递推公式求通项的几种方法

S1 (n 1) an S n S n1 (n 2)
与 an Sn Sn1 f (an ) f (an1 ) 消去 S (n 2) n 或与 Sn f (Sn Sn1 )(n 2)消去an
（2006，陕西,理,20本小题满分12分)
已知正项数列 an ，其前n项和 Sn 满足
an 2n 1（经验证，n=1也满足）
an1 2an 1 （类型3的形式）②
根据待定系数法构造等比数列 ，得 an 2n 1
方法三 综合联立方法一、二的① ②，可得
an 2 1(n 2)
n
方法四（特征根法）①特征方程为 x 2 3x 2 0
解出特征根 x1 1, x2 2
2 2 n1
由① - ②得
10an (an a
) 6(an an1 )
即
(an an1 )(an an1 5) 0
而 则
an an1＞0 an an1 5(n 2)
当 a1 3 时, a3 13 , a15 73.
a1 , a3 , a15 不成等比数列， ∴ a1 3
解：设
求数列 an 的通项公式。
，
an2 san1 t (an1 san ) 则 an2 (s t )an1 tsan
s t 3 与已知等式比较，得 ts 2
解得，s=1,t=2或s=2,t=1
方法一 取s=1,t=2,得
an2 an1 2(an1 an )
nan
再联合已知式，可得 当 n 2 时， an1 an
即
an1 (n 1)an
又 a2 a1 1 ∴ a1 1, a2 1, a3 3, , an n a1 a2 an 1 将以上n个式子相乘，得 n! a n ( n 2) 2
类型3 an1 pan q( p 1, q 0)
b1 a1 3
累加得： a 1 22 23 2n 2n1 3 n
an a n 1 bn 1 2 n
解法三（迭代法）：
a n 1 2 a n 3, a n 2 a n 1 3, a 2 2 a1 3,
∴
an 2(2an 2 3) 3 2 2 an 2 2 3 3 2 n-1 a1 3 2 n 2 3 2 2 3 1 2 2 3 ( 2) 1 2 n 1 2 3
则
n 1 是以公比为 a n
的等比数列。
n 1 1 n 1 n ④由③，得 a 1 3 ( 3 ) an 1 ( 1 ) n n 3
类型7
an1 pan f (n)( p 0,1)
这种类型的一般有下面两种方法 ①两边同除以 f (n) ，转化成类型3，进行 求解。 n 1 ②两边同除以 c 时，就化成类型1，运 用累加法或逐差法解决。
c1 2
an 2n1 3
类型4 an2 pan1 qan （其中p,q均为常数）
这种类型求通项的方法一般有待定系数法。
步骤：1）把原递推公式转化为
an2 san1 t (an1 san ) 2）去括号得 an2 (s t )an1 tsan
当 a1 2时, a3 12, a15 72. 满足
则
a3 a1a15 ， ∴ a1 2 an 5n 3
2
类型6
这种类型的一般是等式两边取倒数 an1 pan q 后换元转化为 步骤： 类型3
f (n)an an1 g (n)an h(n)
1）将原递推式取倒数，得
1 3 3 3
2
n2
3
n1
根据等比数列前n项的公式，得
1 3n 3n 1 an 1 3 2
证法2（逐差法）由已知得：
an an1 3
∴
n 1
，a1 1.
an a1 (a2 a1 ) (a3 a2 ) (an an 1 ) 1 3 32 3n 1 1 3n 3n 1 1 3 2
考题剖析
1 例.已知数列 中， a1 , an 1 an 2 n 3
求数列 an 的通项公式。
解法一：对已知式两边同除以 2 n 1 ，得
an 1 1 an n 1 n 1 2 2 2 an 1 令 bn n ，则 bn 1 bn 1 2 2
考题剖析
例（2004年高考全国卷Ⅰ）已知数列 a 满足 n
a1 1, an a1 2a2 3a3 (n 1)an1 (n 2)
，则 an 的通项
1, n 1, an ___,n 2.
解：由题可得
an1 a1 2a2 3a3 nan
逐差法： an 1 - an f (n)
an - an 1 f (n 1) a2 - a1 f (1)
化简得 an1 a1 f (1) f (n 1) f (n)
例：已知数列 an 满足 a1 1 ，
an 3n1 an1 (n 2)
用类型3的待定系数法求解，得
an 1 1 1 n 1 1 1 n bn ( ) n ( ) . 3 3 2 2 3 3 2
2 (1) an ∴ 3 1 2 n (1) n * 当n 1时，a1 也适合， an （n N ） 3 3
n n
n 1 解法二：对已知式两边同除以（ 1 ），得
s t p 3）联合原递推式，可得 ts q
4）解出可得 等比数列
an2 san1 是以t为公比的
5）根据4），最后可把它化到类型1的形 式进行求解
考题剖析
例 （2006年高考福建卷）已知数列 an 满足
a1 1, a2 3, an2 3an1 2an
an 2 pan 1 qan (其中p, q均为常数）
求通项常见的几种方法
1 其他 方法 方法 方法2
周期性(循环法) 数学归纳法
类型1
an1 an f (n)
an 的方法一般主要采用逐差或累加
这种类型求 法。
an 累加法：
a1 (a2 a1 ) (an an1 )
解：①原递推式取倒数，得
1 n 1 2 n 1 n 1 2 (n 2) an 3nan1 3n an 3 an1 3
②用待定系数法构造等比数列（类型3的 步骤），设
n 1 n 1 ( )(n 2) an 3 an1
1 3
③去括号，化简，与所求递推式比较，得 1
1 h( n ) g ( n ) an1 an f ( n)
1 g ( n) ，p h(n), q 2）令 bn ,得 an f ( n)
bn1 pbn q
考题剖析 例（2006年高考江西卷）已知数列 an 3nan 1 3 满足 a1 ，且 an (n 2) 2 2an1 n 1 求数列 an 的通项公式。
例（2006，重庆,文,14）在数列中 an ， 若 a1 1, an1 2an 3(n 1) ，则 该数列的通项 an =_______________
解法一（构造数列---待定系数法）：
设 an1 2(an ) an1 2an 再联合原递推式可得， =3 令 bn an 3 ，则 bn 2bn1 再由 a1 1得， b1 a1 3 =4 ∴
求通项常见的几种方法
类型1 类型2 类型3 类型4 利用递 推公式 类型5 类型6 类型7 类型8 an 1 an f (n) an 1 f (n) an an 1 pan q ( p 1, q 0) S n f ( an ) f ( n) an an 1 g ( n) an h( n) an 1 pan f (n)( p 1、 0) an 1 f (n)an g (n)
类型2
an1 f (n) an
这种类型求 商相乘法。 步骤：
an 的方法一般有累乘法，也称逐
（1）把原递推公式转化为
an 1 f ( n) an
an a2 a3 (an 0, n 2) （2）利用恒等式 an a1 a1 a2 an1
即
an a1 f (1) f (2) f (n 1)
n -1 n -1
解法四（特征根法）：①找出其齐次递推关系
an1 2an
②得到特征方程 x-2=0,特征根为x=2
n a c 2 ③得到通解为 n 1 ④设特解 an A， A是待定常数
⑤ 代入原递推关系式，得
A=2A+3，得A=-3
， c1 为待定常数。 an c1 2n 3 ⑦根据 a1 1 ，可得 a1 c1 2 3 1 ⑥得到 即
②得到通解为 an c1 c2 2n（ c1，c2为待定数）。
c1 2c2 1 ③根据初始条件，得 c1 4c2 3
④解方程组，得 c1 =-1，c2 =1.
n a 2 （ 1 n 1 ） ⑤代入②，得 n
类型5 Sn f (an )
这种类型一般利用
即 bn 为以4为首项且以2为公比的等比数列，
an 3 4 2
n1
2
n1
an 2
n1
3
解法二（累加法）：
an1 2an 3, an 2an1 3
an1 an 2(an an1 )
设 bn an1 an ，则 bn 2bn1 再由 a1 1 ，得 即 bn 为以4为首项且以2为公比的等比数列， a1 1 则 a2 a1 b1 2 2
即
an1 an 是以
a2 a1 2 为首项，2为公
n1
比的等比数列，
∴
an1 an (a2 a1 ) 2
2 （类型1的形式）①
n
根据累加法，可得
an 2 2an 1 an 1 2an 方法二 取s=2,t=1,得 a2 2a1 1
10Sn an 5an 6 且 a1 , a3 , a15 成等比数
2
列，求数列 an 的通项 an 。
解：由
2
10Sn an 5an 6 ① ，可知
10a1 a 5a1 6
a1 2或a1 3
2 n-1
2 1
解之得
又
10Sn-1 a
5an-1 6 ②
①求 a2 , a3 ②证明 ① 解： a2 =3+1=4， a3 =9+4=13
a1 1
3n 1 an 2
n1
②证法1（累加法）：由 an an1 3
得
a2 a1 3 an 1 an 2 3 an an 1 3
n2 n 1
累加得： an
这种类型一般主要利用待定系数法构造等比 数列。 步骤：1）设 an1 p(an )
2）去括号得， an1 pan ( p 1)
3）与已知递推式比较，得
（p 1） q ，即
q p 1
q an p 1
4）代入1）中式子，得
以p为公比的等比数列