北工大数值分析课件34页PPT

人口(万) 55196 61465 66207 72538 82992 92420 98705 105851 11433 121121 126743 130756
表格中是我国1950年到2019年的人口数（见 中国统计年鉴），试预测未来的人口数
插值与曲线拟合 —— 教材第二、三章
应用举例
例：铝制波纹瓦的长度问题
计算数学是科学计算的核心与基础
科学计算
科学计算
随着计算机的高速发展，数值计算方法已深入到各个科学 研究领域，计算性交叉学科不断涌现，如计算力学、计算物 理、计算化学、计算生物学、计算经济学等
科学计算已成为当今科学研究的三种基本手段之一，是数 学将触角伸向其他学科的桥梁。
使用计算机进行科学计算、数据处理及分析已成为人类科 技活动的主要方法之一。熟练地使用计算机进行科学计算， 已成为科技工作者的一项基本技能
使用数学、统计与计算器的技术，借助计算机高速计算的 能力，来解决现代科学、工程、经济或人文中的复杂问题 狭义的科学计算是针对某些特定的数学问题，设计有效的计算 方法来求解，即为数值计算/数值分析/计算方法/计算数学
科学计算是一门工具性、方法性、整合性的新学科，是各 种科学与工程计算领域（如：气象、地震、核能技术、石油 探勘、航天工程、 密码解译等）中不可缺少的工具
L 4 81 (f'(x ) ) 2d x 4 81 ( c o s x ) 2d x
0
0
上述积分为第二类椭圆积分，无法用普通方法来计算
数值积分与数值微分 —— 教材第四章
应用举例
例：Google 搜索引擎
2019 年创立，目前市值近2000亿
Gx = x, eTx =1
用每秒运算30亿次（P4 3.0G）的计算机求解时，大约需 要10000年的时间。
而如果使用高斯（Gauss）消元法，
高斯消去法总的乘除运算量为： n3 n2 n
3
3
大约需要3060次乘除运算，不到一秒钟就能完成。
科学计算
科学计算 Scientific Computing (计算科学 Computational Science)
建筑上用的一种铝制波纹瓦是由机器将一块平整的铝板压 制而成。假若要求波纹瓦长 4 英尺，每个波纹的高度(从中 心线)为 1 英寸，且每个波纹以近似 2 英寸为一个周期。 求制做一块波纹瓦所需铝板的长度 L。
应用举例
这个问题就是要求由函数
f(x)=sin x 给定的曲线从 x=0 到 x=48 英寸间的弧长 L，即:
的系数行列式不等于零，即
a11 a12 a1n
a11La1,j1 b1 a1,j1La1n
D a 21 a 22 a 2n
0，
又令Dj LLLLLLLLLLL
a n1 a n 2 a nn
an1Lan,j1 bn an,j1Lann
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，可
以表示为：
x 1 D D 1,x 2 D D 2,x 3 D D 3,L ,x n D D n， ( 2 )
例：求解一个 n 阶线性方程组，如果使用克莱姆法则， 需要计算 n+1 个 n 阶行列式，在不计加减运算情况下，至 少需要 n!(n2-1) 次乘除运算。当 n=20 时，
20 (2 !2-0 1)9.7 1200
计算数学 (Computation mathematics)
数值分析是计算数学的一个主要部分, 它研究用计算机求 解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现.
运筹与控制 (Operation & control) 概率论与数理统计 ( Probability
& mathematical statistics)
function mysum=mysum(n) mysum=0 For i=1:1:n
mysum=mysum+i; end mysum
Crammer 法则
a11x1 a12x2 a1nxn b1
如果线性方程组 a21x 1a22 x2 a2 nx n b2
(1)
an1x1 an2x2 annxn bn
话说数学 —— 数学是什么？
1. 数学是关于数和形的学问
数—— 代数：数量关系的科学, 有序思 维占主导, 培养逻辑推理能力；
形—— 几何：空间形式的科学, 空间想 象、形象思维占主导, 培养直觉 能力和洞察力.
数学是一门研究现实世界中数量关系和空间 形式的科学 ---------恩格斯
数学的三大核心领域
代数 (Algebra)
几何 (Geometry) 分析 (Mathematical Analysis)
2. 数学科学按内容可分成五大学科
纯粹数学 (Pure mathematics)
专门研究数学本身的内部规律 撇开具体内容，以纯粹形式研究
应用数学 (Applied mathematics)
着限于说明自然现象，解决实际问题， 是纯粹数学与科学技术之间的桥梁
——《九章算术》
3x2yz39 2x3yz34 x2y3z26
应用举例
a11 a12 L
a21
a22
L
M M O
an1 an1 L
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
M M M
ann
xn
Biblioteka Baidu
bn
Ax b
线性方程组数值求解 —— 教材第五、六章
应用举例
例：人口预测
年份
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 2019 2000 2019
现代数学发展的新趋向
首先是表现在现代数学的新领域和高层次中， 其次是数学向一切学科与社会部门的渗透和应用。
从单变量到多变量, 从低维到高维; 从线性到非线性; 从局部到整体, 从简单到复杂; 从连续到间断, 从稳定到分岔; 从精确到随机、到模糊; 计算机的使用.
计算机的应用
例子 求 1 2 3 L 5 0 0 0 ?
科学计算
利用计算机解决实际问题通常分下面几个过程：
实际 问题
数学 模型
数值 方法
程序 设计
上机 实现
应用举例
例：一个古老的数学问题
问：今有 上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗； 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗； 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。 问上、中、下禾实一秉各几何？