关于二次曲线的切点弦
二次曲线弦的性质与应用(DOC)
摘要二次曲线是高中数学的重点和难点，而二次曲线的弦又是其主要内容之一，很多问题都有直接或间接涉及到。
本文先分别给出二次曲线的焦点弦、中点弦和切点弦的定义，研究它们的若干性质；然后再分别探讨这三类二次曲线的弦在解题中的应用。
关键词：二次曲线；焦点弦；中点弦；切点弦AbstractQuadratic curve is the emphasis and difficulty in high school mathematics, and conic string is one of the main content, a lot of problems have directly or indirectly involved. Respectively, the paper proposes the focus of the conic strings, midpoint chord and tangent point of definition, study their some properties; Then discuss these three kind of quadratic curve respectively string in the application of problem solving. Key words: quadratic curve; focus chord; midpoint chord; chord of tangent point目录1 引言 (1)2 二次曲线弦的定义与性质 (1)2.1 焦点弦的定义与性质 (1)2.2 中点弦的定义与性质 (2)2.3 切点弦的定义与性质 (3)3 二次曲线的弦在解题中的应用 (4)3.1 焦点弦在解题中的应用 (4)3.2 中点弦在解题中的应用 (6)3.3 切点弦在解题中的应用 (7)4 结论 (12)致谢 .......................................... 错误！未定义书签。
自招竞赛课程数学讲义：二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程(1)【讲师版】
自招竞赛数学“二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程（1）”讲义编号：这是解析几何中应用做广的知识点，在高考压轴题中也会经常出现，如果能熟练掌握，不仅仅对于自招竞赛有好处，对于高考做题的速度也有促进作用。
二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程（1）重在知识梳理和初步的知识应用（例1-例3）。
二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程（2）重在知识进一步的应用（例4-例7）和练习巩固。
Tips：例1作为例题的同时也作为知识梳理前的诊断题。
学生如果高三复习得好，用一般的高考常用解题思路也能完成这三题，只是计算量大，只有让他们先体会下按照原来的做法去做这类题目的艰辛才能更好的感受到上完此次课的收获。
2个小时的讲义授课安排建议为：诊断题（一题为高考题、一题为后面会讲解的例1）让学生尝试花时间40分钟（两道题都在40分钟内要有所尝试和思路），先看看学生的诊断题解题思路，只讲解诊断题1（按教学提示多角度讲解，耗时15分钟左右），题2不讲解。
接下来，花30分钟时间给学生讲解本节讲义的核心内容——知识梳理部分；最后剩下的时间讲解例题，例题讲解过程中注意分析学生之前在做的时候计算量大在哪里，新的知识给解题带来的方便。
诊断题1与例3类似的感觉，让学生体会高考与竞赛的联系和差别。
估计3道例题时间会来不及，视学生情况安排时间，讲不完的例题给学生提示思路，留作作业。
1.（2013年高考数学陕西卷理科第20题）已知动圆过定点(4,0)A，且在y轴上截得的弦MN的长为8。
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)∠B-，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P Q、，若x轴是PBQ 的角平分线，证明直线l过定点。
教学提示：尝试多角度解题。
（1）解法1：设00(,)C x y ，则圆C 的方程为22220000()()(4)x x y y x y -+-=-+，令0x =，得20028160y y y x -+-=，所以0y y =8MN ==，即2008y x =，故轨迹C 的方程为28y x =。
二次曲线中点弦公式及其应用
’ 一 直线与 椭 图 b 护 + 醉
,
2
= 砂b
Z
相 交 于 A B 两点
。, 。 梦
,
、
但 将其 中二 , 换戍 x 。 中点 弦公式 的应 用 有 以 下 两个性质
:
,
、
口。
.
设 A扭
则
,
,
口i
,
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,
B (x
,
,
口)
A B 的 中点 P 你
a Z
2
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性质 1 若 公式 中 的 ( 勒
量时
为 +
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一
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七
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二x 0
,
代 \/ 直 线得 “
_
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所以 公 式 (
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)是
对于 一 般 的二 次曲 线
刁护 + B 却 + C 沪 +
刁。
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_
历 均
+
,
= 一 尸 的 中点 弦公 式为 :
n
劣+ 劣0
.
.
`
以 (为
2
,。
) 为 中点 的 椭 圆 的 弦所在直 线 方 程
,
)当 (为
所以 公 式 (
.
为 以 (殉
)
为 切 点 的 椭圆 的 切 线 方 程
a
a Z夕0 2
2
(
,
1
)
证明 (
1
:
以 椭 圆 为例 ( 其 它二次 曲线 同 )
。,
高中高考数学所有二级结论《完整版》
22、过双曲线 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为
过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值
23、抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F的连线垂直于该焦点弦
26、角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例
角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线
27、数列不动点：
定义：方程 的根称为函数 的不动点
利用递推数列 的不动点，可将某些递推关系 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法
15、双曲线的焦半径(双曲线上横坐标为x的点P到焦点的距离)公式，且F1为左焦点，F2为右焦点，e为双曲线的离心率。
│PF1│=|a+ex|，│PF2│=|a-ex|（对任意x而言，左加右减）
16、任意满足 的二次方程，过函数上一点 的切线方程为
17、平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和
18、在锐角三角形中
高中数学二级结论
1、任意的简单n面体内切球半径为 (V是简单n面体的体积， 是简单n面体的表面积)
2、在任意 内，都有tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC
3、若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。①f(x＋a)＝f(x－a)②f(x＋a)＝－f(x)③f(x＋a)＝1/f(x)④f(x＋a)＝－1/f(x)
高中数学常用二级结论
转化关系：
k1
2k2 1
k3 k3k22 k22 2k2k3
，
k2
k1k3
1
(1 k1k3 )2 k1 k3
(k1 k3 )2
， k3
2k2 k1 k1k22
1
k
2 2
2k1k2
14.任意满足 axn by n r 的二次方程，过函数上一点 (x1, y1) 的切线方程为 ax1xn1 by1 yn1 r
2
3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 倍
4
4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点
5.导数题常用放缩 ex
x
1、
1 x
x 1 x
ln
x
x 1、ex
ex( x
1)
6.椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的面积 S
为S
πab
7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导
A B x2 B C y2 C A z2
2S A B B C C A
22.圆锥曲线的第二定义：
椭圆的第二定义：平面上到定点 F 距离与到定直线间距离之比为常数 e(即椭圆的偏心率，e c )的点的集合(定 a
点 F 不在定直线上，该常数为小于 1 的正数) 双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于 1 且为常数的点的轨迹称为双曲线
推论：①过圆 (x a)2 ( y b)2 r 2 上任意一点 P(x0 , y0 ) 的切线方程为 (x0 a)(x a) ( y0 b)( y b) r 2
x2
②过椭圆
a2
y2 b2
1(a
二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程
＝（ｎｌａ２ ４－ａ；Ｏｘ；＋（ｂｌｂ２＋ｂ Ａ）《＋
（ａＩｂ２＋ａ２ｂ１）ＸＯＹｏ一
［（ａｌｂ２＋ａ２ｂ１）Ｙｏ＋２ａｌａ２名ｏ］名。一
［（ａＩｂ２＋ａ２ｂ１）茗ｏ＋２ｂＩｂ２Ｙｏ］Ｙｏ，
且口Ａ麟。算＋Ａ ｂｙｏｙ＝Ａ似：＋Ａ ６＿《．
从而，Ｏ；Ｘｏ髫＋ｂｙｏｙ＝鲋ｊ＋６扼．
这说明，点Ｍ（戈。，Ｙ。）关于双直线ＡＣ、
＼ ∥～ｙ ／ａ。＋２
Ｏ／
－ｘ
／
都成等角．证明：这
图６
样的折线只能位于
抛物线对称轴的一侧．
（第２２届全苏数学奥林匹克）
讲解：不妨设抛物线为Ｙ＝ａｘ２（ａ＞０）．
依次取折线上三个相邻的顶点Ａ；（并ｎａｘ；）
（ｉ＝ｎ，ｎ＋１，ｎ＋２，ｎＥ Ｎ）．
由抛物线在点Ａ。＋。处的切线方程（或求
导数）可知其斜率
ｋ七 ｌ２ｊ２：｝２－ａｋ＝ｘ＾忌Ａ＋ｎｌ一， ＋ｌ一Ａｎ．＋＋２．－－＝鼎掣叫＝凸Ｘ（ｎＸ＋ｎ２＋４＂Ｘ石ｎｎ＋＋Ｉ１）？）．
即５菇一７ｙ－鲁：ｏ．
所以，Ｑ也是ＭＮ的中点，即定点Ｑ平分 线段ＭＮ．
注：从曲线的含变化参数的方程（实际
上就是曲线系方程）求出曲线上的定点，是
证明曲线过定点的常规方法．由于本题中的
切点弦ＭＮ只依赖点Ｊｐ的位置，因此，使用切
点弦方程正是时机．证明点Ｑ平分线段ＭＮ
实际上是使用了同一法，同时也发挥了中点
弦方程的作用．
２００９年第８期
７
二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程
胡圣团
（湖南省澧县一中，４１５５００）
（本讲适合高中） １知识简介
记Ｇ（ｘ，Ｙ）＝Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋Ｄｋ＋Ｅ｜ｙ＋Ｆ １．１二次曲线中点弦的方程
二次曲线的切线方程及应用
二次曲线的切线方程及应用[摘要] 本文主要利用隐函数求导的方法推导常见二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）上某点处的切线方程，并得出一般二次曲线的切线方程及切点弦方程，再将相应结论进行应用。
[关键词] 二次曲线切线方程切点弦方程有关二次曲线的切线方程及其应用问题，近年来在各类考试中出现的频率颇高，为更好地解决此专题的问题，笔者将常见二次曲线的切线方程及切点弦方程的有关结论及推导过程整理一遍，并简述其应用，以供广大教师及学生参考．1几个常见结论及推导1．在圆上一点处的切线方程为：．（注：为与求其它二次曲线的切线方程所用方法一致，这里利用涉及隐函数求导的方法来推导．）将圆的方程中的y视为关于x的函数（即y是x的隐函数），那么就可以在上式两边分别对x求导数．隐函数求导法则，实际与复合函数求导法则一致，将y看作中间变量，外函数是，内函数为，故．于是有：在两边分别对x求导，得，若，则有．由导数的几何意义知，曲线上某点处切线的斜率是该点的导数值．故对于圆上点，若，则有，此即为在点M处切线的斜率，故所求切线方程为．又，① 为所求．若，由图象可知，此时所求切线方程为：或．又，故所求切线方程为：或．也满足①式．故在圆上一点处的切线方程可统一写为：．2．在椭圆上一点处的切线方程为：．推导过程如下：在两边分别对x求导得：，对于点，若，则有，此即为在点M处切线的斜率．故所求切线方程为，又，故②为所求．若，此时所求切线方程为：或，也满足②式．故在椭圆上一点处的切线方程为：．3．在双曲线上一点处的切线方程为：③．注：推导过程与结论1和结论2的推导过程类似，可让学生动手推导，体会其中的思想．4．在抛物线上一点处的切线方程为：．在两边对x求导，得．对于点，若，则有，此即为在点M处的切线的斜率．故所求切线方程为，即，又在抛物线上，故，因此所求切线方程为：④．若，此时所求切线方程为：也满足④式．故在抛物线上一点处的切线方程为：．结论4的切线方程形式与前3个结论有些不同，引导学生从抛物线的方程的形式观察，得到结论：抛物线的切线方程实际上可写为，进而得到一般性的结论5．将以上四个结论推广，可得到以下结论：5．设是二次曲线上一点，则此曲线在点M处的切线方程为：⑤．注：二次曲线的方程中不含项．此结论推导过程可仿照上述结论的推导过程来完成，这里不再赘述．从结论5出发，进一步思考，若点在二次曲线外，则过点M可作曲线的两条切线，设切点分别为，那么由切点在曲线上及结论5可知，曲线在点A处的切线方程为，曲线在点B处的切线方程为，因点在切线上，故⑥，同理，⑦，综合⑥⑦得，点，的坐标都满足方程．因为经过点的直线是唯一的，故过点A,B的直线方程为：．由此，我们可以得到另一个结论：6．设是二次曲线外一点，则过点M可作曲线的两条切线，设切点分别为，则直线AB的方程（即切点弦方程）为：．由结论6，将曲线方程特殊化为高中常见的二次曲线方程，即可得到关于圆、椭圆、双曲线和抛物线的切点弦方程的相应结论．2应用有关切线方程及切点弦方程的考题，近几年均是热点，比如广州市2013届普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）（简称“广州市一模”）第20题，2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科/理科）第20题，2014年清华等七校自主招生考试（简称“华约卷”）第5题等．2013年广东高考的解析几何题虽和当年广州市一模的解析几何题有较大相似度，但考试结果仍不理想，文[1]指出，2013年的解析几何题“不仅加大了计算量，而且对计算的技巧性的要求大大增强，与压轴题的难度接近（第20题得分2.85分，第21题得分2.13）．”因此，有必要对切线方程及切点弦方程这一专题内容做一个梳理．现将2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学第20题展示如下：已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线 :的距离为 .设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线 ,其中为切点.(Ⅰ) 求抛物线的方程；(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程；(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.略解：(Ⅰ)易得所求抛物线方程是：．(Ⅱ)利用第1部分的结论6，即得所求直线的方程（即切点弦方程）为：，即．（注：高考需将结论6的过程在答卷上推演一遍，因其不是高中课本内的结论.第(Ⅲ)小题解答略．）从此题的解答看，熟知第1部分的几个结论虽可立即得正解，但在高考题的作答中仍要将推导过程再演算一遍，似乎不太便捷，这是因为此题直接考查结论（求切点弦方程），若考查的是利用切点弦方程再求其它问题，那熟知结论的优越性立刻体现．请看2014年华约卷第5题：过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，设直线与轴、轴分别交于点，求的面积的最小值．解析：法一：设，由结论6知，直线的方程为：，，，故的面积．又点在椭圆上，故．由基本不等式得：，即（当且仅当时，等号成立），．，即的面积的最小值为．法二：（利用椭圆的参数方程求解）因点在椭圆上，故可设，由结论6知，直线的方程为：，故，的面积（当且仅当，即或时，等号成立），故的面积最小值为．解法一与解法二虽具体利用的知识不同，但其求解思路是一致的，关键的一步在于写出直线PQ的方程，而在自主招生或竞赛类考试中，直接写出二次曲线的切线方程或切点弦方程是允许的．因此，教师可将有关二次曲线的切线方程及切点弦方程问题形成一个小专题，根据学生水平及实际需要，适当讲解以上结论作为拓展，为学生获得更佳成绩打好基础．3小结由于高中阶段没有涉及到隐函数求导的内容，因此高考题在考纲范围内只能考查形如的抛物线的切点弦方程，对于一般水平的学生，教师只需讲透高中常见的解法即可．而第1部分的结论是常见二次曲线的有关切线方程和切点弦方程的结论，结论5、结论6将常见二次曲线的切线方程、切点弦方程统一起来，得到一般二次曲线的切线方程、切点弦方程．实践表明，对于能力较强的学生，是可以理解第1部分的几个结论的推导，并且利用这些结论对于他们应对自主招生或竞赛类考试有一定的帮助．参考文献[1] 彭建开.于平凡处见“真功夫”——2013年高考广东理科试题第20题解析[J].广东教育(高中版), 2013(7·8): 59-60．。
二次曲线弦的性质与应用
摘要二次曲线是高中数学的重点和难点，而二次曲线的弦又是其主要内容之一，很多问题都有直接或间接涉及到。
本文先分别给出二次曲线的焦点弦、中点弦和切点弦的定义，研究它们的若干性质；然后再分别探讨这三类二次曲线的弦在解题中的应用。
关键词：二次曲线；焦点弦；中点弦；切点弦AbstractQuadratic curve is the emphasis and difficulty in high school mathematics, and conic string is one of the main content, a lot of problems have directly or indirectly involved. Respectively, the paper proposes the focus of the conic strings, midpoint chord and tangent point of definition, study their some properties; Then discuss these three kind of quadratic curve respectively string in the application of problem solving. Key words: quadratic curve; focus chord; midpoint chord; chord of tangent point目录1 引言 02 二次曲线弦的定义与性质 02.1 焦点弦的定义与性质 02.2 中点弦的定义与性质 (1)2.3 切点弦的定义与性质 (2)3 二次曲线的弦在解题中的应用 (3)3.1 焦点弦在解题中的应用 (3)3.2 中点弦在解题中的应用 (5)3.3 切点弦在解题中的应用 (6)4 结论 (11)致谢 ........................................... 错误!未定义书签。
二次曲线的切线与弦长
二次曲线的切线与弦长李嘉元（大理学院数学系，云南大理６７１０００）【摘要１二次曲线是解析几何研究的重要对象之一，而它的切线与弦的长度是二次曲线的两个非常重要的问题，本文对这两个问题给出相应的计算公式。
【关键词】二次曲线；切线；弦长；计算公式中图分类号：０２４１．６文献标识码：Ａ文章编号：ｃＮ５３—１１８０（２００２）０４—００２１一０２ｌ引言在解析几何的讨论和学习过程中，我们经常遇到讨论二次曲线的切线与弦长的问题，而这类问题探讨起来一般情况下计算量较大，比较复杂。
本文将给出相应的计算公式，使问题变得较为简单。
２二次曲线的切线二次曲线的一般方程为Ｆ（ｘ，Ｙ）＝ａｌｌｆ＋瓠２ｘｙ＋妞ｙ２＋砜３ｘ＋２劫ｙ＋曲，＝０（１）点（‰，峋）是（１）上的一个点。
下面我们来求通过点（Ｋ，ｙ０）且与（１）相切的切线的方程。
设过点（）（。
，ｖ０）的切线方程为（Ⅱｌｌ凳＋２口１２ｘＹ＋毗２铲）亡＋２｛（ｑ１１‰＋。
１ｄ。
＋Ⅱ】ｊｊｘ＋ｒｍ２勘＋Ⅱ２ｍ＋蚴ｊ列Ｅ＋ｒ嘞Ｊ蔚＋瓦Ｊ删ｙｏ＋ｑ２２菇＋２啦撕＋２毗批＋锄３，－ｏ（３）为计算方便，我们令ｎｒ％，∥＝ｍｍ＋８ｊｍ＋ｎⅡ疋ｆ勒，刊＝口Ｊ２肋＋啦啪＋蚴，由（ｘ．Ｙ）＝知凳＋２啦２ｘＹ＋啦譬则ｆ引可写成西｛Ｘ，Ｙ）·亡＋２、Ｆｌ（勒，如）·ｘ＋Ｆ２《渤．ｙ０）【收稿日期】：２００２—０６一１９【作者简介】：孛嘉元（１％５一），男（白族），云南洱源人讲师，主要从事数学教学研究·Ｙ１‘＋Ｆ｛‰，如）＝ｏｔ４ｊ要使ｒ２Ｊ成为二次曲线ｆ＂的切线的条件，当圣ｆ盖，ｙ）≠Ｏ时是△＝［ｘ—ｒ知，仲ｊ＋ｌＲｒ劫，ＫＪ］２一中ｒｘ，¨Ｆ（‰．靳ｌ＝ｏ｛．５１焦（靳，枷）在ｌ１）上，‘Ｆ（‰，如）＝ｏ砒（５》为ｘＦｌ《靳，№）＋ＹＦ２《‰，扣）＝ｏｉ６）当中ｒ五列＝Ｄ时，直线ｒ２ｊ成为二次曲线ｒ，Ｊ的切线的条件除了Ｆｒ∞，抑Ｊ＝０外，唯一的条件仍然是ｆ酬如果ｎｒ％，如Ｊ与托ｒ∞，肋Ｊ不全为零．那么由ｒ６Ｊ得：ｘ：Ｙ＝Ｆ２（‰，ｖｏ）：（一Ｆ１｛‰，如）），鼠此过ｆ‰，恂）的切线方程为：ｆｘ＝‰＋Ｒｒ勘，川ｌ或写成Ｉｙ；ｙ一一ｆ勘，ｙｏ）ｔｌｘ一‰）Ｆｌ｛％。
高中数学常用二级结论55条
5
⑬ cot A cot B cot C 3 3
2
2
2
(4)在任意锐角△ABC 中，有：
① tan A tan B tan C 3 3
⑭ cot A cot B cot C 3 ③ tan 2 A tan 2 B tan 2 C 9
② cot A cot B cot C 3 9
利用递推数列 f (x) 的不动点，可将某些递推关系 an f (an1 ) 所确定的数列化为等比数列或较 易求通项的数列，这种方法称为不动点法
定理 1：若 f (x) ax b(a 0, a 1), p 是 f (x) 的不动点， an 满足递推关系 an f (an1 ), (n 1) ，则 an p a(an1 p) ，即{an p} 是公比为 a 的等比数列.
3
28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例 角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边 对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点： 定义：方程 f (x) x 的根称为函数 f (x) 的不动点
19.函数 f(x)具有对称轴 x a ， x b (a b) ，则 f(x)为周期函数且一个正周期为| 2a 2b |
2
20.y=kx+m
与椭圆
x a
2 2
y2 b2
1(a
b
0)
相交于两点，则纵坐标之和为
a
2mb 2 2k2 b
2
21.已知三角形三边 x，y，z，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如 27 ， 28 ， 29 )
yy0 b2
切点弦场景创设,定点与动点轨迹——一道抛物线题的探究
２０２４年５月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀切点弦场景创设,定点与动点轨迹一道抛物线题的探究◉江苏省苏州工业园区星海实验高级中学㊀卢㊀闯㊀㊀切点弦是二次曲线中一类比较特殊的弦,其是由二次曲线外的一点向二次曲线引两条切线,连接两切点的线段．特别对于抛物线中的切点弦问题,更是其中一个具有独特属性的知识点,备受关注．１问题呈现问题㊀(２０２４届广东四校高三第一次联考数学试卷 １６)过P(m,－２)向抛物线x２＝４y引两条切线P Q,P R,切点分别为Q,R．又点A(０,４)在直线Q R上的射影为H,则焦点F与H连线的斜率的取值范围是．２问题剖析此题以过定直线中的动点向抛物线引两条切线来设置问题场景,结合抛物线切点弦的构建,以及定点到切点弦上的射影的给出,确定焦点到对应射影的连线的斜率问题,以直线斜率的取值范围来构建问题．本题涉及动点㊁切点㊁定点㊁射影㊁焦点等众多类型的点,切线㊁弦点弦㊁焦点与射影的连线等对应类型的直线,创设一个 动 静 结合的和谐场景,以定直线上动点的变化带动切线的变化,引起切点弦的变化,进一步带动定点在切点弦上的射影的变化,最后直接关系到焦点与射影连线的斜率的变化, 定值 与变量 的巧妙转化,构建一个动态情景,同时也为问题的解决提供切入点．本题可以从众多类型的点入手加以设点法处理,也可以从众多类型的直线入手加以设线法处理,都可以很好达到解决问题的目的．若理解并掌握圆锥曲线切点弦公式的话,可直接利用 二级结论 快捷处理．而对于该问题,当动点P(m,－２)中m＝０时,焦点F与点H的连线是一条怎样的直线,是否存在斜率呢这也是该问题命制过程中的一个弊端所在,要加以合理的修正与改进,以保证命题的完善性．３问题破解方法１:设点法 导数思维．解析:设Q(x１,y１),R(x２,y２),则有y１＝１４x２１,y２＝１４x２２．依题y＝１４x２,求导可得yᶄ＝１２x．根据导数的几何意义可得,切线P Q的方程为y－１４x２１＝１２x１(x－x１),整理有y＝１２x１x－y１．而点P(m,－２)在切线P Q上,则有－２＝１２x１m－y１,即x１m－２y１＋４＝０,所以(x１,y１)是方程m x－２y＋４＝０的解,即点Q是直线m x－２y＋４＝０上的点．用x２替换x１,用y２替换y１,可知点R也是直线m x－２y＋４＝０上的点．所以直线Q R的方程为m x－２y＋４＝０．将上述方程变形,得m x＝２(y－２),从而直线Q R过定点B(０,２)．而由于AHʅB H,|A B|＝２,则知点A在直线Q R上的射影H的轨迹就是以A B为直径的圆,其方程为x２＋(y－３)２＝１．图１当F H与该圆相切时,结合平面几何性质可知,直线F H的斜率分别为－３,３,如图１所示．故焦点F与H连线的斜率的取值范围是(－ɕ,－３]ɣ[３,＋ɕ)．解后反思:通过设点法,结合导数的几何意义来确定圆锥曲线的切线方程,为进一步求解圆锥曲线的切点弦提供条件．这是圆锥曲线的切点弦方程求解的一种 通性通法 ．而基于抛物线的切点弦方程,通过对直线过定点的挖掘,以及射影轨迹的判断,为数形结合确定对应直线斜率的极端情况打下基础．同时要注意直线斜率的取值范围以及图形之间的联系,不要出现混淆．方法２:设线法 方程思维．解析:设切线P Q,P R的方程分别为y＝k１(x－m)－２,y＝k２(x－m)－２．联立y＝k１x－k１m－２,x２＝４y,{消去参数y并整理可得３８试题研究２０２４年５月上半月㊀㊀㊀x ２－４k １x ＋４k １m ＋８＝０,由判别式Δ＝１６k ２１－４(４k １m ＋８)＝０,化简有k ２１－k １m －２＝０,可得x １＝x ２＝２k １,则Q (２k １,k ２１),用k ２替换k １,同理可得R (２k ２,k ２２)．于是可知k １,k ２是方程k ２－k m －２＝０的两个根,利用韦达定理可得k １＋k ２＝m ,k １k ２＝－２．而直线Q R 的方程为y －k ２１＝k ２２－k ２１２k ２－２k １(x －２k １),即y ＝k １＋k ２２x －k １k ２,亦即y ＝m ２x ＋２,变形可得m x ＝２(y －２),从而直线Q R 过定点B (０,２)．以下部分同方法１(此略),可知焦点F 与H 连线的斜率的取值范围是(－ɕ,－３]ɣ[３,＋ɕ)．解后反思:通过设线法,结合方程的判别式来确定圆锥曲线的切点弦所在的直线方程,为进一步求解圆锥曲线的切点弦提供条件．这是圆锥曲线的切点弦方程求解的另一种 通性通法 ．思维视角不同,对数学基础知识的理解与应用也有所侧重,关键是把握问题的内涵与实质,巧妙加以综合与应用．方法３:性质法．解析:由圆锥曲线的切点弦方程的 二级结论 可知,直线Q R 的方程为m x ＝４ˑ－２＋y２＝２(y －２),从而直线Q R 过定点B (０,２)．以下部分同方法１(此略),可知焦点F 与H 连线的斜率的取值范围是(－ɕ,－３]ɣ[３,＋ɕ)．解后反思:熟练掌握圆锥曲线的切点弦方程的二级结论 过曲线A x ２＋C y ２＋D x ＋E y ＋F ＝０(A ,C 不同时为零)外一点M (x ０,y ０)作曲线的两条切线M P ,M Q ,切点分别为P ,Q ,则切点弦P Q 所在的直线方程为A x ０x ＋C y ０y ＋Dx ０＋x ２＋E y ０＋y２＋F ＝０．作为课外拓展与提升知识,供学有余力或参与竞赛的学生参考,在把握 二级结论 的基础上,解题更加简单快捷,很好地提升解题效益．４问题辨析在以上问题中,对于动点P (m ,－２),若m ＝０时,此时点P (０,－２),过点P 向抛物线x ２＝４y 引两条切线P Q ,P R ,利用抛物线的对称性可知,切点Q ,R关于y 轴对称,由此可得点A (０,４)在直线Q R 上的射影H 在y 轴上,而焦点F (０,１)也在y 轴上,可知F H 的方程为x ＝０,此时,F H 的斜率不存在．由以上问题的特殊场景分析可知,在原问题的设置中,应该把m ＝０这一特殊情况排除在外,由此对原问题进一步加以改进如下:问题㊀过P (m ,－２)(m ʂ０)向抛物线x ２＝４y 引两条切线P Q ,P R ,切点分别为Q ,R ．又点A (０,４)在直线Q R 上的射影为H ,则焦点F 与H 连线的斜率的取值范围是．这样修改后,问题更加合理与完善,不存在漏洞或不合理的地方,而具体的解析过程也更加合理有效．５变式拓展借助原问题解析过程中的产物,可以得到一些相应的变式问题．５．１定点问题变式１㊀过P (m ,－２)向抛物线x ２＝４y 引两条切线P Q ,P R ,切点分别为Q ,R ,则直线Q R 恒过的定点的坐标是．(答案:(０,２)．)由此可得更加一般性的结论:结论:过P (m ,a )(a ＜０)向抛物线x ２＝２p y (p ＞０)引两条切线P Q ,P R ,切点分别为Q ,R ,则直线Q R 恒过的定点的坐标是(０,－a )．５．２轨迹问题变式２㊀过P (m ,－２)向抛物线x ２＝４y 引两条切线P Q ,P R ,切点分别为Q ,R ．又点A (０,４)在直线Q R 上的射影为H ,则动点H 的轨迹方程是．(答案:x ２＋(y －３)２＝１．)６教学启示二次曲线(圆㊁椭圆㊁双曲线与抛物线)中的切点弦问题,是平面解析几何中一类综合性较强的问题,解决这类问题的 通性道法 主要有两种:(１)结合函数与导数的应用,利用导数的几何意义确定对应的切线方程,进而加以深入综合与应用;(２)结合函数与方程的应用,利用方程的判别式确定对应的切线方程,同时为切点弦的确定提供条件．而特殊的思维技巧就是借助二次曲线的切点弦方程的 二级结论 ,直接利用公式确定切点弦方程,快速解决问题．常规的技巧方法是我们必须理解并掌握的知识,也是对此类问题的基本要求,需要借助知识的学习与练习的训练加以掌握与应用;而特殊的思维技巧给我们的课外学习开辟了一个更加宽广的空间,提供了更加简单快捷的技巧与方法．Z４８。
切点弦方程知识点归纳及应用技巧总结
切点弦方程知识点归纳及应用技巧总结谢吉【摘要】切点弦方程是平面解析几何中的热点问题，求常见曲线的切点弦方程也成了近年来高考的热门题型。
随着导数的引入, 它的内涵更加深刻、题型更加丰富。
熟练掌握切点弦方程的基本知识点，熟记圆锥曲线切点弦的基本性质，巧妙的应用切点弦的几个定理，能够非常灵活的求出常见曲线的切点弦方程。
本文将会总结出常见曲线切点弦方程相关的知识点，探究圆锥曲线的基本性质，并对切点弦方程的相关定理及应用技巧做简要介绍，其目的在于说明运用此定理可以有效简化解题过程，提高解题速度，启迪思维开阔视野。
【关键词】：切点弦 圆锥曲线 1、常见曲线的切点弦知识点归纳 （1）圆的切点弦方程命题 1 过圆 C: x2+ y2= r2外一点M ( x0 , y0 ) 作圆的两条切线 MA 、MB ，则切点弦 AB 所在的直线方程为 x0x + y0 y = r2证明: 因为 OA ⊥ MA , O B ⊥ MB, 所以,O 、 A 、 M 、 B 四点落在以 O M 为直径的圆x ( x - x0 ) + y ( y - y0 ) = 0上, 它与圆 C 的公共弦即为 AB 。
两圆方程相减, 得切点弦 AB 所在的直线方程为x0 x + y0y = r2 (2) 椭圆的切点弦方程命题 2 过椭圆 C:12222=+b y a x 外一点M ( x0 , y0 ) 作椭圆的两条切线 MA 、 MB ，则切点弦 AB 所在的直线方程为12020=+b yy a x x 。
证明: 设 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ，将方程12222=+b y a x 两边对 x 求导得122'22=+y b y a x 。
于是, 切线 MA 的方程为y - y1 =)(11212x x y a x b --,即0)()(121121=-+-y y b y x x a x 化简得：1:2121=+b y y a x x L MA ，特别地, 当 y1 = 0 时, 上式也成立。
二次曲线中点弦_切线_切点弦及双切线方程
相交 ,当 0 < t < 1 时 , 圆 ( x - 1 ) 2 + y2 = 1 是
△PB C 的旁切圆 ,所以 , t > 1.
于是 , yB
=1
t +
, t
yC
=t 1-
, t
BC
= 1
t+t
1
t -
t
=
2 t2 t2 -
. 1
故
S△PB C
=
1 2
B
C
|
xP
|
=
1 2
· 2 t2 t2 -
中心 , F为焦点 ,
P 为椭圆上的一
点 , CD 为 通 过
O 的弦且平行
于过 P 的切线 ,
直线 PF 与 CD
(或 其 延 长 线 )
图4
交于点 Q. 证明
或否定 PQ =OA =OB.
讲解 :设椭圆方程为
x2 a2
+
y2 b2
=1
( a > b >0).
设 P ( acosθ, bsinθ) . 则过点 P的椭圆的
y
+ 2
xy0
+ Cy0 y +
D·x0 + x + E·y0 + y + F
2
= 0 ( ≠0) .
2
2
把双切线交点 P0 ( x0 , y0 )代入上述方程
8
可以确定 ,进而求出双切线方程.
2 四种方程的应用
例 1 如
图 1, P 是抛物
线 y2 = 2x上的
动 点 , 点 B、C
在 y 轴上, 圆
高中高考数学所有二级结论《[完整版]》
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高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx③过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-byy a x x④抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=⑤二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =-10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2max 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，b ax x f x =-∝+→])([lim16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222b k a mb +21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)AC C B B A S zA C y CB x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线 23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=⋅+-24.A 、B 、C 三点共线⇔OD nm OB OC n OA m OD +=+=1,(同时除以m+n ) 25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab26.反比例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --，k <0 27.面积射影定理：如图，设平面α外的△ABC 在平面α内的射影为△ABO ，分别记△ABC 的面积和△ABO 的面积为S 和S′ ，记△ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ = S′ : S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点：定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法x x f =)()(x f )(x f )(1-=n n a f a定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则（这里）(2)若只有唯一不动点，则（这里）定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,30.(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N ∈k (2)若πC B A =++，则：①2sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin 41cos cos cos CB AC B A +=++③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++④4sin4sin 4sin 412sin 2sin 2sin C B A C B A ---+=++πππ ⑤2sin 2sin 2sin 4sin sin sin CB AC B A =++⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p )(x f n a )1(),(1>=-n a f a n n )(1p a a p a n n -=--}{p a n -a )0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f }{n a 1),(1>=-n a f a n n )(11a f a ≠)(x f q p ,q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11qca pca k --=)(x f p k p a p a n n +-=--111da c k +=2)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 21,x x )(1n n u f u =+}{n u a e b 2,0==2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++(3)在任意△ABC 中，有： ①812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A ②8332cos 2cos 2cos ≤⋅⋅C B A ③232sin 2sin 2sin≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos≤++C B A ⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin 222≥++C B A⑩12tan 2tan 2tan 222≥++CB A⑪32tan 2tan 2tan ≥++CB A⑫932tan 2tan 2tan ≤⋅⋅C B A ⑬332cot 2cot 2cot≥++CB A ⑭3cot cot cot ≥++C B A(4)在任意锐角△ABC 中，有： ①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A ③9tan tan tan 222≥++C B A④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底面的面积，0S 是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离2Hh =时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积 33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么∠OAC ,∠BAC ,∠OAB 三角的余弦关系为：cos∠OAC=cos∠BAC ·cos∠OAB (∠BAC 和∠OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2cb a -+35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=- 立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OC OB OA OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e 推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦 41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长) 42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心 (3)O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心==⇔O 为ABC ∆的外心43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统一的极坐标方程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离心率)48.超几何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，)111)(1()(----=N n N M N M nX D 49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n 50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--= 51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值 52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n kn nC kC53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 (4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心 (5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a AC AB -+=⋅55.m >n 时，22nm nm n m e nm e e e e +>-->+。
压轴题型05 圆锥曲线中的极点、极线问题(原卷版)-2023年高考数学压轴题专项训练
压轴题05 圆锥曲线中的极点、极线问题“极点极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点极线是圆锥曲线的一种基本特征，自然成为命题人命题的背景知识和方向，可以肯定的说“极点极线”为背景的考题是出题人思维中的定势方向，学生掌握了极点极线的相关知识，就可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质，虽然高考解答题不能用相关结论，但是我们可以将它作为辅助手段，快速的找到正确答案，然后再用初等方法写过程解题。
也就是说只有熟练“二级结论”才能明确运算方向、提高运算效率.○热○点○题○型1 椭圆中的极点与极线问题○热○点○题○型2 双曲线中的极点与极线问题○热○点○题○型3抛物线中的极点与极线问题 极点极线的定义1. 二次曲线的替换法则对于一般式的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F ϕ+++++=：，用0xx 代2x ，用0yy 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y +代y ，常数项不变，可得方程：0000000222x y xy x x y y Axx B Cyy D E F ++++++++=．2. 极点极线的代数定义对于二次曲线22220(0)Ax Bxy Cy Dx Ey F A B ϕ+++++=+≠：，我们称点00(,)P x y （非二次曲线的中心）与直线0000000222x y xy x x y y l Axx B Cyy D E F ++++++++=：是关于曲线ϕ的一对极点极线，也称点P 为直线l 关于曲线ϕ的极点，直线l 为点P 关于曲线ϕ的极线．00022x x y y D E F ++++= 极点00(,)P x y 关于椭圆双曲线 极点00(,)P x y 关于双曲线抛物线 极点00(,)P x y 关于抛物线①极点极线是成对出现的！②我们熟知的焦点和焦点对应的准线就是最常见的极点4. 极点极线的配极性质①点P 关于二次曲线ϕ的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于二次曲线ϕ的极线q 经过点P ．②直线p 关于二次曲线ϕ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于二次曲线ϕ的极点Q 在直线p 上．①②说白了，就是点P 和点Q 是二次曲线的一组调和共轭点．1.若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ．2. 如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC 、BD ，设内层椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，若直线AC 与BD 的斜率之积为14-，则椭圆的离心率为( )．A ．12B ．22C 3D ．343. 如图，已知A 、B 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点，直线l ∥AB ，l与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点，直线CE 、DF 为椭圆的切线，则CE 与DF 的斜率之积CE DF k k 等于( )．A ．22a b ±B ．222a b a -±C ．22b a± D ．222a bb -±PyxOAB C DEFMN4.如图，O 是坐标原点，过(,0)E p 的直线分别交抛物线22(0)y px p =>于A 、B 两点，直线BO 与过点A 平行于x 轴的直线相交于点M ，过点M 与此抛物线相切的直线与直线x p =相交于点N ．则22ME NE -=( )．A ．22pB ．2pC ．4pD ．p5.设a 、b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ，2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．36. 过椭圆22194x y +=上一点M 作圆222x y +=的两条切线，点A 、B 为切点．过A 、B的直线l 与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，则△POQ 的面积的最小值为( )．A ．12B ．23C ．1D ．437.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，圆222C x y a +=：，过双曲线的任意一点000(,)(0)P x y y ≠作圆C 的两条切线，其切点分别为A 、B ．若直线AB 与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，则2222b a OMON-= ．A ．22b aB ．22b a -C ．22a bD ．22c a8.圆221x y +=的切线与椭圆22143x y +=交于两点A 、B ，分别以A 、B 为切点的椭圆22143x y +=的切线交于点P ，则点P 的轨迹方程为 ．9.设1A 、2A 、3A 、4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312()A A A A λλ=∈R ，1412()A A A A μμ=∈R ，且112λμ+=,则称3A 、4A 调和分割1A 、2A ，已知平面上的点C 、D 调和分割A 、B ，则下面说法正确的是( )．A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上 D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上10.过点(1,1)M -的动直线l 交圆2220C x y x +-=：于点A 、B ，O 为坐标原点，若在线段AB 上的点Q 满足112MA MB MQ+=，则min OQ = ．。
高中高考数学所有二级结论《完整版》
高中数学二级结论1、任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积)2、在任意ABC △内，都有t a n A +t a n B +t a n C =t a n A ·t a n B ·t a n C3、若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x )定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x )是周期函数，且2|a |是它的一个周期。
①f(x ＋a )＝f(x －a ) ②f(x ＋a )＝－f(x ) ③f(x ＋a )＝1/f(x ) ④f(x ＋a )＝－1/f(x )4、若函数y ＝f(x )同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b|5、若函数y ＝f(x )同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b|6、若函数y ＝f(x )既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝4|a －b|7、斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 8、过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点9、导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x xx x、)1(>>x ex e x 10、椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =11、圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--①过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为1220=+b yy a xx ①过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为1220=-b yy a xx 12、切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E yy D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-byy a x x①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ①二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x Bx Ax 13、①椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+②双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是||22222A a -B b =C14、椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±= （左加右减）15、双曲线的焦半径(双曲线上横坐标为x 的点P 到焦点的距离)公式，且F 1为左焦点，F 2为右焦点，e 为双曲线的离心率。