鲁棒控制作业

鲁棒控制作业

一、

设一工业过程由以下模型表示：

1k 2,810,461

s k

P e T Ts ττ-=

≤≤≤≤≤≤+ , 试给出系统的乘性不确定描述。

答： 乘法不确定性描述：1);()]()(1[≤∆∆+=∞s P s s W P A

由于1s k P e Ts τ-=

+，因此可以取中间值为标称值，即：51.591

s

o P e s -=+，用惯性环节代替延迟环节得标称模型为： 1.5

(91)(51)o P s s =

++乘法扰动为00()()()()

m P jw P jw jw P jw -∆=。权

重()()m m jw W jw ∆≤，则通过波特图选择出近似的()m W s 源程序如下：

>>k=ureal('k',1.5,'Range',[1,3]); >> tao=ureal('tao',5,'Range',[4,6]); >> t=ureal('t',9,'Range',[8,10]); >> G0=tf(k,[t*tao t+tao 1]); >> G1=usample(G0,10);

>> bode(G1);grid

绘制曲线计算()W s ：

乘法不确定函数)(s W 的频率增益线必须覆盖住它所有频率线，选择红色曲线对应的函数为()W s ，由上图可以计算得到，所选的Bode 图所对应的开环传递函数为

12()10(1)(1)(101)(1)3

k k

W s T s T s s s =

=

++++ 有比较的程序如下：

k=ureal('k',1.5,'Range',[1,2]); tao=ureal('tao',5,'Range',[4,6]); t=ureal('t',9,'Range',[8,10]); G0=tf(k,[t*tao t+tao 1]); G1=usample(G0,20); bode(G1); grid; hold on;

W=tf(0.1,[100/3 40/3 1]); bode(W); hold on;

W=tf(10/3,[100/3 40/3 1]); bode(W); hold on;

W=tf(10,[100/3 40/3 1]); bode(W); hold on;

一般说来，在对控制性能影响大的中低频段内应当尽量使()W s 不过分超过摄动的增益。这是因为在控制频带里，如果系统的特性精确已知，设计时就能提高控制性能，而在大范围摄动的频带实现精确控制是非常困难的。因此，选择10/3k =是比较贴近实际情况的。 二、

考虑被控对象P 及一反馈控制器K

()()87.8 1.40.0015

1751,108.2 1.40.075751s P s K s s s --⎡⎤⎡⎤+==⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦

假设乘性不确定性模型为

()()0.2

,,10.51

s P P I W W s s ∆∞+=+∆=

∆<+P P

性能指标为

()()1

0.1

1,2P P s W I P K W s s

-∆∞++≤=

P P 1) 假设∆结构未知，分析闭环系统的鲁棒稳定性(RS)； 答：乘性不确定结构图如下：

当0=∆时，闭环系统由r 到y 的传递函数∞-∈+=RH PK I KP T yr 1

)(是稳定的。

当0≠∆时，将其不确定性乘性∆分解出来，将闭环系统进行变性，形成M −→←

∆结构如下：

从图中可以求得w 到z 的传递函数关系为

1)()(-+-=PK I W PK s M

)(s M 的最大奇异值曲线)]([max jw M σ如图所示：

源程序：

wt=logspace(-2,2,40); s=tf('s');

W1=(s+0.2)/(0.5*s+1);

P=1/(75*s+1)*[-87.8 1.4;-108.2 -1.4]; K=(75*s+1)/s*[-0.0015 0;0 -0.075]; M=W1*P*K*inv(eye(2)+P*K); [sv,wt]=sigma(M); sv=max(sv); loglog(wt,sv)

gtext('M(s)的最大奇异值') gtext('频率')

因为1≤∆∞，根据小增益定理，当且仅当1)

(1

≤+∞

-PK I WPK 时，系统是鲁棒稳定的。

从图中可以看出，这一奇异值曲线都小于1，所以反馈控制系统式鲁棒稳定的。

2) 假设∆为对角结构，分析闭环系统的鲁棒稳定性(RS)；

解：当∆为对角结构时，运用小增益定理有很大的保守性，应运用小μ定理。它的结构图也如下图所示：

因为1≤∆

∞

，根据小μ定理，当且仅当1)(1

≤+-μ

PK I WPK 时，系统是鲁棒稳定的。

)(s M 的最大奇异值曲线)]([max jw M σ同上图所示：

根据结构奇异值性质)()()(max M M M σμρ≤≤，所以可得1)(1

≤+-μ

PK I WPK ，控制

系统是鲁棒稳定的。

3) 分析闭环系统的标称性能(NP)；

考虑模型的性能，根据主环定理，可以将鲁棒性能问题转化问鲁棒稳定性问题。

形成M −→←

∆结构如下：

图中，∆是它的性能不确定性模块，根据主环定理，当且仅当1)(1

≤+∞

-PK I W p ，标称

模型满足指定的鲁棒性能。 判定源程序：

wt=logspace(-2,2,40); s=tf('s');

W2=(s+0.1)/(2*s);

P=1/(75*s+1)*[-87.8 1.4;-108.2 -1.4]; K=(75*s+1)/s*[-0.0015 0;0 -0.075]; NP=W2*inv(eye(2)+P*K); [sv,wt]=sigma(NP); sv=max(sv); loglog(wt,sv)

gtext('M(s)的最大奇异值') gtext('频率') 曲线如下：

从图中可以看出，曲线上的值都小于1，所以公称模型能满足鲁棒性能的要求。

4) 假设∆为对角结构，分析闭环系统的鲁棒性能(RP)。（提示：考虑

,P P P

W S W SP M KWS KWSP -∆⎡⎤⎡⎤

=∆=⎢⎥⎢

⎥-∆⎣⎦⎣⎦

，其中P ∆为针对性能的假想摄动块。）