实验一用有限差分法解静电场边值问题
第五章 静电场边值问题的解法
2 1/ 2
z
n m U ( x, y) C nm sin x sin y a b n 1 m 1 4 a b n m C nm 0 0 U ( x, y) sin a x sin b y dxdy 11 ab
由边界条件可知：
n n U 0 Cn ch a sin y b b n 1 n an sin y b n 1
14
三、柱坐标系中的分离变量法
圆柱坐标系中的拉普拉斯方程 1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z 若场与 z 无关且具有轴对称性，则其解为
Z (1 2 )( D1 D2 ) (1 2 ) ( D1 D2 )
Z ( E1 E2 ) ( D1 D2 )
S
带入积分式有
V
( E1 E2 ) ( D1 D2 )d (1 2 )(D1 D2 ) dS
C1 ln r C2
若场仅与 z 方向无关(二维情况)，则拉普拉斯方程演 化为 2 1 1 0 r 2 2 r r r r 假设解具有 R( r ) ( ) 的形式，带入上式得
15
( ) R( r ) R( r ) 2 ( ) 0 r 2 2 r r r r
1 2 0 ； r r
0
r a 时 ， 1 2
；
r a 时，
19
由 2 的表达式
2 r An sin(n ) Bn cos(n )
26静电场边值问题与求讲义解方法
Y y C 2 n sk n h y D 2 n c k n y h （n =1,2,3,…)
应用叠加原理 ，得
A 0xB 0C 0yD 0 A 1nsh knxB 1nch knxC 1nsin knyD 1ncoskny n 1 A 2nsinknxB 2ncosknxC 2 nsh knyD 2 nch kny n 1
A 0xB 0C 0yD 0 A 1nsh knxB 1nch knxC 1nsin knyD 1ncoskny n 1 A 2nsinknxB 2ncosknxC 2 nshknyD 2 nch kny （1） n 1
由①式 0,y0,0yb
B 0 C 0 y D 0 B 1 n C 1 n s i n k n y D 1 n c o s k n y B 2 n C 2 n s h n y D 2 n c h k n y 0
件是等价的？
图2.6.2 边值问题框图
边值问题 研究方法
计算法
实验法 作图法
积分法
分离变量法
解析法
镜像法、电轴法
微分方程法
保角变换法
• • • •
有限差分法
有限元法
数值法
边界元法
矩量法
实测法 模拟法
模拟电荷法
• • • •
数学模拟法
定性 定量
物理模拟法
• • • •
图2.6.3 边值问题研究方法框图
0
1 X
d2X dx2
1 Y
d2Y dy2
引入常数，上式分解成两个常微分方程
有限差分法计算多边形平面静电场
有限差分法是一种用于计算多边形平面静电场的数值计算方法。
对于有限差分法来说，其核心思想是将求解区域划分为一个个小区域，将其上的方程用有限差分逼近，然后通过迭代求解，最终得到近似解。
下面，我们来分别介绍一下有限差分法的主要步骤，以及在计算多边形平面静电场过程中，需要注意的一些问题。
第一段：划分区域在使用有限差分法求解多边形平面静电场时，首先需要将求解区域划分为一个个小区域。
一般情况下，我们会将求解区域按照网格的形式进行划分。
将求解区域划分为网格之后，每个网格内部的电势和电场就可以用数值的方式进行逼近。
第二段：逼近方程在对求解区域进行网格划分之后，接下来就是对每个小区域内的方程进行逼近。
在该过程中，我们需要运用有限差分法的相关原理，对求解区域内的电势和电场方程进行逼近，得到近似解。
第三段：迭代求解逼近方程之后，接下来就是采用迭代的方式对求解区域内的电势和电场方程进行求解。
在该过程中，我们需要设置初始条件，并在每次迭代时更新求解区域内的电势和电场方程，直至满足预设的误差限制为止。
第四段：注意事项在使用有限差分法计算多边形平面静电场时，需要注意以下几点。
首先，划分网格的大小和精度直接影响最终结果的准确性。
因此，在划分网格时需要充分考虑问题的复杂程度和计算效率之间的平衡关系。
其次，在运用有限差分法进行求解时，需要时刻关注计算精度和计算效率之间的平衡关系，这是保证求解结果合理与计算效率高效的前提。
最后，在迭代求解过程中，需要设置合理的误差极限，并在满足误差限制的同时，尽可能地减少迭代次数，提高计算效率。
第五段：总结综上所述，有限差分法是一种常用的数值计算方法，在计算多边形平面静电场等问题时具有广泛的应用价值。
然而，在运用该方法进行计算时，需要充分考虑求解区域的复杂程度和计算效率之间的平衡关系，以及计算精度和计算效率之间的平衡关系，并在满足计算精度要求的同时，尽可能地减少迭代次数，提高计算效率。
工程电磁场导论-知识点-教案_第一章
电磁场理论第一章静电场1.1 电场强度电位4 2 2了解：定义法求解带电体电场强度和电位方法掌握：库仑定律、电场强度、电位的定义及定义式掌握：静电场环路定律及应用，叠加法计算电场强度和电位知识点：库仑定律；电场强度定义；电位定义；叠加法计算；电力线；等位线（面）；静电场环路定律；电场强度与电位关系的微分表示及意义；电偶极子定义及其在远区场的电场强度和电位．重点：静电场环路定律，电场强度与电位关系难点：静电场环路定律的微分表示，电场强度与电位关系的微分表示及意义1. 从学生比较熟悉的大学物理中的电场强度和电位的积分式及意义引出其微分式及意义；=-∇ϕE2. 从高等数学中的Stocks定理讲解静电场环路定律．0∇⨯=E《工程电磁场导论》（冯慈璋马西奎主编，高等教育出版社）P13 1-1-1 直接应用1.1节三个例题（均匀带电直导线、平面、球面）的结果简化运算1-1-3 =-∇ϕE的应用上机编程：用数值积分法研究静电场场分布（2学时，地点：新实验楼B215）电磁场理论 1.2 高斯定律2 2了解：静电场中导体和电介质的性质掌握：各向同性线性电介质中，电极化强度、电通量密度与电场强度的关系掌握：高斯定律积分式、微分式及应用知识点：静电场中导体的特点；静电场中电介质的特点；电极化强度；电通量密度；高斯定律重点：高斯定律难点：电极化强度、电通量密度与电场强度的关系用高斯定律计算电场强度1. 从高等数学中的高斯定理讲解高斯定律．∇⋅=ρD2. 应用高斯定律计算1.1节三个例题，和本节例1-8, 并总结均匀带电直导线、平面、球面、球体的电场强度和电位特点．《工程电磁场导论》（冯慈璋马西奎主编，高等教育出版社）P13 1-1-1 直接应用1.1节三个例题（均匀带电直导线、平面、球面）的结果简化运算1-1-3 =-∇ϕE的应用电磁场理论1.3 静电场基本方程分界面上的衔接条件2 2了解：静电场电位方程（泊松方程和拉普拉斯方程）掌握：静电场基本方程的积分式、微分式及物理意义掌握：分界面上的衔接条件及应用知识点：静电场基本方程；分界面上的衔接条件；静电场电位方程重点：静电场基本方程；分界面上的衔接条件难点：用分界面衔接条件分析不同电介质分界面的电场情况1. 从静电场基本方程的积分形式推导不同介质分界面的衔接条件2. 用分界面衔接条件分析不同电介质分界面的电场情况例1-10，例1-11《工程电磁场导论》（冯慈璋马西奎主编，高等教育出版社）P24 1-3-3 分界面衔接条件分析，注意电场的值和电场是不同的概念电磁场理论 1.6 有限差分法4 2 2掌握：有限差分法的原理与计算步骤；理解并掌握：求解差分方程组的三种方法（简单迭代法、高斯赛德尔法、超松弛迭代法），分析三种方法的优缺点，加速收敛因子 的作用，编程，图示电位。
电磁场与电磁波实验有限差分法
电磁场与电磁波实验报告实验项目：有限差分法一、实验目的及要求1、学习有限差分法的原理与计算步骤；2、学习用有限差分法解静电场中简单的二维静电场边值问题；3、学习用Matlab语言描述电磁场与电磁波中内容，用matlab求解问题并用图形表示出了，学习matlab语言在电磁波与电磁场中的编程思路。
二、实验内容理论学习：学习静电场中边值问题的数值法中的优先差分法的求解知识；实践学习：学习用matlab语言编写有限差分法计算二维静电场边值问题；三、实验仪器或软件Matlab7.0电脑四、实验原理有限差分法的基本思想将计算场域划分成网格，把求解场域内连续的场分布用求解网格节点上的离散数值解来代替；即用网格节点的差分方程近似代替场域内的偏微分方程来求解。
简单迭代法先对场域内的节点赋予初始值）（0,j i Φ ，这里上标（0）表示第0次近似值，即初始值。
然后再按照： ][41k 1,k ,1k 1,k ,11k ,）（）（）（）（）（++--+Φ+Φ+Φ+Φ=Φj i j i j i j i j i进行反复迭代。
若当第N 次迭代结束后，所有内节点相邻两次迭代值之间的绝对误差小于事先给定的精度，则迭代停止。
W MAX N ji N j i 〈Φ-Φ-）（）（1,, 注意：初始值的赋予是任意的；赋予初始值后，请按“从左到右、从下到上”的固定顺序依次计算各节点值； 当所有节点都算完一遍后，再用它们的新值代替旧值，即完成一次迭代。
五、实验步骤复习理论知识；编写matlab 程序；六、结果分析与问题讨论1、程序：clearX=[0,0,0,0,0;0,25,25,25,0;0,50,50,50,0;0,75,75,75,0;100,100,100,100,100]Pot=[0,0];for i=2:4for j=2:4PotX(i-1,j-1)=(X(i-1,j)+X(i,j-1)+X(i+1,j)+X(i,j+1))/4 Pot(1)=abs(PotX(i-1,j-1)-X(i,j));Pot(2)=max(Pot)endendX(2:4,2:4)=PotXnum=1;while(max(1000.*Pot)>1)Pot(2)=0; (,1,2,......) (0,1,2,......)i j k ==for i=2:4for j=2:4PotX(i-1,j-1)=(X(i-1,j)+X(i,j-1)+X(i+1,j)+X(i,j+1))/4 Pot(1)=abs(PotX(i-1,j-1)-X(i,j));Pot(2)=max(Pot)endendX(2:4,2:4)=PotXnum=num+1endsurf([0:4],[0:4],X);shading interpcolorbar('horiz')title('有限差分法计算电位图');2、运行结果X =0 0 0 0 00 25 25 25 00 50 50 50 00 75 75 75 0100 100 100 100 100%%第一次迭代PotX =18.7500Pot =6.2500 6.2500PotX =7.1440 9.8230 7.144018.7515 25.0023 18.751542.8583 52.6801 42.8583Pot =1.0e-003 *0.3815 0.7629%%第28次迭代X =0 0 0 0 00 7.1440 9.8230 7.1440 00 18.7515 25.0023 18.7515 00 42.8583 52.6801 42.8583 0100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000num =283、波形图matlab软件在使用有限差分法研究静电场边值问题中有着重要的作用，它能够快捷有效并且准确的解决边值问题，是解决计算相对复杂问题的有效工具。
5 第五章 静电场边值问题的解法之有限差分法
⑵超松弛迭代法
φ i(, kj + 1) = φ i(, kj ) + α
4
+ 1) ( k + 1) (k ) (k ) 2 (k ) [φ i(−k1, j + φ i , j − 1 + φ i + 1, j + φ i , j + 1 − Fh − 4φ i , j ]
式中：
α
——加速收敛因子 (1 < α < 2)
边界条件的离散化处理
其中
K = εa εb
1 ϕ0 = (ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 + ϕ4 − Fh2 ) 3. 差分方程组的求解方法 4
⑴高斯——赛德尔迭代法
φ i(, kj + 1) =
1 ( k + 1) 1) (k ) (k ) 2 [φ i −1, j + φ i(, kj + − 1 + φ i + 1, j + φ i , j + 1 − Fh ] 4
将式（7）、（9）代入式（1），得到泊松方程的五点差分格式
ϕ 1 + ϕ 2 + ϕ 3 + ϕ 4 − 4ϕ 0 = Fh
2
1 ϕ0 = (ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 + ϕ4 − Fh2 ) 4
ϕ0 =
1 (ϕ 1 + ϕ 2 + ϕ 3 + ϕ 4 ) 4
当场域中 ρ = 0，得到拉普拉斯方程的五点差分格式
ϕ 1 + ϕ 2 + ϕ 3 + ϕ 4 − 4ϕ 0 = 0
差分格式为： 若场域离散为矩形网格，
matlab实现有限差分法计算电场强度(最新)
实验一：有限差分法研究静电场边值问题实验报告人：年级和班级：学号：1. 实验用软件工具： Matlab2. 实验原理：电磁场课本P36-381)差分方程2)差分方程组的解简单迭代法高斯-赛德尔迭代法逐次超松弛法3. 实验步骤：1）简单迭代法程序：hx=41;hy=21;v1=zeros(hy,hx);v1(hy,:)=zeros(1,hx);v1(1,:)=ones(1,hx)*100;v1(:,1)=zeros(hy,1);v1(:,hx)=zeros(hy,1);v1v2=v1;maxt=1;t=0;k=0;while(maxt>1e-5)k=k+1;maxt=0;for i=2:hy-1for j=2:hx-1v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v1(i-1,j)+v1(i,j-1))/4;t=abs(v2(i,j)-v1(i,j));if(t>maxt) maxt=t;endendendv1=v2;endv2kclfsubplot(1,2,1),mesh(v2)axis([0,41,0,21,0,100])subplot(1,2,2),contour(v2,15)hold onaxis([-1,42,-1,25])plot([1,1,hx,hx,1],[1,hy+1,hy+1,1,1],'r')text(hx/2,0.3,'0V','fontsize',11);text(hx/2-0.5,hy+0.5,'100V','fontsize',11);text(-0.5,hy/2,'0V','fontsize',11);text(hx+0.3,hy/2,'0V','fontsize',11);hold off当W=1e-5, 迭代次数：1401次2）高斯-赛德尔迭代法程序：hx=41;hy=21;v1=ones(hy,hx);v1(hy,:)=zeros(1,hx);v1(1,:)=ones(1,hx)*100;v1(:,1)=zeros(hy,1);v1(:,hx)=zeros(hy,1);v2=v1;maxt=1;t=0;k=0;while(maxt>1e-5)k=k+1;maxt=0;for i=2:hy-1for j=2:hx-1v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1))/4; t=abs(v2(i,j)-v1(i,j));if(t>maxt) maxt=t;endendendv1=v2;endv2kclfsubplot(1,2,1),mesh(v2)axis([0,41,0,21,0,100])subplot(1,2,2),contour(v2,15)hold onaxis([-1,42,-1,25])plot([1,1,hx,hx,1],[1,hy+1,hy+1,1,1],'r')text(hx/2,0.3,'0V','fontsize',11);text(hx/2-0.5,hy+0.5,'100V','fontsize',11);text(-0.5,hy/2,'0V','fontsize',11);text(hx+0.3,hy/2,'0V','fontsize',11);hold off当W=1e-5, 迭代次数：740次3）逐次超松弛法程序：hx=41;hy=21;v1=zeros(hy,hx);v1(hy,:)=zeros(1,hx);v1(1,:)=ones(1,hx)*100;v1(:,1)=zeros(hy,1);v1(:,hx)=zeros(hy,1);v1v2=v1;maxt=1;t=0;alpha=input('please input the value of alpha(alpha>=1 && alpha<2):');k=0;while(maxt>1e-5)k=k+1;maxt=0;for i=2:hy-1for j=2:hx-1v2(i,j)=v1(i,j)+(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)-4*v1(i,j))*alpha/4; t=abs(v2(i,j)-v1(i,j));if(t>maxt) maxt=t;endendendv1=v2;endv2kclfsubplot(1,2,1),mesh(v2)axis([0,41,0,21,0,100])subplot(1,2,2),contour(v2,15)hold onaxis([-1,42,-1,25])plot([1,1,hx,hx,1],[1,hy+1,hy+1,1,1],'r')text(hx/2,0.3,'0V','fontsize',11);text(hx/2-0.5,hy+0.5,'100V','fontsize',11);text(-0.5,hy/2,'0V','fontsize',11);text(hx+0.3,hy/2,'0V','fontsize',11);hold off当W=1e-5, alpha取不同值时迭代次数4）画三维曲面图和等位线图（逐次超松弛法最佳迭代次数时）程序：hx=41;hy=21;v1=zeros(hy,hx);v1(hy,:)=zeros(1,hx);v1(1,:)=ones(1,hx)*100;v1(:,1)=zeros(hy,1);v1(:,hx)=zeros(hy,1);v1v2=v1;maxt=1;t=0;alpha=1.8;k=0;while(maxt>1e-5)k=k+1;maxt=0;for i=2:hy-1for j=2:hx-1v2(i,j)=v1(i,j)+(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)-4*v1(i,j))*alpha/4; t=abs(v2(i,j)-v1(i,j));if(t>maxt) maxt=t;endendendv1=v2;endv2kclfsubplot(1,2,1),mesh(v2)axis([0,41,0,21,0,100])subplot(1,2,2),contour(v2,15)hold onaxis([-1,42,-1,25])plot([1,1,hx,hx,1],[1,hy+1,hy+1,1,1],'r')text(hx/2,0.3,'0V','fontsize',11);text(hx/2-0.5,hy+0.5,'100V','fontsize',11);text(-0.5,hy/2,'0V','fontsize',11);text(hx+0.3,hy/2,'0V','fontsize',11);hold off贴图：4．实验结论（1）matlab软件在使用有限差分法研究静电场边值问题中有着重要的作用，它能够快捷有效并且准确的解决边值问题，是解决计算相对复杂问题的有效工具。
工程电磁场数值分析(有限差分法)_2023年学习资料
>实施步骤-设求解二维静电场边值问题：-LI Pl=fs-F-&x2-0y2-V20=F-og-=0-on -Le-器0
有限差分法是最古老、最直观的一种数值方法，直至现-在仍有强大的生命力，在许多学科领域广为应用。在电磁场-领 ，目前最受关注的是时域有限差分法Finite Difference-Time-Domain Method, DTD和有限体积法-Finite Volume-Method.FVM-进一步的参考书：-胡之光.电机电磁场 分析与计算.北京：机械工业出版-社，1989
从有限差分法看数值解的基本思想-离散解（数值解）的概念->方程的离散-化无限维问题为有限维问题-化微分方程 代数方程组，借助计算机求解->解的离散一-离散点上的数值解->数值法的一般步骤->求解区域的离散（前处理代数方程组的求解->离散数据的分析（后处理
各种数值方法的不同之处-在于离散方程所依据的原-理不同，从而导致方程求-8-解技术、求解效率、适用-对象等 不同。
网格划分-2-将场域划分为小的网格。-30-设为正方形网格，边长h。-4-方程离散-将节点上的电位值”作为 Le-求解变量，把微分方程化-为关于p的线性代数方程-≈9-20+p-组。-h2-a对内部节点-≈，-2+ -0,+p2+p,+p-4=-h'
b对边界节点-·第一类边界节点-只考虑节点位于边界上的情况-P:=f;-第一类边界条件-·第二类边界节点考虑齐次边界条件-9,+20+0:-40=F-h2-对所有的节点都建立一个方程，N个-齐次第二类边界条件点有N个未知数，建立N个方程。
有限差分法求解静电场问题
有限差分法求解静电场问题
李国生
【期刊名称】《电气电子教学学报》
【年(卷),期】2005(27)5
【摘要】简介了有限差分法(FDM)的起源,讨论其在静电场求解中的应用.以铝电解槽物理模型为例,采用FDM对其场域进行离散,使用MATLAB和C求解了各节点的电位.由此,绘制了整个场域的等位线和电场强度矢量分布.同时,讨论了加速收敛因子对超松弛迭代算法迭代速度的影响,以及具有正弦边界条件下的电场分布.
【总页数】4页(P49-52)
【作者】李国生
【作者单位】南京航空航天大学,自动化学院,江苏,南京,210016
【正文语种】中文
【中图分类】TM151;O241.82
【相关文献】
1.用有限差分法分析电介质静电场特性 [J], 唐正明;章三妹;冯正勇
2.有限差分法计算多边形平面静电场 [J], 梁志辉;李之杰
3.静电场边值问题有限差分法的仿真分析 [J], 霍文晓
4.二维Allen-Cahn方程的有限差分法/配点法求解 [J], 邓杨芳;姚泽丰;汪精英;翁智峰
5.基于多项式插值的有限差分法求解Helmholtz方程声硬散射体散射问题 [J], 王泽玉;徐敏红;周雨彤;邢思雨
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静电场边值问题有限差分法的仿真分析
静电场边值问题有限差分法的仿真分析作者：霍文晓来源：《科技视界》2015年第05期【摘要】为了提高教学效果，在教学过程中引入仿真教学方式。
结果表明，利用仿真软件进行演示，能够形象的反映有限差分法的解题过程，并得到电位分布图，加强了学生对抽象理论的理解。
【关键词】有限差分法;MATLAB;仿真分析在电磁场理论中，已知场量在场域边界上的值，求场域中的场分布称为边值问题。
通常将静态场边值问题的求解简化成：在一定边界条件下对位函数的泊松方程或拉普拉斯方程的求解[1]。
在电磁场与电磁波课程教学中，边值问题的求解既是重点又是难点。
教材中主要讲了三种方法：镜像法、分离变量法和有限差分法。
随着计算机技术的发展和模拟软件的进步，有限差分法得到了迅速发展和广泛应用。
因此，为了与实际接轨，在课堂讲授中，我们将有限差分法作为边值问题这部分的重点内容。
并采用理论讲解与模拟演示的教学方法，同时提高学生对理论知识的理解和应用能力。
1 有限差分法的原理有限差分法的基本思想是将场域划分成网格，把求解场域内连续的场分布用求解网格节点上的离散的数值解来代替，即用网格节点的差分方程近似代替场域内的偏微分方程来求解。
1.1 位函数的差分方程在一个边界为L的二维无源区域S内，电位函数φ（x，y）满足拉普拉斯方程和边界条件为：■（1）通常将场域分成足够小的正方形网格，网格线之间的距离为h，节点（xi，yi）处的电位φi，j可由其周围直接相邻的四个节点的电位表示，即二维拉普拉斯方程的差分形式。
■（2）同时将边界条件进行离散化，成为边界节点上的已知数值。
在这些已知节点条件下，求解各节点的差分方程，整个区域中的节点上电位值即可求出。
1.2 差分方程的求解方法在求解实际问题时，为了达到足够的精度，需将网格划分的充分细，节点的个数很多，建立的差分方程数量大，一一求解工作量大。
因此如果节点数量较多，通常使用迭代法。
1.2.1 简单迭代法先对场域内的节点赋予迭代初值φ■■，然后按公式[2]■（3）进行反复迭代（k=0，1，2，…）。
有限差分法解决电场边值问题
ϕ =0
o
x
a
具体要求： 具体要求： (1) 编写一个计算机程序（Matlab）:以步距 编写一个计算机程序（ 以步距h=a/40的正方形网格离散化场域， 的正方形网格离散化场域， ） 以步距 的正方形网格离散化场域 的数值解。 然后应用有限差分法求电位ϕ的数值解。 (2)求相邻两次迭代值的指定的最大允许误差小于 -5的迭代收敛解和迭代次 求相邻两次迭代值的指定的最大允许误差小于10 求相邻两次迭代值的指定的最大允许误差小于 分别用简单迭代法、高斯-赛德尔迭代法和逐次超松弛法 赛德尔迭代法和逐次超松弛法）。 数（分别用简单迭代法、高斯 赛德尔迭代法和逐次超松弛法）。 (3) 对逐次超松弛法，分别取α为n个不同的值和最佳值α0，求电位ϕ的数值解， 对逐次超松弛法， 的数值解， 个不同的值和最佳值 以此分析加速收敛因子的作用。 以此分析加速收敛因子的作用。从迭代收敛时的迭代次数和最终数值解这两 方面总结自已的看法。 方面总结自已的看法。 (4)用计算机描绘等位线分布。 用计算机描绘等位线分布。 用计算机描绘等位线分布
y
u=0 u=0 u=100 u=0
y y
u=0 u=0 0 u=0 u=100
0
x
hy x i行
行 hx=5 列 hy=3
j列 hx x
y 高斯-赛德尔迭代法 高斯 赛德尔迭代法 1 ϕi(,kj+1) = (ϕi(+k1), j + ϕi(,kj)+1 + ϕi(−k1+1j) + ϕi(,kj+1) ) , −1 4 u=0
简单迭代法
ϕ
( k +1) i, j
1 (k ) k = (ϕ i −1, j + ϕ i(,kj)−1 + ϕ i(+1), j + ϕ i(,kj)+1 ) 4
第3章静电场及其边值问题的解法
Rˆ R2
，并利用矢量恒等式
∇ ⋅ φ A = φ∇ ⋅ A + A⋅∇φ
12
§3.2 静电场中的介质
可将电位中的积分分为两项：
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ φ r
∫ ∫ = 1
4πε 0
∇′
v
⋅
⎜⎜⎝⎛
P r′ R
⎟⎟⎠⎞dv′ −
1 4πε 0
∇′⋅ P r′ dv′ vR
导体表面的总感应电荷
∫ ∫ ∫ Qi =
S ρsds =
2π dϕ
0
∞ 0
⎜⎛ ⎝
−
qh
2π
静
场强或位函数
态
场
第一类
问
边界条件
题
边值型问题
给定边界条件，求任意点 位函数或场强
第二类 边界条件
第三类 边界条件
已知场域边界上各点 电位值
ϕ s = f1 (s )
已知场域边界上各点
电位的法向导数
∂ϕ ∂n
s
=
f 2 (s )
一、二类边界条件的
线性组合
ϕ s1
=
f3 (s )
∂ϕ ∂n
s2
=
f 4 (s )
式中负号表示电场强度从高电位指向低电位。 2）已知电荷分布求电位
定义式中 φ不是单值的，任加一常数C都有 ∇(φ +C) = ∇φ ，但任意两点间的
电位差是不变的：
∫ ∫ ∫ ∫ φ A − φB =
A
d
φ
=
B
A
∇
φ
⋅ dl
=
−
A
E ⋅ dl =
B
二维静电场的有限差分法计算实验注意事项
二维静电场的有限差分法计算实验注意事项以二维静电场的有限差分法计算实验注意事项引言：二维静电场的有限差分法是一种常用的数值计算方法，用于求解电荷分布在二维空间中的静电场。
通过将空间离散化为网格，电场的微分方程可以转化为差分方程，从而得到电场的数值解。
本文将介绍进行二维静电场有限差分法计算实验时需要注意的一些事项。
一、选择合适的离散化网格在进行有限差分法计算实验时，首先需要选择合适的离散化网格。
网格的大小和密度会直接影响计算的精度和效率。
通常情况下，应该尽量选择较小的网格尺寸，以增加计算的精度。
然而，过小的网格尺寸可能会导致计算量过大，影响计算效率。
因此，需要在计算精度和效率之间做出权衡，选择适当的网格尺寸。
二、确定边界条件在二维静电场的有限差分法计算中，边界条件起着关键的作用。
边界条件决定了电荷分布在空间中的限制条件。
在确定边界条件时，需要考虑问题的实际情况，并根据具体情况选择适当的边界条件。
常见的边界条件包括电势固定、电场固定、电势梯度为零等。
三、迭代求解差分方程有限差分法的核心是迭代求解差分方程。
在进行迭代求解时，需要确定迭代的终止条件，并选择合适的迭代方法。
常见的迭代方法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法、超松弛迭代法等。
在选择迭代方法时，需要综合考虑计算精度和迭代速度。
四、验证计算结果的准确性在进行二维静电场的有限差分法计算实验后，需要验证计算结果的准确性。
可以通过与解析解进行对比，或者进行数值实验验证。
如果计算结果与解析解或实验结果相符，说明计算结果是准确的。
否则，需要进一步检查计算过程中是否存在错误。
五、注意计算过程中的数值稳定性在进行二维静电场的有限差分法计算实验时，需要注意计算过程中的数值稳定性。
数值计算中常常会出现舍入误差、截断误差等问题，这些误差可能会影响计算结果的准确性。
为了提高数值稳定性，可以采用稳定的数值算法，或者增加计算精度。
结论：二维静电场的有限差分法是一种常用的数值计算方法，用于求解电荷分布在二维空间中的静电场。
边值问题与有限差分法
1
Conducting cylinder
1
Conducting cylinder
分界面衔接条件
静电场中，场量从一种媒质过渡到另一种媒质 中，场量之间存在一定的关系—分界面衔接条件。 由于分界面两侧场量发生突变（从数学角度，场 量该点不可微），故分析衔接条件时要使用基本方 程的积分形式。
0 0
(uu) u2u (u) 2 (u) 2
在整个场域求积分，利用高斯 散度定律
V
(uu )dV
式中：S S0
uu dS
s
V
(u )2dV
S
i
S0是体积的无限远边界
3
对差场u，无穷远S0处电位为零，因此
S
uu dS
Ex d U x d dx 0 d 2 0
讨论见黑板
r2
r1
1
2
－ ＋
r3
例2: 圆柱型电容器有两层绝缘物质，分 界面为同轴圆柱面。已知内导体和外壳间 电压为U。求电场分布（圆柱坐标）。
U
r2
r1
1
2
－ ＋
1
解:采用圆柱坐标系,考虑对称性， 电位只与分量 有关，两个区域中 均有
缆心为正方形的同轴电缆横截面 解：根据场分布对称性， 场域取1/4即可。
三个不同媒质区域的静电场
5
单芯电力电缆实例
2
2 2 0 x 2 y 2
1
边界条件
( x b , 0 y b , y b , 0 x b )
U0
( x 2 y 2 a 2 , x 0, y 0 )
有限差分法计算电场的电位分布
(x, y), (第二种边界条件)*********（1.2） n
n
k
|
(x,
y), (混合边界条件)******（1.3）
• 五点差分格式
有限差分法
• 五点差分格式
有限差分法
1 uij 4 (ui1, j ui, j1 ui1, j ui, j1)
Gauss-seidel迭代法
有限差分法计算电场的电位分布
任务及目标
• 利用有限差分法来分析限定边界条件下的 静电场电位分布
• 用迭代法计算出静电场的数值解，并分析 SOR法中超松弛因子α与敛速的关系
• 通过分离变量法求出边界条件下的静电场 电位的解析解
有限差分法
| = (x, y), (第一种边界条件)**********（1.1）
• 取步长h=0.5，最大误差为0.0 001，迭代128次
计算机仿真
SOR法
• 利用分离变量法我们求得电 位的解析解为：
n
n
400sin(
=
n1,3ggg
n
x) sinh(
20
20
sinh(18n )
y)
20
解析解
Gauss-seidel迭代法
• 线性方程组迭代法收敛条件
迭代法收敛条件
例题
判断迭代收敛性
步长对矩阵范数的影响：
步长h
矩阵大小 范数
2 8*9 0.8375
1 17*19 Biblioteka .94540.5 35*49 0.9966
• 取划分网格的步长为h
• 得到 (m-1)(n-1)个正则内点
• 得到含有(m-1)(n-1) 个方程得 方程组
有限差分法计算多边形平面静电场
题和相应算法 ， ｆｒａ 语言编写程序计 算差分方程求 出静 电场的数值解 ， 出数值结 果 ， 用 ｏｔ ｎ ｒ 给 将数值用 ｏｉ ｎ ｒ ｉ 画 ｇ 图软件得到五边形静 电场分布情况 ．
［ 关键词 ］ 差分方程 ； 五边形边界 ； 拉普拉斯方程
［ 中图分类号 ］ ４ １ Ｏ １． １
设求 解 区域 中某一点 ． 为‰ Ｙ， 坐标 ｏ其电位为妒 与相邻 点 １２ ３ ４ 的间距均 为 ｈ 相 应电位 为 ， ， ， ， 。 ，，，， ， ： 可利用 泰
收 稿 日期 ：０ ９ ０ — ２ ２０— ９０
通讯作者 ： 梁志辉 （９ ２ ）男 ， １７ 一 ， 广东梅州人 ， 师， 讲 主要从 事计算 物理及凝聚态物理方面 的研究
ｌ ６
内 蒙
因 此 得
ｏ ｇ１ ｏ ｇｏ
—
古
民 族
大 学
学 报
２ １ 经 ００
勒公 式
ｈ
盟
ｈ
ｈ
盘 盘
ｏ ｇ２
ｏ ｇｏ ＋ ｈ
１
＝ｓ ｉ ｎ
（ ｓ １ ） Ｉ ０≤ ０ ，
＝ ２ ０ ＜ ＜５ （ ）
妒 ： 一 ＝２ ５≤ ≤ １ ） ｌ ４ （ ０
卜 的定解问题的解 ， 般不 能通过解析的方法 直接得到 ． 一
３ 五 边形 平面 静 电场 数值 分析
３１ 方 程 的差 分 格 式 ．
Ｆ ｒｒ ｎｐ ｏ ｒ ｍ， ｎ ｅｄ ａ ｒ ｍ ｆ ｌｃｒ ｓａｉ ｅｄ ｄ ｓｒ ｕ ｉｎ ｉ ｄ ａ ｎ ｂ ｓｎ ｉｉ ｏ ｔ ａ ｅ ｏ ａ ｒ ｇ ａ ａ ｄ ｔ ｉｇ ａ ｏ ｅ ｔ ｔ ｔ ｆ ｌ ｉｔｉ ｔ ｒ ｗ ｙ ｕ ｉｇ Ｏｒ ｎ ｓ ｆ ｒ ． ｔ ｈ ｅ ｏ ｃｉ ｂ ｏ ｓ ｇ ｗ
圆柱形导体边界静电场边值问题的有限差分法
圆柱形导体边界静电场边值问题的有限差分法
圆柱形导体边界静电场边值问题的有限差分法是一种数值计算方法，用于求解圆柱形导体边界静电场分布的数值解。
该方法将空间分成网格，对每个网格上的电场进行离散化，然后使用边值条件和高斯定理来推导出每个网格上的电场方程，最终形成一个线性方程组。
通过求解该线性方程组，可以得到圆柱形导体边界静电场分布的数值解。
具体地，将空间分成网格，假设电场在每个网格点处的值为$E_{i,j}$，其中i和j分别表示在x和y方向上的网格编号。
根据高斯定理，可以得到每个网格点处的电场方程：
$$\frac{\partial E_{i,j}}{\partial x}+\frac{\partial E_{i,j}}{\partial y}=\frac{\rho_{i,j}}{\epsilon_0}$$
其中$\rho_{i,j}$是该网格点处的电荷密度，$\epsilon_0$是真空介电常数。
为了求解该方程，需要在圆柱形导体表面设置边值条件。
假设圆柱形导体表面上的电势为V，那么在圆柱形导体表面上的网格点处，可以得到以下边界条件：
$$E_{i,j}=0, \qquad r=R$$
其中R是圆柱形导体的半径。
通过数值计算，可以将圆柱形导体边界静电场边值问题转化为一个线性方程组，然后使用线性代数方法求解该方程组，从而得到圆柱形导体边界静电场分布的数值解。
有限差分法【范本模板】
利用有限差分法分析电磁场边界问题在一个电磁系统中，电场和磁场的计算对于完成该系统的有效设计师极端重要的.例如,在系统中，用一种绝缘材料是导体相互隔离是,就要保证电场强度低于绝缘介质的击穿强度。
在磁力开关中，所要求的磁场强弱，应能产生足够大的力来驱动开关。
在发射系统中进行天线的有效设计时,关于天线周围介质中电磁场分布的知识显然有实质性的意义。
为了分析电磁场，我们可以从问题所涉及的数学公式入手.依据电磁系统的特性，拉普拉斯方程和泊松方程只能适合于描述静态和准静态（低频)运行条件下的情况.但是,在高频应用中,则必须在时域或频域中求解波动方程，以做到准确地预测电场和磁场,在任何情况下，满足边界条件的一个或多个偏微分方程的解，因此,计算电池系统内部和周围的电场和磁场都是必要的。
对电磁场理论而言,计算电磁场可以为其研究提供进行复杂的数值及解析运算的方法,手段和计算结果；而电磁场理论则为计算电磁场问题提供了电磁规律，数学方程，进而验证计算结果。
常用的计算电磁场边值问题的方法主要有两大类,其每一类又包含若干种方法，第一类是解析法；第二类是数值法。
对于那些具有最简单的边界条件和几何形状规则的(如矩形、圆形等）问题，可用分离变量法和镜像法求电磁场边值问题的解析解（精确解），但是在许多实际问题中往往由于边界条件过于复杂而无法求得解析解.在这种情况下，一般借助于数值法求解电磁场的数值解。
有限差分法，微分方程和积分微分方程数值解的方法。
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网络来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似,于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组,即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解.差分运算的基本概念:有限差分法是指用差分来近似取代微分，从而将微分方程离散成为差分方程组。
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用有限差分法解静电场边值问题
一、目的
1．掌握有限差分法的原理与计算步骤；
2．理解并掌握求解差分方程组的超松弛迭代法，分析加速收敛因子α的作用； 3．学会用有限差分法解简单的二维静电场边值问题，并编制计算程序。
二、方法原理
有限差分法是数值计算中应用得最早而又相当简单、直观的一种方法。
应用有限差分法通常所采取的步骤是：
⑴ 采用一定的网格分割方式离散化场域。
⑵ 进行差分离散化处理。
用离散的、只含有限个未知数的差分方程组，来近似代替场域内具有连续变量的偏微分方程以及边界上的边界条件（也包括场域内不同媒质分界面上的衔接条件）。
⑶ 结合选定的代数方程组的解法，编制计算机程序，求解由上面所得对应于待求边值问题的差分方程组，所得解答即为该边值问题的数值解。
现在，以静电场边值问题
⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂+∂∂)
2(
)
()1(02
2
22s f D y x L ϕ
ϕ
ϕ中
在
为例，说明有限差分法的应用。
f (s )为边界点s 的点函数，二位场域D 和边界L 示于图5.1-1中。
x
图5.1-1 有限差分的网格分割
1． 离散化场域
应用有限差分法时，首先需从网格划分着手决定离散点的分布方式。
通常采用完全有规律的方式，这样在每个离散点上可得出相同形式的差分方程，有效地提高解题速度。
如图5.1-1所示，现采用分别与x ，y 轴平行的等距（步距为h ）网格线把场域D 分割成足够多的正方形网格。
各个正方形的顶点（也即网格线的交点）称为网格的结点。
这样，对于场域内典型的内结点0，它与周围相邻的结点1、2、3和4构成一个所谓对称的星形。
2．差分格式
造好网格后，需把上述静电场边值问题中的拉普拉斯方程（1）式离散化。
设结点0上的电位值为ϕ0。
结点1、2、3和4上的电位值相应为ϕ1、ϕ2、ϕ3和ϕ4，则基于差分原理的应用，拉普拉斯方程（1）式在结点0处可近似表达为
ϕ1+ϕ2+ϕ3+ϕ4-4ϕ1=0 （3）
这就是规则正方形网格内某点的电位所满足的拉普拉斯方程的差分格式，或差分方程。
对于场域内的每一个结点，关系式（3）式都成立，都可以列出一个相同形式的差分方程。
但是，对于近邻边界的结点，其边界不一定正好落在正方形网格的结点上，而可能如图5.1-2所示。
其中1、2为边界线上的结点，p 、q 为小于1的正数。
仿上所述，可推得对这些近邻边界结点的拉普拉斯方程的差分格式为
0)11(
11)
1()
1(04
3
2
1
=-
-++
++
++
+ϕϕϕϕϕq
p
q
p
q q p p
（4） 式中：ϕ1和ϕ2分别是给定边界条件函数f (s )在对应边界点处的值，是已知的。
1
23
4
图5.1-2 近邻边界的结点
3．边界条件的近似处理
为了求解给定的边值问题，还必须对边界条件，以及具体问题中可能存在的分界面上的衔接条件，进行差分离散化处理，以构成相应的差分边值问题。
这里，我们只考虑正方形网格分割下的边界条件的近似处理。
⑴ 第一类边界条件 如果网格结点正好落在边界L 上，因此对应于边界条件（2）式的离散化处理，就是把点函数f (s )的值直接赋予对应的边界结点。
如果边界L 不通过网格分割时所引进的结点（例如图5.1-2中的1、2结点是边界线L 与网格线的交点，并不是网格分割时所引进的网格结点），那末在紧邻边界的结点的差分格式应选用（4）式，这时，把点函数f (s )的值直接赋予边界线L 与网格线的交点1和2。
⑵ 第二类边界条件
应当指出，从实际电场问题的分析出发，如图5.1-3所示，以电力线为边界的第二类齐次边界条件是常见的一种情况。
0=∂∂L
n
ϕ
（5）
这时，可沿着场域边界外侧安置一排虚设的网格结点，显然，对于边界结点0，由于该处
=∂∂n
ϕ，故必有ϕ1=ϕ3，因此相应于边界条件（5）式的差分计算格式为
2ϕ1+ϕ2+ϕ4-4ϕ0=0 （6）
边界s
设点
图5.1-3 第二类齐次边界的一种情况 图5.1-4对称线上结点的差分格式
同样，在许多工程问题中，常常能够判定待求电场具有某些对称性质，这样只需要计算某一对称部分的场就能完全决定整个场的分布。
为此，还必须导出位于场的对称线上的结点所满足的差分计算格式。
以对称线与网格结点相重合为例（见图5.1-4），设'AA 线为一对称线，对于位于对称线上的任一结点0，由拉普拉斯方程（因对称性，必有ϕ1=ϕ3）可得相应的差分计算格式是
2ϕ1+ϕ2+ϕ4-4ϕ0=0 （7）
⑶ 媒质分界面上的衔接条件
在此选取两种情况进行差分离散化的处理。
分界面与网格线相重合的情况；设分界面L 与网格线相重合，如图5.1-5所示，在两种媒质a ε和b ε中电位都满足拉普拉斯方程。
容易导得，两种媒质分界面上衔接条件在结点0的差分格式为
0412*******=-+++
++ϕϕϕϕϕK
K K
（8）
其中
b
a εε=
K 。
图5.1-5 分界面与网格线相重合 图5.1-6 分界面L 对网格呈对角线形态 分界面对于网格呈对角线形态的情况：如图5.1-6所示，分界面L 对于网格呈对角线形态，在两种媒质a ε和b ε中电位ϕ都满足拉普拉斯方程。
容易导得，两种媒质分界面上衔接条件在结点0的差分格式为
04)(12)(1204321=-+++
++ϕϕϕϕϕK
K K
（9）
其中
b a εε=
K 。
总之，类似以上的分析处理方法，可以逐个导得各种类型的边界条件和衔接条件差分离散化的计算格式。
限于篇幅，在此不再展开。
4．差分方程组的求解 在对场域D 内各个结点（包括所有场域内点和有关的边界结点）逐一列出对应的差分方程，组成差分方程组后，就可选择一定的代数解法，以算出各离散结点上待求的电位值。
注意到差分方程组的系数一般是有规律的，且各个方程都很简单，包含的项数不多（最多不超过5项），因此，对于有限差分法，通常都采用逐次近似的迭代方法求解。
在迭代法的应用中，为加速迭代解收敛速度，一般采用的是超松弛迭代法。
由于编写计算机程序的需要，每一网格结点的位置由双下标（i ，j ）予以识别，如图5.1-7所示。
对于差分方程（3）式，采用超松弛迭代法（规定迭代的运算顺序是：从左下角开始做起，即i 小的先做；对固定的i ，j 小的先做。
），则关于结点0迭代到第（n +1）次时的近似值，应由如下迭代公式算得
)
(),()1()1,()1(),1()()1,()(),1()(),()1()
,(4(4
n j i n j i n j i n j i n j i n j i n j i ϕϕϕϕϕϕϕ-+++α+=+-+-+++） （10）
j
i+1,j )
图5.1-7 结点的双下标（i ，j ）标号
式中：α 称为加速收敛因子，其取值范围是1≤α<2，当α≥2时，迭代过程将不收敛。
加速收敛因子α有一个最佳取值问题，但随具体问题而异。
对于第一类边值问题，若一正方形场域由正方形网格分割（每边结点数为m +1），则最佳收敛因子α0可按下式计算
m
π+=
αsin
120 （11） 在更一般的情况下，α0只能凭借经验取值。
应当指出，为加速迭代解收敛速度，在迭代运算前，恰当地给定各内点的初始值（即所谓第0次近似值）也是一个有效的途径。
5．迭代解收敛程度的检验
在超松弛迭代法的应用中，还必须涉及迭代解收敛程度的检验问题。
对此，通常的处理方法是：迭代一直进行到所有内结点上相邻两次迭代解的近似值满足修正条件
W n
j i n j i <-+),()1(),(ϕϕ （12）
时，终止迭代。
将式(12)作为检查迭代解收敛程度的依据。
其中：W 是指定的最大允许误差。
6．有限差分法的程序框图
图5.1-8 程序框图
三、上机作业
设有一个长直接地金属矩形槽，（a =2b ），如题5.1-1图所示，其侧壁与底面电位均为零，顶盖电位为100V （相对值），求槽内的电位分布。
x
题5.1-1图 矩形接地金属槽
具体要求：
⑴ 编写一个计算机程序（用你熟悉的程序语言）
⑵ 求相邻两次迭代值的指定的最大允许误差小于10-5
的迭代收敛解。
⑶ 以步距40
a h
=的正方形网格离散化场域，然后应用有限差分法求电位ϕ的数值解。
⑷ 根据场分布的对称性，试以半场域为计算对象，并以步距40
a h
=
将该半场域由正方
形网格予以分割，然后用有限差分法求电位ϕ的数值解。
⑸ 分别取α为n 个不同的值和最佳值α0，求电位ϕ的数值解，以此分析加速收敛因子的作用。
从迭代收敛时的迭代次数和最终数值解这两方面总结自已的看法。
⑹ 用计算机描绘等位线分布。
⑺ 取中心点)2
,2(b
a P 处电位的精确解（解析解）与数值解进行比较，说明误差范围。