高中数学必修五线性规划的实际应用

【解】 设需第一种钢板 x张，第二种钢板 y张，钢板总数 z
?? 2x＋y≥15， ? x＋2y≥18， 张，则 ?? x＋3y≥27， ?? x≥0， ? y≥0，x，y∈N .
目标函数 z＝x＋y.
作出可行域如图所示，作出直线 x＋y＝0.作出一组平行直 线x＋y＝t(其中t为参数)．
经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过 直线x＋3y＝27和直线2x＋y＝15的交点A ???158，359???，直线方程为 x ＋y＝557.
【分析】 设出未知数 (只取整数 )找出约束条件列二元一 次不等式组．从而求目标函数的最值．
【解】 (1)模型建立． 将实际问题的一般语言翻译成数学语言可得下表 (即运费 表，单位：元 ).
设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为 x吨、y吨，则仓库 A 运给丙商店的货物为 (12－x－y)吨；从而仓库 B运给甲、乙、丙 商店的货物应分别为 (7－x)吨，(8－y)吨，[5－(12－x－y)]吨＝ (x＋y－7)吨，于是总运费为
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即在? ?
x＋y≥7，
?? x＋y≤12，
下的最小值．
(2)模型求解． 作出上述不等式组所 1.9mm表示的平面区域，即可行域， 如右图．作出直线 l：x－2y＝0，把直线 l作平行移动，显然当直 线l移动到过点 A(0,8)时，在可行域内， z＝x－2y＋126取得最小 值zmin＝0－2×8＋126＝110.即x＝0，y＝8时，总运费最少．
二 合理下料问题
【例2】 要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C三种规
格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所示：
规格类型 钢板类型
A规格 B规格 C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需A、B、C三种规格的成品分别为 15、18、27块，问各 截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张 数最少？
z＝8x＋6y＋9(12－x－y)＋3(7－x)＋4(8－y)＋5(x＋y－7)＝x －2y＋126.
从而得到本题的数学模型是：
求总运费 z＝x－2y＋126在约束条件
?12－x－y≥0， ??7－x≥0， ?8－y≥0， ?? x＋y－7≥0， ?x≥0， ?? y≥0，
?? 0≤x≤7，
?0≤y≤8，
(2)确定实际问题的最优解，要注意结合所建立的目标函数 的特点而选定可行域中的特殊点作为最优解．
(3)建立线性规划问题的数学模型一般按以下步骤： ①明确问题中有待确定的未知量，并用数学符号表示； ②明确问题中所有的限制条件 (约束条件 )，并用线性方程 或线性不等式表示； ③明确问题的目标，并用线性函数 (目标函数 )表示，按问 题的不同，求其最大值或最小值．
第三章 不等式
§3.3 二元一次不等式 (组)与简单的线性规划问题
3．3.2 简单的线性规划问题
第二课时 线性规划的实际应用
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
自学导引 1.准确利用线性规划知识，求解目标函数的最值． 2．掌握线性规划实际问题中的两种类型 .
名师讲解 1.简单的线性规划的实际问题的求解方法 (1)在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是 给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，能使 完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问 怎样统筹安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最 小．不管是哪种类型，解线性规划的实际问题，关键在于根据 条件写出线性约束条件及线性目标函数，然后作出可行域，在 可行域内求出最优解．
(4)解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图 应尽可能精确，图上操作尽可能规范．但考虑到作图必然会有 误差，假如图上的最优点并不明显易辨时，不妨将几个有可能 是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以确定最优解．
2．寻找整点最优解的方法 对于线性规划中的最优整数解的问题，当解方程组得到的 解不是整数解时，可用下面方法求解． (1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线 l，最先经过 或最后经过的整点便是最优解，这种方法应充分利用非整点最 优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整 点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比 较求最优解．
(2)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定 方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．
(3)由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而迅速 地找到最优解，此时可将各个可能解逐一检查即可见分晓 .
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析 一 方案设计问题
【例1】 某公司的仓库 A存有货物12吨，仓库B存有货物 8 吨，现按 7吨、 8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商 店，从仓库 A运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别 为8元、6元、 9元；从仓库 B运货物到商店甲、乙、丙，每吨货 物的经费分别为 3元、4元、5元，问应如何安排调运方案，才 能使得从两个仓库运货物到三个商店的总经费最少？
(3)模型应用． 安排的调运方案是： 仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为 0吨、8吨、4吨； 仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为 7吨、0吨、1吨．此 时，可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．
规律技巧 解线性规划应用题的流程是：实际问题 →数学 模型→数学模型的解 →实际问题的解 .
由于158和359都不是整数，而最优解 (x，y)中，x，y必须都是 整数，所以，可行域内点 ???158，359???不是最优解．
经过可行域内的整点 (横坐标和纵坐标都是整数的点 )，且 与原点距离最近的直线是 x＋y＝12.
经过的整点是 B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解．
【答】 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板 的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板 3张、第 二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板 4张、第二种钢板 8 张，两种方法都最少要截两种钢板共 12张．
易错探究
??3x＋2y≤10， ?x＋4y≤11， 设变量x，y满足条件??x∈Z，y∈Z， ??x>0，y>0，