第四章哈肯的半经典激光理论

Cb
=
1 i
Vba e − iωt Ca
=
1 i
Eθba e − iωt Ca
∫ p = ψ *(−qr)ψ d 3r
ψ
(r,
t
)
=
Ca
(t
)e−
φ iωat a
(r
)
+
φ C e−iωbt
b
b
(r)
p
=
−{Ca
θ C e* −iωt
b
ba
+
CbCa*eiωtθ ab }
p = p(+) + p(−)
极化强度 偶极矩
Pλ (t) = Pλ(+) (t) + Pλ(−) (t) Pλ (+) (t) = Pλ (+) (t)e−iΩλt = Aλ′ (t)e−iΩλt Pλ (−) (t) = Pλ (−) (t)eiΩλt = Aλ′* (t)eiΩλt
α μ = αμ e−iΩλt
应用旋转波近似，得到
p(+) = −α (t)θba p(−) = −α * (t)θab
α (t) = CaCb*e−iωt α * (t) = CbCa*eiωt
α (t) = −iωα
−1 i
E (t )θ ab d
d = Ca 2 − Cb 2
考虑泵浦 和衰减
d
=
2 i
E(t)(θabα *
− αθba )
α (t) = −iωα
第四章 哈肯的半经典激光理论
4.1 麦克斯韦方程与场方程
麦克斯韦方程组
∇iD = 0
其中
∇iB = 0
∇×E = − ∂B
∂t
∇×H = J + ∂D
∂t
JG JG JG
D= JG
ε
0
E+ JJG
P
电位移矢量
B JG
=
μ0JGH
J =σE
磁感应强度 电流密度
场方程
JG ΔE
−
1 c2
JG ∂2 E ∂t 2
相互作用哈密顿量 V =−p•E
p = er = − e r = −qr GG
H = H0 + qr • E
薛定谔方程
i ψ = Hψ
GG H = H0 + qr • E
ψ
(r,
t)
=
Ca
(t )e −iωatφa
(r)
+
φ C e−iωbt
b
b
(r)
可以得到
Ca
=
1 i
Vab eiωt Cb
Cb
ρab + i
V −1 ab
(ρaa
−
ρbb )
ρaa − ρbb = −γ [(ρaa − ρbb ) − (ρaa − ρbb )0 ] − 2(i
ρ V −1 ab ba
+
c.c.)
Vab = −μab E = θab E
麦克斯韦－布洛赫方程
ΔE
(
x, t )
−
1 c2
E (
x,t )
−
−
μ0σ
JG ∂E ∂t
=
μ0
JG ∂2 P ∂t 2
,
Δ = ∇2 = ∂2 + ∂2 + ∂2 ∂x2 ∂y2 ∂z2
对于非线性介质 如飞秒激光与空气相互作用的非线性薛定谔方程：
Phys. Rev. Lett. 92, 225002 (2004).
麦克斯韦方程的应用
4.2 光学布洛赫方程的简明推导
本征态 φa φb
φa
ωa
能量本征值 ωa ωb
φb
ωb
原子跃迁角频率
ω = (Ea − Eb ) / = ωa − ωb
波函数
ψ
(r,
t)
=
Ca
(t )e −iωatφa
(r)
+
φ C e−iωbt
b
b
(r)
光与原子作用的总哈密顿量
自由哈密顿量
φa φb 正交归一
H = H0 +V
H0φa = =ωaφa H0φb = =ωbφb
Ωλ 2 Eλ (+) + Eλ(+) + (σ / ε 0 )Eλ (+) = (−1/ ε 0 )Pλ (+)
( ) ∑ αμ =
−iωμ − γ ⊥
αμ
−
1 i=
dμ
λ
Eλ (+) (t)uλ (xμ )θab
( ) ∑ ∑ dμ = −γ&
dμ − d0
+
2 i=
⎜⎝⎛α
* μ
λ
Eλ (+) (t)uλ (xμ )θab − αμ
=
1 i
Vba e − iωt Ca
∫ ∫ ∫ Vab = φa*Vφbd 3r = φa*qrEφbd 3r = E φa*qrφbd 3r = Eθab ∫ θab = φa*qrφbd 3r = qrab = −erab = −μab
Ca
=
1 i
Vab eiωt Cb
=
1 i
Eθ ab eiωt Cb
Ωλ2Eλ + Eλ + (σ / ε0 )Eλ = (−1/ ε0 )Pλ
( ) ∑ αμ =
−iωμ − γ ⊥
αμ
−
1 i=
dμ
λ
Eλ (t)uλ (xμ )θab
( ) ( )∑ dμ = −γ&
dμ − d0
+
2 i=
θ
abα
* μ
− αμθba
Eλ (t)uλ (xμ )
λ
ΔE
(
x, t )
−
1 c2
E (
x,t )
−
μ0σ
E
(
x, t )
=
μ0 P (
x,t ),
( ) ( ) αμ =
−iωμ − γ ⊥
αμ
−
1 i=
E
xμ , t
θabdμ ,
( ) ( )( ) dμ = −γ&
dμ − d0
+
2 i=
E
xμ , t
θabα
* μ
− αμθba
,
其中，引入腔模
kλ
=
Ωλ c
再利用慢变振幅近似和旋转波近似对其进行简化
光场
Eλ (t) = Eλ(+) (t) + Eλ(−) (t)
Eλ (+) (t) = Eλ (+) (t)e−iΩλt = Aλ (t)e−iΩλt Eλ (−) (t) = Eλ (−) (t)eiΩλt = Aλ* (t)eiΩλt
μ0σ
E
(
x, t )
=
μ0P( x,t ),
( ) ( ) αμ =
−iωμ − γ ⊥
αμ
−
1 i=
E
xμ , t
θabdμ ,
( ) ( )( ) dμ = −γ&
dμ − d0
+
2 i=
E
xμ , t
θabα
* μ
− αμθba
,
4.3 谐振腔中的麦克斯韦布洛赫方程
麦克斯韦－布洛赫方程
− γ ⊥α
−1 i
E (t )θ ab d
d
= −γ
(d
−
d
0
)
+
2 i
E(t)(θabα * − αθba )
考虑泵浦 和衰减
α (t)
=
−iωα
− γ ⊥α
−1 i
E (t )θ ab d
d
=
−γ
(d
− d0) +
2 i
E(t)(θabα *
− αθba )
光学布洛赫方程(3.4)
( ) ρab = − iω + γ ⊥
对光场和极化强度按照驻波模式展开
一维驻波 驻波模式满足
E ( x,t ) = ∑ Eλ (t)uλ (x) λ
P ( x,tn(kλ x)
Nn =
2 L
∫ uλ′ (x)uλ (x)dx = δλ′λ
将光场和极化强度按照驻波模式的展开式代入M-B方程