2020_2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1空间向量与平行垂直关系课件新人教A版
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用课件1新人教B版选修2_1
各抒己见 百家争鸣
链接高考202X
强化作业： 在直三棱柱ABC－
A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝ BC＝2，D为AA1上一点．
(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D； (2)若二面角B1－DC－C1的大小为60°，求AD的长
前置作业反馈
立体几何中的向 量方法
如果a⊥，那么向量a叫做平面的法向量.
l a
二、怎样求平面法向量？
利用空间向量求空间角
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
0,
2
C
D
A D1
B
结论： cos | cos CD, AB |
题题型型二二：：线线面面角角
直线与平面所成角的范围： [0, ]
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间 向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 何问题转化为向量问题； （化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k(a b) ka＋kb
2
An
直线AB与平面α所成
B O
的角θ可看成是向量与 平面α的法向量所成的 锐角的余角，所以有
3-2第1课时空间向量与平行关系
1． 平面法向量的求法 (1)当已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可作
为平面的法向量． (2)当已知平面α内两不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，
b2，b3)时，常用待定系数法求法向量：
设法向量
a· n＝ 0， n＝(x，y，z)，由 n＝0， b·
a1x＋ a2y＋ a3z＝ 0， 得 b1x＋ b2y＋ b3z＝ 0，
题型二 求平 ABCD 是直角梯形，∠ ABC 面的法向量 例2 如图，
＝ 90°， SA⊥平面 ABCD，SA＝ AB＝ 1 BC＝ 1， AD＝ ，求平面 SCD 与平面 2 SBA 的法向量．
解 ∵ AD、AB、AS 是三条两两垂直的线段，∴以 A 为原点，以
AD、AB、AS的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立坐标系，则 1 A(0， 0， 0)， D( ， 0， 0)， C(1， 1， 0)， S(0， 0，1)， 2
在上述方程组中，对x，y，z中的任一个赋值，求出另两 个，所得n即为平面的法向量．
向量法解决几何问题的步骤 2． (1)建立空间图形与空间向量的关系，把几何问题转化为 向量问题． (2)进行向量的加减、数乘、数量积运算，得出向量运算
的结果．
(3)把向量运算的结果转化为相应的几何问题的结果．
题型一
→
→
→
→ 1 AD＝ ( ， 0， 0)是平面 SAB 的法向量， 2
设平面 SCD 的法向量 n＝ (1， λ， u)，
→ 1 1 1 则 n· DC＝ (1， λ， u)· ( ， 1， 0)＝ ＋ λ＝ 0，∴ λ＝－ . 2 2 2 → 1 1 n· DS＝ (1， λ， u)· (－ ， 0， 1)＝－ ＋ u＝ 0， 2 2
高中数学第三章空间向量与立体几何3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示3-2第1课时空间向量运算
(1)对于空间任意两个向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若a与
1 2 3
b共线，则 ＝ ＝ .( × )
1
2
3
(2)若向量AB＝(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(x1，y1，z1).( × )
(3)“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．( √ )
列条件时，实数x的值．
行和垂直的条件，借助此条件可将立体几何中的
平行垂直问题转化为向量的坐标运算．在应用坐标形式下的平行条件
时，一定注意结论成立的前提条件，在条件不明确时要分类讨论．
跟踪训练2 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，
写成a2－b2后计算．
跟踪训练1 已知在空间直角坐标系中A(1，－2，4)，B(－2，3，0)，
C(2，－2，－5).
(1)求AB＋CA，CB－2BA，AB·AC；
1
3
(2)若点M满足AM＝ AB＋ AC，求点M的坐标．
2
4
题型二 空间向量平行、垂直的坐标表示
例2 设向量a＝(1，x，1－x)，b＝(1－x2，－3x，x＋1)，求满足下
4)，设a＝AB，b＝AC.
(1)设|c|＝3，c∥BC，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
[课堂十分钟]
1．已知a＝(1，0，－1)，b＝(1，－2，2)，c＝(－2，3，－1)那么向
量a－b＋2c＝(
)
A．(0，1，2)
B．(4，－5，5)
C．(－4，8，－5) D．(2，－5，4)
所以(ka＋b)·b＝0，即－(k－1)＋4＝0，解得k＝5.
高中数学 3-2-1 空间向量与平行关系课件 新人教A版选修2-1
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)， ∴u·a＝－6＋8－2＝0， ∴u⊥a，∴l⊂α 或 l∥α. ②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，u＝－14a， ∴u∥a，∴l⊥α. ③∵u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，∴u 与 a 不共 线，也不垂直，∴l 与 α 斜交．
图2
证明：方法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在 直线分别为x，y，z轴建立如图2所示的空间直角坐标 系．
设正方体的棱长为2， 则A(2,0,0)，D1(0,0,2)，C(0,2,0)， B(2,2,0)，O1(1,1,2)，
∴A→D1＝ (－ 2, 0,2)，C→D1 ＝(0，－ 2,2)， B→O1＝ (－ 1，－ 1,2)， ∴B→O1＝12A→D1＋12C→D1， ∴B→O1与A→D1、C→D1共面， ∴B→O1∥平面 ACD1.又 BO1⊄平面 ACD1， ∴BO1∥平面 ACD1.
[点评] 用向量法证明线面平行常用三种方法：一 是证明直线上某个向量与平面内某一向量共线；二是 证明直线上的某个向量与平面内的两个不共线向量共 面，且不在平面内；三是证明直线上某个向量与平面 的法向量垂直．
迁移体验3 如图6，在长方体OAEB－O1A1E1B1中， OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝ 2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q、R分别是 O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS.
图3
解析：∵AD、AB、AS 是两两垂直的线段， ∴以 A 为原点，以射线 AD、AB、AS 所在直 线为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系， 则 A(0,0,0)、D(12，0,0)、C(1,1,0)，S(0,0,1)， A→D＝(12，0,0)是平面 SAB 的法向量，
高中数学(人教A)选修2-1课件：3.2.1直线的方向向量和平面的法向量
人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 空间向量与立体几何
第三章 3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 直线的方向向量和平面的法向量
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
自主预习学案
• 1．理解直线的方向向量，平面的法向量．
• 2．能够利用直线的方向向量和平面的法向量 处理线面的位置关系．
量来讨论直线的位置关系，那么在空间向量 中我们能否用直线的方向向量与平面的法向 量来讨论空间线面的位置关系呢？
• 新知导学
• 4．空间直线与平面的位置关系可以用直线的 方向向量与平面的法向量的位置关系来研究 ．
Байду номын сангаас
• 设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面α
、β的法向量分别为u、v，当l，m不重合，α
• 重点：平面的法向量． • 难点：利用向量知识处理立体几何问题．
直线的方向向量与平面的法向量
• 温故知新 • 1．回想在平面向量中，怎样求一条直线的方
向向量．
• 思维导航 • 1．怎样确定空间一条直线的方向向量？ • 2．一点A和一个方向可以确定一条直线吗？
类似的，一点A和一个方向能确定一个平面 吗？这个方向对平面有何特殊意义？
• (4)l⊥α⇔_a∥_u______存⇔在k_∈_R，_使_a_＝_ku____________
_．
u∥v
存在k∈R，使u＝kv
• (5)α∥β⇔__u_⊥_v____⇔u·_v＝_0________________ ___；
• (6)α⊥β⇔________⇔__________． • 注：①由前提知la⊄α，b，u，v都是非零向量．
2020_2021学年高中数学3.1.1_3.1.2空间向量及其加减运算空间向量的数乘运算课件人教A版选修2_1
状元随笔 空间向量的概念应与平面向量的相关概念类比学习， 可以看成是由平面到空间的拓展．
解析：(1)由于长方体的高为 1，所以长方体的四条高所对应的向量 AA→′，A′ →A，BB→′，B′ →B，C→C′，C→′C，DD→′，D′ →D都是单位向量， 而其他向量的模均不为 1，故单位向量共有 8 个．
跟踪训练 2 如图所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，M 是 BB1 的 中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量．
(1)C→B＋B→A1； (2)A→C＋C→B＋12A→A1. (3)A→A1－A→C－C→B.
状元随笔
解析：(1)C→B＋B→A1＝C→A1. (2)因为 M 是 BB1 的中点，所以B→M＝12B→B1.
状元随笔 对共面向量的两点说明
(1)共面的理解：共面向量是指与同一个平面平行的向量，可将共 面向量平移到同一个平面内．共面向量所在的直线可能相交、平行或 异面．
(2)向量的“自由性”：空间任意的两向量都是共面的．只要方向 相同，大小相等的向量就是同一向量，只要能平移到同一平面上的向 量都是共面向量．
(2)由于长方体的左、右两侧面的对角线长均为 5，故模为 5的向量 有AD→′，D→′A，A′→D，D→A′，BC→′，C→′B，B′→C，C→B′.
(3)与向量A→B相等的所有向量(除它自身)有A′→B′，D→C，D′→C′.
类型二 空间向量的加法、减法运算
例 2 (1)已知平行六面体 ABCD－A′B′C′D′，则下列四式 中：
图形叙述
空间向量减法运算的三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述
空间向量与平行、垂直关系
第三章
空间向量与立体几何
1 1 → ∴MN· n＝ 2， 0， 2 · (1，－ 1，－ 1)＝0，
→ ∴MN⊥ n. 又 MN 不在平面 A1BD 内， ∴ MN∥平面 A1BD.
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
1 → 1→ 1 → → → 法二：∵ MN ＝ C1N － C1M ＝ C1B1 － C1C ＝ 2 2 2 1→ → → → → (D1A1－D1D)＝ DA1，∴MN∥DA1， 2 又 MN 不在平面 A1BD 内， ∴ MN∥平面 A1BD.
则有 D(0， 0， 0)， A(2， 0，0)， C(0， 2， 0)， C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2， 2，2)， → 所以FC1 ＝ (0， 2， 1)， → → DA＝ (2，0，0)，AE＝ (0， 2， 1)．
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
(1)设 n1＝ (x1， y1， z1)是平面 ADE 的法向量， → → 则 n1⊥DA， n1⊥AE， → n1· DA＝ 2x1＝ 0 即 ，得 → n1·AE＝ 2y1＋ z1＝0
(－3，－9，0)．
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
解：(1)a· b＝ 1× 8＋ (－ 3)×2＋ (－ 1)× 2＝0， ∴直线 l1， l2 垂直． 1 (2)∵ u＝－ v，∴ u∥ v，即平面 α， β 平行． 3
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
典题例证技法归纳
题型探究 求平面的法向量
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
z3＝－2 令 x3＝ 2，∴ ，∴ n3＝ (2，－ 1，－ 2)．(10 y3＝－ 1
2020-2021学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1-2 空间向量及其加减运算
数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_1课时作业14 空间向量及其加减运算 空间向量的数乘运算|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →＝( )A ．2DB → B ．3MG →C ．3GM →D ．2MG →解析：MG →－AB →＋AD →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →. 答案：B2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形解析：∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →.∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|.∴四边形ABCD 为平行四边形． 答案：A3．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( ) A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对解析：因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →， 即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)， 即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线． 又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈AB . 答案：A4．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A.OM →＝3OA →－2OB →－OC →数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_1B.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＝14OB →－OA →＋12OC →解析：∵MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴MA →＝－MB →－MC →， ∴M 与A ，B ，C 必共面． 答案：C5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝12，y ＝1C ．x ＝1，y ＝13D ．x ＝1，y ＝14解析：因为AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)，所以x ＝1，y ＝14.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B ＝________.解析：如图，A 1B →＝B 1B →－B 1A 1→＝B 1B →－BA →＝－CC 1→－(CA →－CB →) ＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b . 答案：－c －a ＋b7．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′→＝xAB →＋y 2BC →＋z3CC ′→，则x ＋y ＋z ＝________.解析：在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，又AC ′→＝xAB →＋y 2BC →＋z3CC ′→，数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_1∴⎩⎨⎧ x ＝1，y2＝1，z3＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，z ＝3，∴x ＋y ＋z ＝6.答案：6数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_18.有下列命题：①若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线；②若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线；③若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b ；④若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0.其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．解析：根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故①错；因为AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以②正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4⎝⎛⎭⎫－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b .故③正确； 易知④也正确．答案：②③④三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，在长、宽、高分别为AB ＝4，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中．(1)单位向量共有多少个？ (2)写出模为5的所有向量；(3)试写出AA 1→的相反向量．解析：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，DD 1→，D 1D →，CC 1→，C 1C →共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)因为长方体的左、右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，C 1B →，BC 1→，B 1C →，CB 1→，A 1D →，DA 1→.(3)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →，共4个．数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_110．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →.解析：(1)∵P 是C 1D 1的中点， ∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点，∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12a ＝12a ＋12b ＋c . |能力提升|(20分钟，40分)11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则在下列各结论中正确的结论共有( )①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量； ③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量； ④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量． 答案：C12．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.解析：CD →＝CB →－DB →＝CB →－13AB →＝CB →－13(CB →－CA →)＝23CB →＋13CA →，又CD →＝13CA →＋λCB →，所以λ＝23.答案：2313．如图所示，四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面．M ，N 分别是AC ，BF数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_1的中点．试判断CE →与MN →是否共线？解析：因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB → ＝12CA →＋AF →＋12(AB →－AF →) ＝12CA →＋12AF ＋12AB ＝12(AB →＋AF →－AC →)． 又CE →＝CA →＋AF →＋FE →＝AF →－AC →＋AB →＝AB →＋AF →－AC →，所以MN →＝12CE →，所以MN →∥CE →，即CE →与MN →共线．14．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z 的值．解析：(1)证明：∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体， ∴AA 1→＝BB 1→＝CC 1→＝DD 1→， ∴BE →＝13AA 1→，DF →＝23AA 1→，∴AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13AA 1→＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AA 1＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →，由向量共面的充要条件知A ，E ，C 1，F 四点共面．数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_1(2)∵EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB ＋AD →＋13AA 1→，又EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13，∴x ＋y ＋z ＝13.。
高中数学第3章空间向量与立体几何3
错因分析 错误根本原因是忽略了直线与平面平行和向量与平面平行
区分.实际上, 本例中由向量u⊥a可得l⊂α或l∥α.
正解 因为u·a＝(3,1,2)·(－2,2,2)
＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0. 所以u⊥a, 所以l⊂α或l∥α.
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1.已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1.l2方向向量.若l1∥l2，
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3.若a＝(1,2,3)是平面γ一个法向量, 则以下向量中能作为平面γ法向量是 ________. ②
①(0,1,2)
②(3,6,9)
③(－1, －2,3)
④(3,6,8)
解析 向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线.
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解析答案
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4.若直线 l∥α，且 l 的向向量为(2，m,1)，平面 α 的法向量为(1，12，2)， 则 m＝___－__8___. 解析 ∵l∥α，平面 α 的法向量为(1，12，2)， ∴(2，m,1)·(1，12，2)＝0. ∴2＋12m＋2＝0.∴m＝－8.
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解析答案
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5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中, 以下向量能够作为平面ABC法向量是 ___②__③___.(填序号)
→
→
→
→
①AB； ②AA1； ③B1B； ④A1C1.
解析 ∵AA1⊥平面ABC, B1B⊥平面ABC, →→
∴AA1与B1B可以作为平面 ABC 的法向量.
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题型探究
重点突破
题型一 直线方向向量及其应用 例1 设直线l1方向向量为a＝(1,2, －2), 直线l2方向向量为b＝ (－2,3, m), 若l1⊥l2, 则m＝_____2___.
2020学年高中数学3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.3直线与平面的夹角课件人教B版选修2_1
成角的余弦值为
答案：
3 3
1－69＝ 33.
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【解】 连接 BC1 交 B1C 于 O 点，连接 A1O. 设正方体棱长为 a. 易证 BC1⊥平面 A1B1CD，所以 A1O 为 A1B 在 面 A1B1CD 上的射影， 所以∠BA1O 为 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角． 在 Rt△A1BO 中，A1B＝ 2a，OB＝ 22a， 所以 sin∠BA1O＝AO1BB＝12，所以∠BA1O＝30°. 即 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 30°.
因为△BCD 是正三角形， 所以 O 为△BCD 的中心，连接 OD 并延长交 BC 于 F，则 F 为 BC 的中点．令正四面体棱长为 1，可求得 CE＝ 23，DF＝ 23， OD＝ 33，AO＝ AD2－OD2＝ 1－39＝ 36，所以 EG＝ 66，在 Rt△ECG 中，sin∠ECG＝ECGE＝ 32.
线所成的角中最小的角为( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．150°
答案：A
2．已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量，
若 cos〈m，n〉＝－12，则直线 l 与平面 α 所成的角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
答案：A
用定义法求斜线和平面的夹角 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角．
第三章 空间向量与立体几何
3．2.3 直线与平面的夹角
第三章 空间向量与立体几何
1.了解最小角定理的推证方法． 2.理解斜线和平面 所成角的定义． 3.掌握直线和平面所成角的求法．
2020_2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何本章总结课件新人教A版选修2_1
【解】 (1)建立空间直角坐标系(如图)．∵A→M＝(5,2,4)，A→1D ＝(0,8，－4)．
∴A→M·A→1D＝0＋16－16＝0＝0.
(2)∵A1D⊥AM，A1D⊥AN，∴A1D⊥平面 AMN， ∴A→1D＝(0,8，－4)是平面 ANM 的一个法向量．
专题二 空间向量与线面位置关系 证明平行问题，除了应用传统的线面平行的判定定理外，还 可以利用向量共线及平面的法向量进行证明． 证明垂直问题，除了应用传统的垂直问题的判定定理外，还 可利用向量数量积进行判断，是非常有效的方法．
【例 2】 如图，在矩形 ABCD 中 AB＝2BC，P、Q 分别为 线段 AB、CD 的中点，EP⊥平面 ABCD.
【证法二】 传统法．
(1)在矩形 ABCD 中，AP＝PB，DQ＝QC，∴AP 綊 QC，
∴四边形 AQCP 为平行四边形，∴CP∥AQ. ∵CP⊂平面 CEP，AQ⊄平面 CEP，∴AQ∥平面 CEP. (2)∵EP⊥平面 ABCD，AQ⊂平面 ABCD，∴AQ⊥EP. ∵AB＝2BC，P 为 AB 中点，∴AP＝AD. 连接 PQ，则 ADQP 为正方形，∴AQ⊥DP. ∵EP∩DP＝P，∴AQ⊥平面 DEP. ∵AQ⊂平面 AEQ，∴平面 AEQ⊥平面 DEP.
故A→C＝A→B＋A→D＝a＋b，又M→A＝－13A→C＝－13(a＋b)． 由已知，N 分A→1D成的比为 2，故A→N＝A→D＋D→N ＝A→D－N→D＝A→D－13A→1D＝13(c＋2b)． 于是M→N＝M→A＋A→N＝－13(a＋b)＋13(c＋2b) ＝13(－a＋b＋c)．
【点评】 用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以 图形为指导是解题的关键．
2020_2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2第3课时用空间向量解决空间角与距离问题课
用空间向量解决空间角与距离问题[A 组 学业达标]1.如图，正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( ) A.15B.25 C.35 D.45解析：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ， 设AB ＝1.则B (1,1,0)，A 1(1,0,2)，A (1,0,0)，D 1(0,0,2)，A 1B →＝(0,1，－2)，AD 1→＝(－1,0,2)，cos 〈A 1B →，AD 1→〉＝A 1B →·AD 1→|A 1B →||AD 1→|＝－45×5＝－45，∴异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45. 答案：D2．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°解析：由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉 ＝(217)2， ∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，〈CA →，BD →〉＝120°，∴二面角的大小为60°. 答案：C3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，O 是正方形中心，则折起后，∠EOF 的大小为( ) A ．30°B ．90° C ．120°D ．60°解析：OE →＝12(OA →＋OD →)，OF →＝12(OB →＋OC →)，∴OE →·OF →＝14(OA →·OB →＋OA →·OC →＋OD →·OB →＋OD →·OC →)＝－14|OA →|2.又|OE →|＝|OF →|＝22|OA →|，∴cos 〈OE →，OF →〉＝－14|OA →|212|OA →|2＝－12.∴∠EOF ＝120°.故选C. 答案：C4．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23B.33C.23D.63解析：建系如图，设正方体棱长为1， 则BB 1→＝(0,0,1)． ∵B 1D ⊥面ACD 1，∴取DB 1→＝(1,1,1)为面ACD 1的法向量． 设BB 1与平面ACD 1所成角为θ， 则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BB1→·DB 1→|BB1→||DB 1→|＝13＝33， ∴cos θ＝63.答案：D5.如图所示，在几何体A BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝1，CD ＝2，点E 为CD 中点，则AE 的长为( ) A.2 B.3 C ．2 D.5 解析：AE →＝AB →＋BC →＋CE →， ∵|AB →|＝|BC →|＝1＝|CE →|， 且AB →·BC →＝AB →·CE →＝BC →·CE →＝0. 又∵AE →2＝(AB →＋BC →＋CE →)2， ∴AE →2＝3， ∴AE 的长为 3.故选B. 答案：B6.如图，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为________．解析：取AC 、A 1C 1的中点M 、M 1，连接MM 1、BM .过D 作DN ∥BM ，交MM 1于点N ，则容易证明DN ⊥平面AA 1C 1C .连接AN，则∠DAN就是AD与平面AA1C1C所成的角．在Rt△DAN中，sin∠DAN＝NDAD＝322＝64.答案：647．正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是________．解析：如图，以DA、DC、DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易证AC1→是平面A1BD的一个法向量.AC1→＝(－1,1,1)，BC1→＝(－1,0,1)．cos〈AC1→，BC1→〉＝1＋13×2＝63.所以BC1与平面A1BD所成角的正弦值为63.答案：638.如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是________． 答案：90°9.如图所示，已知在四面体ABCD 中，O 为BD 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝ 2.(1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．解析：(1)证明：因为BO ＝DO ，AB ＝AD ，所以AO ⊥BD . 因为BO ＝DO ，BC ＝CD ，所以CO ⊥BD . 在△AOC 中，由已知可得AO ＝1，CO ＝3，而AC ＝2，所以AO 2＋CO 2＝AC 2，所以∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC .因为BD ∩OC ＝O ，所以AO ⊥平面BCD .(2)以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,0,0)，C (0，3，0)，A (0,0,1)，BA →＝(－1,0,1)， CD →＝(－1，－3，0)，所以cos 〈BA →，CD →〉＝BA →·CD →|BA →||CD →|＝24，所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24.10.如图，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝1，∠BAD ＝120°，∠ACB ＝90°. (1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)若二面角D PC A 的余弦值为55，求点A 到平面PBC 的距离．解析：(1)证明：∵PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BC ， ∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ，又PA ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面PAC .(2)设AP ＝h ，取CD 的中点E ，则AE ⊥CD ，∴AE ⊥AB .又PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AE ，PA ⊥AB ，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0，h )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，－12，0，B (0,2,0)，PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，12，－h ，DC →＝(0,1,0)，设平面PDC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PC →＝0，n 1·DC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧32x 1＋12y 1－hz 1＝0，y 1＝0，取x 1＝h ，∴n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫h ，0，32， 由(1)平面PAC 的一个法向量为BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，－32，0.∴|cos 〈n 1，BC →〉|＝32hh 2＋34×3＝55，解得h ＝3，同理可求得平面PBC的一个法向量n 2＝(3，3，2)，所以，点A 到平面PBC 的距离为d ＝|AP →·n 2||n 2|＝234＝32.[B 组 能力提升]11．二面角αl β等于120°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长等于( ) A.2B.3 C ．2 D.5解析：如图，∵二面角α－l －β等于120°，∴CA →与BD →夹角为60°.由题设知，CA →⊥AB →，AB →⊥BD →，|AB →|＝|AC →|＝|BD →|＝1， |CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝3＋2×cos 60° ＝4，∴|CD →|＝2.故选C. 答案：C12．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是A 1C 1的中点，则O 到平面ABC 1D 1的距离为( ) A.32B.24C.12D.33解析：以DA →、DC →、DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，C 1O →＝12C 1A 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－12，0，平面ABC 1D 1的法向量DA 1→＝(1,0,1)，点O 到平面ABC 1D 1的距离d ＝|DA 1→·C 1O →||DA 1→|＝122＝24.故选B.答案：B13.正三角形ABC 与正三角形BCD 所在的平面互相垂直，则直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为________．解析：取BC 的中点O ，连接AO ，DO ，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz .设BC ＝1，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，0，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，0，0，所以BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12，32， BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，12，0，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，－12，0.设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0，n ·BD →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12y ＋32z ＝0，32x ＋12y ＝0，取x ＝1，则y ＝－3，z ＝1，所以n ＝(1，－3，1)，所以cos 〈n ，CD →〉＝32＋325×1＝155，因此直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为155.答案：15514．在正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝4，AB ＝BC ＝2，动点P ，Q 分别在线段C 1D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是________．解析：以D 为原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,4)，设DP →＝tDC 1→，AQ →＝mAC →(t ，m ∈[0,1])，∴DP →＝t (0,2,4)＝(0,2t,4t )，DQ →＝DA →＋mAC →＝(2,0,0)＋m (－2,2,0)＝(2－2m,2m,0)． ∴P (0,2t,4t )，Q (2－2m,2m,0)， ∴PQ →＝(2－2m,2m －2t ，－4t )， 则|PQ →|＝2－2m2＋2m －2t 2＋－4t 2＝25⎝⎛⎭⎪⎪⎫t －m 52＋95⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m －592＋49≥249＝43，当且仅当t ＝m 5，m ＝59，即t ＝19，m ＝59时取等号，∴线段PQ 长度的最小值为43.15．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF 的中点．(1)设P 是CE 上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小； (2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E AG C 的大小．解析：(1)因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP ＝A ，所以BE ⊥平面ABP .又BP ⊂平面ABP ，所以BE ⊥BP . 又∠EBC ＝120°，因此∠CBP ＝30°.(2)以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A (0,0,3)，E (2,0,0)，G (1，3，3)，C (－1，3，0)，故AE →＝(2,0，－3)，AG →＝(1，3，0)，CG →＝(2,0,3)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AG →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－3z 1＝0，x 1＋3y 1＝0，取z 1＝2，可得平面AEG 的法向量m ＝(3，－3，2)，设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AG →＝0n ·CG →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝02x 2＋3y 2＝0，取x 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－3，－2)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12.因此二面角E AG C 的大小为60°.16.如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD ∥平面MAC ，PA ＝PD ＝6，AB ＝4.(1)求证：M 为PB 的中点； (2)求二面角B PD A 的大小；(3)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．解析：(1)证明：设AC ，BD 的交点为O ，连接OM ，如图所示．∵PD∥平面MAC，且平面PBD∩平面MAC＝MO，∴PD∥MO.∵O为BD的中点，∴M为PB的中点．(2)取AD的中点E，连接PE.∵PA＝PD，∴PE⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD，∴PE⊥平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，则B(－2,4,0)，P(0,0，2)，D(2,0,0)，A(－2,0,0)，DP→＝(－2,0，2)，DB→＝(－4,4,0)．易知平面PDA的法向量m＝(0,1,0)，设平面BPD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，则⎩⎪⎨⎪⎧n·DP→＝－2x0＋2z0＝0，n·DB→＝－4x0＋4y0＝0，可取n＝(1,1，2)．设二面角BPDA的平面角为θ，∴|cos θ|＝|cos 〈m ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ·n |m ||n |＝11·12＋12＋22＝12， 由图可知，二面角B PD A 为锐二面角， ∴θ＝π3，即二面角B PD A 的大小为60°.(3)由(2)可知M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，2，22，C (2,4,0)，MC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，2，－22， 设直线MC 与平面BDP 所成的角为α，则有 sin α＝|cos 〈MC →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪MC →·n |MC →||n | ＝3＋2－11＋1＋22·32＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－222＝269.∴直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为269.。
2020_2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2第1课时用空间向量解决立体几何中的平行问
3．2 立体几何中的向量方法第1课时用空间向量解决立体几何中的平行问题内容标准学科素养1.理解直线的方向向量与平面的法向量．2.掌握用待定系数法求平面法向量的方法．3.掌握利用向量证明空间中的平行关系的基本方法.利用直观想象发展逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第65页[基础认识]知识点一直线的方向向量与平面的法向量预习教材P102，思考并完成以下问题为了用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来，那么如何用向量表示空间中的点、直线、平面的位置呢？(1)取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP→来表示．(2)空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．点A是直线l 上一点，向量a表示直线l的方向(方向向量)．在直线l上取AB→＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得AP→＝tAB→.这样，点A和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出l上的任意一点．(3)空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定．设这两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对(x，y)，使得OP→＝x a＋y b.这样，点O与向量a，b不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α内的任意一点．另外也可以用平面的法向量表示空间中平面的位置．知识梳理直线的方向向量与平面的法向量(1)用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线的方向向量)形式在直线l上取AB→＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得AP→＝tAB→作用定位置点A和向量a可以确定直线l的位置定点可以具体表示出l上的任意一点(2)用向量表示平面的位置①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定：条件平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O形式对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)使得OP→＝x a＋y b ②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定：平面的法向量直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的(3)直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的非零向量a，叫做直线l的一个方向向量平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量n，叫做平面α的法向量注意：平面的法向量及其求法在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤： (1)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )；(2)找出(求出)平面内的两个相交的向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)；(3)根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0；(4)解方程组，取其中的一个n 的坐标，即得平面的一个法向量． 知识点二 用空间向量处理平行关系知识梳理 设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为μ，v ，则1．若两条直线的方向向量分别是a ＝(2,4，－5)，b ＝(－6，x ，y )，且两条直线平行，则x ＝________，y ＝________.答案：－12 152．已知直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,0)，平面α的法向量为n ＝(2,1，－1)，则( ) A ．l ⊥αB ．l ∥α C ．l ⊂αD ．l ∥α或l ⊂α 答案：D3．已知A (1,2,3)，B (0,1,2)，C (－1,3,2)，则平面ABC 的一个法向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13，－1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13，1答案：A授课提示：对应学生用书第66页探究一 利用方向向量和法向量判定线线、 线面、面面的位置关系[教材P 104练习2]设u ，v 分别是平面α，β的法向量，根据下列条件判断平面α，β的位置关系：(1)u ＝(－2,2,5)，v ＝(6，－4,4)； (2)u ＝(1,2，－2)，v ＝(－2，－4,4)； (3)u ＝(2，－3,5)，v ＝(－3,1，－4)． 解析：(1)∵u ·v ＝0，∴u ⊥v ，∴α⊥β. (2)∵u ∥v ，∴α∥β 或α与β重合．(3)∵u 与v 不垂直，也不平行，∴α与β相交． [例1] 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； (2)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)；(3)平面α与β的法向量分别是u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12；(4)平面α与β的法向量分别是u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)；(5)直线l 的方向向量、平面α的法向量分别是a ＝(0，－8,12)，u ＝(0,2，－3)． [解析](1)∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)， ∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2.(2)∵a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，∴a ·b ≠0且a ≠k b (k ∈R )，∴a ，b 既不共线也不垂直，即l 1与l 2相交或异面．(3)∵u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12，∴u ·v ＝3－2－1＝0，∴u ⊥v ，即α⊥β. (4)∵u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)，∴u ·v ≠0且u ≠k v (k ∈R ) ，∴u 与v 既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直． (5)∵a ＝(0，－8,12)，u ＝(0,2，－3)， ∴u ＝－14a ，∴u ∥a ，即l ⊥α.方法技巧 (1)两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面． (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行或重合(垂直)；否则两平面相交但不垂直． 跟踪探究 1.设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝________.解析：∵α∥β，∴(1,3，－2)＝λ(－2，－6，k )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝1，λk ＝－2，∴λ＝－12，k ＝4.答案：4探究二 求平面的法向量[例2] 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)，试求出平面ABC 的一个法向量．[解析]设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)， ∴AB →＝(－2,1,3)，BC →＝(1，－1,0)．则有⎩⎨⎧n ·AB→＝0，n ·BC→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＋3z ＝0，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3z ，x ＝y .令z ＝1，则x ＝y ＝3.故平面ABC 的一个法向量为n ＝(3,3,1)． 方法技巧 求平面法向量的方法与步骤(1)求平面ABC 的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如AC →，AB →； (2)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )；(3)联立方程组⎩⎨⎧n ·AC→＝0，n ·AB→＝0，并求解；(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．跟踪探究 2.如图所示，在四棱锥S ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量．解析：如图，以A 为原点，以AD →，AB →，AS →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，则DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1.易知向量AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)．探究三 利用空间向量证明线面平行[教材P 118复习参考题A 组13题节选]如图，点E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH .证明：(1)∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF →＝12AC →.同理HG →＝12AC →，∴EF →＝HC →.又∵E ，F ，H ，G 不共线， ∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵E ，H 分别为AB ，AD 的中点， ∴HE →＝12DB →，∴HE →∥DB →，∴DB ∥HE .又∵HE ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， ∴BD ∥平面EFGH .[例3] (1)在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 是正方形，侧棱PD 垂直于底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．证明：PA ∥平面EDB .[证明]如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设PD ＝DC ＝a .法一：连接AC ，交BD 于点G ，连接EG ，依题意得D (0,0,0)，A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2.因为四边形ABCD 是正方形， 所以G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，所以EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2.又PA →＝(a,0，－a )，所以PA →＝2EG →，这表明PA ∥EG . 而EG ⊂平面EDB ，且PA ⊄平面EDB ， 所以PA ∥平面EDB .法二：设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，又DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，EB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，－a 2，则有⎩⎨⎧n ·DE→＝0，n ·EB→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a2y ＋z ＝0，a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2－z 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，2x ＋y －z ＝0.令z ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.所以n ＝(1，－1,1)，又PA →＝(a,0，－a )，所以n ·PA →＝(1，－1,1)·(a,0，－a )＝a －a ＝0. 所以n ⊥PA →.又PA ⊄平面EDB ，所以PA ∥平面EDB . 法三：假设存在实数λ，μ使得PA →＝λDE →＋μEB →，即(a,0，－a )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，－a 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧a＝μa，0＝λ·a2＋μ·a2＝a2λ＋μ，－a＝λ·a2－μ·a2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝1.所以PA→＝－DE→＋EB→，又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CD1B1.[证明]以D为原点，分别以向量DA→，DC→，DD1→的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为1，则A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，∴A1D→＝(－1,0，－1)，A1B→＝(0,1，－1)，D1B1→＝(1,1,0)，D1C→＝(0,1，－1)．设平面A1BD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则⎩⎨⎧n1·A1D→＝0，n1·A1B→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－z 1＝0，y 1－z 1＝0， 令z 1＝1，得x 1＝－1，y 1＝1.∴平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(－1,1,1)．设平面CD 1B 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧ n 2·D 1B 1→＝0，n 2·D 1C →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，y 2－z 2＝0， 令y 2＝1，得x 2＝－1，z 2＝1，∴n 2＝(－1,1,1)．∴n 1＝n 2，即n 1∥n 2.∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.方法技巧 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直．跟踪探究 3.如图，已知在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点．判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD .解析：∵PA ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，如图，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，F (1,1,0)，D (0,2,0)．不妨令P (0,0，t )，∴PF →＝(1,1，－t )，DF →＝(1，－1,0)．设平面PFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧ n ·PF →＝0，n ·DF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －tz ＝0，x －y ＝0， 令z ＝1，解得x ＝y ＝t2， ∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，t 2，1. 设点G 的坐标为(0,0，m )，又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，则EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，m . 要使EG ∥平面PFD ，只需EG →·n ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×t 2＋0×t 2＋m ×1＝0， 即m －t4＝0， 解得m ＝14t ，从而满足AG ＝14AP 的点G 即为所求．授课提示：对应学生用书第67页[课后小结](1)利用向量解决立体几何问题的“三部曲”：①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；②进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；③根据运算结果的几何意义来解释相关问题．(2)证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明．[素养培优]忽视直线与平面平行的条件致误若直线l 的方向向量为a ＝(3，－1,4)，平面α的法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，34，则直线l 与平面α的位置关系是________．易错分析 直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线可能与平面平行，也可能在平面内．考查直观想象和逻辑推理的学科素养．自我纠正 因为a ·n ＝(3，－1,4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，34＝0， 所以a ⊥n .所以l ∥α或l ⊂α.故填l ∥α或l ⊂α.答案：l ∥α或l ⊂α。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 3.2.1 直线的方向向量及平面
3．2.1 直线的方向向量及平面的法向量1．用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线l的□01方向向量)形式在直线l上取AB→＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t使得AP→＝□02tAB→作用定位置点A和向量a可以确定直线的位置定点可以具体表示出l上的任意一点(1)通过平面α上的一个定点和两个向量来确定条件平面α内两条□03相交直线的方向向量a，b和交点O形式对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)，使得OP→＝□04x a＋y b(2)通过平面α上的一个定点和法向量来确定平面的法向量□05直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的3．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则线线平行l∥m⇔□06a∥b⇔□07a＝k b(k∈R)线面平行l∥α⇔□08a⊥u⇔□09a·u＝0面面平行α∥β⇔□10u∥v⇔□11u＝k v(k∈R)线线垂直 l ⊥m ⇔□12a ⊥b ⇔□13a ·b ＝0 线面垂直 l ⊥α⇔□14a ∥u ⇔□15a ＝λu (λ∈R ) 面面垂直 α⊥β⇔□16u ⊥v ⇔□17u ·v ＝01．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线上任意两个不同的点A ，B 表示的向量AB →都可作为该直线的方向向量．( ) (2)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )(3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( ) (4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________．(2)已知a ＝(2，－4，－3)，b ＝(1，－2，－4)是平面α内的两个不共线向量．如果n ＝(1，m ，n )是α的一个法向量，那么m ＝________，n ＝________.(3)(教材改编P 104T 2)设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝________.(4)已知直线l 1，l 2的方向向量分别是v 1＝(1,2，－2)，v 2＝(－3，－6,6)，则直线l 1，l 2的位置关系为________．答案 (1)(2,4,6) (2)120 (3)4 (4)平行探究1 点的位置向量与直线的方向向量例1 (1)若点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，72在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23，13(2)已知O 为坐标原点，四面体OABC 的顶点A (0,3,5)，B (2,2,0)，C (0,5,0)，直线BD ∥CA ，并且与坐标平面xOz 相交于点D ，求点D 的坐标．[解析] (1)AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，72－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12＝(1,2,3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，1＝13(1,2,3)＝13AB →，又因为与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量．故选A.(2)由题意可设点D 的坐标为(x,0，z )， 则BD →＝(x －2，－2，z )，CA →＝(0，－2,5)．∵BD ∥CA ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，z ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，z ＝5，∴点D 的坐标为(2,0,5)． [答案] (1)A (2)见解析 拓展提升求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量的坐标，利用两向量平行的充要条件解题．【跟踪训练1】 已知点A (2,4,0)，B (1,3,3)，在直线AB 上有一点Q ，使得AQ →＝－2QB →，求点Q 的坐标．解 由题设AQ →＝－2QB →，设Q (x ，y ，z )，则(x －2，y －4，z )＝－2(1－x,3－y,3－z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－2(1－x )，y －4＝－2(3－y )，z ＝－2(3－z )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴Q (0，2，6).z ＝6，探究2 求平面的法向量例2 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SBA 的法向量．[解]∵AD ，AB ，AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，分别以AD →，AB →，AS →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的法向量，设平面SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，则n ·DC →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12.n ·DS →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝－12＋u ＝0，∴u ＝12，∴n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12. 综上，平面SCD 的一个方向向量为n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12，平面SBA 的一个法向量为AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0.拓展提升设直线l 的方向向量为u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2，其中k ∈R ，平面的法向量的求解方法：①设出平面的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．③依据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．【跟踪训练2】 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：DB 1→是平面ACD 1的一个法向量．证明 设正方体的棱长为1，分别以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则DB 1→＝(1,1,1)，AC →＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)．于是有DB 1→·AC →DB 1→⊥AC →，即DB 1⊥AC . 同理，DB 1⊥AD 1，又AC ∩AD 1＝A ，所以DB 1⊥平面ACD 1，从而是平面ACD 1的一个法向量． 探究3 利用方向向量、法向量判断线、面 关系例3 (1)设a ，b 分别是不重合的直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1与l 2的位置关系：①a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； ②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)； ③a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)．(2)设u ，v 分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系： ①u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12；②u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)； ③u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．(3)设u 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量(l ⊄α)，根据下列条件判断α和l 的位置关系：①u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)； ②u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)； ③u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)．[解] (1)①因为a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，所以a ＝－13b ，所以a ∥b ，所以l 1∥l 2.②因为a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)，所以a ·b ＝0， 所以a ⊥b ，所以l 1⊥l 2.③因为a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，所以a 与b 不共线，也不垂直，所以l 1与l 2的位置关系是相交或异面．(2)①因为u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12，所以u ·v ＝3－2－1＝0，所以u ⊥v ，所以α⊥β.②因为u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)，所以u ＝－35v ，所以u ∥v ，所以α∥β.③因为u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．所以u 与v 既不共线，也不垂直，所以α，β相交．(3)①因为u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)，所以u ·a ＝－6＋8－2＝0， 所以u ⊥a ，所以直线l 和平面α的位置关系是l ∥α.②因为u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)，所以u ＝－14a ，所以u ∥a ，所以l ⊥α.③因为u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)，所以u 和a 不共线也不垂直，所以l 与α斜交． 拓展提升利用向量判断线、面关系的方法(1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．【跟踪训练3】 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9，0)；(3)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)； (4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)． 解 (1)因为a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)，所以a ·b ＝8－6－2＝0，所以a ⊥b ，所以l 1⊥l 2.(2)因为u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)，所以v ＝－3u ，所以v ∥u ，所以α∥β. (3)因为a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)，所以a ≠k u (k ∈R )且a ·u ≠0，所以a 与u 既不共线也不垂直，即l 与α相交但不垂直．(4)因为a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)，所以a ·u ＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥u ，所以l ⊂α或l ∥α.1.空间中一条直线的方向向量有无数个.2.线段中点的向量表达式：对于AP →＝tAB →，当t ＝12时，我们就得到线段中点的向量表达式．设点M 是线段AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)，这就是线段AB 中点的向量表达式.，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标.(1)设n 是平面α的一个法向量，v 是直线l 的方向向量，则v ⊥n 且l 上至少有一点A ∉α，则l ∥α.(2)根据线面平行的判定定理：“如果平面外直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.(1)在一个平面内找到两个不共线的向量都与另一个平面的法向量垂直，那么这两个平面平行.(2)利用平面的法向量，证明面面平行，即如果a ⊥平面α，b ⊥平面β，且a ∥b ，那么α∥β.1．若平面α，β的法向量分别为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3，b ＝(－1,2，－6)，则( ) A ．a ∥β B ．α与β相交但不垂直 C ．α⊥β D ．α∥β或α与β重合 答案 D解析 ∵b ＝－2a ，∴b ∥a ，∴α∥β或α与β重合．2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1，平面BCC 1B 1的中心，以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线EF 的方向向量可以是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，22B ．(1,0，2) C ．(－1,0，2) D ．(2,0，－2) 答案 D解析 由已知得E (1,1，2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，22，所以|EF →|＝⎝⎛⎭⎪⎫2，1，22－(1,1，2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，－22，结合选项可知，直线EF 的方向向量可以是(2,0，－2)．3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫33，33，－33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，33 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33 答案 D解析 由AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，结合选项，验证知应选D.4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，则m ＝________.答案 －8解析 因为直线l ∥α，所以直线l 的方向向量与平面α的法向量垂直，所以(2，m,1)·⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2＝2＋m 2＋2＝0，解得m ＝－8.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：OB →1是平面PAC 的法向量．证明 建立空间直角坐标系如右图所示，不妨设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，O (1,1,0)，于是OB 1→＝(1,1,2)，AC →＝(－2,2,0)，AP →＝(－2，0,1)，∴OB 1→·AC →＝－2＋2＝0，OB 1→·AP →＝－2＋2＝0. ∴OB 1→⊥AC →，OB 1→⊥AP →，即OB 1⊥AC ，OB 1⊥AP . ∵AC ∩AP ＝A ，∴OB 1⊥平面PAC ，即OB 1→是平面PAC 的法向量．。
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2．若 n＝(2，－3,1)是平面 α 的一个法向量，则下列向量中
能作为平面 α 的法向量的是( )
A．(0，－3,1)
B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1)
D．(－2,3，－1)
解析：问题即求与 n 共线的一个向量．即 n＝(2，－3，1) ＝－(－2,3，－1)．
答案：D
3．已知直线 l 与平面 α 垂直，直线 l 的一个方向向量为 u＝ (1，－3，z)，向量 v＝(3，－2,1)与平面 α 平行，则 z 等于( )
＝λc2(λ∈R)． (3)面面垂直
若平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量 v＝(a2，
b2，c2)，则 α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔ a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
.
|自我尝试|
1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”) (1)直线 l 的方向向量是惟一的( × ) (2)若点 A，B 是平面 α 上的任意两点，n 是平面 α 的法向量， 则A→B·n＝0( √ ) (3)若向量 n1，n2 为平面 α 的法向量，则以这两个向量为方 向向量的两条不重合直线一定平行( √ )
5．如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，分别以长方体的 两个顶点为始点和终点的向量中：
(1)直线 AB 的方向向量有___8_____个； (2)平面 AA1B1B 的法向量有__8______个．
解析：(1)直线 AB 的方向向量有：B→A，A→B，C→D，D→C，B→1A1， A→1B1，C→1D1，D→1C1，共 8 个．
3．空间垂直关系的向量表示
(1)线线垂直
设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，a2，a3)，直线 m 的方向向量 为 b＝(b1，b2，b3)，则 l⊥m⇔a·b＝0⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 .
(2)线面垂直
设直线 l 的方向向量是 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量是
u＝(a2，b2，c2)，则 l⊥a⇔a∥u⇔a＝λu⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1
第一课时 空间向量与平行、垂直关系
【课标要求】 1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明 平行问题和垂直问题. 2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系和垂直关 系.
自主学习 基础认识
|新知预习|
1．平面的法向量 (1)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线 平行或共线 的向量． (2)平面的法向量 直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则 a 叫做平面 α 的法向 量．
(2)平面 AA1B1B 的法向量有：D→A，A→D，C→B，B→C，D→1A1，A→1D1， C→1B1，B→1C1，共 8 个．
课堂探究 互动讲练 类型一 求平面的法向量 [例 1] 已知平面 α 经过三点 A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3， －2,0)，求平面 α 的一个法向量．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系 D－xyz.设正方体的 棱长为 1.
则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，
E12，12，1， ∴C→E＝12，－12，1， A→C＝(－1,1,0)，B→D＝(－1，－1,0)， A1D＝(－1,0，－1)，A1A＝(0,0，－1)． ∵C→E·B→D＝(－1)×12＋(－1)×－12＋0×1＝0，∴CE⊥BD. 答案：B
【解析】 因为 A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，所以 A→B(1，－2，－4)，A→C＝(2，－4，－3)．
设平面 α 的法向量为 n＝(x，y，z)，
n·A→B＝0， 则有n·A→C＝0，
即x2－x－2y4－y－4z3＝z＝0，0.
得 z＝0，x＝2y，令 y＝1，则 x＝2，所以平面 α 的一个法向 量为 n＝(2,1,0).
即平面 GEF 的一个法向量为 n＝(1,1,1).
类型二 用空间向量证明平行问题
[例 2] 已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，E，F 分 别是 BB1，DD1 的中点，求证：
(1)FC1∥平面 ADE； (2)平面 ADE∥平面 B1C1F.
【证明】 如图所示建立空间直角坐标系 D－xyz，
方法归纳 利用待定系数法求法向量的解题步骤
跟踪训练 1 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，棱长为 1，G， E，F 分别为 AA1，AB，BC 的中点，求平面 GEF 的一个法向量．
解析：如图，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 D－xyz.
则 E1，12，0，F12，1，0，G1，0，12. 由此得G→E＝0，12，－12，E→F＝12，－12，0. 设平面 GEF 的法向量为 n＝(x，y，z)． 由 n⊥G→E，n＝F→E可得，
n·G→E＝12y－12z＝0， n·F→E＝12x－12y＝0，
∴ zx＝＝yy，.
令 y＝1，则 ，v 与平面 α 平行， ∴u⊥v，即 u·v＝0， ∴1×3＋3×2＋z×1＝0， ∴z＝－9. 答案：C
4．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，若 E 为 A1C1 的中点，则 直线 CE 垂直于( )
A．AC B．BD C．A1D D．A1A
2．空间平行关系的向量表示
(1)线线平行 设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2， c2)，则 l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． (2)线面平行 设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量为 u＝(a2，b2，c2)，则 l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (3)面面平行 设平面 α，β 的法向量分别为 u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2， c2)，则 α∥β⇔u∥v⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 ⇔a1＝λa2，b1＝λb2， c1＝λc2(λ∈R)．