勾股定理及常见题型分类

勾股定理及常见题型分类

一、知识要点：

1勾股定理

2、勾股定理证明方法及勾股树

3、勾股定理逆定理

4、勾股定理常见题型回顾

二、典型题

题型一: “勾股树”及其拓展类型求面

1. 右图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是

直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3 ,则最大正方形 E 的面积是

（）

A.13

B.26

C.47

D.94

2. 如图，直线I上有三个正方形a,b,c,若a,c的边长分别为6和8,求b的面积。

3. 如图，以Rt △ ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系.

4、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是系是（

）

A. S i- S 2= S3

B. S ι+ S2= S3

C. S 2+S3< S1

D. S 2- S 3=S1 S i、S、S3,则它们之间的关

甲乙

图1

5、在直线 上依次摆放着七个正方形（如图 4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是

正放置的四个正方形的面积依次是

题型二：勾股定理与图形问题

1、已知△ ABc 是边长为1的等腰直角三角形， 以Rt △ ABC 的斜边AC 为直角 边，画第二个等腰 Rt △ ACD 再以Rt △ ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个 等腰Rt △ ADE …，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ____________

4.某公司的大门如图所示,其中四边形ABCD 是长方形 ，上部是以AD 为直径的半圆， 其中AE =2.3 m,BC =2m ,现有一辆装满货物的卡车，高为2.5 m ,宽为1.6 m ,问这辆 卡车能否通过公司的大门 ？并说明你的理由

5. 如图是一块地，已知 AD=8m CD=6m ∠ D=90°, AB=26m BC=24m 求这块地的面积。

题型三：在直角三角形中，已知两边求第三边

2.如图，求该四边形的面积 _________________

3.如图2,已知，在△ ABC 中，∠ A = 45 BC 的长为 _______________ . ,AC = 2, AB = .3+1,则边

1、2

、3

,

1在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm, 2cm ,则斜边长为____________________

2、已知直角三角形的两边长为

3、2 ,则另一条边长的平方是________________

3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12,斜边上的高是________________ .

4、在Rt △ ABC中，∠ C=90°

①若a=5, b=12 ,贝U C= ________ ；

②若a=15, c=25 ,则b= _________ ;

③若c=61, b=60,则a=__________ ;

④若 a : b=3 : 4, c=10 贝U Rt △ ABC的面积是= ____ 。

5、如果直角三角形的两直角边长分别为n2-1, 2n （n>1）,那么它的斜边长是（）

A、2n B

、

2

n+1 C n —1D、n21

6、已知Rt △ ABC

中，

∠ C=90°,若a+b=14cm, c=10cm,则Rt △ ABC的面积是（)

A、24 cm2

B

、

2 2

36 Cm C 48 cm D 60 cm2

7、已知X、y为正数，且丨χ2-4 I + （y2-3 ）2=0,如果以X、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）

A、5

B、25

C、7

D、15

题型四：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高

1、如图1所示，等腰—丄一'■中，4 二「，丄：是底边上的高，若.1∙ f「：，求①AD 的长；②Δ ABC的面积.

题型五：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题

1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）

A. 4 , 5, 6

B.2 , 3, 4

C. 11 , 12, 13

D. 8 , 15, 17

2、若线段a, b, C组成直角三角形，则它们的比为（）

A、2 : 3 : 4

B、3 : 4 : 6 C 、5 : 12 ：13 D 、4 : 6 : 7

3、下面的三角形

中:

①厶ABC 中，∠ C=∠ A—∠ B;

②厶ABC

中，∠ A:∠ B:∠ C=1: 2 : 3;

③厶ABC

中，

a：b: c=3: 4：5;

2、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸

（单位：mr）计算两圆孔中心A和B的距离为1

)

v*r V I

I

门、，B

C -◎-0

:0

V

T—4U I I

第5题图7

④厶ABC中，三边长分别为8, 15, 17 . 其中是直角三角形的个数有（）.

A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个

4、已知a, b, C ABC三边，且满足（a2—b2）（a 2+b2- c2）= 0,则它的形状为（）

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

题型六：应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题

1、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中亠丄 -米，_二二，_「；,因某种活动要求铺设红

色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为__________________ .

题型七、利用列方程求线段的长（方程思想）

1、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后, 发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗?

（7

60