高中数学必修五线性规划的实际应用
高二数学人教A版必修5教学教案3-3-2简单的线性规划问题(7)
《简单的线性规划问题》教学设计一、教学内容解析线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，是辅助人们进行科学管理的数学方法，为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出最优决策。
本节的教学重点是线性规划问题的图解法。
数形结合和化归思想是研究线性约束条件下求线性目标函数的最值问题的数学理论和方法，本节课重点体现了这一数学思想，将目标函数与直线的截距、斜率、两点距离联系起来，这样就能使学生对数形结合思想的理解和应用更透彻，为以后解析几何的学习和研究奠定了基础，使学生从更深层次地理解“以形助数”的作用。
二、教学目标设置（1）知识与技能：使学生了解线性规划的意义，利用数形结合及化归的数学方法，理解并掌握非线性目标函数及非线性约束条件下目标函数的最值求法；（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力；（3）情态、态度与价值观：激发学生动手操作、勇于探索的精神，培养学生发现问题、分析问题及解决问题的能力，体会数学活动充满着探索与创造。
三、教学重点难点教学重点：求非线性目标函数的最值；教学难点：能将代数问题转化为斜率或距离等几何问题；四、学情分析本节课学生在学习了简单线性规划问题的基础上，会画出平面区域，并且会计算简单线性目标函数的最值。
从数学知识上看，学生在此基础上还学习过直线的斜率，两点距离问题，直线与圆的位置关系，具备本节课所需知识要素。
从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。
五、教学方法本课以例题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，激发学生动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。
注重引导帮助学生充分体验“从具体到一般”的抽象过程。
应用“数形结合”的思想方法，培养学生学会分析问题，解决问题的能力。
六、教学过程。
高中数学线性规划应用
高中数学线性规划应用线性规划是一种数学优化方法，常常用于在给定的约束条件下，求解一个线性目标函数的最大值或最小值。
在高中数学中，线性规划的应用广泛，涉及到许多实际问题的求解。
本文将介绍一些高中数学线性规划的具体应用。
一、生产问题线性规划在生产计划中有着重要的应用。
假设某公司生产两种产品A和B，每天可以生产的最大数量分别为x个和y个。
产品A每个的利润为p1元，产品B每个的利润为p2元。
同时，公司还需要满足某些约束条件，比如每天的生产时间、原材料的供应限制等。
现在的问题是，如何确定生产的数量，才能使公司的利润最大化？通过线性规划，可以建立以下数学模型：目标函数：最大化利润，即Maximize Z = p1x + p2y约束条件：1. 产量限制：x ≤ x_max, y ≤ y_max2. 时间限制：a1x + a2y ≤ t_max3. 原材料限制：b1x + b2y ≤ m_max其中x_max、y_max分别为产品A和B的最大产量，t_max为每天的生产时间上限，m_max为原材料的供应上限；a1、a2为生产一个单位产品A和B分别需要的时间，b1、b2为生产一个单位产品A和B分别需要的原材料数量。
通过求解上述线性规划模型，可以得到能够实现最大利润的生产数量。
二、投资问题线性规划还可以应用于投资问题。
假设有一笔初始资金，我们希望在多个投资项目中进行分配，以达到最大的收益。
每个投资项目有不同的风险和回报率，同时也有投资金额和时间限制。
假设有n个投资项目，每个项目的回报率分别为r1, r2, ..., rn，投资金额分别为x1, x2, ..., xn。
我们的目标是选择合适的投资金额，使得投资总额不超过初始资金，并且获得的收益最大化。
通过线性规划，可以建立以下数学模型：目标函数：最大化收益，即Maximize Z = r1x1 + r2x2 + ... + rnxn约束条件：1. 总投资限制：x1 + x2 + ... + xn ≤ C2. 单个投资限制：xi ≥ 0 （i=1,2,...,n）其中C为初始资金。
线性规划实际应用教学探究
线性规划实际应用的教学探究【摘要】：线性规划的实际应用是高中数学教学中的一个重要课题。
本文从三个方面对“线性规划的实际应用”这一研究性学习课题进行探讨。
【关键词】：研究性学习线性规划应用数学研究性学习的一个重要方面是指对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究。
它要以所学数学知识为基础，密切结合生活和生产实际。
学习过程中要充分体现学生的自主活动和合作活动，要学会提出问题、明确探究方向，体验数学活动的过程，培养学生的创新精神和应用能力。
简单的线性规划是直线方程的简单应用，是知识应用的重要体现。
全日制高中数学大纲和教科书第二册（上）安排了线性规划实际应用的研究性学习课题和实习作业，借以培养学生应用数学知识解决实际问题能力。
在各种训练中，简单的线性规划问题时常会出现。
所以，对于简单的线性规划知识我们应给予足够的重视，本文结合具体实例谈一谈线性规划实际应用。
一、线性规划中的有关知识线性规划研究的是线性目标函数在线性约束条件下取最大值或最小值的问题。
满足线性约束条件下的解叫做可行解，由所有的可行解组成的集合叫做可行域。
一般地，线性规划问题的数学模型是已知a11x1+a12x2+…+a1mxm ≤b1,a21x1+a22x2+…fa2mxm≤b2,……an1x1+an2x2+…fanmxm≤bm,这里的”≤”也可以是”≥”或”=“，其中ai j (i=1,2,…，n,j = 1,2,…,m),b i (i=1,2…，n)都是常量，x j (j=1,2…，m)是非负常量，求z=c1x1+c2x2+…fcmxm的最大值或最小值，这里cj(j=1,2…,m)是常量。
应用线性规划解决实际问题一般步骤是：①设出变量，列线性约束条件和线性目标函数；②利用图解法求出最优解，进而求得目标函数的最大（或最小值）。
二、线性规划问题中应注意的问题1、线性规划问题实质是数形结合的具体体现，它将最值问题借助图形直观表示出来。
运筹学
《线性规划在实际生活中的应用》说课稿海口市第一中学潘峰一．教材分析1．教材分析“线性规划”这节课是高中新教材人教A版必修5第三章《不等式》第三节中的内容，是在学习了必修2中《直线与方程》的基础上，介绍直线方程的一个简单的应用，是教材改版之后增加的一个新内容，反映了《新课标》对数学知识在实际应用方面的重视．在实际生活中，经常会遇到一定的人力、物力、财力等资源条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源取得最大的效益是线性规划研究的基本内容，它在实际生活中有着非常广泛的应用．当然，中学所学的线性规划只是规划论、运筹学中的极小一部分，但这部分内容，也能体现数学的工具性、应用性，同时渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生解决实际问题提供了良好素材。
学生情况分析：学生已经学习了必修2中《直线与方程》，并且掌握了如何用平面区域表示二元一次不等式组。
依据教材分析及学情分析，我确定如下教学目标和重、难点2．教学目标（1）知识与技能：会用线性规划的知识解决一些较简单的实际问题，培养学生的观察能力、分析能力和作图能力，渗透化归和数形结合的数学思想，提高学生解决实际问题的能力；（2）过程与方法：从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决（包括：①从实际情境中抽象出二元一次不等式组；②能用平面区域表示二元一次不等式组，并用线性规划知识加以解决）；（3）情感、态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，让学生享受学习数学带来的情感体验和成功喜悦，同时融入集体荣誉感教育．3．教学重、难点教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即数学建模．建模是解决线性规划问题极为重要的环节．一个正确数学模型的建立要求建模者熟悉规划问题的具体实际内容．对初学者来说，面对文字长、数据多的应用题，要明确目标函数和约束条件有相当的难度．解决这个难点的关键是引导学生通过表格的形式把问题中的已知条件和各种数据进行整理分析，从而找出约束条件和目标函数，并从数学角度有条理地表述出来．教学难点：1．建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题；2．寻找整点最优解．线性规划中寻找整点最优解的问题，教材中提供了利用作图解决问题的方法，这种方法简单方便，学生容易掌握，体现了数形结合的数学思想．教师要引导学生规范地作出精确图形，并从图形中观察出整点最优解．另外，教师在本节课后还可介绍其它一些代数求解方法．教学中为了达到上述目标，突破上述重、难点，我将采用如下方法与手段二．教学方法与手段1．教学方法：诱导启发、自主探究的互动式教学方法在教学过程中，教师适当的设置疑问，学生通过自己的努力解决问题，同时教学过程中，应着重学生的动手训练．2．教学工具：多媒体课件、实物投影仪、印发准备好的习题纸多媒体辅助教学的采用：①由于本课例题文字过长，作图比较复杂，所以采用多媒体辅助教学。
高中线性规划
高中线性规划高中线性规划是高中数学课程中的一个重要内容，它是线性代数的一部份，主要涉及到线性方程组的解法和应用。
线性规划是一种优化问题，通过数学模型和计算方法，寻觅使目标函数达到最大或者最小的变量值。
在实际应用中，线性规划可以用于资源分配、生产计划、投资决策等方面。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括目标函数、约束条件和可行解。
目标函数是需要最大化或者最小化的线性函数，约束条件是限制变量取值范围的线性不等式或者等式，可行解是满足所有约束条件的变量取值组合。
二、线性规划的解法线性规划的解法主要有图形法、单纯形法和对偶理论等。
其中，图形法适合于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等值线，找到最优解。
单纯形法是一种迭代计算方法，通过不断调整基变量和非基变量的取值，逐步接近最优解。
对偶理论是线性规划的一个重要理论基础，通过对原始问题和对偶问题的转化和求解，可以得到最优解。
三、线性规划的应用案例1. 资源分配问题：某公司有限定的人力和物力资源，需要合理安排生产计划，以最大化利润。
通过线性规划，可以确定各项生产任务的分配比例，使得总利润最大化。
2. 投资决策问题：某投资者有一定的资金，希翼通过投资股票和债券来获取最大的回报。
通过线性规划，可以确定投资比例，使得预期收益最大化。
3. 运输问题：某物流公司需要将货物从多个仓库运送到多个客户处，希翼通过合理的运输方案，使得运输成本最小。
通过线性规划，可以确定货物的运输路径和运输量，使得总运输成本最小化。
四、线性规划的局限性线性规划在实际应用中存在一定的局限性。
首先，线性规划的模型假设目标函数和约束条件均为线性关系，但实际问题中往往存在非线性关系。
其次，线性规划的解法可能存在多个最优解或者无解的情况，需要结合实际情况进行判断。
此外，线性规划对数据的准确性要求较高，对于不确定性较大的问题，可能需要引入其他方法进行处理。
总结：高中线性规划是数学课程中的一部份，主要涉及到线性方程组的解法和应用。
人教版高中数学必修5第三章不等式《3.3.2 简单的线性规划问题》教学PPT
思考5：作可行域，使目标函数取最小
值的最优解是什么？目标函数的最小值
为多少？ 28x＋21y=0
7x＋14y＝6
y
A最最优小解值1(671.,
4 7
)，
7x 7 x
7y 5 14 y 6
14x 7 y 6
x 0, y 0
x＝4
思考3：图中阴影区域内任意一点的坐
标都代表一种生产安排吗？
y
x 2y 8
0 x 4 0 y 3 x N , y N O
y＝3 x
x＋2y＝8 x＝4
阴影区域内的整点（坐标为整数的点） 代表所有可能的日生产安排.
思考4：若生产一件甲产品获利2万元， 生产一件乙产品获利3万元，设生产甲、 乙两种产品的总利润为z元，那么z与x、 y的关系是什么？
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时
问题提出
1.“直线定界，特殊点定域”是画二元 一次不等式表示的平面区域的操作要点， 怎样画二元一次不等式组表示的平面区 域？
2.在现实生产、生活中，经常会遇到资 源利用、人力调配、生产安排等问题， 如何利用数学知识、方法解决这些问题， 是我们需要研究的课题.
探究（一）：线性规划的实例分析 t
5730
【背景材料】某工厂用A、B两种配件 生产甲、乙两种产品，每生产一件甲 产品使用4个A配件耗时1h；每生产一 件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每 天最多可从配件厂获得16个A配件和12 个B配件，每天工作时间按8h计算.
思考1：设每天分别生产甲、乙两种产 品x、y件，则该厂所有可能的日生产 安排应满足的基本条件是什么？
2x y 15
高中数学突破线性规划的实际应用
高中数学突破线性规划的实际应用在高中数学的学习中，线性规划是一个重要的知识点，它不仅在数学领域有着广泛的应用，在实际生活中也发挥着巨大的作用。
线性规划问题可以帮助我们在有限的资源条件下，做出最优的决策，实现效益的最大化。
首先，让我们来了解一下线性规划的基本概念。
线性规划是研究在线性约束条件下，使某个线性目标函数取得最优值（最大值或最小值）的问题。
其数学模型通常由决策变量、目标函数和约束条件三部分组成。
决策变量表示我们需要做出决策的数量或取值；目标函数是我们想要优化的对象，比如成本最小化、利润最大化等；约束条件则限制了决策变量的取值范围。
那么，线性规划在实际生活中有哪些具体的应用呢？一个常见的应用是资源分配问题。
比如，一家工厂有一定数量的原材料、人力和设备，要生产多种产品。
每种产品的生产都需要消耗一定量的资源，并且能带来不同的利润。
那么如何安排生产计划，才能在资源有限的情况下，使总利润最大呢？这就可以通过建立线性规划模型来解决。
我们设生产产品 A 的数量为 x1，生产产品 B 的数量为 x2 等等。
然后根据每种产品所需的原材料、人力和设备等资源，列出相应的约束条件。
比如，原材料的使用总量不能超过现有的库存，人力的工作时间总和不能超过规定的时长，设备的运行时间也有一定的限制。
同时，设定目标函数为总利润，即每种产品的利润乘以其产量的总和。
通过求解这个线性规划问题，我们就能得到最优的生产计划，即每种产品应该生产多少，从而实现利润的最大化。
再比如，运输问题也是线性规划的一个重要应用场景。
假设一家物流公司要将货物从多个发货地运输到多个收货地，每个发货地有一定数量的货物，每个收货地有一定的需求，不同的运输路线有着不同的运输成本。
那么如何安排运输方案，才能在满足需求的情况下，使总运输成本最低呢？我们可以设从发货地 i 运往收货地 j 的货物数量为 xij。
然后根据发货地的货物总量和收货地的需求，列出相应的约束条件。
高中数学中的线性规划与最优解
高中数学中的线性规划与最优解数学是一门抽象而又实用的学科，它在我们的日常生活中无处不在。
而在高中数学中，线性规划与最优解是一个重要的概念和技巧。
本文将探讨线性规划与最优解在高中数学中的应用和意义。
线性规划是一种数学模型，它的目标是在一组约束条件下，找到使目标函数取得最大或最小值的变量取值。
在高中数学中，线性规划经常出现在优化问题中，如最大利润、最小成本等。
它的基本思想是将问题转化为一组线性不等式或等式，然后通过图像、代数或其他方法求解最优解。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为$5，每单位产品B的利润为$8。
工厂每天的生产时间为8小时，产品A每小时需要2个工人，产品B每小时需要3个工人。
而工厂每天最多能雇佣10个工人。
现在我们要求工厂每天的最大利润是多少。
我们可以设产品A的产量为x，产品B的产量为y。
根据题目条件，我们可以列出以下不等式：2x + 3y ≤ 8 （工时约束）2x + 3y ≤ 10 （工人约束）x ≥ 0, y ≥ 0 （产量非负）我们要求的是最大利润，即目标函数为z = 5x + 8y。
现在我们将这个问题转化为一个线性规划问题，目标是求解z的最大值。
通过图像或代数方法，我们可以找到最优解。
在这个例子中，最优解是x = 2，y = 2，z = 34。
也就是说，工厂每天生产2个单位的产品A和2个单位的产品B时，可以获得最大利润34美元。
这个例子展示了线性规划在实际问题中的应用。
通过建立数学模型，我们可以找到最优解，从而在有限的资源下，达到最佳的效果。
除了图像和代数方法，线性规划还可以通过单纯形法等数值方法来求解。
这些方法可以帮助我们更快地找到最优解，尤其是在复杂的问题中。
通过计算机软件的辅助，我们可以处理更多的变量和约束条件，从而得到更精确的结果。
线性规划不仅在数学中有重要的应用，还在经济学、管理学等领域中起着重要的作用。
它可以帮助我们优化资源配置，提高效率，降低成本。
湖北省监利县第一中学高中数学必修五《3.4 简单的线性规划问题和线性规划的实际应用》导学案(无答案)
第4课 简单的线性规划问题和线性规划的实际应用预 习 案要点1线性规划中的基本概念要点21．最优解一定唯一吗？2．最优解一定在可行域的边界上取得吗？3．在线性目标函数z ＝x ＋y 和z ＝x －y 中，目标函数z 的几何意义分别是什么？探 究 案题型一 线性目标函数的最值例1已知x 、y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋7≥0，4x －3y －12≤0，x ＋2y －3≥0.（1）求z ＝x ＋y 的最大值和最小值； (2)求z ＝x －y 的最大值和最小值．思考题（1）(2013·新课标全国Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3.则z ＝2x －3y 的最小值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－3题型二 非线性目标函数的最值例2已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0.(1)求ω＝x 2＋y 2的最大值和最小值；(2)求t ＝y ＋1x ＋1的最大值、最小值．思考题(2)若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋3y －3≤0，x ≥0，y ≥0.则不等式组表示区域的面积为________，z＝y ＋2x －1的取值范围是________．题型三 求解范围问题例3 已知函数f (x )＝ax 2－c 满足－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围．思考题3 已知⎩⎨⎧1≤x －y ≤2，2≤x ＋y ≤4.求z ＝4x ＋y 的最值．题型四 最值问题例4 某企业生产A 、B 两种产品，每生产一吨产品所需要的劳动力和煤、电如下表：制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200度，试问该企业生产A 、B 两种产品各多少吨时，才能获得最大利润？最大利润为多少？题型五 最优整数解问题例5要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：的三种规格成品，且使所用钢板张数最少？。
高中线性规划
高中线性规划引言概述:线性规划是数学中的一种优化方法，用于解决最大化或者最小化目标函数的问题。
在高中数学中，线性规划是一个重要的概念，它可以应用于各种实际问题，如资源分配、生产计划等。
本文将详细介绍高中线性规划的概念、应用以及解题方法。
一、线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，该函数称为目标函数。
目标函数通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为常数，xi 为变量。
1.2 约束条件：线性规划的解必须满足一组约束条件，这些条件通常表示为一组线性不等式或者等式。
例如，Ax ≤ b，其中A是一个矩阵，x和b是向量。
1.3 可行解和最优解：满足所有约束条件的解称为可行解。
在可行解中，使目标函数达到最大或者最小值的解称为最优解。
二、线性规划的应用领域2.1 生产计划：线性规划可以用于确定最佳的生产计划，以最大化利润或者最小化成本。
通过考虑资源约束和市场需求，可以确定每种产品的生产量。
2.2 资源分配：线性规划可以用于确定资源的最佳分配方式，以最大化资源利用率或者最小化浪费。
例如，可以确定每一个部门的资源分配，以满足不同项目的需求。
2.3 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，即确定如何将货物从供应地点运送到需求地点，同时最小化运输成本。
三、线性规划的解题方法3.1 图形法：对于二维问题，可以使用图形法来解决线性规划问题。
通过绘制目标函数和约束条件的图形，可以确定最优解所在的区域。
3.2 单纯形法：对于多维问题，单纯形法是一种常用的解题方法。
该方法通过迭代计算，逐步接近最优解。
3.3 整数规划：在某些情况下，变量的值必须是整数。
这种情况下，可以使用整数规划方法来解决问题。
整数规划通常比线性规划更复杂，需要使用特定的算法进行求解。
四、线性规划的局限性4.1 线性假设：线性规划假设目标函数和约束条件都是线性的，但实际问题中往往存在非线性因素。
数学：3.3.3《线性规划的实际应用》课件(新人教A版必修5)
线性规划的实际应用
解线性规划应用问题的一般步骤：
1、理清题意，列出表格； 2、设好变元，列出线性约束条件（不 等式组）与 目标函数； 3、准确作图； 4、根据题设精度计算。
线性规划的实际应用
例1 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲 种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生 产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每 1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的 利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中 要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超 过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到 吨)，能使利润总额最大? 乙种棉纱 资源限额 产品 甲种棉纱
复习二元一次不等式表示的平面区域
y 90 在平面直角坐标系中，以二 80 结论：二元一次不 元一次方程x+y-1=0的解为坐 70 x+y-1>0 标的点的集合{(x，y)|x+y-1=0} 等式ax+by+c>0在平面 1 60 是经过点(0，1)和(1，0)的一 直角坐标系中表示直线 50 东部 条直线 l， 那么以二元一次不等 ax+by+c=0某一侧所有 西部 40 1 O x 式x+y-1>0的解为坐标的点的 北部 点组成的平面区域。不 30 集 合 { ( x ， y ) | x + y - 1 > 0 } 是 x+y-1<0 等式 ax+by+c<0表示的 20 什么图形? 是另一侧的平面区域。 10 x+y-1=0
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修5
3.3.3《线性规划的 实际应用》
审校：王伟
教学目标
高中数学必修5《简单线性规划》教学设计
课题：简单的线性规划（高三一轮复习课）主旨：本节课是人民教育出版全日制普通高级中学数学教科书（必修5）第三章第3节“简单的线性规划”.本节课是高三第一轮复习课，内容包括二元一次不等式表示平面区域、线性规则及线性规划的实际应用.下面我从三方面来说说对这节课的分析和设计.1. 教材地位分析一教学背景分析 2. 学生特征分析3. 教学目标分析1. 教学重点、难点分析二教学展开分析 2. 教学策略和方法指导3. 教学媒体选择4. 教学实施三教学结果分析一、教学背景分析1、教材地位分析（1）“简单的线性规划”是在复习了直线方程的基础上而再度学习的. 因线性规划的应用性广泛，“简单线性规划”不仅是“新大纲”中增加的新内容，也是“新课标”的必修内容；说明了教材重视数学知识的应用.（2）“简单的线性规划”体现了数学应用性的同时，还渗透了化归、数形结合等数学思想和数学建模法.（3）“简单的线性规划”内容已成为近年来高考数学命题的一个亮点. 几乎每年必考。
考查的题型有选择题，填空题..2、学生特征分析（1）学习任务分析：通过第一轮复习，学生对不等式、直线方程知识有了更系统的理解；这是复习“简单的线性规划”的起点能力.（2）认知能力分析：学生能应用不等式、直线方程知识来解决问题，加之，体会过“简单的线性规划”应用性；这有益于“简单的线性规划”的“同化”和“顺应”.（3）认知结构变量分析：“不等式”、“直线方程”与“简单的线性规划”是“类属关系”，故“简单的线性规划”的复习是“下位学习”，说明认知结构的可利用性和可分辩性. 但是，由于“简单的线性规划”在教材上的编排简约、图解方法的动态，影响到认知结构的稳固性；这要求通过创设问题情境、自主探究等来促进认知结构的稳固性，进行意义建构.3、教学目标分析（1）知识技能：掌握二元一次不等式表示平面区域，进一步了解线性规划的意义，并能应用其解决一些简单的实际问题.（2）过程与方法：通过自主探究，师生会话，体验数学发现和创造的历程；经历线性规划的实际应用，提高数学建模能力.（3）情感态度：通过自主探究，师生会话，养成批判性的思维品质，形成良好的合作交流品质，提高“应用数学”的意识.以上三个目标确定是基于教材地位分析和学生特征分析.二、教学展开分析1、教学重点与难点分析重点：掌握二元一次不等式表示平面区域并灵活运用，以及线性规划最优解的求解.难点：实际问题转化为线性规划问题及其整数最优解、最优近似解的求解.利用例题、变式训练，求线性规划最优解的两种有效的方法——“调整优值法”、“换元取优法”的应用，以及“简单的线性规划解答器”的应用，来突出重点，突破难点.2、教学策略与方法指导（1）教学策略：本节课采用基于建构主义理论的“建构式教学方法”，即由“创设问题情境——自主探究——师生会话——意义建构”四个环节组成. 以学生为主体，并根据教学中的实际情况及时调整教学方案.（2）学法指导：教师平等地参与“师生会话”，间或参与“自主探究”并适时点拨指导；引导学生全员、全过程参与；自主探究的形式可以是小组学习，也可以是“学习共同体”等，引导学生反思评价.3、教学媒体的选择与运用使用多媒体辅助教学.4、教学实施按照“建构式教学法”的思想，围绕突出重点，解决难点，不断设置问题情境，激发学生自主探究，并由师生会话促进意义建构. 我把本节课的教学实施分成三大部分，即（1）概念“同化”,（2）例题研讨,（3）反思评价.Ⅱ例题分析三、教学结果分析通过本节课的学习，结合教学目标，从知识、能力、情感三个方面预测可能会出现的结果.1、学生能掌握并灵活运用二元一次不等式的平面区域，能够求出最优解；但在数学建模方面，估计有少部分学生会有一定的困惑. 另外，对线性规划和其它知识的交汇题的求解以及实际问题的整数最优解、近似最优解的求解仍会有学生感到陌生，故须督促学生课后加强消化.2、学生基本思想能力得到一定的提高，但良好的数学素养有待进一步提高.3、由于学生层次不同，已有的数学知识、观念不同，体验和认识也不同，对于学习层次较高的学生，应鼓励其严谨、谦虚、锲而不舍的求学态度；而对学习欠佳的同学，应多鼓励，并辅之以师生的帮助促进其进步.。
高中线性规划
高中线性规划引言概述：高中线性规划是数学中的一个重要概念，它是一种用于解决最优化问题的数学方法。
线性规划可以应用于各种实际情况，如资源分配、生产计划和投资决策等。
本文将详细介绍高中线性规划的基本概念、解决方法和实际应用。
一、线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划中的目标函数是需要最小化或最大化的线性表达式。
它通常表示为一系列变量的线性组合。
1.2 约束条件：线性规划中的约束条件是限制变量取值范围的条件。
这些条件可以是等式或不等式，用于限制解的可行域。
1.3 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
线性规划的目标是找到一个最优可行解，使目标函数达到最小值或最大值。
二、线性规划的解决方法2.1 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制约束条件的图形来求解最优解。
最优解通常出现在可行域的顶点上。
2.2 单纯形法：对于多维线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
该方法通过迭代计算，逐步接近最优解。
单纯形法是一种高效且广泛使用的线性规划求解算法。
2.3 整数规划：当问题要求变量取整数值时，可以使用整数规划方法求解。
整数规划是线性规划的扩展，它在求解过程中限制变量取值为整数。
三、线性规划的实际应用3.1 资源分配：线性规划可以用于优化资源的分配，如生产线上的机器分配、员工排班和原材料采购等。
通过合理安排资源的使用，可以最大化效益并降低成本。
3.2 生产计划：线性规划可以应用于生产计划中，如确定产品的生产数量和生产时间。
通过最优化生产计划，可以提高生产效率和产品质量。
3.3 投资决策：线性规划可以帮助进行投资决策，如确定投资的资金分配和投资组合。
通过最优化投资决策，可以实现最大化回报和降低风险。
四、线性规划的局限性和发展方向4.1 非线性问题：线性规划只适用于目标函数和约束条件均为线性的问题。
对于非线性问题，需要采用其他数学方法进行求解。
4.2 多目标优化：线性规划只能处理单一目标的优化问题。
对于多目标优化问题，需要引入多目标规划方法进行求解。
线性规划的实际应用
３.根据教育学和心理学的理论，创设一种学 习情景要符合学生的 心理机制和感情因素， 本课从实 际问题开始引入课题,使学生变得 “心求通，口欲言”， 给学生创设一种“求 通欲言”的情境, 因此本课教学过程的主要 精力花在第三部份分组 探究交流上，为学生 展示自我提供一个平台。
4.研究性学习是仿照科学研究 的 过程 来学 习科学内容，从而在掌握科学内容的同时， 体验、理解和应 用科学研究的方法，培养 科研能力 的一种学习方法。它的基本特 征 是：提出问题-收集数据-形成解释-得 出结 论-检验结果。这一节课的最终目的是为学 生完成本课的实习作业 提供帮助，因此， 本节课的教学过 程按照这些特征分为上述 五个步骤。
组长 班级
六、板书设计
线性规划的实际应用
1.复习：线性约束条件，线性目标函数，可 行域，可行解，解线性规划问题的四个环 节：画-移-求-解 2.解答书中例题
最后我说一下本课为什么要这样设计。
1.根据素质教育的要求， 数学教学应由“教 给学生数学的结果”转变为“引导学生参与 学习数学的过程”，这样就必须使学生参与 到数学探索活动中来，让学生在学习中进行 探索,并主动建构知识，发展学生自主学习的 行为模式，达到增强学生的思维能力、创造 能力与问题解决能力的目的，因此，本课采 用探究法教学。
再见！
研 究 课 题
2.引入本节所要学习的线性规划在 实际中的应用,如:物质调运,产品安 排,下料问题。
提出问题
用时：5分
二 明确下列问题：
创 （１）线性规划问题的数学模型。
设 问 题
（２）中学可解的线性规划问题的特点及 解题步骤。
情 （３）用自已的话描述线性规划的理论和
境 方法在实际应用中的基本问题模式。
高中数学 线性规划在高考中的应用课件 新人教A必修5
线的斜率，当x求与之相关的最值问题时，就要观察图中斜 率的变化情况.
②z=
中z的几何意义为：点A（x,y）与点B
（x1,y1）连yx 线 xy的11 斜率.
③z=
中z的几何意义为：点A（x,y）与原点的
距离.
x2 y2
④z=
中z的几何意义为：点A（x,y）
与点C（a，(bx）a的)2距(离y. b)2
x 1
(3)若目标函数z x2 y2 ,求z的最大值与最小值
变式1:若目标函数z x+12 y-1y2 ,求z的最大值与最小值
变式2:若目标函数z x-32 y+42 ,求z的最大值与最小值
5
3
归纳：目标函数z
x-a
2
4
y-b
2
,
表示定点
a
,
b
到
可行域中的点－x3, y的o距离1 。
❖
题型二：变为斜率
x 4 y 3
例.已知实数 x、y 满足下列条件 3x 5 y 25 ，
(2)若目标函数z
y
x 1 , 求z的最大值与最小值
x
变式1:若目标函数z
y-1 ,y讨论z的最值
x+1
变式2:若目标函数z
y+4 x-3
,5讨论z的最值
3
归纳：目标函数z y-b ,表示定4 点a, b与可行域中的
（2）已知x,y满足条件 x-2y+7求≥0z=，x2+y2的最大值和
最小值.
4x-3y-12≤0，
x+2y-3≥0，
解：（1）D（点（x,y）在图中阴影部分，ω= y,即 1
x1
动点（x,y）与定点A（-1,1）连线的斜率,l1的斜率k1=kAB,由
高中数学解线性规划问题的应用题解析与实例分析
高中数学解线性规划问题的应用题解析与实例分析一、引言线性规划是数学中的一种重要方法，广泛应用于各个领域，如经济、管理、工程等。
在高中数学中，线性规划也是一个重要的考点，往往需要学生掌握解题的方法和技巧。
本文将通过具体的应用题例子，详细解析线性规划问题的解题过程和思路，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。
二、线性规划问题的基本概念线性规划问题是指在一定的约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值的问题。
一般形式可以表示为：Max（或Min）Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数；a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数；b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的常数；x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量。
三、线性规划问题的解题步骤1. 确定决策变量：根据题目中的要求，确定需要求解的决策变量，例如某种产品的生产数量、某种资源的分配比例等。
2. 建立目标函数：根据题目中的要求，建立目标函数，即需要最大化或最小化的函数。
目标函数的系数由题目中的条件确定。
3. 建立约束条件：根据题目中的要求，建立约束条件，即限制决策变量的取值范围。
约束条件的系数由题目中的条件确定。
4. 求解最优解：根据线性规划的特点，最优解一定在可行域的顶点上取得。
因此，通过解方程组或图像法找到可行域的顶点，并计算目标函数在每个顶点处的取值，最终确定最优解。
四、应用题解析与实例分析下面通过一个具体的应用题来进行解析和分析，以帮助读者更好地理解线性规划问题的解题过程。
例题：某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A需耗费2小时的人工和3小时的机器时间，每单位产品B需耗费1小时的人工和4小时的机器时间。
高中数学 必修5 28.简单线性规划的应用
28.简单线性规划的应用
教学目标班级______ 姓名___________
1.能运用简单线性规划解决实际问题.
2.能求实际问题的最优整数解.
教学过程
一、运用简单线性规划解决实际问题.
例1：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4t 1.2万元0.55万元
韭菜6t 0.9万元0.3万元
为使一年的总利润最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积分别为多少？最大利润为多少？
二、线性规划最优整数解问题.
例2：某人有楼房一幢，室内面积共1802
m，拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房每间182
m，可住5人，每人每天住宿费40元；小房每间152m，可住3人，每人每天住宿费50元.装修大房每间需1000元，装修小房每间需600元.若他只能筹款8000元用于装修，且游客住满客房，则他应隔出大房和小房各多少间，才能使收益最大？。
高中数学线性规划与动态规划
高中数学线性规划与动态规划数学是一门抽象而深奥的学科，其中涵盖了大量的分支和理论。
在高中阶段，线性规划与动态规划是数学中的两个重要概念，对于解决实际问题和优化决策具有重要意义。
本文将介绍高中数学中线性规划与动态规划的概念、原理以及实际应用。
一、线性规划线性规划是数学规划问题中的一种常见方法。
它的目标是在满足多个线性约束条件的前提下，寻找线性目标函数的最优解。
线性规划问题可以用图像来表示，其中目标函数和约束条件都是线性方程或线性不等式。
线性规划的标准形式可以表示为：Maximize (或Minimize) Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙSubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂…aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, …, xₙ ≥ 0其中，Z表示线性目标函数的值，c₁, c₂, …, cₙ为目标函数中的系数，aᵢₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, …, bₙ为约束条件的右边常数，x₁, x₂, …, xₙ为决策变量。
线性规划问题可以使用单纯形法等算法求解，得到最优解及最优解对应的目标函数值。
二、动态规划动态规划是一种通过将原问题拆分成子问题并保存子问题解，然后利用这些子问题的解来求解原问题的方法。
它适用于那些具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
动态规划通常包含以下几个步骤：1. 定义子问题：将原问题拆分成一系列子问题，这些子问题和原问题具有相同的性质，并且可以通过子问题的解来推导出原问题的解。
2. 确定状态：将子问题的解表示成状态，通常使用状态转移方程来描述状态之间的关系。
3. 构建状态转移方程：根据子问题的性质和状态之间的关系，建立状态转移方程，以表达问题的最优解与子问题最优解之间的关系。
4. 确定初始条件：确定问题的起始状态下的初始值，通常需要定义初始值。
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(2)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定 方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．
(3)由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而迅速 地找到最优解，此时可将各个可能解逐一检查即可见分晓 .
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析 一 方案设计问题
【例1】 某公司的仓库 A存有货物12吨，仓库B存有货物 8 吨，现按 7吨、 8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商 店，从仓库 A运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别 为8元、6元、 9元；从仓库 B运货物到商店甲、乙、丙，每吨货 物的经费分别为 3元、4元、5元，问应如何安排调运方案，才 能使得从两个仓库运货物到三个商店的总经费最少？
(3)模型别为 0吨、8吨、4吨； 仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为 7吨、0吨、1吨．此 时，可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．
规律技巧 解线性规划应用题的流程是：实际问题 →数学 模型→数学模型的解 →实际问题的解 .
第三章 不等式
§3.3 二元一次不等式 (组)与简单的线性规划问题
3．3.2 简单的线性规划问题
第二课时 线性规划的实际应用
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
自学导引 1.准确利用线性规划知识，求解目标函数的最值． 2．掌握线性规划实际问题中的两种类型 .
名师讲解 1.简单的线性规划的实际问题的求解方法 (1)在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是 给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，能使 完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问 怎样统筹安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最 小．不管是哪种类型，解线性规划的实际问题，关键在于根据 条件写出线性约束条件及线性目标函数，然后作出可行域，在 可行域内求出最优解．
由于158和359都不是整数，而最优解 (x，y)中，x，y必须都是 整数，所以，可行域内点 ???158，359???不是最优解．
经过可行域内的整点 (横坐标和纵坐标都是整数的点 )，且 与原点距离最近的直线是 x＋y＝12.
经过的整点是 B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解．
【答】 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板 的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板 3张、第 二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板 4张、第二种钢板 8 张，两种方法都最少要截两种钢板共 12张．
二 合理下料问题
【例2】 要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C三种规
格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所示：
规格类型 钢板类型
A规格 B规格 C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需A、B、C三种规格的成品分别为 15、18、27块，问各 截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张 数最少？
【解】 设需第一种钢板 x张，第二种钢板 y张，钢板总数 z
?? 2x＋y≥15， ? x＋2y≥18， 张，则 ?? x＋3y≥27， ?? x≥0， ? y≥0，x，y∈N .
目标函数 z＝x＋y.
作出可行域如图所示，作出直线 x＋y＝0.作出一组平行直 线x＋y＝t(其中t为参数)．
经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过 直线x＋3y＝27和直线2x＋y＝15的交点A ???158，359???，直线方程为 x ＋y＝557.
【分析】 设出未知数 (只取整数 )找出约束条件列二元一 次不等式组．从而求目标函数的最值．
【解】 (1)模型建立． 将实际问题的一般语言翻译成数学语言可得下表 (即运费 表，单位：元 ).
设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为 x吨、y吨，则仓库 A 运给丙商店的货物为 (12－x－y)吨；从而仓库 B运给甲、乙、丙 商店的货物应分别为 (7－x)吨，(8－y)吨，[5－(12－x－y)]吨＝ (x＋y－7)吨，于是总运费为
(2)确定实际问题的最优解，要注意结合所建立的目标函数 的特点而选定可行域中的特殊点作为最优解．
(3)建立线性规划问题的数学模型一般按以下步骤： ①明确问题中有待确定的未知量，并用数学符号表示； ②明确问题中所有的限制条件 (约束条件 )，并用线性方程 或线性不等式表示； ③明确问题的目标，并用线性函数 (目标函数 )表示，按问 题的不同，求其最大值或最小值．
易错探究
??3x＋2y≤10， ?x＋4y≤11， 设变量x，y满足条件??x∈Z，y∈Z， ??x>0，y>0，
(4)解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图 应尽可能精确，图上操作尽可能规范．但考虑到作图必然会有 误差，假如图上的最优点并不明显易辨时，不妨将几个有可能 是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以确定最优解．
2．寻找整点最优解的方法 对于线性规划中的最优整数解的问题，当解方程组得到的 解不是整数解时，可用下面方法求解． (1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线 l，最先经过 或最后经过的整点便是最优解，这种方法应充分利用非整点最 优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整 点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比 较求最优解．
即在? ?
x＋y≥7，
?? x＋y≤12，
下的最小值．
(2)模型求解． 作出上述不等式组所 1.9mm表示的平面区域，即可行域， 如右图．作出直线 l：x－2y＝0，把直线 l作平行移动，显然当直 线l移动到过点 A(0,8)时，在可行域内， z＝x－2y＋126取得最小 值zmin＝0－2×8＋126＝110.即x＝0，y＝8时，总运费最少．
z＝8x＋6y＋9(12－x－y)＋3(7－x)＋4(8－y)＋5(x＋y－7)＝x －2y＋126.
从而得到本题的数学模型是：
求总运费 z＝x－2y＋126在约束条件
?12－x－y≥0， ??7－x≥0， ?8－y≥0， ?? x＋y－7≥0， ?x≥0， ?? y≥0，
?? 0≤x≤7，
?0≤y≤8，