－x2＋ x2－9；(2)f(x)＝(x＋1) (3)f(x)＝|x＋4－3|－x23.
11－＋xx；
确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点 对称．若对称，再验证 f(－x)＝±f(x)或其等价形式 f(－x)±f(x) ＝0 是否成立．
故原函数是奇函数．
(2)由22＋－xx≥0 且 2－x≠0⇒－2≤x<2，
定义域关于原点不对称，故原函数是非奇非偶函数．
(3)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又当 x>0 时，f(x)＝x2＋x，则当 x<0 时，－x>0， 故 f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当 x<0 时，f(x)＝x2－x，则当 x>0 时，－x<0， 故 f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数． (4)由1|x－2－x22>|－0，2≠0 得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对 称，∴f(x)＝－l(gx(21－－2x)2－) 2＝－lg(1x－2 x2). ∵f(－x)＝－lg[1(－－(x－)2x)2]＝－lg(1x－2 x2)＝f(x)，
4．对称性 若函数 f(x)满足 f(a－x)＝f(a＋x)或 f(x)＝f(2a－x)，则函数 f(x)
关于直线 x＝a 对称．
[难点正本 疑点清源] 1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于函 数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)(或 f(－ x)＝－f(x))，那么函数 f(x)就叫做偶函数(或奇函数)．其 中包含两个必备条件： ①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不 充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地解决 问题； ②判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性 的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋ f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
2．奇、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同 ，偶函数 在关于原点对称的区间上的单调性 相反 ．
(2)在公共定义域内，
①两个奇函数的和是奇函数 ，两个奇函数的积是偶函数；
要点梳理
忆一忆知识要点
②两个偶函数的和、积都是 偶函数 ； ③一个奇函数，一个偶函数的积是 奇函数 ．
3．周期性 (1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使 得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就称 函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一 个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．
解 (1)由9x－2－x92≥≥00 ，得 x＝±3. ∴f(x)的定义域为{－3,3}． 又 f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0. 即 f(x)＝±f(－x)． ∴f(x)既是奇函数，又是偶函数． (2)由11－＋xx≥0 ，得－1<x≤1.
1＋x≠0 ∵f(x)的定义域(－1,1]不关于原点对称． ∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)由4|x－＋x32|≥－03≠0 ，得－2≤x≤2 且 x≠0.
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．
∴f(x)＝(x＋4－3)－x23＝
4－x2 x.
∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)是奇函数．
探究提高
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分 条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的； (2)判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运 算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－ x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分 段函数奇偶性的判断，要分别从 x>0 或 x<0 来寻找等式 f(－ x)＝f(x)或 f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满 足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
2．函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单 调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单 调性，则其单调性恰恰相反． (2)若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0，则必有 f(0)＝0. f(0)＝0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件． (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表 示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”． (5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”． (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如 f(x)＝0，定义域是关 于原点对称的任意一个数集)．
变式训练 1
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝lg11－＋xx；(2)f(x)＝(x－1)
22＋－xx；
(3)f(x)＝xx22＋－xx
(x>0)， (x<0)；
(4)f(x)＝|xlg2(－1－2|－x2)2.
解 (1)由11－ ＋xx>0⇒－1<x<1，定义域关于原点对称． 又 f(－x)＝lg11＋ －xx＝lg11＋－xx－1＝－lg11＋－xx＝－f(x)，