鲁棒控制作业

鲁棒控制作业
一、
设一工业过程由以下模型表示：
1k 2,810,461
s k
P e T Ts ττ-=
≤≤≤≤≤≤+ , 试给出系统的乘性不确定描述。

答： 乘法不确定性描述：1);()]()(1[≤∆∆+=∞s P s s W P A
由于1s k P e Ts τ-=
+，因此可以取中间值为标称值，即：51.591
s
o P e s -=+，用惯性环节代替延迟环节得标称模型为： 1.5
(91)(51)o P s s =
++乘法扰动为00()()()()
m P jw P jw jw P jw -∆=。

权
重()()m m jw W jw ∆≤，则通过波特图选择出近似的()m W s 源程序如下：
>>k=ureal('k',1.5,'Range',[1,3]); >> tao=ureal('tao',5,'Range',[4,6]); >> t=ureal('t',9,'Range',[8,10]); >> G0=tf(k,[t*tao t+tao 1]); >> G1=usample(G0,10);
>> bode(G1);grid
绘制曲线计算()W s ：
乘法不确定函数)(s W 的频率增益线必须覆盖住它所有频率线，选择红色曲线对应的函数为()W s ，由上图可以计算得到，所选的Bode 图所对应的开环传递函数为
12()10(1)(1)(101)(1)3
k k
W s T s T s s s =
=
++++ 有比较的程序如下：
k=ureal('k',1.5,'Range',[1,2]); tao=ureal('tao',5,'Range',[4,6]); t=ureal('t',9,'Range',[8,10]); G0=tf(k,[t*tao t+tao 1]); G1=usample(G0,20); bode(G1); grid; hold on;
W=tf(0.1,[100/3 40/3 1]); bode(W); hold on;
W=tf(10/3,[100/3 40/3 1]); bode(W); hold on;
W=tf(10,[100/3 40/3 1]); bode(W); hold on;
一般说来，在对控制性能影响大的中低频段内应当尽量使()W s 不过分超过摄动的增益。

这是因为在控制频带里，如果系统的特性精确已知，设计时就能提高控制性能，而在大范围摄动的频带实现精确控制是非常困难的。

因此，选择10/3k =是比较贴近实际情况的。

二、
考虑被控对象P 及一反馈控制器K
()()87.8 1.40.0015
1751,108.2 1.40.075751s P s K s s s --⎡⎤⎡⎤+==⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦
假设乘性不确定性模型为
()()0.2
,,10.51
s P P I W W s s ∆∞+=+∆=
∆<+P P
性能指标为
()()1
0.1
1,2P P s W I P K W s s
-∆∞++≤=
P P 1) 假设∆结构未知，分析闭环系统的鲁棒稳定性(RS)； 答：乘性不确定结构图如下：
当0=∆时，闭环系统由r 到y 的传递函数∞-∈+=RH PK I KP T yr 1
)(是稳定的。

当0≠∆时，将其不确定性乘性∆分解出来，将闭环系统进行变性，形成M −→←
∆结构如下：
从图中可以求得w 到z 的传递函数关系为
1)()(-+-=PK I W PK s M
)(s M 的最大奇异值曲线)]([max jw M σ如图所示：
源程序：
wt=logspace(-2,2,40); s=tf('s');
W1=(s+0.2)/(0.5*s+1);
P=1/(75*s+1)*[-87.8 1.4;-108.2 -1.4]; K=(75*s+1)/s*[-0.0015 0;0 -0.075]; M=W1*P*K*inv(eye(2)+P*K); [sv,wt]=sigma(M); sv=max(sv); loglog(wt,sv)
gtext('M(s)的最大奇异值') gtext('频率')
因为1≤∆∞，根据小增益定理，当且仅当1)
(1
≤+∞
-PK I WPK 时，系统是鲁棒稳定的。

从图中可以看出，这一奇异值曲线都小于1，所以反馈控制系统式鲁棒稳定的。

2) 假设∆为对角结构，分析闭环系统的鲁棒稳定性(RS)；
解：当∆为对角结构时，运用小增益定理有很大的保守性，应运用小μ定理。

它的结构图也如下图所示：
因为1≤∆
∞
，根据小μ定理，当且仅当1)(1
≤+-μ
PK I WPK 时，系统是鲁棒稳定的。

)(s M 的最大奇异值曲线)]([max jw M σ同上图所示：
根据结构奇异值性质)()()(max M M M σμρ≤≤，所以可得1)(1
≤+-μ
PK I WPK ，控制
系统是鲁棒稳定的。

3) 分析闭环系统的标称性能(NP)；
考虑模型的性能，根据主环定理，可以将鲁棒性能问题转化问鲁棒稳定性问题。

形成M −→←
∆结构如下：
图中，∆是它的性能不确定性模块，根据主环定理，当且仅当1)(1
≤+∞
-PK I W p ，标称
模型满足指定的鲁棒性能。

判定源程序：
wt=logspace(-2,2,40); s=tf('s');
W2=(s+0.1)/(2*s);
P=1/(75*s+1)*[-87.8 1.4;-108.2 -1.4]; K=(75*s+1)/s*[-0.0015 0;0 -0.075]; NP=W2*inv(eye(2)+P*K); [sv,wt]=sigma(NP); sv=max(sv); loglog(wt,sv)
gtext('M(s)的最大奇异值') gtext('频率') 曲线如下：
从图中可以看出，曲线上的值都小于1，所以公称模型能满足鲁棒性能的要求。

4) 假设∆为对角结构，分析闭环系统的鲁棒性能(RP)。

（提示：考虑
,P P P
W S W SP M KWS KWSP -∆⎡⎤⎡⎤
=∆=⎢⎥⎢
⎥-∆⎣⎦⎣⎦
，其中P ∆为针对性能的假想摄动块。

）
源程序：
wt=logspace(-5,5,100); s=tf('s');
W=(s+0.2)/(0.5*s+1);
P=1/(75*s+1)*[-87.8 1.4;-108.2 -1.4]; K=(75*s+1)/s*[-0.0015 0;0 -0.075]; Wp=(s+0.1)/(2*s); S=inv(eye(2)+P*K); M11=Wp*S; M12=Wp*S*P; M21=-K*W*S; M22=-K*W*S*P;
M=[M11 M12;M21 M22]; [a,b,c,d]=ssdata(M); M=pck(a,b,c,d); Mw=frsp(M,wt); blk=[1 1;1 1;1 1;1 1]; bounds=mu(Mw,blk);
bounds=bounds(1:100,1:2); semilogx(wt,bounds); gtext('频率') gtext('\mu(M)') 曲线：
由图可知并不是在所有频率上都能能满足1)]([<∆jw M μ的要求，因此这个控制系统并没有满足指定的鲁棒性能要求
三. 设一单位反馈系统开环传递函数为5
1
(1)
P s =
+。

-法整定一PID控制器。

1．用Ziegler Nichols
-整定公式：
答：Ziegler Nichols
-公式整定根据MATLAB中提供的margin()函数，直接套用上表中给出的Ziegler Nichols
出PID控制器。

源程序：
s=tf('s');P=1/(s+1)^5;
[Kc,b,wc,d]=margin(P)
Tc=2*pi/wc;
Kp=0.6*Kc;Ti=0.5*Tc;Td=0.12*Tc;
K=Kp*(1+tf(1,[Ti,0])+tf([Td 0],1));
figure(1),step(feedback(P*K,1))
wt=logspace(-3,3,100);
S=inv(1+P*K);
[sv1,wt]=sigma(S);
figure(2),loglog(wt,sv1)
xlabel('频率')
ylabel('S的奇异值')
T=P*K*inv(1+P*K);
[sv2,wt]=sigma(T);
figure(3),loglog(wt,sv2)
xlabel('频率')
ylabel('T的奇异值')
K
得到PID控制器传递函数K为：
7.769 s^2 + 7.486 s + 1.731
-----------------------------------
4.324 s
系统阶越响应曲线为：
灵敏度函数为 PK
S +=
11
补灵敏度函数为：PK
PK
T +=
1
2． 试用环路成形方法设计一个∞H 控制器，使得闭环控制系统的阶跃响应满足
4s t s ≤，10%p M ≤且鲁棒设计指标在0.3到0.4之间。

答：回路成形：利用一个前置补偿器W 1和/或一个后置补偿器W 2，改变标称受控对象P 的奇异值形状，变形后的受控对象12~
PW W P =
对于成形后的受控对象~
P ，寻找控制器K 使得下列鲁棒稳定问题中的鲁棒稳定裕度ε为最大。

()
1
1
1
inf K
I I P K M K ε
---∆∞
⎡⎤
=+⎢⎥⎣⎦
其中N M
~
~1-是成形后的受控对象P ∆的一个正规化左互质分解。

通常ε介于0.3到0.5之
间，本题的要求是0.3到0.4。

回路成形控制器K ~
和成形函数W 1和W 2，构成最终反馈
控制器21~
W K W K =。

本题假定只使用前补偿器选择权值 s
s W 02
.0101+=，假定12=W ，W1中加入积分环节
这样选择的目的是使成形对象在低频段有良好的抗干扰性能。

源程序：
s=tf('s');
G=1/(s+1)^5;
W1=(10*s+0.02)/s;W2=1;
P=W2*G*W1;
[a,b,c,d]=ssdata(P);
P=pck(a,b,c,d);
[sysk,emax]=ncfsyn(P,2); [ak,bk,ck,dk]=unpck(sysk); [num,den]=ss2tf(ak,bk,ck,dk) figure(1),sigma(G)
hold on
sigma(G*W1,':')
K=tf(num,den)
S=inv(1+G*K);
[sv1,wt]=sigma(S);
figure(2),loglog(wt,sv1) xlabel('频率')
ylabel('S的奇异值')
T=G*K*inv(1+G*K);
[sv2,wt]=sigma(T);
figure(3),loglog(wt,sv2) xlabel('频率')
ylabel('T的奇异值')
曲线如下：
灵敏度函数的奇异值图：
互补灵敏度函数的奇异值图：
3． 用内模控制方法设计一个IMC 控制器，使得闭环控制系统的阶跃响应满足
4s t s ≤，10%p M ≤。

内模控制器结构图：
其中，Q 是内模控制器，P 指实际控制对象，P 指对象模型。

题中对象是一个稳定的无右半平面零点的单入单出过程。

)()()
1(15s D s N s P M =+= ，1=A P )(1s f P Q M -=，其中)(s f 为滤波环节，r s s f )1(1)(+=
λ，r 取能使Q 正则的数，需要调试的参数只是r 。

题中5
5
)1()1(++=s s Q λ ，若模型是无差模型，则它的闭环传递函数为5)1(1+=s PQ λ 闭环控制系统的阶跃响应满足4s t s ≤，10%p M ≤，经过调试，取22.0=r 。

源程序：
s=tf('s');P=1/(s+1)^5;
Q=(s+1)^5/(0.22*s+1)^5;
S=1-P*Q;
wt=logspace(-4,4,100);
[sv1,wt]=sigma(S);
figure(1),loglog(wt,sv1)
xlabel('频率')
ylabel('S 的奇异值')
T=P*Q;
[sv2,wt]=sigma(T);
figure(2),loglog(wt,sv2)
xlabel('频率')
ylabel('T 的奇异值')
比较以上三个控制器的性能。

（从闭环阶跃响应、灵敏度函数S以及KS的奇异值图方面进
行比较）。

根据闭环阶跃响应曲线，得到内模最优，Z-N稳态时间比环路成形法短，但有一定的超调。

在三种方法中，PID参数的调整有了一定的经验可以借鉴，也可以达到一个较好的性能；
H控制器按照系统开环奇异值与闭环的特性有一定的关系，理论上能得到环路成形方法设计
∞
较好的控制性能，但是它的权值选择是关键，若不能取到好的权值，性能不一定可取；内膜控
制设计结构简单，调整参数少，参数与其过程的意义明确，效果较满意。