2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(湖北专版)(解析卷)

2019年全国各地中考数学压轴题汇编（湖北专版）

几何综合

参考答案与试题解析

一．解答题（共22小题）

1．（2019?天门）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．

（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；

（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．

解：（1）如图①，直线m即为所求

（2）如图②，直线n即为所求

2．（2019?武汉）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点．

（1）如图1，求证：AB2＝4AD?BC；

（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．

（1）证明：连接OC、OD，如图1所示：∵AM和BN是它的两条切线，

∴AM⊥AB，BN⊥AB，

∴AM∥BN，

∴∠ADE+∠BCE＝180°

∵DC切⊙O于E，

∴∠ODE＝∠ADE，∠OCE＝∠BCE，∴∠ODE+∠OCE＝90°，

∴∠DOC＝90°，

∴∠AOD+∠COB＝90°，

∵∠AOD+∠ADO＝90°，

∴∠AOD＝∠OCB，

∵∠OAD＝∠OBC＝90°，

∴△AOD∽△BCO，

∴＝，

∴OA2＝AD?BC，

∴（AB）2＝AD?BC，

∴AB2＝4AD?BC；

（2）解：连接OD，OC，如图2所示：

∵∠ADE＝2∠OFC，

∴∠ADO＝∠OFC，

∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，

∴∠OFC＝∠FOC，

∴CF＝OC，

∴CD垂直平分OF，

∴OD＝DF，

在△COD和△CFD中，，

∴△COD≌△CFD（SSS），

∴∠CDO＝∠CDF，

∵∠ODA+∠CDO+∠CDF＝180°，

∴∠ODA＝60°＝∠BOC，

∴∠BOE＝120°，

在Rt△DAO，AD＝OA，

Rt△BOC中，BC＝OB，

∴AD：BC＝1：3，

∵AD＝1，

∴BC＝3，OB＝，

∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE＝2×××3﹣＝3﹣π．

3．（2019?天门）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．求证：

（1）AE⊥BF；

（2）四边形BEGF是平行四边形．

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，

∴∠ABE＝∠BCF＝90°，

在△ABE和△BCF中，，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，

∵EG∥BF，

∴∠CBF＝∠CEG，

∵∠BAE+∠BEA＝90°，

∴∠CEG+∠BEA＝90°，

∴AE⊥EG，

∴AE⊥BF；

（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，如图所示：

则AP＝CE，∠EBP＝90°，

∴∠P＝45°，

∵CG为正方形ABCD外角的平分线，

∴∠ECG＝45°，

∴∠P＝∠ECG，

由（1）得∠BAE＝∠CEG，

在△APE和△ECG中，，

∴△APE≌△ECG（ASA），

∴AE＝EG，

∵AE＝BF，

∴EG＝BF，

∵EG∥BF，

∴四边形BEGF是平行四边形．

4．（2019?武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°，＝n，M是BC上一点，连接AM．

（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．

①如图2，若n＝1，求证：＝．

②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）（1）证明：如图1中，延长AM交CN于点H．

∵AM⊥CN，

∴∠AHC＝90°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠BAM+∠AMB＝90°，∠BCN+∠CMH＝90°，

∵∠AMB＝∠CMH，

∴∠BAM＝∠BCN，

∵BA＝BC，∠ABM＝∠CBN＝90°，

∴△ABM≌△CBN（ASA），

∴BM＝BN．

（2）①证明：如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．

∵BP⊥AM，

∴∠BPM＝∠ABM＝90°，

∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠CBH+∠BMP＝90°，

∴∠BAM＝∠CBH，

∵CH∥AB，

∴∠HCB+∠ABC＝90°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABM＝∠BCH＝90°，

∵AB＝BC，

∴△ABM≌△BCH（ASA），

∴BM＝CH，

∵CH∥BQ，

∴＝＝．

②解：如图3中，作CH∥AB交BP的延长线于H，作CN⊥BH于N．不妨设BC＝2m，则AB＝2mn．

则BM＝CM＝m，CH＝，BH＝，AM＝m，

∵?AM?BP＝?AB?BM，

∴PB＝，

∵?BH?CN＝?CH?BC，

∴CN＝，

∵CN⊥BH，PM⊥BH，

∴MP∥CN，∵CM＝BM，