弹性力学总结

弹性力学关于应力变分法问题

一、起源及发展

1687年，Newton 在《自然哲学的数学原理》中提出第一个变分问题——定轴转动阻力最小的旋转曲面形状问题； 1696年，Bernoulli 提出了著名的最速降线问题；到18世纪，经过Euler ，Lagrange 等人的努力，逐渐形成变分法。 古典变分法的基本容是确定泛函的极值和极值点，它为许多数学、物理、科技、工程问题提供了强有力地数学工具。现代理论证明，微分方程（组）中的变分法是把微分方程（组）化归为其对应泛函的临界点（即化为变分问题），以证明其解的存在性及解的个数。讨论对应泛函临界点的存在性及其个数的基本方法是Morse 理论与极小极论（Minimax Theory ）。变分法有着深刻的物理背景，某种意义上，自然界一切物质运动均可以用某种形式的数理方程表示，一般数理方程又与一定的泛函相对应，所以一切物质运动规律都遵从“变分原理”。

由于弹性力学变分解法，实质上就是数学中的变分法应用于解弹性力学问题，虽然在讨论的近似解法中使用变分计算均甚简单（类似微分），但“变分”的概念却极为重要，它关系到我们队一系列力学变分原理中“虚”的概念的建立与理解。以下，就应力变分法进行讨论。

二、定义及应用

（1）、应力变分方程

设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡。命ij σ为实际存在的应变分量，它们满足平衡微分方程和应力边界条件，也满足相容方程，其相应的位移还满足位移边界条件。现在，假想体力和应变边界条件上给定的面力不变而应力分量发

生了微小的改变ij δσ，即所谓虚应力或应力的变分，使应力分量成为ij ij δσσ+ 假定他们只满足平衡微分方程和应力边界条件。

既然两组应力分量都满足同样体力和面力作用下的平衡微分方程和应力边界条件，应力分量的变化必然满足无体力时的平衡微分方程。即

0,0,0x xy zx y yz xy z zx yz x y z y z x z x y δσδτδτδσδτδτδσδτδτ⎫∂∂∂

++=⎪∂∂∂⎪

⎪∂∂∂

++=⎬∂∂∂⎪

⎪∂∂∂

++=⎪∂∂∂⎭。 （a ） 在位移给定的边界上，应力分量的变分必然伴随着面力分量的变分

x y z f f f δδδ、、。

根据应力边界条件的要求，应力分量的变分在边界上必须满足

,,x xy zx x y yz xy y z zx yz z l m n f m n l f n l m f δσδτδτδδσδτδτδδσδτδτδ⎫

++=⎪⎪

++=⎬⎪

++=⎪⎭。 （b ）

则应变余能的变分应为

(

)c

c

C c x x

yz

v v V v dxdydz dxdydz δδδσστ∂∂=⎰⎰⎰=⎰⎰⎰++

+∂∂。 x x c v εσ=∂∂，y y c v

εσ=∂∂，z z c v εσ=∂∂ yz yz c v γτ=∂∂，zx zx c v γτ=∂∂，xy xy

c v

γτ=∂∂

将上式代入，得

()C x x yz yz V dxdydz δεδσγδτ=⎰⎰⎰+

++。

再将几何方程代入，得

[()]C x yz u

w v

V dxdydz x

y z

δδσδτ∂∂∂=⎰⎰⎰+

+++∂∂∂。

根据分部积分和奥—高公式，对上式右边进行处理：

(),x x x u dxdydz lu dS u dxdydz x x

δσδσδσ∂∂

⎰⎰⎰

=⎰⎰-⎰⎰⎰∂∂ 最后可得

[()][()]c x xy zx x xy zx V u l m n dS u dxdydz x y z

δδδτδτδσδτδτ=⎰⎰+++-

∂∂∂

⎰⎰⎰+++

∂∂∂。

再将（a ）、（b ）代入，即得 =()c x y z V u f v f w f dS δδ

δδ⎰⎰++。

这就是所谓应力变分方程，有的文献把它叫做卡斯蒂利亚诺变分方程。 最小余能原理：

c ()0x y z V u f v f w f dS δδδδ-⎰⎰++=。

上式也可以改写为：

[()]0c x y z V u f v f w f dS δ-⎰⎰++=。

（2）、应力变分法

由推到出的应力变分方程，使其满足平衡方程和应力边界条件，但其中包含若干待定系数，然后根据应力变分方程解决这些系数，应力分量一般可设为：

()()

m

m

ij m ij ij A ∑+=σσσ0 （c ）

其中m A 是互不依赖的m 个系数，

()0ij σ 是满足平衡微分方程和应力边界条件的设定函数，()m ij σ是满足“没有体力和面力作用时的平衡微分方程和应力边界条件”的设定函数。这样，不论系数A m 如何取值，()0ij σ总能满足平衡微分方程和应力边界条件。

注意：应力的变分只是由系数Am 的变分来实现 。

如果在弹性体的每一部分边界上，不是面力被给定，便是位移等于零，则应力变分方程 得0=c v δ， 即：

0=∂∂m

c

A V （d ）

应变余能c V 是m A 的二次函数 ，因而方程（d ）将是Am 的一次方程 。这样的方程共有m 个，恰好可以用来求解系数，Am 从而由表达式（c ）求得应力分量。

如果在某一部分边界上，位移是给定的，但并不等于零，则在这一部分边界上须直接应用变分方程（11-18），即

()c x y z V u f v f w f dS δδδδ=⎰⎰++。

在这里，u 、v 、w 是已知的，积分只包括该部分边界，面力的变分与应力的变分两者之间的关系即：

,,x xy zx x y yz xy y z xz yz z f l m n f m n l f n l m δδσδτδτδδσδτδτδδσδτδτ⎫

=++⎪⎪

=++⎬

⎪

=++⎪⎭。

带入方程的右边积分后，将得出如下的结果：

()m m x y z m u f v f w f dS B A δδδδ⎰⎰++=∑。

其中Bm 是常数，另一方面，我们有：

*

c =m m m U V A A δδ∂∂∑。

因而得：

(1,2,)c

m m

V B m A ∂==∂。

这将仍然是m A 的一次方程而且总共有m 个 ，仍然可以用来求解系数m A ，从而由表达式（c ）求得应力。

（3）、应力函数方法

由于应力分量的数量有点多，确定起来较为困难，通常用应力函数方法。 在平面应力问题中，如果体力分量为常数，则存在应力函数。将应力函数设为：

0,m m

m

A Φ=Φ+

Φ

∑

其中m A 为互不依赖的m 个系数。 这样就只需使0Φ给出的应力分量满足实际的应力边界条件，并使m Φ给出的应力分量满足无面力时的应力边界条件。