武汉市武珞路中学数学轴对称解答题中考真题汇编[解析版]

武汉市武珞路中学数学轴对称解答题中考真题汇编[解析版]

一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）

1．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，45C ∠=︒，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=︒，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．

（1）求边AD 的长；

（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．

【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜

103)；（2）1769

或32 【解析】

【分析】

（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度，从而得出HB 的长，进而得出AD 的长；

（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ 、PR 的长，然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；

（3）存在2种情况，一种是点P 在梯形内，一种是在梯形外，分别根y 的值求出x 的值，然后根据梯形面积求解即可．

【详解】

（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H

∵∠C=45°，DH ⊥BC

∴△DHC 是等腰直角三角形

∵四边形ABCD 是梯形，∠B=90°

∴四边形ABHD 是矩形，∴DH=AB=8

∴HC=8

∴BH=BC －HC=6

∴AD=6

（2）如下图，过点P 作EF 的垂线，交EF 于点Q ，反向延长交BC 于点R ，DH 与EF 交于点G

∵EF ∥AD,∴EF ∥BC

∴∠EFP=∠C=45°

∵EP ⊥PF

∴△EPF 是等腰直角三角形

同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形

∵AE=x

∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x

∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=()162

x + 同理，PR=

12y ∵AB=8，∴EB=8－x

∵EB=QR

∴8－x=

()11622

x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103

当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值

则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1

∴1≤x ＜103

（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=

83=AE

∴188176662339

ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：

与（2）相同，可得y=3x －10

则当y=2时，x=4，即AE=4

∴()16644322

ABCD S =

⨯++⨯=梯形 【点睛】

本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．

2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （2，3），点B （﹣2，1）．

（1）请运用所学数学知识构造图形求出AB 的长；

（2）若Rt △ABC 中，点C 在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C 后不用计算写出你能写出的点C 的坐标；

（3）在x 轴上是否存在点P ，使PA =PB 且PA +PB 最小？若存在，就求出点P 的坐标；若不存在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）．

【答案】（1）AB=52）C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）；（3）不存在这样的点P．

【解析】

【分析】

（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB；

（2）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可；

（3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案．

【详解】

解：（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，

由已知可得，BD=4，AD=2．∴在Rt△ABD中，AB=5

（2）如图，①以A为直角顶点，过A作l1⊥AB交x轴于C1，交y轴于C2．

②以B为直角顶点，过B作l2⊥AB交x轴于C3，交y轴于C4．

③以C为直角顶点，以AB为直径作圆交坐标轴于C5、C6、C7．（用三角板画找出也可）由图可知，C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）．

（3）不存在这样的点P．

作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，

作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，

由图可以看出两线交于第一象限．

∴不存在这样的点P．

【点睛】

本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题．

3．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点.

(1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ∆，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标；

(2)如图2，若点A 的坐标为()

23,0-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ∆.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式2253m n +-化，请说明理由；

(3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ∆，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.