河道流量演算与洪水预报

差分法：
将基本方程组直接离散化，进而联解由此得到的一组代数方程组。依据离散化时
采用的数值格式不同，可将直接差分法分为显式差分法和隐式差分法两种。显式差 分法是根据前一时刻的已知值逐点分别求解下一时刻的未知值，计算过程简单，但
稳定性差，计算时间步长限制较多，步长较大时，计算可能不稳定，精度也难以保
证；隐式差分法不能直接由前一时刻求解下一时刻的值，必须同时对所有节点列出 差分方程而求解大型代数方程组，计算较为复杂，但稳定性好，计算时间步长可以
f f j 1 f j t 2t
Preissmann计算方法-四点隐格式
1 Q z 0 B x t 2 Q ( Q ) gA( z Q Q ) 0 x A x K2 t
利用Preissmann格式，上式变为：
1 n n 1 f jn f jn f 1 f j 1 f j t 2t
令
f ( x, t )
,并记

,则上式为：
(x , t )
1 (f j 1 f j ) ( f jn1 f jn ) 2 2
f j 1 f j f jn1 f jn f x x x
程是双曲拟线性偏微分方程，目前还无法求得其精确
解析解，在实际应用中常采用数值近似解。 数值近似方法主要有： --特征线法 --直接差分
--瞬时流态法
--微幅波理论法 --有限单元法
特征线法：
这一方法是根据偏微分方程理论，先将基本方程变换为特征线ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ常微分方程组， 然后对该微分方程进行离散，再结合初始条件和边界条件求数值解或图解。这种方 法物理概念明确，数学分析严谨，计算结果精度较高。
[
j 1
An j 1 A j 1

2 (Q n j Q j )
An j A j
n 2 2 (Q n (1 ) (Q j1 ) j ) ] [ n ] n x A j 1 Aj
Q j 1 Q j 2 t [

n 1 2 (Q )
g g 1 n n (A j 1 A j ) ( An (z j 1 z j ) ( z j 1 z n j 1 A j )][ j )] 2 2 x x n n n g ( A j 1 A j 1 )(Q j 1 Q j 1 ) | Q j 1 Q j 1 | [ 2 2 (K n j 1 K j 1 )
利用
在
的泰勒展开
1 ( K K j ) 2
第4章 河道流量演算与洪水预报
圣维南方程组
A Q 0 t L
或
z 1 Q 0 t B L
连续性方程
z 1 V V V Sf t g t g L
动量方程
水面坡度 局地惯性项 迁移惯性项 摩阻坡度 惯性项
说明：
A 水面宽 B 1
水深
h
m（边坡系数） 水面宽：
取得较大，计算速度快。
Preissmann计算方法-四点隐格式
f ( x, t )

2
1 n 1 ( f jn ) 1 fj
1 n ( f j 1 f jn ) 2
下标代表空间步长 上标表示时间步长 θ为权重系数, (0≤θ≤1)
1 n 1 f jn f jn1 f jn f 1 fj (1 ) x x x
n n n n n n g (1 ) A j 1Q j 1 | Q j 1 | A j Q j | Q j | [ ] 2 2 2 (K n (K n j 1 ) j )
n n n n n n g (1 ) A j 1Q j 1 | Q j 1 | A j Q j | Q j | [ ] 2 2 2 (K n (K n j 1 ) j )
]
g g 1 n n (A j 1 A j ) ( An (z j 1 z j ) ( z j 1 z n j 1 A j )][ j )] 2 2 x x n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 g A j 1 Q j 1 | Q j 1 | A j Q j | Q j | [ ] 1 2 1 2 2 (K n (K n j 1 ) j )
1 n ( An A j )(Q n j j Q j ) | Q j Q j | 2 (K n j K j )
x
[
j 1
1 An j 1

1 2 (Q n j ) 1 An j
n 2 2 (Q n (1 ) (Q j1 ) j ) ] [ n n 1 ] x A j 1 Aj
0
0
Preissmann计算方法-四点隐格式
利用下面关系式上式线性化：
1 An A j j 1 An j (1
1 ( K ) (1
n 2 j
Aj Aj
K j Kn j
)
Aj 1 ( 1 ) An A j j
K j 1 (1 2 n ) n 2 (K j ) Kj
B b 2m h 过水断面面积：A (m h b)h
湿润周：
底宽 b
对固定河床 均是水深h的函数
水力半径： 流量模数：
b 2h 1 m 2 A ( m h b) h R b 2h 1 m 2 1 K AR2 / 3 n
n 河床粗糙度
水力学模型的核心是圣维南方程的求解。圣维南方
z j 1 z j 2t Q j 1 Q j Q j 1 Q j 2 ( )0 (B j 1 B j ) ( B j 1 B j ) x x
Q j 1 Q j 2t [

n 2 (Q Q j 1 )
x