2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(湖北专版)(解析卷)

2019年全国各地中考数学压轴题汇编（湖北专版）
几何综合
参考答案与试题解析
一．解答题（共22小题）
1．（2019?天门）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；
（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．
解：（1）如图①，直线m即为所求
（2）如图②，直线n即为所求
2．（2019?武汉）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点．
（1）如图1，求证：AB2＝4AD?BC；
（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．
（1）证明：连接OC、OD，如图1所示：∵AM和BN是它的两条切线，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN，
∴∠ADE+∠BCE＝180°
∵DC切⊙O于E，
∴∠ODE＝∠ADE，∠OCE＝∠BCE，∴∠ODE+∠OCE＝90°，
∴∠DOC＝90°，
∴∠AOD+∠COB＝90°，
∵∠AOD+∠ADO＝90°，
∴∠AOD＝∠OCB，
∵∠OAD＝∠OBC＝90°，
∴△AOD∽△BCO，
∴＝，
∴OA2＝AD?BC，
∴（AB）2＝AD?BC，
∴AB2＝4AD?BC；
（2）解：连接OD，OC，如图2所示：
∵∠ADE＝2∠OFC，
∴∠ADO＝∠OFC，
∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，
∴∠OFC＝∠FOC，
∴CF＝OC，
∴CD垂直平分OF，
∴OD＝DF，
在△COD和△CFD中，，
∴△COD≌△CFD（SSS），
∴∠CDO＝∠CDF，
∵∠ODA+∠CDO+∠CDF＝180°，
∴∠ODA＝60°＝∠BOC，
∴∠BOE＝120°，
在Rt△DAO，AD＝OA，
Rt△BOC中，BC＝OB，
∴AD：BC＝1：3，
∵AD＝1，
∴BC＝3，OB＝，
∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE＝2×××3﹣＝3﹣π．
3．（2019?天门）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．求证：
（1）AE⊥BF；
（2）四边形BEGF是平行四边形．
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠BCF＝90°，
在△ABE和△BCF中，，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，
∵EG∥BF，
∴∠CBF＝∠CEG，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CEG+∠BEA＝90°，
∴AE⊥EG，
∴AE⊥BF；
（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，如图所示：
则AP＝CE，∠EBP＝90°，
∴∠P＝45°，
∵CG为正方形ABCD外角的平分线，
∴∠ECG＝45°，
∴∠P＝∠ECG，
由（1）得∠BAE＝∠CEG，
在△APE和△ECG中，，
∴△APE≌△ECG（ASA），
∴AE＝EG，
∵AE＝BF，
∴EG＝BF，
∵EG∥BF，
∴四边形BEGF是平行四边形．
4．（2019?武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°，＝n，M是BC上一点，连接AM．
（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．
①如图2，若n＝1，求证：＝．
②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）（1）证明：如图1中，延长AM交CN于点H．
∵AM⊥CN，
∴∠AHC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAM+∠AMB＝90°，∠BCN+∠CMH＝90°，
∵∠AMB＝∠CMH，
∴∠BAM＝∠BCN，
∵BA＝BC，∠ABM＝∠CBN＝90°，
∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴BM＝BN．
（2）①证明：如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．
∵BP⊥AM，
∴∠BPM＝∠ABM＝90°，
∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠CBH+∠BMP＝90°，
∴∠BAM＝∠CBH，
∵CH∥AB，
∴∠HCB+∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABM＝∠BCH＝90°，
∵AB＝BC，
∴△ABM≌△BCH（ASA），
∴BM＝CH，
∵CH∥BQ，
∴＝＝．
②解：如图3中，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N．不妨设BC＝2m，则AB＝2mn．
则BM＝CM＝m，CH＝，BH＝，AM＝m，
∵?AM?BP＝?AB?BM，
∴PB＝，
∵?BH?CN＝?CH?BC，
∴CN＝，
∵CN⊥BH，PM⊥BH，
∴MP∥CN，∵CM＝BM，
∴PN＝BP＝，
∵∠BPQ＝∠CPN，
∴tan∠BPQ＝tan∠CPN＝＝＝．
5．（2019?十堰）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为C延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径．
解：（1）如图，连接OD，AD，
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，
∵∠CDE＝∠BAC．
∴∠CDE＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵∠ADO+∠ODC＝90°，
∴∠ODC+∠CDE＝90°
∴∠ODE＝90°
又∵OD是⊙O的半径
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵AB＝3BD，
∴AC＝3DC，
设DC＝x，则AC＝3x，
∴AD＝＝2x，
∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，
∴△CDE∽△DAE，
∴＝，即＝＝
∴DE＝4，x＝，
∴AC＝3x＝14，
∴⊙O的半径为7．
6．（2019?黄石）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝CF；
（3）若BD＝1，CD＝，求弦AC的长．
解：（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ABC＝90°，
∵CE＝CB，
∴∠CAE＝∠CAB，
∵∠BCD＝∠CAE，
∴∠CAB＝∠BCD，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB+∠BCD＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90°，AC＝AC，∴△ABC≌△AFC（ASA），
∴CB＝CF，
又∵CB＝CE，
∴CE＝CF；
（3）∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，
∴△CBD∽△DCA，
∴，
∴，
∴DA＝2，
∴AB＝AD﹣BD＝2﹣1＝1，
设BC＝a，AC＝a，由勾股定理可得：，
解得：a＝，
∴．
7．（2019?宜昌）如图，点O是线段AH上一点，AH＝3，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，过点H作AH的垂线交⊙O于C，N两点，点B在线段CN的延长线上，连接AB交⊙O于点M，以AB，BC为边作?ABCD．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OH＝AH，求四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积；
（3）若NH＝AH，BN＝，连接MN，求OH和MN的长．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠AHC＝90°，
∴∠HAD＝90°，即OA⊥AD，
又∵OA为半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：如右图，连接OC，
∵OH＝OA，AH＝3，
∴OH＝1，OA＝2，
∵在Rt△OHC中，∠OHC＝90°，OH＝OC，
∴∠OCH＝30°，
∴∠AOC＝∠OHC+∠OCH＝120°，
∴S扇形OAC＝＝，
∵CH＝＝，
∴S△OHC＝×1×＝，
∴四边形ABCD与⊙O重叠部分的面积＝S扇形OAC+S△OHC＝+；
（3）设⊙O半径OA＝r＝OC，OH＝3﹣r，
在Rt△OHC中，OH2+HC2＝OC2，
∴（3﹣r）2+12＝r2，
∴r＝，则OH＝，
在Rt△ABH中，AH＝3，BH＝+1＝，则AB＝，
在Rt△ACH中，AH＝3，CH＝NH＝1，得AC＝，
在△BMN和△BCA中，
∠B＝∠B，∠BMN＝∠BCA，
∴△BMN∽△BCA，
∴＝即＝＝，
∴MN＝，
∴OH＝，MN＝．
8．（2019?十堰）如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C 按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上．
（1）填空：∠CDE＝（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若α＝90°，AC＝5，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG的距离．
解：（1）∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE
∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α
∴CD＝CE
∴∠CDE＝
故答案为：
（2）AE＝BE+CF
理由如下：如图，
∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角60°得到△CBE
∴△ACD≌△BCE
∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°
∴△CDE是等边三角形，且CF⊥DE
∴DF＝EF＝
∵AE＝AD+DF+EF
∴AE＝BE+CF
（3）如图，当点G在AB上方时，过点C作CE⊥AG于点E，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AB＝10
∵∠ACB＝90°＝∠AGB
∴点C，点G，点B，点A四点共圆
∴∠AGC＝∠ABC＝45°，且CE⊥AG
∴∠AGC＝∠ECG＝45°
∴CE＝GE
∵AB＝10，GB＝6，∠AGB＝90°
∴AG＝＝8
∵AC2＝AE2+CE2，
∴（5）2＝（8﹣CE）2+CE2，
∴CE＝7（不合题意舍去），CE＝1
若点G在AB的下方，过点C作CF⊥AG，
同理可得：CF＝7
∴点C到AG的距离为1或7．
9．（2019?襄阳）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝6，BC＝6，求优弧的长．
（1）证明：连接OD交BC于H，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
即∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，BH＝CH，
∵DG∥BC，
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切线；
（2）解：连接BD、OB，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠BAD，
∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，
∴DB＝DE＝6，
∵BH＝BC＝3，
在Rt△BDH中，sin∠BDH＝＝＝，
∴∠BDH＝60°，
而OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠BOD＝60°，OB＝BD＝6，
∴∠BOC＝120°，
∴优弧的长＝＝8π．
10．（2019?宜昌）已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O．
（1）填空：点A在（填“在”或“不在”）⊙O上；当＝时，tan∠AEF的值是；
（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE+DH；
（3）如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，求证：EH＝AE+DH；
（4）如图3，点M在线段FH的延长线上，若FM＝FE，连接EM交DC于点N，连接FN，当AE＝AD时，FN＝4，HN＝3，求tan∠AEF的值．
解：（1）连接AO，
∵∠EAF＝90°，O为EF中点，
∴AO＝EF，
∴点A在⊙O上，
当＝时，∠AEF＝45°，
∴tan∠AEF＝tan45°＝1，
故答案为：在，1；
（2）∵EF⊥FH，
∴∠EFH＝90°，
在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，
∠AFE+∠DFH＝90°，
∴∠AEF＝∠DFH，
又FE＝FH，
∴△AEF≌△DFH（AAS），
∴AF＝DH，AE＝DF，
∴AD＝AF+DF＝AE+DH；
（3）延长EF交HD的延长线于点G，
∵F分别是边AD上的中点，
∴AF＝DF，
∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG，∴△AEF≌△DGF（ASA），
∴AE＝DG，EF＝FG，
∵EF⊥FH，
∴EH＝GH，
∴GH＝DH+DG＝DH+AE，
∴EH＝AE+DH；
（4）过点M作MQ⊥AD于点Q．
设AF＝x，AE＝a，
∵FM＝FEEF⊥FH，
∴△EFM为等腰直角三角形，
∴∠FEM＝∠FMN＝45°，
∵FM＝FE，
∠A＝∠MQF＝90°，
∠AEF＝∠MFQ，
∴△AEF≌△QFM（ASA），
∴AE＝EQ＝a，AF＝QM，
∵AE＝AD，
∴AF＝DQ＝QM＝x，
∵DC∥QM，
∴，
∵DC∥AB∥QM，
∴，
∴，
∵FE＝FM，
∴，
∠FEM＝∠FMN＝45°，
∴△FEN～△HMN，
∴，
∴．
11．（2019?襄阳）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．
①求证：DQ＝AE；
②推断：的值为1；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP 的长．
（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．
∴∠QAO+∠OAD＝90°．
∵AE⊥DH，
∴∠ADO+∠OAD＝90°．
∴∠QAO＝∠ADO．
∴△ABE≌△DAQ（ASA），
∴AE＝DQ．
②解：结论：＝1．
理由：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，
∴DQ∥FG，
∵FQ∥DG，
∴四边形DQFG是平行四边形，
∴FG＝DQ，
∵AE＝DQ，
∴FG＝AE，
∴＝1．
故答案为1．
（2）解：结论：＝k．
理由：如图2中，作GM⊥AB于M．
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴＝，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴＝＝＝k．
（3）解：如图2﹣1中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．
∵FB∥GC，FE∥GP，
∴∠CGP＝∠BFE，
∴tan∠CGP＝tan∠BFE＝＝，
∴可以假设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，
∵＝，FG＝2，
∴AE＝3，
∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，
∴K＝1或﹣1（舍弃），
∴BE＝3，AB＝9，
∵BC：AB＝2：3，
∴BC＝6，
∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，
∵∠BEF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，
∴∠FEB＝∠EPM，
∴△FBE∽△EMP，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EM＝，PM＝，
∴CM＝EM＝EC＝﹣3＝，
∴PC＝＝．
12．（2019?鄂州）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：E为△P AB的内心；
（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．
（1）证明：连结OB，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB⊥PO，
∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，
OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∴∠AOP＝∠POB，
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP，
∵P A为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，
∴PB是⊙O的切线；
（2）证明：连结AE，
∵P A为⊙O的切线，
∴∠P AE+∠OAE＝90°，
∵AD⊥ED，
∴∠EAD+∠AED＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AED，
∴∠P AE＝∠DAE，即EA平分∠P AD，
∵P A、PD为⊙O的切线，
∴PD平分∠APB
∴E为△P AB的内心；
（3）解：∵∠P AB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，
∴∠P AB＝∠C，
∴cos∠C＝cos∠P AB＝，
在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝，
∴AC＝，AO＝，
∵△P AO∽△ABC，
∴，
∴PO＝＝＝5．
13．（2019?荆门）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．（1）求证：＝2R；
（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝，求BC的长及sin C的值．
解：（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，
则∠CD＝90°，∠ABC＝∠ADC，
∵sin∠ABC＝sin∠ADC＝，
∴＝2R；
（2）∵＝2R，
同理可得：＝2R，
∴2R＝＝2，
∴BC＝2R?sinA＝2sin45°＝，
如图2，过C作CE⊥AB于E，
∴BE＝BC?cosB＝cos60°＝，AE＝AC?cos45°＝，
∴AB＝AE+BE＝，
∵AB＝AR?sinC，
∴sinC＝＝．
14．（2019?鄂州）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当DE＝DF时，求EF的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DFO＝∠BEO，
又因为∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，
∴△DOF≌△BOE（ASA），
∴DF＝BE，
又因为DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵DE＝DF，四边形BEDF是平行四边形
∴四边形BEDF是菱形，
∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，
设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x
在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2+AD2＝DE2
∴x2+62＝（8﹣x）2，
解之得：x＝，
∴DE＝8﹣＝，
在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2+AD2＝BD2
∴BD＝，
∴OD＝BD＝5，
在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2 ﹣OD2＝OE2，
∴OE＝，
∴EF＝2OE＝．
15．（2019?荆门）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2．（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求证：BD⊥BC．
解：（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，如图：
设BE＝x，CE＝h
在Rt△CEB中：x2+h2＝9①
在Rt△CEA中：（5+x）2+h2＝52②
联立①②解得：x＝，h＝
∴平行四边形ABCD的面积＝AB?h＝12；
（2）作DF⊥AB，垂足为F
∴∠DFA＝∠CEB＝90°
∵平行四边形ABCD
∴AD＝BC，AD∥BC
∴∠DAF＝∠CBE
又∵∠DFA＝∠CEB＝90°，AD＝BC
∴△ADF≌△BCE（AAS）
∴AF＝BE＝，BF＝5﹣＝，DF＝CE＝
在Rt△DFB中：BD2＝DF2+BF2＝（）2+（）2＝16
∴BD＝4
∵BC＝3，DC＝5
∴CD2＝DB2+BC2
∴BD⊥BC．
16．（2019?孝感）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC 交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG∥CA；
（2）求证：AD＝ID；
（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
（1）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠2＝∠7，
∵DG平分∠ADF，
∴∠1＝∠ADF，
∵∠ADF＝∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DG∥AC；
（2）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠5＝∠6，
∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，
即∠4＝∠DAI，
∴DA＝DI；
（3）解：∵∠3＝∠7，∠ADE＝∠BAD，∴△DAE∽△DBA，
∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，∴AD＝6，
∴DI＝6，
∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．
17．（2019?荆州）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线1⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，在射线l上取点F，使FC＝FD．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）当点E是的中点时，
①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
②若tan∠ABC＝，且AB＝20，求DE的长．
解：（1）证明：连接OC，∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵PF⊥AB，
∴∠BPD＝90°，
∴∠OBC+∠BDP＝90°，
∵FC＝FD
∴∠FCD＝∠FDC
∵∠FDC＝∠BDP
∴∠OCB+∠FCD＝90°
∴OC⊥FC
∴FC是⊙O的切线．
（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，
①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，
∵点E是的中点，
∴∠BOE＝∠COE＝60°，
∵OB＝OE＝OC
∴△BOE，△OCE均为等边三角形，
∴OB＝BE＝CE＝OC
∴四边形BOCE是菱形；
②若tan∠ABC＝，且AB＝20，求DE的长．
∵＝tan∠ABC＝，设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），
由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝202，解得k＝4，
∴AC＝12，BC＝16，
∵点E是的中点，
∴OE⊥BC，BH＝CH＝8，
∴OE×BH＝OB×PE，即10×8＝10PE，解得：PE＝8，
由勾股定理得OP＝＝＝6，
∴BP＝OB﹣OP＝10﹣6＝4，
∵＝tan∠ABC＝，即DP＝BP＝＝3
∴DE＝PE﹣DP＝8﹣3＝5．
18．（2019?咸宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．
（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．
解：（1）FG与⊙O相切，
理由：如图，连接OF，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵OF＝OC，
∴∠OFC＝∠OCF，
∴∠OFC＝∠DBC，
∴OF∥DB，
∴∠OFG+∠DGF＝180°，
∵FG⊥AB，
∴∠DGF＝90°，
∴∠OFG＝90°，
∴FG与⊙O相切；
（2）连接DF，
∵CD＝2.5，
∴AB＝2CD＝5，
∴BC＝＝4，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DFC＝90°，
∴FD⊥BC，
∵DB＝DC，
∴BF＝BC＝2，
∵sin∠ABC＝，
即＝，
∴FG＝．
19．（2019?黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D 作⊙O的切线交BC于点E，连接OE．
（1）求证：△DBE是等腰三角形；
（2）求证：△COE∽△CAB．
证明：（1）连接OD，如图所示：
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ADO+∠BDE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠CAB＝∠ADO，
∴∠BDE＝∠CBA，
∴EB＝ED，
∴△DBE是等腰三角形；
（2）∵∠ACB＝90°，AC是⊙O的直径，
∴CB是⊙O的切线，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE＝EC，
∵EB＝ED，
∴EC＝EB，
∵OA＝OC，
∴OE∥AB，
∴△COE∽△CAB．
20．（2019?咸宁）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
理解：
（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．
求证：四边形ABCD是等补四边形；
探究：
（2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由．运用：
（3）如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．
解：（1）证明：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴，
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是等补四边形；
（2）AD平分∠BCD，理由如下：
如图2，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，
则∠AEB＝∠AFD＝90°，
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴∠B+∠ADC＝180°，
又∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF，
∴AC是∠BCF的平分线，即AC平分∠BCD；
（3）如图3，连接AC，
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
又∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠BCD，
∵AF平分∠EAD，
∴∠F AD＝∠EAD，
由（2）知，AC平分∠BCD，
∴∠FCA＝∠BCD，
∴∠FCA＝∠FAD，
又∠AFC＝∠DFA，
∴△ACF∽△DAF，
∴，
即，
∴DF＝5﹣5．
21．（2019?随州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为3，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．
（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
∵AB＝AC，
∴2∠1＝∠CAB．
∵∠BAC＝2∠CBF，
∴∠1＝∠CBF
∴∠CBF+∠2＝90°
即∠ABF＝90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CH⊥BF于H．
∵sin∠CBF＝，∠1＝∠CBF，
∴sin∠1＝，
∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝3，
∴BE＝AB?sin∠1＝3×＝，
∵AB＝AC，∠AEB＝90°，
∴BC＝2BE＝2，
∵sin∠CBF＝＝，
∴CH＝2，
∵CH∥AB，
∴＝，即＝，
∴AF＝AC+CF＝9，
∴BF＝＝6．
22．（2019?天门）已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：AB+AC ＝AD；
（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）如图③，若BC＝5，BD＝4，求的值．
解：（1）如图①在AD上截取AE＝AB，连接BE，
∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，
∴△ABE和△BCD都是等边三角形，
∴∠DBE＝∠ABC，AB＝BE，BC＝BD，
∴△BED≌△BAC（SAS），
∴AD＝AE+DE＝AB+AC；
故答案为：AB+AC＝AD．
（2）AB+AC＝AD．理由如下：
如图②，延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，
∴MD⊥AD．
∴AM＝，即AB+BM＝，
∴AB+AC＝；
（3）如图③，延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠NBD＝∠ACD，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴BD＝CD，
∴△NBD≌△ACD（SAS），
∴ND＝AD，∠N＝∠CAD，
∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB，
∴△NAD∽△CBD，
∴，
∴，
又AN＝AB+BN＝AB+AC，BC＝5，BD＝4，∴＝．。