第三量子力学初步优秀课件
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周世勋量子力学课件第三章
2 2 2 2
2
2
所谓一维运动就是指在某一方向上的运动。
（二）一维无限深势阱
0, V ( x)
| x | a | x | a
V(x)
I
II
III
-a
l l l l l
0
a
求解步骤： （1）列出各势域的一维Schrö dinger 方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 （4）定归一化系数
d2 2 I ( x ) 2 (V E ) I ( x ) 0 x a 2 dx 2 d2 2 II ( x ) 2 E II ( x ) 0 a x a 2 dx 2 d2 2 III ( x ) 2 (V E ) III ( x ) 0 xa 2 dx
1 ( n 2 ) 2 a
( 2 n1) 2 2 2 8 a 2
综合 I 、II 2 2 2 m Em 2 8a
I
结果，最后得：
III
0
对应 m = 2 n
2
设：V ( x, y, z ) V1 ( x) V2 ( y ) V3 ( z )
令： ( x, y, z) X ( x)Y ( y)Z ( z)
2 2 V ( x , y , z ) ( x , y , z ) E ( x , y , z ) 2
（3）如果在空间反射下， ( r , t ) (r , t )
则波函数没有确定的宇称。
（四）讨论 １） 定态波函数为
n ( x, t ) n ( x)e
i Ent
0
x a
2
2
所谓一维运动就是指在某一方向上的运动。
（二）一维无限深势阱
0, V ( x)
| x | a | x | a
V(x)
I
II
III
-a
l l l l l
0
a
求解步骤： （1）列出各势域的一维Schrö dinger 方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 （4）定归一化系数
d2 2 I ( x ) 2 (V E ) I ( x ) 0 x a 2 dx 2 d2 2 II ( x ) 2 E II ( x ) 0 a x a 2 dx 2 d2 2 III ( x ) 2 (V E ) III ( x ) 0 xa 2 dx
1 ( n 2 ) 2 a
( 2 n1) 2 2 2 8 a 2
综合 I 、II 2 2 2 m Em 2 8a
I
结果，最后得：
III
0
对应 m = 2 n
2
设：V ( x, y, z ) V1 ( x) V2 ( y ) V3 ( z )
令： ( x, y, z) X ( x)Y ( y)Z ( z)
2 2 V ( x , y , z ) ( x , y , z ) E ( x , y , z ) 2
（3）如果在空间反射下， ( r , t ) (r , t )
则波函数没有确定的宇称。
（四）讨论 １） 定态波函数为
n ( x, t ) n ( x)e
i Ent
0
x a
第三章量子力学精品PPT课件
1、只能计算氢原子和类氢离子的光谱线的 频率，对于多于一个电子的氦原子, 理论完 全不适 用，且不能计算谱线的强度。
困
难
2、角动量量子化条件
h
p n 2
无理论根据。
3、轨道的概念不正确。
• 1、理论内在的不统一，不是自洽的。一方 面提出了与经典理论完全矛盾的假设。
另一方面又认为经典理论（牛顿定律，
库仑定律）适用。所以不是一贯的量子
原
理论，也不是一贯的经典理论，而是量
子论 + 经典理论的混合物。
因
• 2、没有抓住微观粒子的根本特性：波粒 二象性，仍然把微观粒子看作经典理 论 中的质点。
第三章 量子力学初步
思维世界的发展,从某种意义上说, 就是对“惊奇”的不断摆脱。
—爱因斯坦
• §3.1 物质的二象性 • §3.2 测不准关系 • §3.3 波函数及其物理意义 • §3.4 薛定谔波动方程 • §3.5 量子力学的几个简例 • §3.6 量子力学对氢原子的描述
4、电子波动性的实验验证
目 的 证明电子具有波动性
（1）电子波长的估计
原 理
12.25 A
V
（2）衍射波具有极大值
的条件
2dSinn 戴威逊—革末实验装置示意图
可用实验检验的公式：
v n12.5 2dsin
nk
在镍单晶上的衍射实验结果
实验中和d不变， =800 ， d=2.03（镍单晶）
• q 缝宽:坐标的不确定量;α衍射 角;p 动量的不确定量; p q =h
q α0
p P
用电子衍射说明不确定关系
电子经过缝时的位置
不确定 xb.
x
一级最小衍射角
量子力学讲义 第三章 3.5、3.6、3.7、3.8
ˆ |2 d | F
0
可把常数记为Fn，把状态 记为ψn，于是得：
（2）力学量的本征方程
若体系处于一种特殊状态， 在此状态下测量F所得结果 是唯一确定的，即：
(F) 0
2
则称这种 状态为力 学量 F 的 本征态。
ˆ F ) (F 0 或 ˆ 常 数 F
ˆ n Fn n F
m m m
m
ˆm )*nd Fm m *nd (F
二式相 减 得：
(Fm Fn ) m *nd 0
若Fm≠Fn， 则必有：
ˆm )*nd m * F (F ˆnd Fn m *nd
（2）分立谱、连续谱正交归一表示式
1. 分立谱正 交归一条 件分别为： 3. 正交归一系
Ylm ( ,) Nlm Pl (cos ) eim
m
构成正交归 一函数系
0
2
0
* Ylm ( ,)Ylm ( ,)sindd ll
ˆ 的本征函数 （4）氢原子能量算符H
nlm (r, ,) Rnl (r)Ylm (,) 组成正交归一函数系
i 1
方程的归一化条件有 f 个，正交条 件有f(f-1)/2 个，所以共有独立方 程数为二者之和等于 f(f+1)/2 。
Fn A jini
i 1
nj
* nj ji A j i ni * ni d jj
构成正交归一系
m(x) n(x)dx mn
ˆ z 的本征函数 （2）角动量分量算符 L
1 i m m() e (m 0, 1, 2, ) 2
量子力学初步课件
第8页/共56页
即 上式舍去了n=0和n为负值的情况
(4.2.5) 这个结果表明，粒子在无限高势垒中的能量是量子化的。又由归一化条件
第9页/共56页
(4.2.6) 由上面的计算，可以看到量子力学解题的一些特点。在解定态薛定谔方程的 过程中，根据边界条件自然地得出了能量量子化的特性(4.2.5)，En是体系的 能量本征值，相应的波函数ψn是能量本征函数。在一维无限高势垒间粒子运
氢原子中的电子就是在三维库仑势阱中运动， 不过“阱壁”不是直立的，而是按-1/r分布。近来， 人们设计制作了一种具有“量子阱”的半导体器 件，它具有介观(介于宏观与微观)尺寸的势阱， 阱宽约在10nm上下。这种材料具有若干特性，已 用于制造半导体激光器、光电检测器、双稳态器 件等。
第12页/共56页
2, 1
,n 1 , l
Yl,m l,mml,m BPl m (cos )
第40页/共56页
总之，对微观角动量，
L可ˆ2以同L时ˆ z测得确定值。
Lˆ2
Lˆ 的本征值是
，
的本征值是
。 这个结论，不但
与经典力学不同，与玻尔理论也有根本性的z差异，玻尔理论曾给出氢原子
。在量子力学中存在l=0。即L=0的状态，与玻尔概念是相矛盾的。L=0意 味 着 轨 道 将 通 过 原 子 核 。 量 子 力 学 中 l 的 上 限 是 n-1 ， 而 玻 尔 理 论 中 ， 可等于n。实验结果表明，量子力学结果是正确
E i , p i t
并使经典能量关系式两边作用于波函数，就得到薛定谔方程量子力学 中的力学量，大部分以算符的形式出现
第33页/共56页
动能算符可由动量算符得到。因动能 故有
在势场中，一个粒子的动能与势能函数之和叫哈密顿量，记为H，H=T+V由此
即 上式舍去了n=0和n为负值的情况
(4.2.5) 这个结果表明，粒子在无限高势垒中的能量是量子化的。又由归一化条件
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(4.2.6) 由上面的计算，可以看到量子力学解题的一些特点。在解定态薛定谔方程的 过程中，根据边界条件自然地得出了能量量子化的特性(4.2.5)，En是体系的 能量本征值，相应的波函数ψn是能量本征函数。在一维无限高势垒间粒子运
氢原子中的电子就是在三维库仑势阱中运动， 不过“阱壁”不是直立的，而是按-1/r分布。近来， 人们设计制作了一种具有“量子阱”的半导体器 件，它具有介观(介于宏观与微观)尺寸的势阱， 阱宽约在10nm上下。这种材料具有若干特性，已 用于制造半导体激光器、光电检测器、双稳态器 件等。
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2, 1
,n 1 , l
Yl,m l,mml,m BPl m (cos )
第40页/共56页
总之，对微观角动量，
L可ˆ2以同L时ˆ z测得确定值。
Lˆ2
Lˆ 的本征值是
，
的本征值是
。 这个结论，不但
与经典力学不同，与玻尔理论也有根本性的z差异，玻尔理论曾给出氢原子
。在量子力学中存在l=0。即L=0的状态，与玻尔概念是相矛盾的。L=0意 味 着 轨 道 将 通 过 原 子 核 。 量 子 力 学 中 l 的 上 限 是 n-1 ， 而 玻 尔 理 论 中 ， 可等于n。实验结果表明，量子力学结果是正确
E i , p i t
并使经典能量关系式两边作用于波函数，就得到薛定谔方程量子力学 中的力学量，大部分以算符的形式出现
第33页/共56页
动能算符可由动量算符得到。因动能 故有
在势场中，一个粒子的动能与势能函数之和叫哈密顿量，记为H，H=T+V由此
量子力学ppt课件
To see a world in a grain of sand and a heaven in a wild flower Hold infinite in the palm of your hand and eternity in an hour.
一粒沙里有一个世界 一朵花里有一个天堂 把无穷无尽握于手掌 永恒宁非是刹那时光 (荷兰，乌仑贝克，1925年电子自旋发现者）
一． 黑体辐射问题
黑体：一个物体能全部吸收辐射在它上面的电磁波而无反 射。 热辐射：任何物体都有热辐射。 当黑体的辐射与周围物体处于平衡状态时的能量分布：
热力学+特殊假设→维恩公式, (长波部分不一致). 经典电动力学+统计物理学→瑞利金斯公式（短波部分完 全不一致） 二．光电效应
光照在金属上有电子从金属上逸出的现象，这种电子叫光 电子。光电效应的规律： （1）存在临界频率 ； （2）光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关，光 频率越高，光电子能量越大，光强只影响光电子数目。光 强越大，光电子数目越多。
1921诺贝尔物理学奖
• A.爱因斯坦 • 对现代物理方面的
贡献，特别是阐明 光电效应的定律
二、爱因斯坦光量子理论
爱因斯坦在普朗克能量子论基础上进一步提出光量 子（或光子）的概念。辐射场是由光量子组成的，光 具有粒子特性，既有能量，又有动量。
光是以光速 c 运动的微粒流，称为光量子（光子）
光子的能量 h 说明光具有微粒性
m m0
1
v2 c2
h
n
c
h 0
c
n0
X
mv
0
2h m0c
sin2
2
康普顿散射公式
c
h m0c
一粒沙里有一个世界 一朵花里有一个天堂 把无穷无尽握于手掌 永恒宁非是刹那时光 (荷兰，乌仑贝克，1925年电子自旋发现者）
一． 黑体辐射问题
黑体：一个物体能全部吸收辐射在它上面的电磁波而无反 射。 热辐射：任何物体都有热辐射。 当黑体的辐射与周围物体处于平衡状态时的能量分布：
热力学+特殊假设→维恩公式, (长波部分不一致). 经典电动力学+统计物理学→瑞利金斯公式（短波部分完 全不一致） 二．光电效应
光照在金属上有电子从金属上逸出的现象，这种电子叫光 电子。光电效应的规律： （1）存在临界频率 ； （2）光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关，光 频率越高，光电子能量越大，光强只影响光电子数目。光 强越大，光电子数目越多。
1921诺贝尔物理学奖
• A.爱因斯坦 • 对现代物理方面的
贡献，特别是阐明 光电效应的定律
二、爱因斯坦光量子理论
爱因斯坦在普朗克能量子论基础上进一步提出光量 子（或光子）的概念。辐射场是由光量子组成的，光 具有粒子特性，既有能量，又有动量。
光是以光速 c 运动的微粒流，称为光量子（光子）
光子的能量 h 说明光具有微粒性
m m0
1
v2 c2
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n
c
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c
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X
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2h m0c
sin2
2
康普顿散射公式
c
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第三章 量子力学初步ppt课件
――自由粒子的波函数，描写动量为 p 、能量为E
的自由粒子。 经典力学 位置和速度
量子力学 波函数
波函数体现了波粒二象性，其中的E和 p 是描写粒子性
的物理量，却处在一个描写波的函数中。
.
二、波函数的统计解释
干涉图像的出现体现了 微观粒子的共同特性，而且 它并不是由微观粒子相互作 用产生的而是个别微观粒子 属性的集体贡献
微观粒子和光子一样，在一定的条件下显示出波 动 性。具有一定能量E和一定动量p的自由粒子，相当于具有 一定频率和一定波长的平面波，二者之间的关系为：
p h Eh ----德布罗意关系式。
与实物粒子相应的波称为德布罗意波或物质波，称为德 布罗意波长。
德布罗意关系式还可以写成
E
p
hn
k
式中，2：角频率；n ：传播方向上的单位矢量
就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有
确定的值。
x0
xpxh/2
.
px
二、不确定关系 1927年，海森堡首先推导出不确定关系：
xpx/2 ypy/2 zpz/2
p/2 Et/2
.
三、讨论 1．不确定关系只适用于微观粒子
例1： 设电子与 m0.01kg的子弹均沿x方向运动， x5，0m0/s 精 确度为 0.01，%求测定x 坐标所能达到的最大准确度。
.
(4)戴维孙－革末实验
1927年，戴维逊和革末，电子衍射实验，测量了电 子波的波长，证实了德布罗意假设。
1．实验装置
.
2．实验结果
(1)当U不变时，I与的 关系如图
不同的，I不同；在有 的上将出现极值。
(2)当不变时，I与U的 关系如图
当U改变时，I亦变；而 且随了U周期性的变化
量子力学课件
量子力学彭斌地址：微固楼211电话：83201475Email: bpeng@引言牛顿力学质点运动牛顿力学（F、p、a）22dtvdmmaF==牛顿力学成功应用到从天体到地上各种尺度的力学客体的运动中。
引言牛顿力学热力学●统计物理Ludwig Boltzmann Willard Gibbs引言牛顿力学热力学●统计力学 电动力学电磁现象——Maxwell方程组¾统一电磁理论¾光─> 电磁波1600170018001900时间t力学电磁学热学物理世界（力、光、电磁、热…）经典热力学（加上统计力学）经典电动力学（Maxwell 方程组）经典力学（牛顿力学）迈克尔逊－莫雷实验黑体辐射动力学理论断言，热和光都是运动的方式。
但现在这一理论的优美性和明晰性却被两朵乌云遮蔽，显得黯然失色了……——开尔文（1900年）引言什么是量子力学？什么是量子力学？——研究微观实物粒子（原子、电子等）运动变化规律的一门科学。
相对论量子力学量子电动力学量子场论高能物理相对论力学经典电动力学V~C量子力学（非相对论）经典力学v<<C微观宏观量子力学的重要应用量子力学的重要应用¾自从量子力学诞生以来，它的发展和应用一直广泛深刻地影响、促进和促发人类物质文明的大飞跃。
¾百年（1901－2002）来总颁发Nobel Prize 97次单就物理奖而言：——直接由量子理论得奖25次——直接由量子理论得奖＋与量子理论密切相关而得奖57次¾量子力学成为整个近代物理学的共同理论基础。
在原理和基础方面，仍然存在着至今尚未完全理解、物理学家普遍的困惑的根本性问题。
在原理和基础方面，仍然存在着至今尚未完全理解、物理学家普遍的困惑的根本性问题。
任何能思考量子力学而又没有被搞得头晕目眩的人都没有真正理解量子力学"Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it." -Niels Bohr 任何能思考量子力学而又没有被搞得头晕目眩的人都没有真正理解量子力学"Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it."-Niels Bohr 我想我可以相当有把握地说，没有人理解量子力学。
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用玻耳兹曼分布律计算的能量平均值为
nhexp(-nh) n0 exp(-nhk)T
ehh/kT1
n0
kT
普朗克假说不仅圆满地解释了绝对黑体的辐射问题， 还解释了固体的比热问题等等。它成为近代理论的 重要组成部分。
2.光电效应
一、光的波粒二象性
红限问题 瞬时性问题
1 2
mvm2
h
A
—光电效应方程
迈克尔逊—莫雷实验 狭义相对论 黑体辐射 量子理论
量子理论的提出 从1900年开始 普朗克
爱因斯坦
薛定谔、海森堡、狄拉克 德布罗意 到20世纪30年代，建立了完整的量子力学理论
基本粒子→宇宙星体、宇宙的形成
3.1 波粒二象性
一、光的波粒二象性
1.黑体辐射 普朗克能量子假定 实验表明：一切物体都以电磁波的形式向外辐射能量。
A V
3.光的波粒二象性
h
p h
粒子性：能量 ，动量P 波动性：波长 ，频率
3.1 波粒二象性
二、实物粒子的波粒二象性
德布罗意假设
微观粒子和光子一样，在一定的条件下显示出波 动性。具有一
定能量 E 和一定动量 p 的自由粒子，相当于具有一定频率 和一定
波长 的平面波，二者之间的关系为：
E
p
定义： 概率密度——时刻t，在点（x,y,z)
Ψ
2
Ψ Ψ
附近单位体积内发现粒 子的概率
概率幅——波函数Ψ 称为概率幅(概率波幅)
4.概率波与概率幅
描述粒子的波函数是否可以用机械波函数的形式？
从经典物理到现代物理概述
物理学
关
键 概
力学
念
的
发
展
经典物理
力学 热学 电磁学 光学
近代物理 电磁学
相对论 相对论 量子论
量子论
热学
原子物理学
时间 t
1600 1700
1800
1900
物理学的发展
到19世纪末，经典物理已经建立了比较
经 完整的理论体系，并取得了极大的成功。 典
物 力学： 牛顿定律
理 热力学： 建立了系统的理论
“干涉”、“衍射”、“偏振”、“可叠加性”
3.2波函数及其物理意义
2. 电子双缝衍射现象
1
S•
DP
2
• 一束电子入射
跟光的衍射现象相同
• 电子一个一个入射
跟一束电子入射现象相同
3 波函数的物理意义
困扰人们2年的问题
是不是电子之间的干涉？ 波包？
波恩的解释：
单个电子的去向是概率性的。
概率是多少？
明纹处： →光子、电子到达的数量多 →粒子到达该处的概率大
学
统计物理对热现象的研究已建立
的
在微观元过程的基础之上
完 电磁学： 完备的麦克斯韦方程组 善
光学：统一于电磁学
英 开尔文：“物质世界的规律已呈现出一幅完美清晰的画 面，后辈人只需增加有效数字，对现有的科学大厦做修修补补 的工作。”但他有一点担心：“物理学晴朗的天空中有两朵小 小的乌云——黑体辐射和迈克尔逊—莫雷实验。
德布罗意波长 h h
p λ＝1.67×10－10 m
me v
二、实物粒子的波粒二象性 • 电子通过多晶薄膜的衍射实验
1927年汤姆逊 1937年诺贝尔奖 • 电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验 1961年约恩逊
L. de Broglie (1892-1987)
The Nobel Prize in Physics 1929
h
n
k
式中，2：角频率；n ：传播方向上的单位矢量
k
2
n
：波矢量
2h 1.0541 50 3 8J 48 s
粒子的德布罗意波长： h h p m
二、实物粒子的波粒二象性
刘翔的波动性
h6.63 10 348.29 10 28 nm
p 80 kg后的德布罗意波长
M
8 2
c2
kT
“紫外灾难（发散）”
M
普朗克公式（猜、凑）
M 8c3heh/k3T1
h= 6.6260755×10 -34 J·s
在全波段与实验结果符合！
紫外灾难 瑞利－金斯线
普朗克线 实验曲线
维恩线
m
一、光的波粒二象性
振子只能一份一份地按不连续方式辐射或吸收能量
E = nh n＝0,1,2,3，…
for his discovery of the wave nature of electrons
3.2波函数及其物理意义
德布罗意波的本质是什么？
一. 关于粒子的波粒二象性 1. 经典物理中的粒子和波
粒子： “原子性”或“整体性”，确定的位置、速度、运动 轨迹
波： 某种实在的物理量的空间分布在作周期性的变化
单色辐出度M — 辐射能量按波长的分布
M(,T)dm d(,T)
单位时间、单位表面积、 上所辐射出的，单位频率 间隔中的能量。
实验表明辐射能力越强的物体，吸收能力也越强
黑体：能完全吸收各种波长电磁波而无反射
维恩设计的黑体
一、光的波粒二象性
维恩公式（经典热力学） M 3e/T
瑞利－金斯公式（经典电磁学）
第三量子力学初步
第三章 量子力学初步
玻尔的原子理论很好的解释了氢原子光谱、类氢离子光谱 仪及碱金属原子光谱的实验事实，但是这个理论还是半经 典半量子的理论。
玻尔理论的困难，迫使新一代物理学家努力寻找更完整、 更准确、应用面更为广泛的原子理论。一门描述原子的 崭新理论——量子力学在1924-1928年诞生了！
λ1和λ2各是多少？ 电子动能
1 mv2 eU
v 2e U
2
m
h h h 1 1.23 nm 1 0.123nm
p mv 2em U U
2 0.0123nm
考虑相对论效应
E E0 EK h
p eU
EK eU E0 m0c2 h
E2 p2c2 m02c4
(2m0c2 eU ) / c2 0.0127 nm
二、实物粒子的波粒二象性
三、德布罗意假设的实验验证
1927年，戴维逊和革末，用电子束垂直投射到镍单晶，电子 束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解 释，从而验证了物质波的存在。
电子枪
U K
D
电子束
镍单晶
探 测 器 50
B
G
54 V U d d2.1 51 0 10 m
dsin 1.651010 m
→波动性的本质：粒子在空间出现的概率性，概率波
电子运动的轨迹？
以几率形式存在于空间中，并没有确定的轨道！
4.概率波与概率幅
概率是多少？ 两个启示
•光强和振幅 光强是振幅的平方
•几率和光强
I A2
明纹处： 几率大→电子的数量多→光强大
粒子到达该处的概率→光的强度→概率波的强度
（与经典波类比）
也应与波函数中振幅平方成正比