函数的奇偶性与周期性试题及答案

函数的奇偶性与周期性试题

课时分层训练

A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)

一、填空题

1．在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是________．

2．函数y ＝log 2

1＋x

1－x

的图象关于________对称．(填序号) ①原点；②y 轴；③y ＝－x ；④y ＝x .

3．定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝2x －x 2，则f (－1)＋f (0)＋f (3)＝________.

4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝________.

5．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________.

6．函数f (x )＝(x ＋2)(x ＋a )x 是奇函数，则实数a ＝________.

7．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >1

2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x －12，则f (6)＝________.

8．若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0

－52＋f (2)＝

________.

9．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是________.

10．函数y ＝1－sin x

x 4＋x 2＋1

(x ∈R )的最大值与最小值之和为________．

二、解答题

11．若f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (x )＋g (x )＝1

x 2－x ＋1，

求f (x )的表达式．

12．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x

4x ＋1

.

(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式.

B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)

1．已知函数f (x )在定义域[2－a,3]上是偶函数，在[0,3]上单调递减，并且 f ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－m 2－a 5>f (－m 2＋2m －2)，则m 的取值范围是________．

2．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎨⎧

ax ＋1，－1≤x ＜0，

bx ＋2

x ＋1，0≤x ≤1，

其

中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

32，则a ＋3b 的值为________．

3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

－x 2＋2x ，x ＞0，

0，x ＝0，

x 2＋mx ，x ＜0

是奇函数，

(1)求实数m 的值；

(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．

4．已知f (x )是偶函数，定义x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧

x (3－x )，0≤x ≤3，

(x －3)(a －x )，x >3.

(1)求f (－2)；

(2)当x <－3时，求f (x )的解析式；

(3)设函数f (x )在区间[－5,5]上的最大值为g (a )，试求g (a )的表达式．

函数的奇偶性与周期性试题答案

课时分层训练

A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)

一、填空题

1．在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是________．

2 [y ＝x cos x 是奇函数，y ＝lg x 2－2和y ＝x sin x 是偶函数，y ＝e x ＋x 2是非奇非偶函数．] 2．函数y ＝log 2

1＋x

1－x

的图象关于________对称．(填序号) ①原点；②y 轴；③y ＝－x ；④y ＝x . ① [由1＋x 1－x ＞0得－1＜x ＜1，

即函数定义域为(－1,1)， 又f (－x )＝log 2

1－x 1＋x ＝－log 21＋x

1－x ＝－f (x )， ∴函数y ＝log 2

1＋x

1－x

为奇函数．] 3．定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝2x －x 2，则f (－1)＋f (0)＋f (3)＝________.

－2 [∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，f (0)＝0. 又x >0时，f (x )＝2x －x 2，

∴f (－1)＋f (0)＋f (3)＝－f (1)＋0＋f (3)＝－2＋1＋0＋8－9＝－2.]

4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝________.

－2 [∵f (x ＋4)＝f (x )，

∴f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)．

又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2， 即f (2 019)＝－2.]

5．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________.

－－x －1 [∵f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1，