北工大数值分析课件34页PPT
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北京工业大学：数据结构与算法分析教学课件第六章树和二叉树
17
插入类
InitBiTree(&T); Assign(T, &e, value); CreateBiTree(&T, definition); InsertChild(T, p, LR, c);
18
删除类
ClearBiTree(&T); DestroyBiTree(&T); DeleteChild(T, p, LR);
42
中（根）序的遍历算法：
若二叉树为空树，则空操作；否则， （1）中序遍历左子树； （2）访问根结点； （3）中序遍历右子树。
43
后（根）序的遍历算法：
若二叉树为空树，则空操作；否则， （1）后序遍历左子树； （2）后序遍历右子树； （3）访问根结点。
44
三、算法的递归描述
void preorder (BiTree T,
章树和二叉树
1
6.1 树的类型定义 6.2 二叉树的类型定义
6.3 二叉树的存储结构 6.4 二叉树的遍历
6.5 线索二叉树 6.6 树和森林的表示方法
6.7 树和森林的遍历 6.8 哈夫曼树与哈夫曼编码
2
6.1 树的类型定义
3
数据对象 D：
D是具有相同特性的数据元素的集合。
数据关系 R：
若D为空集，则称为空树； 否则: (1) 在D中存在唯一的称为根的数据元素root, (2) 当n>1时，其余结点可分为m (m>0)个互
48
void CountLeaf (BiTree T, int& count){ if ( T ) { if ((!T->lchild)&& (!T->rchild)) count++; // 对叶子结点计数 CountLeaf( T->lchild, count); CountLeaf( T->rchild, count); } // if
插入类
InitBiTree(&T); Assign(T, &e, value); CreateBiTree(&T, definition); InsertChild(T, p, LR, c);
18
删除类
ClearBiTree(&T); DestroyBiTree(&T); DeleteChild(T, p, LR);
42
中（根）序的遍历算法：
若二叉树为空树，则空操作；否则， （1）中序遍历左子树； （2）访问根结点； （3）中序遍历右子树。
43
后（根）序的遍历算法：
若二叉树为空树，则空操作；否则， （1）后序遍历左子树； （2）后序遍历右子树； （3）访问根结点。
44
三、算法的递归描述
void preorder (BiTree T,
章树和二叉树
1
6.1 树的类型定义 6.2 二叉树的类型定义
6.3 二叉树的存储结构 6.4 二叉树的遍历
6.5 线索二叉树 6.6 树和森林的表示方法
6.7 树和森林的遍历 6.8 哈夫曼树与哈夫曼编码
2
6.1 树的类型定义
3
数据对象 D：
D是具有相同特性的数据元素的集合。
数据关系 R：
若D为空集，则称为空树； 否则: (1) 在D中存在唯一的称为根的数据元素root, (2) 当n>1时，其余结点可分为m (m>0)个互
48
void CountLeaf (BiTree T, int& count){ if ( T ) { if ((!T->lchild)&& (!T->rchild)) count++; // 对叶子结点计数 CountLeaf( T->lchild, count); CountLeaf( T->rchild, count); } // if
数值分析课件
辛普森方法
一种基于矩形法思想的数值积分方法 ，适用于计算定积分。
自适应辛普森方法
一种基于辛普森方法和梯形法的自适 应数值积分方法，能够根据函数性质 自动选择合适的积分策略。
常微分方程的数值求解
01
欧拉方法
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过逐步逼近的方式求解近 似解。
02
龙格-库塔方法
定积分是函数在区间上积分和的极限；不定积分是函数在 某个区间上的原函数。
02
应用领域
积分广泛应用于物理、工程、经济等领域，如求曲线下面 积、求解变速直线运动位移等。
03
数值计算方法
使用数值积分方法（如梯形法、辛普森法等）来近似计算 定积分和不定积分的值。这些方法将积分区间划分为若干 个小段，并使用已知的函数值和导数值来近似计算每个小 段的积分值，最后求和得到积分的近似值。
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过构造龙格-库塔曲线来 逼近解。
03
阿达姆斯-图灵 方法
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过构造阿达姆斯-图灵曲 线来逼近解。
04
自适应步长控制 方法
一种基于欧拉方法和龙格 -库塔方法的自适应步长 控制方法，能够根据误差 自动调整步长。
偏微分方程的数值求解
高斯消元法的步骤
1. 将方程组按照行进行排列，并将每个方程中的未知数 按照列排列。
2. 对于每个方程，选取一个未知数作为主元，并将其余 的未知数用主元表示。
3. 将主元所在的行与其他行进行交换，使得主元位于对 角线上。
4. 将主元所在的列中位于主元下方的元素消为0，从而得 到一个阶梯形矩阵。
线性方程组的解法
数值分析是一种工具，它可以帮助我 们更好地理解和解决实际问题，同时 也可以帮助我们更好地理解和应用数 学理论。
北工大数值分析课件
定义：迭代法是通过不断迭代逼 近方程的解的方法。
SOR方法（Successive OverRelaxation Method）：在雅可比 法基础上引入松弛因子，以加速迭 代收敛速度。
优缺点：计算量较小，但需要合 适的初值和参数设置，否则可能 不收敛或收敛到非解。
矩阵分解：LU分解和QR分解
定义
矩阵分解是将一个复 杂的矩阵分解为几个 简单的、易于处理的 矩阵。
步骤
将增广矩阵通过行变换化为阶 梯形矩阵，然后回代求解未知
数。
适用范围
适用于系数矩阵是方阵且系数 矩阵或增广矩阵有唯一解的情
况。
优缺点
方法简单易懂，但对方阵来说 计算量较大，且容易出错。
迭代法：雅可比法和SOR方法
雅可比法：利用前一步的解作为 下一次迭代的初值，通过迭代逐 步逼近方程的解。
适用范围：适用于系数矩阵是稀 疏矩阵或系数矩阵有唯一解的情 况。
04 插值与拟合
多项式插值
定义
多项式插值是根据已知的离散数 据点，构造一个多项式来逼近或
插值这些数据点的方法。
常用方法
拉格朗日插值、牛顿插值、样条插 值等。
应用
在数值分析、数学建模、数据拟合 等领域有广泛应用。
样条插值
定义
样条插值是一种通过样条函数来 逼近或插值数据点的方法。样条 函数是一种分段定义的函数，在 每一段上具有连续的一阶和二阶
改善数值稳定性。
迭代法基础
迭代法原理
迭代法是通过不断迭代来 逼近真实解的一种方法。
迭代法的收敛性
迭代法是否收敛以及收敛 速度的快慢是评价迭代法 好坏的重要指标。
常见的迭代法
如雅可比迭代法、高斯-赛 德尔迭代法、松弛法等。
数值分析PPT教案
和收敛性。
遗传算法
模拟生物进化过程的优 化算法，适用于多变量、 非线性、离散的最优化
问题。
数值积分和微分的方法
01
02
03
04
矩形法
将积分区间划分为若干个小的 矩形区域，每个矩形区域上的 函数值乘以宽度然后相加。
梯形法
将积分区间划分为若干个小的 梯形区域，每个梯形区域上的 函数值乘以宽度然后相加。
理解和应用能力。
培养创新思维和解决问题的能力
03
学生应该培养创新思维和解决问题的能力，以便在未来的学习
和工作中更好地应对挑战。
THANK YOU
感谢聆听
误差累积效应
误差的来源和传播
初始误差放大 误差传递规律
误差的度量和控制
绝对误差和 相对误差
误差的估计 和容忍度
提高数据精 度
选择合适的 算法和数值 方法
控制误差的 方法
迭代收敛性 和稳定性分 析
方法的稳定性和收敛性
方法的稳定性 不受初始条件和舍入误差的影响
对输入数据的变化具有稳健性
方法的稳定性和收敛性
课程目标
02
01
03
掌握数值分析的基本概念、原理和方法。
能够运用数值分析方法解决实际问题，提高计算能力 和数学素养。
培养创新思维和实践能力，为后续学习和工作奠定基 础。
02
数值分析基础
数值分析的定义和重要性
数值分析的定义
数值分析是一门研究数值计算方法及其应用的学科，旨在解决各 种数学问题，如微积分、线性代数、微分方程等。
电子工程
在电子工程中，数值分析用于 模拟电路的行为和性能。通过 电磁场理论和数值方法，可以 优化电路设计和性能，提高电 子设备的效率和稳定性。
遗传算法
模拟生物进化过程的优 化算法，适用于多变量、 非线性、离散的最优化
问题。
数值积分和微分的方法
01
02
03
04
矩形法
将积分区间划分为若干个小的 矩形区域，每个矩形区域上的 函数值乘以宽度然后相加。
梯形法
将积分区间划分为若干个小的 梯形区域，每个梯形区域上的 函数值乘以宽度然后相加。
理解和应用能力。
培养创新思维和解决问题的能力
03
学生应该培养创新思维和解决问题的能力，以便在未来的学习
和工作中更好地应对挑战。
THANK YOU
感谢聆听
误差累积效应
误差的来源和传播
初始误差放大 误差传递规律
误差的度量和控制
绝对误差和 相对误差
误差的估计 和容忍度
提高数据精 度
选择合适的 算法和数值 方法
控制误差的 方法
迭代收敛性 和稳定性分 析
方法的稳定性和收敛性
方法的稳定性 不受初始条件和舍入误差的影响
对输入数据的变化具有稳健性
方法的稳定性和收敛性
课程目标
02
01
03
掌握数值分析的基本概念、原理和方法。
能够运用数值分析方法解决实际问题，提高计算能力 和数学素养。
培养创新思维和实践能力，为后续学习和工作奠定基 础。
02
数值分析基础
数值分析的定义和重要性
数值分析的定义
数值分析是一门研究数值计算方法及其应用的学科，旨在解决各 种数学问题，如微积分、线性代数、微分方程等。
电子工程
在电子工程中，数值分析用于 模拟电路的行为和性能。通过 电磁场理论和数值方法，可以 优化电路设计和性能，提高电 子设备的效率和稳定性。
数值分析ppt课件
数值积分与微分
数值积分
通过数值方法近似计算定积 分，如梯形法则、辛普森法 则等。
数值微分
通过数值方法近似计算函数 的导数，如差分法、中心差 分法等。
常微分方程的数值解法
通过数值方法求解常微分方 程，如欧拉方法、龙格-库塔 方法等。
03
数值分析的稳定性与误差分析
误差的来源与分类
模型误差
由于数学模型本身的近 似性和简化，与真实系
非线性代数方法
非线性方程组的求解
通过迭代法、直接法等求解非线性方程组，如牛顿法、拟牛顿法 等。
非线性最小二乘问题
通过迭代法、直接法等求解非线性最小二乘问题，如GaussNewton方法、Levenberg-Marquardt方法等。
多项式插值与逼近
通过多项式插值与逼近方法对函数进行近似，如拉格朗日插值、 样条插值等。
机器学习与数值分析的交叉研究
机器学习算法
利用数值分析方法优化和改进机器学 习模型的训练和预测过程，提高模型 的准确性和效率。
数据驱动的模型
通过数值分析方法处理大规模数据集 ，提取有用的特征和模式，为机器学 习模型提供更好的输入和输出。
大数据与数值分析的结合
大数据处理
利用数值分析方法处理和分析大规模数 据集，挖掘其中的规律、趋势和关联信 息。
数值分析PPT课件
contents
目录
• 引言 • 数值分析的基本方法 • 数值分析的稳定性与误差分析 • 数值分析的优化方法 • 数值分析的未来发展与挑战
01
引言
数值分析的定义
数值分析
数值分析是一门研究数值计算方法及 其应用的学科，旨在解决各种数学问 题，如微积分、线性代数、微分方程 等。
数值分析全册完整课件
似算法的收敛性和数值稳定性； 要有好的计算复杂性，节省时间及存储量； 有数值实验，证明算法有效。
算法基本结构：顺序，分支，循环
算法描述：程序或流程图
常采用的处理方法：
构造性方法 离散化方法 递推化方法 迭代法 近似替代方法 以直代曲法 化整为零的处理方法 外推法
数学基础：
微积分的若干定理： 罗尔定理和微分中值定理； 介值定理及推论； 泰勒公式（一元、二元）； 积分中值定理；
设y=f(x)为一元函数，自变量准确值x*，对应函数准确 值y*=f(x*)，x误差为e(x)，误差限为ε(x)，函数近似值 误差e(y)，误差限为ε(y)。则（可由Taylor公式推得）
( y) | f '(x) | (x)
r
(
y)
|
xf |f
'(x) (x) |
|
r
(
x)
对于多元函数 z f (x1, x2 ,, xn )
定义1.1 设x*为某一数据的准确值，x为x*的一个近 似值，称e(x)=x-x*(近似值－准确值)为近似值x的绝对 误差，简称误差。
e(x) 可正可负，当e(x) >0时近似值偏大，叫强近似值；当e(x) <0时近似值偏小，叫弱近似值。
由于x*通常无法确定，只能估计其绝对误差值 不超过某整数ε(x)，即
设准确值
z* f (x1*, x2*,, xn* )
由多元函数Taylor公式，可得误差估计：
n
(z)
k 1
f xk
(xk )
相对误差限为：
r (z)
n k 1
xk
f xk
r (xk )
z
2. 算术运算的误差估计：
算法基本结构：顺序，分支，循环
算法描述：程序或流程图
常采用的处理方法：
构造性方法 离散化方法 递推化方法 迭代法 近似替代方法 以直代曲法 化整为零的处理方法 外推法
数学基础：
微积分的若干定理： 罗尔定理和微分中值定理； 介值定理及推论； 泰勒公式（一元、二元）； 积分中值定理；
设y=f(x)为一元函数，自变量准确值x*，对应函数准确 值y*=f(x*)，x误差为e(x)，误差限为ε(x)，函数近似值 误差e(y)，误差限为ε(y)。则（可由Taylor公式推得）
( y) | f '(x) | (x)
r
(
y)
|
xf |f
'(x) (x) |
|
r
(
x)
对于多元函数 z f (x1, x2 ,, xn )
定义1.1 设x*为某一数据的准确值，x为x*的一个近 似值，称e(x)=x-x*(近似值－准确值)为近似值x的绝对 误差，简称误差。
e(x) 可正可负，当e(x) >0时近似值偏大，叫强近似值；当e(x) <0时近似值偏小，叫弱近似值。
由于x*通常无法确定，只能估计其绝对误差值 不超过某整数ε(x)，即
设准确值
z* f (x1*, x2*,, xn* )
由多元函数Taylor公式，可得误差估计：
n
(z)
k 1
f xk
(xk )
相对误差限为：
r (z)
n k 1
xk
f xk
r (xk )
z
2. 算术运算的误差估计：
数值分析第一章
(3) 有好的计算复杂性：
节省时间（时间复杂性）和计算机存储空间 （空间复杂性）
(4) 要有数值实验。
通过数值实验证明是有效的.
研究的内容 1 非线性方程与方程组的数值方法；(第2、5章)
2 线性方程组的数值方法；(第3、4章)
3 插值与数值逼近；(第6、7章) 4 数值积分与数值微分；(第8章) 5 微分方程的数值解法. (第9章) 6 特征值与特征向量的计算. (第10章)
f ( x ) tan( x ) 1 2 f ( x ) 1 tan ( x) 2 cos ( x ) x * f ( x*) 1 Cp x* tan( x*) f ( x*) tan( x*)
1 | x x | 10m n , 2
称 x 有n位有效数字.
例：按四舍五入原则将下列各数保留到5位有 效数字：187.9325, 0.03785551, 8.000033. 解：
187.9325 187.93 0.03785551 0.037856 8.000033 8.0000
1 10 ( n1) 2(a1 1)
(a1 1) 10
1 10m n 2
m 1
所以 x 至少具有n位有效数字.
定理１说明有效数字越多，相对误差限越小. 例 要使 20 的近似值的相对误差限小于0.1% 要取几位有效数字？ 解 假设取n位有效数字，由定理1可知
从而 即
x 0.5 x x 0.5,
70 0.5 x 70 0.5, x [69.5,70.5].
或
设某量的准确值为x, x 是x的近似值， 定义： * er 为 x 的相对误差，若 e 为 x 的绝对误差，
数值分析 PPT课件
n1
(
x
)
这里 （a,b）且依赖于 x。
第12页/共51页
第13页/共51页
定理表明： (1) 插值误差与节点和点 x 之间的距离有关, 节点距离 x 越近, 插值误差一般情况下越小。 (2) 若被插值函数 f(x) 本身就是不超过 n 次的多项式, 则有 f(x)≡g(x)。
第14页/共51页
y1
)
(
(y y1
y0 )( y y0 )( y1
y2 )( y y y2 )( y1
3) y3
)
f
1 ( y2 )
( y y0 )( y y1 )( y y3 ) ( y2 y0 )( y2 y1 )( y2 y3 )
f
1
(
y3
)
(
(y y3
y0 )( y y0 )( y3
定理2 设 f (n)( x) 在 [a,b] 上连续，f (n1)( x) 在 (a,b) 内存在，节点
a x0 x1 xn b, Ln( x) 是满足拉格朗日插值条件的多项式，则 对任何 x [a,b], 插值余项
Rn ( x)
f ( x) Ln( x)
f ( (n1) )
(n 1)!
2.1 引言
许多实际问题都用函数 y=f(x) 来表示某种内在规 律的数量关系。若已知 f(x) 在某个区间 [a,b] 上存在、 连续，但只能给出 [a,b] 上一系列点的函数值表时，或 者函数有解析表达式，但计算过于复杂、使用不方便只 给出函数值表（如三角函数表、对数表等）时，为了研 究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值。 因此我们希望根据给定的函数表做一个既能 反映函数 f(x) 的特性，又便于计算的简单函数 P(x)，用 P(x) 近 似 f(x)。这就引出了插值问题。
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多要的通情 过况例•，子我，注们学不习重知使道用各准各确种章值数值x节。方法所解决研实际究计算算问题法。 的提出，掌握方法的基本原理和思 想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合。 使参加运算的数字精度应尽量保持一致，否则那些较高精度的量的精度没有太大意义。
要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。 3、要防止“大数”吃掉小数
近似代替，则数的值截方断法误差是泰。勒余项
4、舍入误差 计算机只能处理有限数位的小数运算，初始参
数或中间结果都必须进行四舍五入运算，这种误差称为舍入 误差。
例 如 ： 3.1用 41近 59似 代 ，替 产 生 的 误 差 R3.141 509.0000 026
研究生公共课程数学系列
机动 上页 下页 首页 结束
• 考试方式：
•
笔试（70分闭卷）+实验（30分）
• 任课教师：熊 焱（辽宁科技大学 理学院 ）
研究生公共课程数学系列
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第1章数值分析与 科学计算引论
内容提要： 1.1 数值分析研究对象、作用与特点 1.2 数值计算的误差 1.3 误差定性分析与避免误差危害
研究生公共课程数学系列
本课程内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法， 必须掌握这几门课程的基础内容才能学好这门课程。
研究生公共课程数学系列
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三、数值分析的特点
• 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。
• 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算 法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。这些 都是建立在数学理论的基础上，因此不应片面的将数值分析 理解为各种数值方法的简单罗列和堆积。
要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。 3、要防止“大数”吃掉小数
近似代替，则数的值截方断法误差是泰。勒余项
4、舍入误差 计算机只能处理有限数位的小数运算，初始参
数或中间结果都必须进行四舍五入运算，这种误差称为舍入 误差。
例 如 ： 3.1用 41近 59似 代 ，替 产 生 的 误 差 R3.141 509.0000 026
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• 考试方式：
•
笔试（70分闭卷）+实验（30分）
• 任课教师：熊 焱（辽宁科技大学 理学院 ）
研究生公共课程数学系列
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第1章数值分析与 科学计算引论
内容提要： 1.1 数值分析研究对象、作用与特点 1.2 数值计算的误差 1.3 误差定性分析与避免误差危害
研究生公共课程数学系列
本课程内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法， 必须掌握这几门课程的基础内容才能学好这门课程。
研究生公共课程数学系列
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三、数值分析的特点
• 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。
• 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算 法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。这些 都是建立在数学理论的基础上，因此不应片面的将数值分析 理解为各种数值方法的简单罗列和堆积。
数值分析PPT
A为待定系数，利用导数条件 P3'(x1) m1 ，求出A， 但求出的 P3(x)通常为3次多项式，
一般情况下 P3(x) 也有可能为二次多项式，
原来方法更加准确。
（2）求余项: R(x)=f(x)－P3(x)
易知: x0, x2是R(x)的一重零点，x1 为R(x)的二重零点,
∴ R(x)可写为
多项式，则对任何 x a,b 有:
Rn (x)
f (n1) ( ) (n 1)!
Wn
1
(
x)
n
其中 Wn1(x) (x xi ), (a,b) ，且与x有关。 i0
证明：考虑插值节点上有 Rn (xi ) 0 (i 0,1,,n)
∴ 这些节点是 Rn (x) 的零点,
可设 Rn (x) k(x) Wn1(x)
∴ K(x) 1 f 4 ( )
4!
∴插值余项为R(x) =
1 4!
f
4 (
)(x
x0
)(x
x1 )2
(x
x2
)
在插值区间内与x有关.
4.5 埃尔米特插值（Hermite 法国数学家）
有时插值函数不仅要求在节点上与原函数相同，还要求 其导数的值与原函数的值相同，即要求
H2n＋1(xi)=f (xi)， H’2n＋1(xi)=f ’(xi) i=0、1、…、n
1 i k lk (xi ) 0 i k
n
则插值多项式为: Ln (x) yi li (x) i0
lk (x) 构造过程：
上式表明：n 个点 x0 , x1, xk1, xk1, xn 都是 lk (x) 的零点。
lk (x) Ak (x x0 )(x x1) (x xk1)(x xk1) (x xn )
数值分析课件
2
(∫
π
−π
| f (t ) − g (t ) | dt
2
)
1/2
， 求证 A 有
界，但不是全有界。
证： ∀f n (t ) = sin nt ∈ A, d ( f n , 0) = π ,∴ A 有界； 又 ∵ d ( f n , f m ) = 2π (n ≠ m), A 中 有 可 数 无 穷 多 个 点 ， 取
z 子 集
有 界 性
： 设 A ⊂ X, 若∃x0 ∈ X 和 有 限 数
r ∈ R1 , s.t.
∀x ∈ A, 有 d ( x, x0 ) < r ，称 A 是距离空间X中
的有界集，简称A有界。 z 点列收敛性：{xn } ⊂ X, x* ∈ X, ∀ε > 0, ∃N > 0, 当 n > N 时，
2. C[a, b] = { f (t ) f (t )在[a, b]上连续} ——连续函数空间
f (t ) − g (t ) ∀f (t ), g (t ) ∈ C[ a, b] ， d ( f , g ) tmax ∈[ a ,b ]
2 3. L [ a, b] = f (t )
{
ห้องสมุดไป่ตู้
∫
| f (t ) |2 dt < +∞ ——平方可积函数空间 a
m, n > N 时， d ( xm , xn ) < ε ， 称 {xn } 为 Cauchy 列或基本列。
证： d ( xm , xn ) ≤
d ( xn , x*) + d ( xm , x*)
z 完备性：若 X 中Cauchy列都是收敛列，则称 X 是完备距离 空间；否则，是不完备距离空间。 完备距离空间的例子：
(∫
π
−π
| f (t ) − g (t ) | dt
2
)
1/2
， 求证 A 有
界，但不是全有界。
证： ∀f n (t ) = sin nt ∈ A, d ( f n , 0) = π ,∴ A 有界； 又 ∵ d ( f n , f m ) = 2π (n ≠ m), A 中 有 可 数 无 穷 多 个 点 ， 取
z 子 集
有 界 性
： 设 A ⊂ X, 若∃x0 ∈ X 和 有 限 数
r ∈ R1 , s.t.
∀x ∈ A, 有 d ( x, x0 ) < r ，称 A 是距离空间X中
的有界集，简称A有界。 z 点列收敛性：{xn } ⊂ X, x* ∈ X, ∀ε > 0, ∃N > 0, 当 n > N 时，
2. C[a, b] = { f (t ) f (t )在[a, b]上连续} ——连续函数空间
f (t ) − g (t ) ∀f (t ), g (t ) ∈ C[ a, b] ， d ( f , g ) tmax ∈[ a ,b ]
2 3. L [ a, b] = f (t )
{
ห้องสมุดไป่ตู้
∫
| f (t ) |2 dt < +∞ ——平方可积函数空间 a
m, n > N 时， d ( xm , xn ) < ε ， 称 {xn } 为 Cauchy 列或基本列。
证： d ( xm , xn ) ≤
d ( xn , x*) + d ( xm , x*)
z 完备性：若 X 中Cauchy列都是收敛列，则称 X 是完备距离 空间；否则，是不完备距离空间。 完备距离空间的例子：
《数值分析》课件-PPT文档资料
模型误差
处理实际问题时，要建立数学模型，通常模型只 是近似的。由此产生的数学模型解与实际问题的 解 之间的误差叫模型误差。 例如
8 6 y 56 x s i n x , 0 x 1 0
是实际问题的解，而若数学模型的解是
6 y 5 x 6 , 0 x1 0,
思考 问：谁的近似程度要好一些？
定义 近似值 x* 的相对误差 (relative error) e x x er . x x 由于精确值 x 未知, 实际上总把 xe 作为x*的 相对误差，并且仍记为er , 即
e r e . x
定义 近似值 x* 的相对误差上限(界) (relative accuracy)
舍入误差
由于计算机的字长有限，参加运算的数据及其 运算结果在计算机中存放会产生误差。这种误 差叫舍入误差或计算误差。
例如 在 16 位微机上计算，单精度实数存放仅有 7 位有效数字。在其上运算，会有 1 3 0.333 333 3, (1.000 002) 1.000 004 0,
数 值 分 析
理 学 院
刘 秀 娟
第1章
绪论
§1.1 数值分析的研究对象
提问：数值分析是做什么用的？
数值分析是近代数学的一个重要分支，它是研究 各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求 解过程的理论分析。
在电子计算机成为数值计算的主要工具之后，则 要求研究适合于计算机使用的数值计算方法，为 了更好地说明数值分析的研究对象，我们考察用 计算机解决科学计算问题时经历的几个过程：
1 1 e1 dx 1 1 11 1 1 / e 1 0 3 2 ! 5 3 ! 7 4 ! 9
《数值分析》》课件
基于函数梯度的方法，通过迭代逼近最优解。
遗传算法
模拟生物进化过程的搜索算法，通过优胜略汰 的方式找到最优解。
模拟退火法
模拟金属退火过程的搜索算法，通过随机性和 温度控制来逼近最优解。
粒子群优化
模拟粒子群行为的算法，通过粒子之间的合作 和个体经验找到最优解。
截断误差
使用有限项进行级数展开时未考虑所有无穷项导致的误差。
舍入误差
由于数学运算符的近似计算和截取，导致了计算结果与真实结果之间的差距。
插值和拟合方法
插值和拟合方法是数值分析中常用的技术，用于根据已知数据点推导出未知数据点的值或找到拟合曲线或曲面。
插值方法
利用已知数据点之间的关系推导出处于数据点之间 位置的值。
2 物理学
求解量子力学方程、天体力学模拟和粒子物 理实验结果分析。
3 金融
风险评估、期权定价和投资组合优化。
4 医学
数值模拟手术、疾病预测和药物研发。
数值分析的历史和趋势
数值分析起源于古代文明对数学问题的解决方案。如今，随着计算机技术进步，数值分析在各个领域的 应用呈指数级增长。
1
古代
古埃及的巴比伦人使用分段直线插值法求解方程。
《数值分析》PPT课件
本课程介绍《数值分析》的学习目标，定义和应用领域。深入探讨数值分析 的历史、发展和误差分析。了解插值和拟合方法，数值微积分和数值积分。
数值分析的应用价值
数值分析在工程、物理学、金融等领域扮演着重要角色。通过数值模拟和优化算法，我们能够解决复杂问题并 做出准确的预测。
1 工程
计算结构力学、流体力学和电磁场分析，优 化设计和仿真。
2
20世纪
计算机的发明使数值分析成为可能，并发展了更高精度和快速的算法。
遗传算法
模拟生物进化过程的搜索算法，通过优胜略汰 的方式找到最优解。
模拟退火法
模拟金属退火过程的搜索算法，通过随机性和 温度控制来逼近最优解。
粒子群优化
模拟粒子群行为的算法，通过粒子之间的合作 和个体经验找到最优解。
截断误差
使用有限项进行级数展开时未考虑所有无穷项导致的误差。
舍入误差
由于数学运算符的近似计算和截取，导致了计算结果与真实结果之间的差距。
插值和拟合方法
插值和拟合方法是数值分析中常用的技术，用于根据已知数据点推导出未知数据点的值或找到拟合曲线或曲面。
插值方法
利用已知数据点之间的关系推导出处于数据点之间 位置的值。
2 物理学
求解量子力学方程、天体力学模拟和粒子物 理实验结果分析。
3 金融
风险评估、期权定价和投资组合优化。
4 医学
数值模拟手术、疾病预测和药物研发。
数值分析的历史和趋势
数值分析起源于古代文明对数学问题的解决方案。如今，随着计算机技术进步，数值分析在各个领域的 应用呈指数级增长。
1
古代
古埃及的巴比伦人使用分段直线插值法求解方程。
《数值分析》PPT课件
本课程介绍《数值分析》的学习目标，定义和应用领域。深入探讨数值分析 的历史、发展和误差分析。了解插值和拟合方法，数值微积分和数值积分。
数值分析的应用价值
数值分析在工程、物理学、金融等领域扮演着重要角色。通过数值模拟和优化算法，我们能够解决复杂问题并 做出准确的预测。
1 工程
计算结构力学、流体力学和电磁场分析，优 化设计和仿真。
2
20世纪
计算机的发明使数值分析成为可能，并发展了更高精度和快速的算法。
《数值分析》课程PPT (2)
数值分析
第二章 矩阵分析基础
第一节 线性空间 第二节 赋范线性空间 第三节 内积空间 第四节 矩阵代数基础 第五节 矩阵的三角分解 第六节 矩阵的正交分解 第七节 矩阵的奇异值分解
数值分析
数值分析
第一节 线性空间
一、线性空间的定义 二、线性空间的性质 三、线性空间的基与维数 四、元素在给定基下的坐标 五、线性空间的同构 六、基变换公式与过渡矩阵 七、坐标变换公式 八、线性空间的子空间
f ( x) C[a, b], R
数值分析
数值分析
（２）一个集合，如果定义的加法和数乘运 算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是 否满足八条线性运算规律．
例６ 正实数的全体，记作 R ，在其中定义加法
及乘数运算为
a b ab, a a , R,a,b R .
P[ x]n 对运算封闭.
数值分析
数值分析
例3 n次多项式的全体 Q[ x]n { p( x) an xn a1 x a0 an , , a1, a0 R,且an 0}
对于通常的多项式加法和数乘运算不构成线性空间. 0 p 0 xn 0x 0 Q[ x]n
数乘
A (aij )mn Rmn , R
所以Rmn是线性空间。
数值分析
数值分析
例2 次数不超过n的多项式的全体,记作P[ x]n ,即
P[ x]n { p( x) an xn a1 x a0 an , , a1, a0 R},
对于通常的多项式加法, 数乘多项式的乘法构成线性
数值分析
数值分析
(3)Rn中定义的加法和数乘运算满足代数 运算的八条公理：
1. x y y x
第二章 矩阵分析基础
第一节 线性空间 第二节 赋范线性空间 第三节 内积空间 第四节 矩阵代数基础 第五节 矩阵的三角分解 第六节 矩阵的正交分解 第七节 矩阵的奇异值分解
数值分析
数值分析
第一节 线性空间
一、线性空间的定义 二、线性空间的性质 三、线性空间的基与维数 四、元素在给定基下的坐标 五、线性空间的同构 六、基变换公式与过渡矩阵 七、坐标变换公式 八、线性空间的子空间
f ( x) C[a, b], R
数值分析
数值分析
（２）一个集合，如果定义的加法和数乘运 算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是 否满足八条线性运算规律．
例６ 正实数的全体，记作 R ，在其中定义加法
及乘数运算为
a b ab, a a , R,a,b R .
P[ x]n 对运算封闭.
数值分析
数值分析
例3 n次多项式的全体 Q[ x]n { p( x) an xn a1 x a0 an , , a1, a0 R,且an 0}
对于通常的多项式加法和数乘运算不构成线性空间. 0 p 0 xn 0x 0 Q[ x]n
数乘
A (aij )mn Rmn , R
所以Rmn是线性空间。
数值分析
数值分析
例2 次数不超过n的多项式的全体,记作P[ x]n ,即
P[ x]n { p( x) an xn a1 x a0 an , , a1, a0 R},
对于通常的多项式加法, 数乘多项式的乘法构成线性
数值分析
数值分析
(3)Rn中定义的加法和数乘运算满足代数 运算的八条公理：
1. x y y x
北工大数值分析课件
好的算法－－有可靠的理论分析以及计算复杂性的算法
课程信息
教材 ： 数值分析（第五版）
李庆扬等编著，清华大学出版社，2008
教材配套辅导书 ：
数值分析全程导学及习题全解（第5版）
清华大学出版社，2010
参考资料
参考资料 第三种科学方法：计算机时代的科学计算
石钟慈著，清华大学出版社，院士科普书系，2000
问题：已知Google矩阵（网页邻接矩阵），如 何求出PageRank? 首先，PageRank可以表示为向量 R=[R1,R2,…,Rn]
PageRank是主特征向量
PageRank是Google矩阵的主特征向量 Google矩阵A 记A=AT（关注被链接） A（注意每列为和1向量） 令 x= PageRank，则 求解 x=Ax A的最大特征值为1(主特征值) x是主特征值1对应的特征向量
应用举例
这个问题就是要求由函数
f(x)=sin x
给定的曲线从 x=0 到 x=48 英寸间的弧长 L，即:
L
48
0
1 ( f '( x )) dx
2
48
0
1 (cos x ) dx
2
上述积分为第二类椭圆积分，无法用普通方法来计算
数值积分与数值微分 —— 教材第四章
应用举例
例：Google 搜索引擎
应用数学 (Applied mathematics)
着限于说明自然现象，解决实际问题， 是纯粹数学与科学技术之间的桥梁
计算数学 (Computation mathematics)
数值分析是计算数学的一个主要部分, 它研究用计算机求 解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现.
《数值分析》ppt课件
7.
er
a b
er
(a)
er
(b)
30
例4
ε(p)
设有三个近似数
p ≈ 6.6332
≈0.02585
a=2.31,b=1.93,c=2.24
它们都有三位有效数字，试计算p=a+bc，e ( p)和e r ( p) 并问：p的计算结果能有几位有效数字？
2位
例5
设f (x, y) cos y , x 1.30 0.005, y 0.871 0.0005. x
er
e x
x x x
.
由于精确值 x 未知, 实际上总把
e x
作为x*的
相对误差，并且仍记为er , 即
er
e x
.
❖定义 近似值 x* 的相对误差上限(界) (relative accuracy)
εr
|
ε x
|.
注:相对误差一般用百分比表示.
17
例1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆
注:理论上讲,e 是唯一确定的, 可能取正, 也可能取负.
e > 0 不唯一，当然 e 越小越具有参考价值。
15
提问：绝对误差限的大小能否完全地 表示近似值的好坏？ 例如：有两个量
x 10 1 , y 1000 5
思考
问：谁的近似程度要好一些？
16
❖定义 近似值 x* 的相对误差 (relative error)
a 2.18
e r(b) e (b) 0.00005 0.0024%
b 2.1200
19
➢有效数字 ( significant digits)
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计算数学是科学计算的核心与基础
科学计算
科学计算
随着计算机的高速发展，数值计算方法已深入到各个科学 研究领域，计算性交叉学科不断涌现，如计算力学、计算物 理、计算化学、计算生物学、计算经济学等
科学计算已成为当今科学研究的三种基本手段之一，是数 学将触角伸向其他学科的桥梁。
使用计算机进行科学计算、数据处理及分析已成为人类科 技活动的主要方法之一。熟练地使用计算机进行科学计算， 已成为科技工作者的一项基本技能
科学计算
利用计算机解决实际问题通常分下面几个过程：
实际 问题
数学 模型
数值 方法
程序 设计
上机 实现
应用举例
例：一个古老的数学问题
问：今有 上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗； 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗； 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。 问上、中、下禾实一秉各几何？
建筑上用的一种铝制波纹瓦是由机器将一块平整的铝板压 制而成。假若要求波纹瓦长 4 英尺，每个波纹的高度(从中 心线)为 1 英寸，且每个波纹以近似 2 英寸为一个周期。 求制做一块波纹瓦所需铝板的长度 L。
应用举例
这个问题就是要求由函数
f(x)=sin x 给定的曲线从 x=0 到 x=48 英寸间的弧长 L，即:
L 4 81 (f'(x ) ) 2d x 4 81 ( c o s x ) 2d x
0
0
上述积分为第二类椭圆积分，无法用普通方法来计算
数值积分与数值微分 —— 教材第四章
应用举例
例：Google 搜索引擎
2019 年创立，目前市值近2000亿
Gx = x, eTx =1
——《九章算术》
3x2yz39 2x3 a12 L
a21
a22
L
M M O
an1 an1 L
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
M M M
ann
xn
bn
Ax b
线性方程组数值求解 —— 教材第五、六章
应用举例
例：人口预测
年份
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 2019 2000 2019
用每秒运算30亿次（P4 3.0G）的计算机求解时，大约需 要10000年的时间。
而如果使用高斯（Gauss）消元法，
高斯消去法总的乘除运算量为： n3 n2 n
3
3
大约需要3060次乘除运算，不到一秒钟就能完成。
科学计算
科学计算 Scientific Computing (计算科学 Computational Science)
计算数学 (Computation mathematics)
数值分析是计算数学的一个主要部分, 它研究用计算机求 解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现.
运筹与控制 (Operation & control) 概率论与数理统计 ( Probability
& mathematical statistics)
的系数行列式不等于零，即
a11 a12 a1n
a11La1,j1 b1 a1,j1La1n
D a 21 a 22 a 2n
0，
又令Dj LLLLLLLLLLL
a n1 a n 2 a nn
an1Lan,j1 bn an,j1Lann
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，可
以表示为：
x 1 D D 1,x 2 D D 2,x 3 D D 3,L ,x n D D n， ( 2 )
例：求解一个 n 阶线性方程组，如果使用克莱姆法则， 需要计算 n+1 个 n 阶行列式，在不计加减运算情况下，至 少需要 n!(n2-1) 次乘除运算。当 n=20 时，
20 (2 !2-0 1)9.7 1200
人口(万) 55196 61465 66207 72538 82992 92420 98705 105851 11433 121121 126743 130756
表格中是我国1950年到2019年的人口数（见 中国统计年鉴），试预测未来的人口数
插值与曲线拟合 —— 教材第二、三章
应用举例
例：铝制波纹瓦的长度问题
function mysum=mysum(n) mysum=0 For i=1:1:n
mysum=mysum+i; end mysum
Crammer 法则
a11x1 a12x2 a1nxn b1
如果线性方程组 a21x 1a22 x2 a2 nx n b2
(1)
an1x1 an2x2 annxn bn
现代数学发展的新趋向
首先是表现在现代数学的新领域和高层次中， 其次是数学向一切学科与社会部门的渗透和应用。
从单变量到多变量, 从低维到高维; 从线性到非线性; 从局部到整体, 从简单到复杂; 从连续到间断, 从稳定到分岔; 从精确到随机、到模糊; 计算机的使用.
计算机的应用
例子 求 1 2 3 L 5 0 0 0 ?
使用数学、统计与计算器的技术，借助计算机高速计算的 能力，来解决现代科学、工程、经济或人文中的复杂问题 狭义的科学计算是针对某些特定的数学问题，设计有效的计算 方法来求解，即为数值计算/数值分析/计算方法/计算数学
科学计算是一门工具性、方法性、整合性的新学科，是各 种科学与工程计算领域（如：气象、地震、核能技术、石油 探勘、航天工程、 密码解译等）中不可缺少的工具
代数 (Algebra)
几何 (Geometry) 分析 (Mathematical Analysis)
2. 数学科学按内容可分成五大学科
纯粹数学 (Pure mathematics)
专门研究数学本身的内部规律 撇开具体内容，以纯粹形式研究
应用数学 (Applied mathematics)
着限于说明自然现象，解决实际问题， 是纯粹数学与科学技术之间的桥梁
话说数学 —— 数学是什么？
1. 数学是关于数和形的学问
数—— 代数：数量关系的科学, 有序思 维占主导, 培养逻辑推理能力；
形—— 几何：空间形式的科学, 空间想 象、形象思维占主导, 培养直觉 能力和洞察力.
数学是一门研究现实世界中数量关系和空间 形式的科学 ---------恩格斯
数学的三大核心领域
科学计算
科学计算
随着计算机的高速发展，数值计算方法已深入到各个科学 研究领域，计算性交叉学科不断涌现，如计算力学、计算物 理、计算化学、计算生物学、计算经济学等
科学计算已成为当今科学研究的三种基本手段之一，是数 学将触角伸向其他学科的桥梁。
使用计算机进行科学计算、数据处理及分析已成为人类科 技活动的主要方法之一。熟练地使用计算机进行科学计算， 已成为科技工作者的一项基本技能
科学计算
利用计算机解决实际问题通常分下面几个过程：
实际 问题
数学 模型
数值 方法
程序 设计
上机 实现
应用举例
例：一个古老的数学问题
问：今有 上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗； 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗； 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。 问上、中、下禾实一秉各几何？
建筑上用的一种铝制波纹瓦是由机器将一块平整的铝板压 制而成。假若要求波纹瓦长 4 英尺，每个波纹的高度(从中 心线)为 1 英寸，且每个波纹以近似 2 英寸为一个周期。 求制做一块波纹瓦所需铝板的长度 L。
应用举例
这个问题就是要求由函数
f(x)=sin x 给定的曲线从 x=0 到 x=48 英寸间的弧长 L，即:
L 4 81 (f'(x ) ) 2d x 4 81 ( c o s x ) 2d x
0
0
上述积分为第二类椭圆积分，无法用普通方法来计算
数值积分与数值微分 —— 教材第四章
应用举例
例：Google 搜索引擎
2019 年创立，目前市值近2000亿
Gx = x, eTx =1
——《九章算术》
3x2yz39 2x3 a12 L
a21
a22
L
M M O
an1 an1 L
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
M M M
ann
xn
bn
Ax b
线性方程组数值求解 —— 教材第五、六章
应用举例
例：人口预测
年份
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 2019 2000 2019
用每秒运算30亿次（P4 3.0G）的计算机求解时，大约需 要10000年的时间。
而如果使用高斯（Gauss）消元法，
高斯消去法总的乘除运算量为： n3 n2 n
3
3
大约需要3060次乘除运算，不到一秒钟就能完成。
科学计算
科学计算 Scientific Computing (计算科学 Computational Science)
计算数学 (Computation mathematics)
数值分析是计算数学的一个主要部分, 它研究用计算机求 解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现.
运筹与控制 (Operation & control) 概率论与数理统计 ( Probability
& mathematical statistics)
的系数行列式不等于零，即
a11 a12 a1n
a11La1,j1 b1 a1,j1La1n
D a 21 a 22 a 2n
0，
又令Dj LLLLLLLLLLL
a n1 a n 2 a nn
an1Lan,j1 bn an,j1Lann
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，可
以表示为：
x 1 D D 1,x 2 D D 2,x 3 D D 3,L ,x n D D n， ( 2 )
例：求解一个 n 阶线性方程组，如果使用克莱姆法则， 需要计算 n+1 个 n 阶行列式，在不计加减运算情况下，至 少需要 n!(n2-1) 次乘除运算。当 n=20 时，
20 (2 !2-0 1)9.7 1200
人口(万) 55196 61465 66207 72538 82992 92420 98705 105851 11433 121121 126743 130756
表格中是我国1950年到2019年的人口数（见 中国统计年鉴），试预测未来的人口数
插值与曲线拟合 —— 教材第二、三章
应用举例
例：铝制波纹瓦的长度问题
function mysum=mysum(n) mysum=0 For i=1:1:n
mysum=mysum+i; end mysum
Crammer 法则
a11x1 a12x2 a1nxn b1
如果线性方程组 a21x 1a22 x2 a2 nx n b2
(1)
an1x1 an2x2 annxn bn
现代数学发展的新趋向
首先是表现在现代数学的新领域和高层次中， 其次是数学向一切学科与社会部门的渗透和应用。
从单变量到多变量, 从低维到高维; 从线性到非线性; 从局部到整体, 从简单到复杂; 从连续到间断, 从稳定到分岔; 从精确到随机、到模糊; 计算机的使用.
计算机的应用
例子 求 1 2 3 L 5 0 0 0 ?
使用数学、统计与计算器的技术，借助计算机高速计算的 能力，来解决现代科学、工程、经济或人文中的复杂问题 狭义的科学计算是针对某些特定的数学问题，设计有效的计算 方法来求解，即为数值计算/数值分析/计算方法/计算数学
科学计算是一门工具性、方法性、整合性的新学科，是各 种科学与工程计算领域（如：气象、地震、核能技术、石油 探勘、航天工程、 密码解译等）中不可缺少的工具
代数 (Algebra)
几何 (Geometry) 分析 (Mathematical Analysis)
2. 数学科学按内容可分成五大学科
纯粹数学 (Pure mathematics)
专门研究数学本身的内部规律 撇开具体内容，以纯粹形式研究
应用数学 (Applied mathematics)
着限于说明自然现象，解决实际问题， 是纯粹数学与科学技术之间的桥梁
话说数学 —— 数学是什么？
1. 数学是关于数和形的学问
数—— 代数：数量关系的科学, 有序思 维占主导, 培养逻辑推理能力；
形—— 几何：空间形式的科学, 空间想 象、形象思维占主导, 培养直觉 能力和洞察力.
数学是一门研究现实世界中数量关系和空间 形式的科学 ---------恩格斯
数学的三大核心领域