轨迹方程的求法PPT教学课件
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第九章第5节常见轨迹方程的求法2022届新高考数学一轮复习考点突破课件(共35张PPT)
x2＋y2＋(x－5)2＋(y－12)2＝169. 整理，得 x2＋y2－5x－12y＝0. 轨迹方程为 x2＋y2－5x －12y＝0.在圆 x2＋y2＝9 内的部分.
21
知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
解法 2：(定义法)因为 M 是 AB 的中点，所以 OM⊥AB， 所以点 M 的轨迹是以|OP|为直径的圆，圆心为(52 ，6)，半径为|O2P| ＝123 ， ∴该圆的方程为： (x－52 )2＋(y－6)2＝(123 )2 化简，得 x2＋y2－5x－12y＝0. 轨迹方程为 x2＋y2－5x－12y＝0.在圆 x2 ＋y2＝9 内的部分.
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知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
4．点 M(x0，y0)是圆 F1：(x＋1)2＋y2＝9 上的一个动点， 点 F2(1，0)为定点．线段 MF2 的垂直平分线与 MF1 相交 于点 Q(x，y)，求点 Q 的轨迹方程(注意点 F2(1，0)在圆 内).
【解】 依题意， QF1＋QM＝3，QM＝QF2．所以 QF1＋QF2＝3>F1F2 ＝2.故 Q 是在以 F1，F2 为焦点，长半轴长为32 的椭圆上，方程为49x2 ＋45y2 ＝1.
10
知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
由中点坐标公式有xy＝ ＝mn＋＋22 04，， 于是mn＝＝22yx.－4， 又点 B(m，n)在椭圆x42 ＋y22 ＝1 上，所以（2x－4 4）2 ＋（22y）2 ＝1，整 理即得 M 点的轨迹方程为(x－2)2＋2y2＝1.
11
知识梳理
典例精析
四、圆锥曲线定义法
记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题设可得点 A，B 的坐标(x1，y1)，(x2，y2)是方程
21
知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
解法 2：(定义法)因为 M 是 AB 的中点，所以 OM⊥AB， 所以点 M 的轨迹是以|OP|为直径的圆，圆心为(52 ，6)，半径为|O2P| ＝123 ， ∴该圆的方程为： (x－52 )2＋(y－6)2＝(123 )2 化简，得 x2＋y2－5x－12y＝0. 轨迹方程为 x2＋y2－5x－12y＝0.在圆 x2 ＋y2＝9 内的部分.
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知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
4．点 M(x0，y0)是圆 F1：(x＋1)2＋y2＝9 上的一个动点， 点 F2(1，0)为定点．线段 MF2 的垂直平分线与 MF1 相交 于点 Q(x，y)，求点 Q 的轨迹方程(注意点 F2(1，0)在圆 内).
【解】 依题意， QF1＋QM＝3，QM＝QF2．所以 QF1＋QF2＝3>F1F2 ＝2.故 Q 是在以 F1，F2 为焦点，长半轴长为32 的椭圆上，方程为49x2 ＋45y2 ＝1.
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典例精析
课堂练习
课后练习
由中点坐标公式有xy＝ ＝mn＋＋22 04，， 于是mn＝＝22yx.－4， 又点 B(m，n)在椭圆x42 ＋y22 ＝1 上，所以（2x－4 4）2 ＋（22y）2 ＝1，整 理即得 M 点的轨迹方程为(x－2)2＋2y2＝1.
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知识梳理
典例精析
四、圆锥曲线定义法
记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题设可得点 A，B 的坐标(x1，y1)，(x2，y2)是方程
轨迹方程PPT教学课件
动，|AB|=3，点P是AB上一点，且|AP|=1，则点P的
轨迹方程是________x_4_2 ___y_2___1________
8. 过原点的动椭圆的一个焦点为F(1，0)，长轴长为
4，则动椭圆中心的轨迹方程为___x_-__1__2___y_2____9_
2
4
9.已知A+B+C=0，则直线Ax+By+C=0(A、B、C∈R)被抛 物线y2=2x所截线段中点M的轨迹方程是 ( B ) (A)y2+y-x+1=0 (B)y2-y-x+1=0 (C)y2+y+x+1=0 (D)y2-y-x-1=0
2.已知两点，M(-1，0)，N(1，0)，且点P使M→P·M→N，P→M·P→N , N→M·N→P成公差小于零的等差数列，(1)求点P的转迹方程.(2)若 点P坐标为(x0,y0)，若θ为PM→与PN→的夹角，求tanθ.
【解题回顾】本题的轨迹方程是利用直接法求得，注意x的 取值范围的求法.利用数量积的定义式的变形可求得相关的 角或三角函数值.
练习： 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为 （-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线 交OM于点P，求点P的方程。
三、代入法题型： 例3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线 x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨 迹方程。
练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原 点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线 y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。
量关系同时注意轨迹的横纯粹性与完备性。
返回
59《电解原理的 应用》
小结1
电离与电解的区别与联系
轨迹方程是________x_4_2 ___y_2___1________
8. 过原点的动椭圆的一个焦点为F(1，0)，长轴长为
4，则动椭圆中心的轨迹方程为___x_-__1__2___y_2____9_
2
4
9.已知A+B+C=0，则直线Ax+By+C=0(A、B、C∈R)被抛 物线y2=2x所截线段中点M的轨迹方程是 ( B ) (A)y2+y-x+1=0 (B)y2-y-x+1=0 (C)y2+y+x+1=0 (D)y2-y-x-1=0
2.已知两点，M(-1，0)，N(1，0)，且点P使M→P·M→N，P→M·P→N , N→M·N→P成公差小于零的等差数列，(1)求点P的转迹方程.(2)若 点P坐标为(x0,y0)，若θ为PM→与PN→的夹角，求tanθ.
【解题回顾】本题的轨迹方程是利用直接法求得，注意x的 取值范围的求法.利用数量积的定义式的变形可求得相关的 角或三角函数值.
练习： 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为 （-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线 交OM于点P，求点P的方程。
三、代入法题型： 例3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线 x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨 迹方程。
练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原 点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线 y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。
量关系同时注意轨迹的横纯粹性与完备性。
返回
59《电解原理的 应用》
小结1
电离与电解的区别与联系
《轨迹方程的求法》课件
结合现代科技手段，如人工智能、大数据等，对 轨迹方程进行数据分析和挖掘，揭示隐藏的运动 规律和模式。
THANKS
感谢观看
05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
THANKS
感谢观看
05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
轨迹与方程学习.pptx
第23页/共48页
z
θM
R
y
Q
P
中心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为
x r sin cos
y
r
s in
sin
(5)
z r cos
（4），（5）中的θ，为参数，其取值范围分别是 0θ与-＜。
第24页/共48页
例7 求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。
解：如图,有
r=OM=OQ+QP+PM
称为曲线的坐标式参数方程。
O
第4页/共48页
A
P(x(t),y(t))
r(a)
r(t)
B
r(b)
x
5、直线的方程
已知直线l通过定点M0(x0,y0),且与非零矢量
v ={X,Y}共线，求直线l的方程。
解：设M(x,y)为直线l上任意一点，并设OM=r，OM0=r0， 则点M在l上的充要条件为矢量M0M与v共线，即
当u,v取遍变动区域的一切 值时，径矢
z
OM= r(u,v) =x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3
的终点M(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) 所画的轨迹一般为一张曲面。
S
o x
第21页/共48页
M y
2、曲面的矢量式参数方程
定义：若取u,v(aub,cvd)的一切可能值，由（2） 表示的径矢r(u,v)的终点M总在一个曲面上，反之，在 这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的径矢， 而这径矢可由u,v的值 (aub,cvd)通过（2）完全决 定，则称（2）式为曲面的矢量式参数方程，其中u,v为 参数。
z F (x, y, z) = 0
z
θM
R
y
Q
P
中心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为
x r sin cos
y
r
s in
sin
(5)
z r cos
（4），（5）中的θ，为参数，其取值范围分别是 0θ与-＜。
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例7 求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。
解：如图,有
r=OM=OQ+QP+PM
称为曲线的坐标式参数方程。
O
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A
P(x(t),y(t))
r(a)
r(t)
B
r(b)
x
5、直线的方程
已知直线l通过定点M0(x0,y0),且与非零矢量
v ={X,Y}共线，求直线l的方程。
解：设M(x,y)为直线l上任意一点，并设OM=r，OM0=r0， 则点M在l上的充要条件为矢量M0M与v共线，即
当u,v取遍变动区域的一切 值时，径矢
z
OM= r(u,v) =x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3
的终点M(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) 所画的轨迹一般为一张曲面。
S
o x
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M y
2、曲面的矢量式参数方程
定义：若取u,v(aub,cvd)的一切可能值，由（2） 表示的径矢r(u,v)的终点M总在一个曲面上，反之，在 这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的径矢， 而这径矢可由u,v的值 (aub,cvd)通过（2）完全决 定，则称（2）式为曲面的矢量式参数方程，其中u,v为 参数。
z F (x, y, z) = 0
专题研究一 求曲线的轨迹方程课件PPT)-2023-2024学年高二上人教版
【解析】 (1)由已知得圆 M 的圆心为 M(－1，0)，半径 r1＝1；圆 N 的圆心为 N(1， 0)，半径 r2＝3.
设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R. 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>|MN|＝2. 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半 轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x42＋y32＝ 1(x≠－2)．
方法四(参数法)：设动弦 PQ 的方程为 y＝kx，代入圆的方程， 得(x－1)2＋k2x2＝1，即(1＋k2)x2－2x＝0.
∴x＝x1＋2 x2＝1＋1k2，y＝kx＝1＋kk2，消去 k 即可．
探究 1 本题中的四种方法是求轨迹方程的常用方法，我们 已在本章的前几节中做过较多的讨论，故解析时只做扼要总结即 可．
2．利用定义法求轨迹方程 (1)求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足 圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨 迹类型，再求出其方程． (2)理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键． (3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否为完整的 圆、椭圆、双曲线、抛物线．如果不是完整的曲线，那么应对其 变量 x 或 y 进行限制．
∴点 M 的轨迹是以 O1，O2 为焦点，实轴长为 3 的双曲线的 左支．
∴a＝32，c＝2，∴b2＝c2－a2＝74. ∴点 M 的轨迹方程为x92－y42＝1x≤－32.
47
例 4 求解下列问题： (1)如图，动圆 C1：x2＋y2＝t2，1<t<3 与椭圆 C2：x92＋y2＝1 相交于 A，B，C，D 四点，点 A1，A2 分别为 C2 的左、右顶点．求 直线 AA1 与直线 A2B 的交点 M 的轨迹方程．
轨迹方程的求法 ppt课件
PPT课件
9
【分析】（1）根据题意，先找出等价条件，再根据
条件判定曲线类型，最后写出曲线方程. （1）|PA|+|PB|=10-|AB|=6. （2）|PA|-|PB|=1. （3）P点到A的距离比P点到直线x=1的距离多1，即P点
到A的距离等于P点到直线x=2的距离.
PPT课件
10
【解析】(1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10，
为 一 定 点, M为 圆A上 的 一 个 动 点,线 段MB
的 中 垂 线 和 直 线AM的 交 点 为P, N为 垂 足,
-30
-20
求 动 点P的 轨 迹 方 程.
15
M
10
N
5
P
-10
A
B
10
-5
PPT课件
-10
13
【练习3】第3题
已 知 圆A的 方 程 为( x 3)2 y 2 64, B(3,0)为 一 定 点,
即|PA|+|PB|=6＞4=|AB|，故P点的轨迹是椭圆，
且2a=6，2c=4，即a=3，c=2，b= 5， 因此其方程为 x2（yy≠2 0 1）.
95
（2）设圆P的半径为r，则|PA|=r+1，|PB|=r，
因此|PA|-|PB|=1.
由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，
且2a=1，2c=4，即a= 1,c=2,b= ，15
x2 y2 1 平方化简得:(x 1)2 y2 4 (x 3)2 y2 2
2.与圆x2+y2-4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心
的轨迹方程是__y2_=_8_x_(_x_＞__0_)_或__y=__0_(x_＜__0_)_.
轨迹方程的求法——相关点法ppt 人教课标版
移动，求ABC
C A
G
y
o x
B
小结：
相关点法求轨迹方程适用题型： 所求轨迹的点是随着已知轨迹上的动点 点随点动： 的运动而运动的。
相关点法求曲线方程的一般步骤 ： (x,y)表示所求曲线上的任意一点M的坐标; (1)设点 ----用 用 ( x0 , y0 )表示已知曲线上的点的坐标。 x0 , y0 (2) 求点 ——用x,y表示出 x0 , y0 代入已知曲线方程。 （3）代点 ---- 将 (4) 化简 ----化方程f(x,y)＝0为最简形式;
化简得M点的轨迹方程为 12 4( x ) 2 ( y 1 )2 1 9 4
x y 1 9 4
2
2
12 (2 y ) 2 2 1 得 (2 x 1) 9 4
变式一．已知定点A（2，0）和圆 x 的轨迹。
2
y 1
2
上的动点B，点P分AB之比为2∶1，求点P
变式二： 若OP为∠AOB 平分线，交AB于P
(A) y=2x2 (B) y=6x2 (C)y=4x2 (D) y=8x2
3..动点P在直线x+2y=1上运动，O为原点，则 OP的中点M的轨迹方程为 （
２ｘ＋４ｙ＝１
2 2
）
4.已知△ABC， A(2, 0), B(0, 2)，第三个 重心的轨迹方程为
x y 顶点C 在曲线 16 9 1 上移动，△ABC的
O
y B
P
X
A(2,0)
求点P的轨迹方程。
解：设动点P (X,Y)及圆上点B ( x0 , y0 )
AP ∵λ= =2, PB
代入圆 x
2
22 2 4 3x 2 2 3 y 2 ) ( ) 1 即 (x ) y 得 ( 3 9 2 2
C A
G
y
o x
B
小结：
相关点法求轨迹方程适用题型： 所求轨迹的点是随着已知轨迹上的动点 点随点动： 的运动而运动的。
相关点法求曲线方程的一般步骤 ： (x,y)表示所求曲线上的任意一点M的坐标; (1)设点 ----用 用 ( x0 , y0 )表示已知曲线上的点的坐标。 x0 , y0 (2) 求点 ——用x,y表示出 x0 , y0 代入已知曲线方程。 （3）代点 ---- 将 (4) 化简 ----化方程f(x,y)＝0为最简形式;
化简得M点的轨迹方程为 12 4( x ) 2 ( y 1 )2 1 9 4
x y 1 9 4
2
2
12 (2 y ) 2 2 1 得 (2 x 1) 9 4
变式一．已知定点A（2，0）和圆 x 的轨迹。
2
y 1
2
上的动点B，点P分AB之比为2∶1，求点P
变式二： 若OP为∠AOB 平分线，交AB于P
(A) y=2x2 (B) y=6x2 (C)y=4x2 (D) y=8x2
3..动点P在直线x+2y=1上运动，O为原点，则 OP的中点M的轨迹方程为 （
２ｘ＋４ｙ＝１
2 2
）
4.已知△ABC， A(2, 0), B(0, 2)，第三个 重心的轨迹方程为
x y 顶点C 在曲线 16 9 1 上移动，△ABC的
O
y B
P
X
A(2,0)
求点P的轨迹方程。
解：设动点P (X,Y)及圆上点B ( x0 , y0 )
AP ∵λ= =2, PB
代入圆 x
2
22 2 4 3x 2 2 3 y 2 ) ( ) 1 即 (x ) y 得 ( 3 9 2 2
轨迹方程的求法PPT课件11 通用
y1 y2 1 x1 x2
所以直线ＡＢ的方程为 y1(x2)
· 轨迹方程的求法
即：y x3
将 y x3代入椭圆方程得: 3 x2 1 2 x 1 8 2 b 2 0 ∵直线与椭圆相交 ∴△﹥0，得b2﹥3
由 A B 2x 1 x 224 2 4 (1 8 3 2 b 2 ) 22 3 0
3
3
y2 6x
已知曲线类型，设相应的曲线方程，再由题设
条件确定其系数即可。
例4：已知圆C1的方程为(x2)2(y1)2
20 3
，椭圆C2的方程为ax
2 2
y2 b2
1
（a>b>c），C2离心率为 2 ，若C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰好 2
为圆C1的直径，求直径AB的方程和椭圆C2的方程。
出动点的轨迹方程。
例2：已知双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，以y轴为右准线，
且过点A（1，2），求此双曲线右焦点F的轨迹方程。
分析：由已知条件得a、b、c之间的关系，再加上隐含条件c2＝a2＋b2得
到双曲线的离心率，最后由双曲线的定义得到动点坐标之间的关系式，化
简得到动点轨迹方程。
解：设F（x，y），∵2a＝b＋c，c2＝a2＋b2
解：设Q点坐标为（1+cosθ，sinθ），
∵P（x，y）的坐标为
x 1 cos 2
消去θ得
y sin
2
(x1)2y21x
2
4
六、交轨法 是两条已知曲线f1(x，y) = 0，f2(x，y) = 0联立，
解出两曲线交点，然后寻找交点横、纵坐标之间的关系式。
例6：如图，F1，2是双曲线
x2 3
∵k≠0，∴动点P的轨迹方程为 x2 y2 1(x2)
轨迹方程的求法PPT教学课件
的性质可得 : y0 1 1 , y0 1 2. x0 m,x0 Nhomakorabea22
2
解得
:
x0
4 4m 5
,
y0
2m 5
3
,
点B '( x0 ,
y0 )在椭圆上,( 4
4m )2 5
4( 2m 5
3)2
4,
整理得2m m 3 0解得m 1或m 3 2
点P的轨迹方程为y 2x 1或y 2x 3 , 2
刷油漆
镀铬
涂油
一.防止金属的腐蚀 二.回收利用废旧金属
三.合理有效开采矿物 四.寻找金属的代用品
P
引直线x y 2的垂线,垂足为N . Q
求线段QN的中点P的轨迹方程.
O
x
人类生活离不开金属
金属元素在自然界中的存在
金属元素在自然界中分布很广，极少数不活泼的
金属（如金、银等）以单质形式存在；
金属元素在地壳中的含量
元素名称 质量分数/% 元素名称 质量分数/%
铝（Al）
7.73
镁（Mg）
例1.如图,已知动圆过定点(1, 0), 且与直线x 1相切。求 动圆圆心轨迹C的方程.
练习：
1.如图,已知定点A(2, 0),定圆 M : ( x 2)2 y2 25, P是M上 的动点, 线段AP的中垂线与MP 交于Q , 求Q的轨迹.
y P
Q MO A
x
2.矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB 边所在直线的方程为x-3y-6=0，AD边所在直线的方程 为3x+y+2=0. （1）求矩形ABCD外接圆的方程； （2）若动圆P过点N（-2，0）， 且与矩形ABCD的外接圆外切， 求动圆P的圆心的轨迹方程.
圆的轨迹方程ppt课件
x0 2
y0 0
x,
y.
M是AP的中点,
2
2
y
P x0 , y0 ，
M x, y
即x0 2 x 2, y0 2 y.①
O
点A( x0 , y0 )在圆上, x0 y0 4.②
2
2
将①代入②得 (2 x 2) 2 (2 y ) 2 4.
和“去掉多余”的点．
求轨迹方程的关键：动中找定——在动点运动的过程中
找出动点满足的不变的性质。
轨迹方程
− 6 2 + ²=32.
所以点的轨迹是以 (6,2)为圆心，半径为4 2的一个圆.
轨迹
求轨迹方程——①（坐标法）
[例1](P89-9)已知点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为
2
2
点P的轨迹方程为x y 4, 且
,
.
y 0 y 0
点P的轨迹是圆心为(0,0), 半径为2的圆,
并除去点(2,0), ( 2,0).
求轨迹方程——④消参法
P 89.10. 在平面直角坐标中, 如果点P的坐标( x , y )
x a r cos ,
满足
y
2
2
m
1
(
m
1)
2
c( m 2 1)
2mc
表示圆心在
, 0 , 半径是
的圆
2
m 1
m 1
小结：坐标法求动点轨迹问题的基本步骤
第一步
第二步
第三步
建立适当的平面直角坐标系
寻找动点满足的几何关系
轨迹方程PPT课件
【解题回顾】注意运用过封闭曲线内的点的直线必与此曲 线相交这一性质.
2020年10月2日
8
3. 若曲线y2=ax与直线y=(a+1)x-1恰有一个公共点，求实数a 的值.
【解题回顾】对于开放的曲线，Δ=0仅是有一个公共点的充分但 并不一定必要的条件，本题用代数方法解完后，应从几何上验证 一下：当a=0时，曲线y2=ax蜕化为直线y=0，此时与已知直线y=x -1，恰有一个交点(1，0)；当a=-1时，直线y=-1与抛物线y2=-x的 对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次
❖ 即 Δ=(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，
❖ 亦即 5k2≥1-m 对一切实数k成立．
❖ ∴1-m≤0，即m≥1．
❖ 故20m20年的10月取2日值范围为m∈[1，5)．
7
2.
已知椭圆 x y 16 9
1 ，l1、l2为过点(0，m)且相互垂直的
两条直线，问实数m在什么范围时，直线l1、l2都与椭圆有 公共点
轴交于点N(x0，0)求x0
【解题回顾】第二小题中用k表示为x0的函数，即求函数x0 的值域. 本小题是转化为给定区间上二次函数的值域求法
2020年10月2日
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5. 设A为双曲线x2/16-y2/9=1右支上一点，F为该双曲线的 右焦点，连结AF交双曲线于B，过B作直线BC垂直于双曲 线的右准线，垂足为C，则直线AC必过定点( A )
轨迹方程的求法(自己的)课件
对称性分析
分析轨迹方程的对称性，找出轨迹形 状的规律和特点。
轨迹方程与微积分的关系
导数与切线
通过求轨迹方程的导数，得到切线的斜率和方向，进一步分 析轨迹的形状和变化趋势。
积分与面积
通过积分运算，计算轨迹曲线与坐标轴围成的面积，或者计 算轨迹曲线自身的长度。
THANK YOU
感谢各位观看
圆方程的求解
01
总结词
根据圆的定义和性质，结合已知条件，推导出圆的标准方程。
02
详细描述
首先确定圆心和半径，然后利用圆的性质（任意一点到圆心的距离等于
半径）来求解。
03
示例
已知圆心为$C(0,0)$，半径为5，求圆的标准方程。根据性质，设圆上
任意一点为$P(x,y)$，则有$CP=r$，其中$C$为圆心，$r$为半径。通
轨迹方程的求法(自己的)课件
目录
• 轨迹方程的基本概念 • 轨迹方程的求法 • 常见轨迹方程的求解 • 轨迹方程的应用 • 轨迹方程的扩展知识
01
轨迹方程的基本概念
定义与特性
定义
轨迹方程是描述物体运动轨迹的 数学表达式，通常由参数方程或 极坐标方程表示。
特性
轨迹方程描述了物体在平面或空 间中的运动轨迹，具有连续性和 几何直观性。
双曲线方程的求解
总结词
详细描述
根据双曲线的定义和性质，结合已知 条件，推导出双曲线的标准方程。
首先确定双曲线的两个焦点和双曲线 上任意一点到两焦点的距离之差的绝 对值为常数，然后利用这个性质和已 知条件来求解。
示例
已知双曲线的两个焦点分别为$F1(5,0)$和$F2(5,0)$，且双曲线上任意 一点到两焦点的距离之差的绝对值为 4，求双曲线的标准方程。根据性质 ，设双曲线上任意一点为$P(x,y)$， 则有$||PF1|-|PF2||=4$，其中$F1$和 $F2$为双曲线的两个焦点。通过这个 等式和已知条件，可以推导出双曲线 的标准方程为$frac{x^2}{9}frac{y^2}{16}=1$。
分析轨迹方程的对称性，找出轨迹形 状的规律和特点。
轨迹方程与微积分的关系
导数与切线
通过求轨迹方程的导数，得到切线的斜率和方向，进一步分 析轨迹的形状和变化趋势。
积分与面积
通过积分运算，计算轨迹曲线与坐标轴围成的面积，或者计 算轨迹曲线自身的长度。
THANK YOU
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圆方程的求解
01
总结词
根据圆的定义和性质，结合已知条件，推导出圆的标准方程。
02
详细描述
首先确定圆心和半径，然后利用圆的性质（任意一点到圆心的距离等于
半径）来求解。
03
示例
已知圆心为$C(0,0)$，半径为5，求圆的标准方程。根据性质，设圆上
任意一点为$P(x,y)$，则有$CP=r$，其中$C$为圆心，$r$为半径。通
轨迹方程的求法(自己的)课件
目录
• 轨迹方程的基本概念 • 轨迹方程的求法 • 常见轨迹方程的求解 • 轨迹方程的应用 • 轨迹方程的扩展知识
01
轨迹方程的基本概念
定义与特性
定义
轨迹方程是描述物体运动轨迹的 数学表达式，通常由参数方程或 极坐标方程表示。
特性
轨迹方程描述了物体在平面或空 间中的运动轨迹，具有连续性和 几何直观性。
双曲线方程的求解
总结词
详细描述
根据双曲线的定义和性质，结合已知 条件，推导出双曲线的标准方程。
首先确定双曲线的两个焦点和双曲线 上任意一点到两焦点的距离之差的绝 对值为常数，然后利用这个性质和已 知条件来求解。
示例
已知双曲线的两个焦点分别为$F1(5,0)$和$F2(5,0)$，且双曲线上任意 一点到两焦点的距离之差的绝对值为 4，求双曲线的标准方程。根据性质 ，设双曲线上任意一点为$P(x,y)$， 则有$||PF1|-|PF2||=4$，其中$F1$和 $F2$为双曲线的两个焦点。通过这个 等式和已知条件，可以推导出双曲线 的标准方程为$frac{x^2}{9}frac{y^2}{16}=1$。
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（1）求这三种曲线的方程；
2
O （m•，0）2F
4
（a，0）
•X
（2）在抛物线上求一点P，使
它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6.
抛物线：y2 = 8x
椭圆、双曲线方程分别为
x2
y2
+
=1
12 + 8 2 8 + 8 2
x2
12 -8
-
28
y2
2 -8 =1
点评：待定系数法是求曲线方程的最常用方法。
故，点P的轨迹是以 A 为焦点，以 n 为准线的抛物线。
椭圆、双曲线方程分别为
x2
y2
+
=1
12 + 8 2 8 + 8 2
x2
12 -8
-
28
y2
2 -8 =1
a = 12 + 8 2 = 4(3 + 2 2) = 2 3 + 2 2
2 ( 2 1)2 = 2( 2 +1) = 2 2 + 2
4Y M
2
F
O
24
X
抛物线：y2 = 8x
a 2 = 12 + 8 2, b2 = 8 + 8 2;
m2 = 12 - 8 2, n2 = - 8 + 8 2;
∴椭圆、双曲线方程分别为
x2
y2
+
=1
12 + 8 2 8 + 8 2
x2
12 -8
-
28
y2
2 -8 =1
例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对
求：动点P的轨迹方程。 [解法一] 轨迹法
•
-5
(x 3)2 ( y 0)2 x 5 2
依题设知 x > -5, (x 3)2 ( y 0)2 x 3 -3
y 2 =12x
[解法二] 定义法 如图，作直线 n：x = -3 m n
y
P（x，y） • x
•A
3
则点P到定点A（3，0）与定直线 n：x = -3 等距离。
茎 木质 管 输导组织
木纤增加茎的强度 机
单子叶植物茎的结构 构 结有但形单韧部木部层中成子皮：质：一叶不会导筛般，植管管没所物构束在以茎成，薄胞，维分壁中管散细
茎长成后，一般 加粗。
总结
双子叶植物1、形树皮双层成子（外内叶皮皮细靠皮导树树植胞部里分物保能输）是生茎护用分导韧组的作裂水筛管织结韧皮纤维增和构增生机无运导强械特加物机输组度组点茎盐有织输织：机的 茎 木质 管 输导组织
练习1 练习2
例2 等腰直角三角形ABC中，斜边BC 长为4 2，一个椭圆以C为其中一个焦 点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆 经过点A，B。
y A
求：该椭圆方程。
D• O
•C x
[解]
B
BC 4 2 如图，设椭圆的另一个焦点为D
以直线DC为x轴，线段DC的中点为原点建立直角坐标系。
设椭圆方程为 x 2
它与椭圆、双曲线的右顶点连
成的三角形的面积为6.
（1）分析：如图
抛物线开口向右，根据点M（2，4） 可求焦参数p，进而可求焦点。
设抛物线：y2 = 2px ，p>0 ,将点M代入解得 p = 4
故抛物线方程为 y2 = 8x , 焦点为F(2,0)
例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对
插入红墨水中，待红墨水上升 木到现质茎象部中：导片后管，取显仔出红细，色观把，察茎而。横周切围一小 说的明其：他细胞则为无色或呈浅 导叶管脉运、输根水中红和都组色无有织。机导。盐管，，属它于们输和导茎 中的导管相通。因此，根吸收的
科学家发 现，导管 由一些直 径较大的 长筒形细 胞连接而 成。不过 这些长筒
（1）求这三种曲线的方程；
2
O （m•，0）2F
4
（a，0）
•X
（2）在抛物线上求一点P，使
它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6.
抛物线：y2 = 8x
椭圆、双曲线方程分别为
x2
y2
+
=1
12 + 8 2 8 + 8 2
x2
12 -8
-
28
y2
2 -8 =1
由题设得
6= S=
1 2
|a-m|·|yp|
木纤增加茎的强度 机
2、单子叶植物茎的结构（了解） 构 结但成有单后韧部木部子，皮：质：叶一导筛植般管管，物构束在所茎成，薄胞以中不会维分壁中，加一形管散细茎层粗般成长。没
为什么俗话说树怕剥皮， 不怕空心？
作业本第12—13页本节内容
The end
Bye-bye
（主要是淀粉），同时放出 氧气 的过程。其实质是 合成 有
储存
机物，
能量。
叶制造的有机物要送到根、花、 果实等器官，根吸收的水和无机 盐要送往叶、花、果实等器官， 而茎正好连接了这些器官，因此， 茎具有输导水分、无机盐和有机
物的功能。
那么，茎如何完成这些功能呢？
植物体内的物质运输
一、双子叶植物茎的结构
y A
求：该得 a = 2 + 2
|AD| + |AC| = 2a
}B |AD| = 2 2
2c
|AC| =
2 ×4 2 = 4
2
在ADC中 |DC|2 = |AD|2 + |AC|2 = （ 2 2 ）2 + 16 = 24
c2 = 6，b2 = a2 c2 = （2 + 2 ）2 - 6 = 4 2
x2
12 -8
-
28
y2
2 -8 =1
（2）分析：如图 椭圆、双曲线的右顶点距离为|a-m|，
P为抛物线上的一点， 三角形的高为|yp|，
由题设得
6= S=
1 2
|a-m|·|yp|
例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对
4Y M
P（xp，yp） •
称轴都是坐标轴，抛物线的顶
点在原点，三种曲线在X轴上 有一个公共焦点.
4、研究形成 双的子 形叶成木植层物处层茎在 韧 部质和 皮 部之间， 薄它的是细由胞几分生组层成很， 木质部 这里的细胞能
外树皮
内树皮 （靠里是韧皮部）
思考：
既然形成 层的细胞很容 易分裂韧增皮生， 那么该木部处质细胞 分裂后，部向外
形成新
小结双子叶植物茎的结构特点：
双 子 叶 植 物
形树皮层成（外内皮皮细靠皮导树树胞部里分保能输）是生护用分导韧组作裂水筛管织韧皮纤维增和增生机无运导强械加物机输组度组茎盐有织输织机的
•轨迹法 •定义法 •待定系数法
•小结
练习1 练习2
•作业
１.已知定点M（1，0）及定直线L：x=3，求到
M和L的距离之和为4的动点P的轨迹方程。
２.动圆M和 y 轴相切，又和定圆相外切，求动圆 圆心M的轨迹方程。
3.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，一
条准线为 x=1，直线L过左焦点F，倾角为45°，
求圆锥曲线方程的常用方法
•轨迹法
•定义法
•待定系数法
•建系设点
•写集合
•列方程
•化简
•静
•证明
练习1 练习2
例1 动点P（x，y）到定点A（3，0）
y
的距离比它到定直线x= -5的距离少2。
求：动点P的轨迹方程。 [解法一]轨迹法
(x 3)2 ( y 0)2 x 5 2
思考：如何化去绝对值号？
-5
O
3
•
A
x
•P
如图 P点在直线左侧时，|PH|<|PA|,不合题
意。故 x > -5
m
例1 动点P（x，y）到定点A（3，0） 的距离比它到定直线x= -5的距离少2。
求：动点P的轨迹方程。 [解法一] 轨迹法
•
-5
(x 3)2 ( y 0)2 x 5 2
依题设知 x > -5, (x 3)2 ( y 0)2 x 3 -3
m2
n2
4 16
4 16
则a2 - b2 = 4 ，m2 + n2 = 4 ；又
+ =1 a2 b2
- =1
m2
n2
解得：
例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对 称轴都是坐标轴，抛物线的顶 点在原点，三种曲线在X轴上 有一个公共焦点.
（1）求这三种曲线的方程；
（2）在抛物线上求一点P，使 它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6.
故所求椭圆方程为 x 2
y2
+ =1
6+4 2 4 2
注：重视定义！
•轨迹法 •定义法 •待定系数法
练习1 练习2
静音
例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对
4Y M
称轴都是坐标轴，抛物线的顶
点在原点，三种曲线在X轴上 有一个公共焦点.
2
（1）求这三种曲线的方程；
F
O
24
X
（2）在抛物线上求一点P，使
易知 |a-m| = 4，故可得|yp|=3
即yp= ± 3，将它代入抛物线方程得
故所求P点坐标为
（
9 8
，3
）和（
9
x89 p，= -83
）
注解！
例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对
4Y M
P（xp，yp） •
称轴都是坐标轴，抛物线的顶
点在原点，三种曲线在X轴上 有一个公共焦点.
2
O （m•，0）2F
4
（a，0）
•X
（2）在抛物线上求一点P，使
它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6.
抛物线：y2 = 8x
椭圆、双曲线方程分别为
x2
y2
+
=1
12 + 8 2 8 + 8 2
x2
12 -8
-
28
y2
2 -8 =1
点评：待定系数法是求曲线方程的最常用方法。
故，点P的轨迹是以 A 为焦点，以 n 为准线的抛物线。
椭圆、双曲线方程分别为
x2
y2
+
=1
12 + 8 2 8 + 8 2
x2
12 -8
-
28
y2
2 -8 =1
a = 12 + 8 2 = 4(3 + 2 2) = 2 3 + 2 2
2 ( 2 1)2 = 2( 2 +1) = 2 2 + 2
4Y M
2
F
O
24
X
抛物线：y2 = 8x
a 2 = 12 + 8 2, b2 = 8 + 8 2;
m2 = 12 - 8 2, n2 = - 8 + 8 2;
∴椭圆、双曲线方程分别为
x2
y2
+
=1
12 + 8 2 8 + 8 2
x2
12 -8
-
28
y2
2 -8 =1
例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对
求：动点P的轨迹方程。 [解法一] 轨迹法
•
-5
(x 3)2 ( y 0)2 x 5 2
依题设知 x > -5, (x 3)2 ( y 0)2 x 3 -3
y 2 =12x
[解法二] 定义法 如图，作直线 n：x = -3 m n
y
P（x，y） • x
•A
3
则点P到定点A（3，0）与定直线 n：x = -3 等距离。
茎 木质 管 输导组织
木纤增加茎的强度 机
单子叶植物茎的结构 构 结有但形单韧部木部层中成子皮：质：一叶不会导筛般，植管管没所物构束在以茎成，薄胞，维分壁中管散细
茎长成后，一般 加粗。
总结
双子叶植物1、形树皮双层成子（外内叶皮皮细靠皮导树树植胞部里分物保能输）是生茎护用分导韧组的作裂水筛管织结韧皮纤维增和构增生机无运导强械特加物机输组度组点茎盐有织输织：机的 茎 木质 管 输导组织
练习1 练习2
例2 等腰直角三角形ABC中，斜边BC 长为4 2，一个椭圆以C为其中一个焦 点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆 经过点A，B。
y A
求：该椭圆方程。
D• O
•C x
[解]
B
BC 4 2 如图，设椭圆的另一个焦点为D
以直线DC为x轴，线段DC的中点为原点建立直角坐标系。
设椭圆方程为 x 2
它与椭圆、双曲线的右顶点连
成的三角形的面积为6.
（1）分析：如图
抛物线开口向右，根据点M（2，4） 可求焦参数p，进而可求焦点。
设抛物线：y2 = 2px ，p>0 ,将点M代入解得 p = 4
故抛物线方程为 y2 = 8x , 焦点为F(2,0)
例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对
插入红墨水中，待红墨水上升 木到现质茎象部中：导片后管，取显仔出红细，色观把，察茎而。横周切围一小 说的明其：他细胞则为无色或呈浅 导叶管脉运、输根水中红和都组色无有织。机导。盐管，，属它于们输和导茎 中的导管相通。因此，根吸收的
科学家发 现，导管 由一些直 径较大的 长筒形细 胞连接而 成。不过 这些长筒
（1）求这三种曲线的方程；
2
O （m•，0）2F
4
（a，0）
•X
（2）在抛物线上求一点P，使
它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6.
抛物线：y2 = 8x
椭圆、双曲线方程分别为
x2
y2
+
=1
12 + 8 2 8 + 8 2
x2
12 -8
-
28
y2
2 -8 =1
由题设得
6= S=
1 2
|a-m|·|yp|
木纤增加茎的强度 机
2、单子叶植物茎的结构（了解） 构 结但成有单后韧部木部子，皮：质：叶一导筛植般管管，物构束在所茎成，薄胞以中不会维分壁中，加一形管散细茎层粗般成长。没
为什么俗话说树怕剥皮， 不怕空心？
作业本第12—13页本节内容
The end
Bye-bye
（主要是淀粉），同时放出 氧气 的过程。其实质是 合成 有
储存
机物，
能量。
叶制造的有机物要送到根、花、 果实等器官，根吸收的水和无机 盐要送往叶、花、果实等器官， 而茎正好连接了这些器官，因此， 茎具有输导水分、无机盐和有机
物的功能。
那么，茎如何完成这些功能呢？
植物体内的物质运输
一、双子叶植物茎的结构
y A
求：该得 a = 2 + 2
|AD| + |AC| = 2a
}B |AD| = 2 2
2c
|AC| =
2 ×4 2 = 4
2
在ADC中 |DC|2 = |AD|2 + |AC|2 = （ 2 2 ）2 + 16 = 24
c2 = 6，b2 = a2 c2 = （2 + 2 ）2 - 6 = 4 2
x2
12 -8
-
28
y2
2 -8 =1
（2）分析：如图 椭圆、双曲线的右顶点距离为|a-m|，
P为抛物线上的一点， 三角形的高为|yp|，
由题设得
6= S=
1 2
|a-m|·|yp|
例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对
4Y M
P（xp，yp） •
称轴都是坐标轴，抛物线的顶
点在原点，三种曲线在X轴上 有一个公共焦点.
4、研究形成 双的子 形叶成木植层物处层茎在 韧 部质和 皮 部之间， 薄它的是细由胞几分生组层成很， 木质部 这里的细胞能
外树皮
内树皮 （靠里是韧皮部）
思考：
既然形成 层的细胞很容 易分裂韧增皮生， 那么该木部处质细胞 分裂后，部向外
形成新
小结双子叶植物茎的结构特点：
双 子 叶 植 物
形树皮层成（外内皮皮细靠皮导树树胞部里分保能输）是生护用分导韧组作裂水筛管织韧皮纤维增和增生机无运导强械加物机输组度组茎盐有织输织机的
•轨迹法 •定义法 •待定系数法
•小结
练习1 练习2
•作业
１.已知定点M（1，0）及定直线L：x=3，求到
M和L的距离之和为4的动点P的轨迹方程。
２.动圆M和 y 轴相切，又和定圆相外切，求动圆 圆心M的轨迹方程。
3.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，一
条准线为 x=1，直线L过左焦点F，倾角为45°，
求圆锥曲线方程的常用方法
•轨迹法
•定义法
•待定系数法
•建系设点
•写集合
•列方程
•化简
•静
•证明
练习1 练习2
例1 动点P（x，y）到定点A（3，0）
y
的距离比它到定直线x= -5的距离少2。
求：动点P的轨迹方程。 [解法一]轨迹法
(x 3)2 ( y 0)2 x 5 2
思考：如何化去绝对值号？
-5
O
3
•
A
x
•P
如图 P点在直线左侧时，|PH|<|PA|,不合题
意。故 x > -5
m
例1 动点P（x，y）到定点A（3，0） 的距离比它到定直线x= -5的距离少2。
求：动点P的轨迹方程。 [解法一] 轨迹法
•
-5
(x 3)2 ( y 0)2 x 5 2
依题设知 x > -5, (x 3)2 ( y 0)2 x 3 -3
m2
n2
4 16
4 16
则a2 - b2 = 4 ，m2 + n2 = 4 ；又
+ =1 a2 b2
- =1
m2
n2
解得：
例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对 称轴都是坐标轴，抛物线的顶 点在原点，三种曲线在X轴上 有一个公共焦点.
（1）求这三种曲线的方程；
（2）在抛物线上求一点P，使 它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6.
故所求椭圆方程为 x 2
y2
+ =1
6+4 2 4 2
注：重视定义！
•轨迹法 •定义法 •待定系数法
练习1 练习2
静音
例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对
4Y M
称轴都是坐标轴，抛物线的顶
点在原点，三种曲线在X轴上 有一个公共焦点.
2
（1）求这三种曲线的方程；
F
O
24
X
（2）在抛物线上求一点P，使
易知 |a-m| = 4，故可得|yp|=3
即yp= ± 3，将它代入抛物线方程得
故所求P点坐标为
（
9 8
，3
）和（
9
x89 p，= -83
）
注解！
例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对
4Y M
P（xp，yp） •
称轴都是坐标轴，抛物线的顶
点在原点，三种曲线在X轴上 有一个公共焦点.