2020高考数学微专项训练《数列中的整数解问题》

在数列{an}中，已知 a2＝1，前 n 项和为 Sn，且 Sn＝nan2－a1. (1) 求 a1 的值； 【思维引导】
【解答】 令 n＝1，则 a1＝S1＝1a12－a1＝0.
(2) 证明：数列{an}为等差数列，并写出其通项公式； 【解答】 由 Sn＝nan2－a1，即 Sn＝n2an，① 得 Sn＋1＝n＋12an＋1.② ②－①得(n－1)an＋1＝nan，③
(2) 是否存在正整数 m，k，使得 am，am＋5，ak 成等比数列？若存在，求出 m 和 k 的值；若不存在，请说明理由．
【解答】 am，am＋5，ak成等比数列等价于(2m－1)(2k－1)＝(2m＋9)2，即 2k－1＝22mm＋－912＝2m2－m1－＋1102＝2m－1＋20＋2m10－0 1， 所以 k＝m＋10＋2m5－0 1，m，k 是正整数． 由于m，k是正整数，故2m－1只可能取1,5,25. 当2m－1＝1，即m＝1时，k＝61；
从而 1－ 26<m<1＋ 26，又 m∈N，且 m>1，所以 m＝2，此时 n＝12.
故可知当且仅当 m＝2, n＝12 可使得数列{Tn}中的 T1，Tm，Tn 成等比数列．
方法二：因为6nn＋3＝6＋1 3n<16，故4m2＋m42m＋1<16， 即 2m2－4m－1<0，
从而 1－ 26<m<1＋ 26，以下同方法一．
(2) 利用整除性质：在二元不定方程中，当其中一个变量很好分离时，可分离变量 后利用整除性质解决．
(3) 不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围或等式一边的 范围，再分别求解．如转化为 f (m)＝g(n)型，利用 g(n)的上界或下界来估计 f (m)的范围， 通过解不等式得出 m 的范围，再一一验证即可．
当2m－1＝5，即m＝3时，k＝23； 当2m－1＝25，即m＝13时，k＝25.
所以存在正整数m，k，使得am，am＋5，ak成等比数列，m和k的值分别是m＝1， k＝61或m＝3，k＝23或m＝13，k＝25.
已知数列{an}是各项均不为 0 的等差数列，Sn 为其前 n 项和，且满足 a2n＝S2n－1，令 bn＝an·a1n＋1，数列{bn}的前 n 项和为 Tn.
(1) 求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前 n 项和 Tn； 【思维引导】
【解答】 因为{an}是等差数列，由 a2n＝S2n－1＝a1＋a2n－212n－1＝(2n－1)an， 又因为 an≠0，所以 an＝2n－1. 由 bn＝ana1n＋1＝2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1，
所以 Tn＝121－13＋13－15＋…＋2n1－1－2n1＋1＝2nn＋1.
(2) 是否存在正整数 m，n(1<m<n)，使得 T1，Tm，Tn 成等比数列？若存在，求出所 有的 m，n 的值；若不存在，请说明理由．
【解答】 由(1)知，Tn＝2nn＋1，所以 T1＝13，Tm＝2mm＋1，Tn＝2nn＋1， 若 T1，Tm，Tn 成等比数列，则2mm＋12＝132nn＋1，即4m2＋m42m＋1＝6nn＋3. 方法一：由4m2＋m42m＋1＝6nn＋3，可得3n＝－2m2＋m24m＋1， 所以－2m2＋4m＋1>0，
所以nan＋2＝(n＋1)an＋1.④
③＋④得nan＋2＋nan＝2nan＋1，
即an＋2＋an＝2an＋1.
又a1＝0，a2＝1，a2－a1＝1，
所以数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列，
所以数列{an}的通项公式为n＝n－1.
(3) 设 lg bn＝a3n＋n 1，试问：是否存在正整数 p，q(其中 1＜p＜q)，使得 b1，bp，bq 成 等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，请说明理由．
2. 多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解．通 常的处理方式有两种：
(1) 通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，将不定方程拆成 多个方程的方程组，进而解出变量；
(2) 将一个字母视为变量(其余视为参数)并进行参变分离，求出含变量函数的值域， 进而将参数置于一个范围内，再利用整数的离散性求得参数的值．
【解答】 假设存在正整数数组(p，q)，使得 b1，bp，bq 成等比数列， 则 lg b1，lg bp，lg bq 成等差数列， 所以23pp ＝13＋3qq， 所以 q＝3q23pp －13(☆)， 易知(p，q)＝(2,3)为方程(☆)的一组解．
当 p≥3，且 p∈N*时，23pp＋＋11－23pp ＝23－p＋41p＜0，故数列23pp (p≥3)为递减数列， 于是23pp －13≤2×33 3－13＜0，所以此时方程(☆)无正整数解．
专题六 数列 数列中的整数解问题
已知等差数列{an}的前 n 项和是 Sn，S3＝9，S6＝36. (1) 求数列{an}的通项公式； 【思维引导】
【解答】 设等差数列{an}的公差是 d， 由 S3＝9，S6＝36，得63aa11＋＋135dd＝＝93，6， 解得da＝1＝21，， 所以 an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，即等差数列{an}的通项公式为 an＝2n－1.
综上，存在唯一的正整数数组(p，q)＝(2,3)，使得 b1，bp，bq 成等比数列．
1. 二元不定方程(双变量的不定方程)，在高中阶段主要是求出此类不定方程的整数 解，方法较灵活，常用的三种方法如下：
(1) 因式分解法：先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积，多项式分解为若干 个因式的乘积，再由题意分类讨论求解．