2020_2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1空间向量与平行垂直关系课件新人教A版
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第一课时 空间向量与平行、垂直关系
【课标要求】 1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明 平行问题和垂直问题. 2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系和垂直关 系.
自主学习 基础认识
|新知预习|
1．平面的法向量 (1)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线 平行或共线 的向量． (2)平面的法向量 直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则 a 叫做平面 α 的法向 量．
【解析】 因为 A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，所以 A→B(1，－2，－4)，A→C＝(2，－4，－3)．
设平面 α 的法向量为 n＝(x，y，z)，
n·A→B＝0， 则有n·A→C＝0，
即x2－x－2y4－y－4z3＝z＝0，0.
得 z＝0，x＝2y，令 y＝1，则 x＝2，所以平面 α 的一个法向 量为 n＝(2,1,0).
2．若 n＝(2，－3,1)是平面 α 的一个法向量，则下列向量中
能作为平面 α 的法向量的是( )
A．(0，－3,1)
B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1)
D．(－2,3，－1)
解析：问题即求与 n 共线的一个向量．即 n＝(2，－3，1) ＝－(－2,3，－1)．
答案：D
3．已知直线 l 与平面 α 垂直，直线 l 的一个方向向量为 u＝ (1，－3，z)，向量 v＝(3，－2,1)与平面 α 平行，则 z 等于( )
3．空间垂直关系的向量表示
(1)线线垂直
设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，a2，a3)，直线 m 的方向向量 为 b＝(b1，b2，b3)，则 l⊥m⇔a·b＝0⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 .
(2)线面垂直
设直线 l 的方向向量是 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量是
u＝(a2，b2，c2)，则 l⊥a⇔a∥u⇔a＝λu⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1
5．如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，分别以长方体的 两个顶点为始点和终点的向量中：
(1)直线 AB 的方向向量有___8_____个； (2)平面 AA1B1B 的法向量有__8______个．
解析：(1)直线 AB 的方向向量有：B→A，A→B，C→D，D→C，B→1A1， A→1B1，C→1D1，D→1C1，共 8 个．
＝λc2(λ∈R)． (3)面面垂直
若平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量 v＝(a2，
b2，c2)，则 α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔ a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
.
|自我尝试|
1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”) (1)直线 l 的方向向量是惟一的( × ) (2)若点 A，B 是平面 α 上的任意两点，n 是平面 α 的法向量， 则A→B·n＝0( √ ) (3)若向量 n1，n2 为平面 α 的法向量，则以这两个向量为方 向向量的两条不重合直线一定平行( √ )
方法归纳 利用待定系数法求法向量的解题步骤
跟踪训练 1 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，棱长为 1，G， E，F 分别为 AA1，AB，BC 的中点，求平面 GEF 的一个法向量．
解析：如图，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 D－xyz.
2．空间平行关系的向量表示
(1)线线平行 设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2， c2)，则 l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． (2)线面平行 设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量为 u＝(a2，b2，c2)，则 l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (3)面面平行 设平面 α，β 的法向量分别为 u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2， c2)，则 α∥β⇔u∥v⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 ⇔a1＝λa2，b1＝λb2， c1＝λc2(λ∈R)．
即平面 GEF 的一个法向量为 n＝(1,1,1).
类型二 用空间向量证明平行问题
[例 2] 已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，E，F 分 别是 BB1，DD1 的中点，求证：
(1)FC1∥平面 ADE； (2)平面 ADE∥平面 B1C1F.
【证明】 如图所示建立空间直角坐标系 D－xyz，
A．3 B．6 C．－9 D．9
解析：∵l⊥α，v 与平面 α 平行， ∴u⊥v，即 u·v＝0， ∴1×3＋3×2＋z×1＝0， ∴z＝－9. 答案：C
4．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，若 E 为 A1C1 的中点，则 直线 CE 垂直于( )
A．பைடு நூலகம்C B．BD C．A1D D．A1A
则 E1，12，0，F12，1，0，G1，0，12. 由此得G→E＝0，12，－12，E→F＝12，－12，0. 设平面 GEF 的法向量为 n＝(x，y，z)． 由 n⊥G→E，n＝F→E可得，
n·G→E＝12y－12z＝0， n·F→E＝12x－12y＝0，
∴ zx＝＝yy，.
令 y＝1，则 x＝1，z＝1，
解析：建立如图所示的空间直角坐标系 D－xyz.设正方体的 棱长为 1.
则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，
E12，12，1， ∴C→E＝12，－12，1， A→C＝(－1,1,0)，B→D＝(－1，－1,0)， A1D＝(－1,0，－1)，A1A＝(0,0，－1)． ∵C→E·B→D＝(－1)×12＋(－1)×－12＋0×1＝0，∴CE⊥BD. 答案：B
(2)平面 AA1B1B 的法向量有：D→A，A→D，C→B，B→C，D→1A1，A→1D1， C→1B1，B→1C1，共 8 个．
课堂探究 互动讲练 类型一 求平面的法向量 [例 1] 已知平面 α 经过三点 A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3， －2,0)，求平面 α 的一个法向量．
【课标要求】 1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明 平行问题和垂直问题. 2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系和垂直关 系.
自主学习 基础认识
|新知预习|
1．平面的法向量 (1)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线 平行或共线 的向量． (2)平面的法向量 直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则 a 叫做平面 α 的法向 量．
【解析】 因为 A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，所以 A→B(1，－2，－4)，A→C＝(2，－4，－3)．
设平面 α 的法向量为 n＝(x，y，z)，
n·A→B＝0， 则有n·A→C＝0，
即x2－x－2y4－y－4z3＝z＝0，0.
得 z＝0，x＝2y，令 y＝1，则 x＝2，所以平面 α 的一个法向 量为 n＝(2,1,0).
2．若 n＝(2，－3,1)是平面 α 的一个法向量，则下列向量中
能作为平面 α 的法向量的是( )
A．(0，－3,1)
B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1)
D．(－2,3，－1)
解析：问题即求与 n 共线的一个向量．即 n＝(2，－3，1) ＝－(－2,3，－1)．
答案：D
3．已知直线 l 与平面 α 垂直，直线 l 的一个方向向量为 u＝ (1，－3，z)，向量 v＝(3，－2,1)与平面 α 平行，则 z 等于( )
3．空间垂直关系的向量表示
(1)线线垂直
设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，a2，a3)，直线 m 的方向向量 为 b＝(b1，b2，b3)，则 l⊥m⇔a·b＝0⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 .
(2)线面垂直
设直线 l 的方向向量是 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量是
u＝(a2，b2，c2)，则 l⊥a⇔a∥u⇔a＝λu⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1
5．如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，分别以长方体的 两个顶点为始点和终点的向量中：
(1)直线 AB 的方向向量有___8_____个； (2)平面 AA1B1B 的法向量有__8______个．
解析：(1)直线 AB 的方向向量有：B→A，A→B，C→D，D→C，B→1A1， A→1B1，C→1D1，D→1C1，共 8 个．
＝λc2(λ∈R)． (3)面面垂直
若平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量 v＝(a2，
b2，c2)，则 α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔ a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
.
|自我尝试|
1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”) (1)直线 l 的方向向量是惟一的( × ) (2)若点 A，B 是平面 α 上的任意两点，n 是平面 α 的法向量， 则A→B·n＝0( √ ) (3)若向量 n1，n2 为平面 α 的法向量，则以这两个向量为方 向向量的两条不重合直线一定平行( √ )
方法归纳 利用待定系数法求法向量的解题步骤
跟踪训练 1 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，棱长为 1，G， E，F 分别为 AA1，AB，BC 的中点，求平面 GEF 的一个法向量．
解析：如图，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 D－xyz.
2．空间平行关系的向量表示
(1)线线平行 设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2， c2)，则 l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． (2)线面平行 设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量为 u＝(a2，b2，c2)，则 l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (3)面面平行 设平面 α，β 的法向量分别为 u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2， c2)，则 α∥β⇔u∥v⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 ⇔a1＝λa2，b1＝λb2， c1＝λc2(λ∈R)．
即平面 GEF 的一个法向量为 n＝(1,1,1).
类型二 用空间向量证明平行问题
[例 2] 已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，E，F 分 别是 BB1，DD1 的中点，求证：
(1)FC1∥平面 ADE； (2)平面 ADE∥平面 B1C1F.
【证明】 如图所示建立空间直角坐标系 D－xyz，
A．3 B．6 C．－9 D．9
解析：∵l⊥α，v 与平面 α 平行， ∴u⊥v，即 u·v＝0， ∴1×3＋3×2＋z×1＝0， ∴z＝－9. 答案：C
4．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，若 E 为 A1C1 的中点，则 直线 CE 垂直于( )
A．பைடு நூலகம்C B．BD C．A1D D．A1A
则 E1，12，0，F12，1，0，G1，0，12. 由此得G→E＝0，12，－12，E→F＝12，－12，0. 设平面 GEF 的法向量为 n＝(x，y，z)． 由 n⊥G→E，n＝F→E可得，
n·G→E＝12y－12z＝0， n·F→E＝12x－12y＝0，
∴ zx＝＝yy，.
令 y＝1，则 x＝1，z＝1，
解析：建立如图所示的空间直角坐标系 D－xyz.设正方体的 棱长为 1.
则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，
E12，12，1， ∴C→E＝12，－12，1， A→C＝(－1,1,0)，B→D＝(－1，－1,0)， A1D＝(－1,0，－1)，A1A＝(0,0，－1)． ∵C→E·B→D＝(－1)×12＋(－1)×－12＋0×1＝0，∴CE⊥BD. 答案：B
(2)平面 AA1B1B 的法向量有：D→A，A→D，C→B，B→C，D→1A1，A→1D1， C→1B1，B→1C1，共 8 个．
课堂探究 互动讲练 类型一 求平面的法向量 [例 1] 已知平面 α 经过三点 A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3， －2,0)，求平面 α 的一个法向量．