高中数学新教材必修一第四章《指数函数与对数函数》全套课件

4. (a b)2 a b(a b).
学习新知 探究:
分数指数幂
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 (a 0),
12
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4 (a 0).
0的正分数指数 幂等于0,0 的负 分数指数幂没有 意义.
2
33 aa22 a 3 (a 0),
1
)3
=36+9－7－5=33
巩固练习 3.化简或求值：
1
1
1
1
(3)求值： (1 2 16 )(1 2 8 )(1 2 4 )(1 2 2 )
1
1
1
1
解： (1 2 16 )(1 2 8 )(1 2 4 )(1 2 2 )
1
1
1
1
1
(1 2 16 )(1 2 16 )(1 2 8 )(1 2 4 )(1 2 2 )
巩固练习
1. 已知 9a2－6a+1=3a－1, 求 a 取值范围.
a1 3
巩固练习
2.设 10m=2, 10n=3,求 10-2m－10-n的值
1 12
巩固练习 3.化简或求值：
1
(1)0.00814
3
(4 4
)2
(2
4
2) 3
160.75
解：
1
0.00814
3
(4 4
)2
(2
4
2) 3
160.75
当 n 为奇数时
2n (a b)n n (a b)n 2(a b) (a b) 3a b
巩固练习
4
1
练习5 : 化简
a 3 8a 3b
2
2
4b 3 2 3 ab a 3
(1 2 3
b ) a
3
a.
4
1
1
1
1
解:
a 3 8a3b
2
2
4b 3 2 3 ab a 3
(1 2 3
(1)aras ars (a 0, r, s R) (2)(ar )s ars (a 0, r, s R) (3)(ab)r arbr (a 0, b 0, r R)
1、利用分数指 数幂进行根式 运算时，其顺 序是先把根式 化为分数指数 幂,然后用运算 性质进行计算。
典型例题
例3.求值：
2
8 3 ＝4
1
25 2
1
5
16
3
4
ห้องสมุดไป่ตู้
27
81 8
1 5 ＝32 2
典型例题
例4.：计算下列各式（式中字母都是正数）
1.
2 1
1 1
1 5
2a 3 b 2 6a 2 b 3 3a 6 b 6
4a
m n 2.
1 3 8 m4n 8
2 3
典型例题 例5.：化简下列各式
b ) 3 a
a
a3 (a 8b)
2
11
2
4b 3 2a 3b3 a 3
a3
2b3
1
a3
1
a3
11
1
1
a 3[(a 3 )3
2
1
(2b
1
3
)3 ]
2
•
a3
1
1
1 •a3
4b 3 2a3b3 a 3 a3 2b3
11
1
2
11
2
1
a3[(a3 ) (2b3 )](4b3
2
11
2a 3b 3
2、计算结果不 强求用什么形 式来表示，但 结果不能同时 含有根号和分 数指数幂，也 不能同时存在 分式和负分数
4.1指数与指数幂的运算(2)
复习 整数指数幂
根式 两个等式
分数指数幂 有理数指数幂 无理数指数幂
(1)aras ars (a 0, r, s R) (2)(ar )s ars (a 0, r, s R) (3)(ab)r arbr (a 0, b 0, r R)
证明：设 pa3 qb3 rc3 ＝k,
1
则(
pa2
qb2
rc2 )3
＝
(
k a
k b
k
)
1 3
c
k
1 3
(
1
a
1 b
1
)
1 3
c
1
k3
1
p3
1
q3
1
r3
＝
(
k a3
)
1 3
+
(
k b3
1
)3
+
(
k c3
1
)3
＝
k
1 3
(
1 a
1 b
1 c
)
k
1 3
1
1
1
1
( pa2 qb2 rc2 )3 p3 q3 r 3
学习新知
无理指数幂
探究:
在前面的学习中，我们已经把指数由正整 数推广到了有理数，那么，能不能继续推广 到实数范围呢？
a＞0，p是一个无理数时，ap的值就可以用两个指数为p的不足近似值和过剩近 似值构成的有理数列无限逼近而得到(这个近似结果的极限值就等于ap)，故ap是一 个确定的实数.而且有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂也适用.这样指数的 概念就扩充到了整个实数范围.
1、利用分数指 数幂进行根式 运算时，其顺 序是先把根式 化为分数指数 幂,然后用运算 性质进行计算。
2、计算结果不 强求用什么形 式来表示，但 结果不能同时 含有根号和分 数指数幂，也 不能同时存在 分式和负分数 指数幂。
典型例题
例 1.已知 2x+2-x=a,求下列各式的值.
(1) 2x－2-x
=(0.34)
1 4
+4
3 2
+
1 4
(2 22 ) 3
(24
)
3 4
=0.3+ 1 + 1 1 =0.55 848
巩固练习 3.化简或求值：
2
(2)2163
(1)2
1
3433
(
1
1
)3
3
125
解：
2
216 3
(1)2
1
3433
(
1
1
)3
3
125
2
= (63 )3
(31)2
1
(73)3
(53
1 3
典型例题
例题 2.将根式化成分数指数式的形式.
1 (x 0) (1) 3 x ( 5 x2 )2
3
(1) x 5
(2) ab3 ab5 (a 0,b 0)
3 11
(2) a 4b 4
6（ 8a3 ）4 (3) 125b3
(3) 4 a2b2 25
巩固练习
1.化简：
a3
5 b3 3 , (a 0,b 0)
5 b2
4 a3
1
1
解：原式＝
a3
2
b5
2
3
b5
3
a4
3
31
=
a2
1
b5
1
5
= a4
b5 a4
a4 a
巩固练习
2.求 5－2 6的平方根
解：因为 5－2 6＝ ( 3 2)2 所以 5－2 6的平方根是 ( 3 2)
典型例题
例 3.求使等式 (a 3)(a2 9) (3 a) a 3 成立的实数 a 的取值范围
2
a
2 3
8
a3
1
4
41
2
a3 a a a3 a3 (a 3 )2 a 3
3.若x
2 3
4
，求x.
1
8
巩固练习
4.已知 a<b<0,n>1,n∈N*, 化简：2n (a－b)n+n (a+b)n
解：当 n 为偶数时
2n (a b)n n (a b)n 2 | a b | | a b | b 3a
5.
(a)n b
an bn
(b
0).
另外，我们规定： a0 1(a 0);
an
1 an
.
学习新知 根式
次方根 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n
，其中n＞1，且n∈N*.
xn a
x n a ; (当n是奇数)
x n a. (当n是偶数,且a＞0)
让我们认识一下这个式子:
根指数
根式
na
a3 a2
3 1
a2
7
a2;
a2 3
a2
2
a2 a3
2 2
a 3
8
a3;
11
41
2
a 3 a (a a3 )2 (a3 )2 a3.
方法总结
1.根指数化为分数指数的分母，被 开方数(式)的指数化为分数指数的分 子． 2.在具体计算时，通常会把根式转 化成分数指数幂的形式，然后利用 有理数指数幂的运算性质解题．
1. 3 25 125 4 25
1
56 5
2. a2 (a 0) a 3 a2
5
a6
方法总结 分数指数幂的运算技巧
1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式 统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中 的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.
2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结 果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母 又含有负指数.
(1)aras ars (a 0, r, s Q) (2)(ar )s ars (a 0, r, s Q) (3)(ab)r arbr (a 0,b 0, r Q)
典型例题
例2 用分数指数幂表示下列各式(其中a>0).
a3 a, a2 3 a2 , a 3 a .
解：
a3
a
1
＝
1
1 2 16
1 21
＝
1
1 2 16
课堂小结
xn a
x n a ; (当n是奇数)
x n a. (当n是偶数,且a＞0)
a, (当n为奇数)
n
an
|
a
|
a, a a,
a
0,0.(当n为偶数)
4.1指数与指数幂的运算(2)
复习 整数指数幂
根式 两个等式
分数指数幂 有理数指数幂 无理数指数幂
1
bb b2 (b 0),
44
cc55
c
5 4
(c
0).
我们规定正数的正分数指数幂的意义是 :
m
a n n am (a 0, m, n N*,且n 1).
正数的负分数指数幂的意义是 :
m
a n
1
m
a 0, m, n N*,且n 1
an
学习新知
整数指数幂的运算性质对于有理指 数幂也同样适用,即对于任意有理数r， s，均有下面的运算性质：
巩固练习
3
3
1.
1
已知 x2
1
x2
3, 求
x2 x2
x 2 3 x2 2
的值.
解：因为
1
x2
1
x2
1
3,(x 2
x
1 2
)2
9
x x1 2 9 , x x1 7
同理 x2 x2 47
所以
3
x2
3
x2
1
(x2
x
1 2
)(
x
1
x
1
)
18
3
3
所以
x2 x2
x2 x 2
3 2
＝
15 45
(2) 4x+4-x
x
x
(3) 22 2 2
（1）解：因为 2x 2x a 0, (2x 2x )2 a2
所以 22x 22x 2 a2
所以 (2x 2x )2 22x 22x 2 a2 4
所以 2x 2x a2 4
（2）同理， 4x 4x a2 2
x
x
（3） 22 2 2 a 2
解： (a 3)(a2 9) (a 3)2(a 3)
| 3 a | a 3 (3 a) a 3
3 a 0
所以 a 3 0 解得－3≤a≤3
例
4.已知：
pa3
qb3
rc3 ,
且
1 a
1 c
1 b
1
1
1
1
1
求证： ( pa2 qb2 rc2 )3 p3 q3 r 3
典型例题
a, (当n为奇数)
n
an
| a |
a, a a,
a
0, (当n为偶数 0.
)
例1 求下列各式的值
1. 3 (8)3 ;
2. (10)2 ;
4 (3 )4 ;
3.
(a b)2 (a b).
4.
解：
1. 3 (8)3 8;
2. (10)2 | 10 |10;
3. 4 (3 )4 | 3 | 3;
3.进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根 式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的 顺序．
4.在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开 方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
5.对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂 的形式表示．
巩固练习
练习1:比较 5, 3 11, 6 123的大小.
2
a3 )
•
a3
1
1
1 • a3
4b 3 2a 3b3 a 3
a 3 2b3
1
1
1
a3 • a3 • a3 a.
课堂小结
1、利用分数指
整数指数幂
根式
两个等式 数幂进行根式
运算时，其顺
序是先把根式
化为分数指数
分数指数幂 有理数指数幂 无理数指数幂
幂的运算性质 进行计算。
(1)aras ars (a 0, r, s R) (2)(ar )s ars (a 0, r, s R) (3)(ab)r arbr (a 0, b 0, r R)
解 : 5 6 53 6 125, 3 11 6 112 6 121, 又 121 123 125, 6 121 6 123 6 125. 所以 5 6 123 3 11.
巩固练习
2.用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0）
a2 3 a2
a3 a
解：a2 3
a2
a2
a
2
3
被开方数
由n次方根的意义，可得(n a)n a
学习新知
探究:
a a a n如果n表不示一a定n的成n立次,那方么根,等式
一定成立吗? n
等于什么?
n
n an
a, (当n为奇数)
n
an
| a |
a, a a,
a
0, (当n为偶数 0.
)
n次方根的性质
（1）当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的 n次方根是一个负数. （2）当n是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个 数互为相反数。 （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0.
（新教材）第四章 指数函 数与对数函数
全套课件