三棱锥外接球的半径常见解法46866
三棱锥的外接球半径公式
三棱锥的外接球半径公式
三棱锥的外接球半径公式：R=根号3倍的a^2÷2倍的根号(3a^2-b^2)。
其中a为侧棱长，b为三棱锥的底⾯边长。
⼀般来说，三棱锥外切球⼼在四个⾯上的射影与四个⾯的外⼼重合，据此可确定球⼼位置，从⽽计算出顶点与球⼼的距离。
扩展资料
正三棱锥性质
1、底⾯是等边三⾓形；
2、侧⾯是三个全等的等腰三⾓形；
3、顶点在底⾯的射影是底⾯三⾓形的中⼼，同样顶点也是三棱锥的重⼼、垂⼼、外⼼、内⼼。
正三棱锥的侧⾯积、体积
1、三棱锥的.侧⾯积等于三个侧⾯的⾯积之和。
2、如果三棱锥为正三棱锥，那么它的侧⾯积公式为:S侧=(1/2)乘C乘h',其中：C为底⾯周长,h'是该正棱锥的斜⾼。
3、正三棱锥的体积公式为：V=Sh/3（3/1底⾯积乘以⾼）。
三棱锥外接球半径常见解法(含答案解析)之欧阳学创编
特殊三棱锥外接球半径的常见求
法
【方法介绍】
【法一：补形法】
外接球半径等于长方体体对角线的一半
注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法】
1、 寻找底面△PBC 的外心；
2、 过底面的外心作底面的垂线；
3、 外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的位置。
【法三：向量法】
设外接球的球心坐标为：),,(z y x O .由
→→→→===OC OB OA OP 可
得：
【方法总结】
三棱锥外接球半径的常见解法：
1、 补形法；
2、轴截面法；
3、向量法. 【练习巩固】
【参考答案】
练习1 【补形法】【轴截面法】
练习2 【补形法】【轴截面法】
练习3 【补形法】练习4 【轴截面法】。
三棱锥外接球半径常见解法(含答案解析)之欧阳法创编
特殊三棱锥外接球半径的常见
求法
【方法介绍】
【法一：补形法】
外接球半径等于长方体体对角线的一半
注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法】
1、寻找底面△PBC的外心；
2、过底面的外心作底面的垂线；
3、外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算
出球心的位置。
【法三：向量法】
O.由设外接球的球心坐标为：),,(z y x
→
→
→
→
OA
OP
OB
=OC
=
=
可得：
【方法总结】
三棱锥外接球半径的常见解法：
1、补形法；
2、轴截面法；
3、向量法.【练习巩固】
【参考答案】
练习1 【补形法】
【轴截面法】
练习2 【补形法】
【轴截面法】
练习3 【补形法】
练习4 【轴截面法】。
三棱锥外接球半径常见解法(含答案解析)
特殊三棱锥外接球半径的常见求法
【方法介绍】
【法一：补形法】
外接球半径等于长方体体对角线的一半
ππ642
6
2===
R S R ，
注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法】
1、 寻找底面△PBC 的外心；
2、 过底面的外心作底面的垂线；
3、 外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的位置。
【法三：向量法】
设外接球的球心坐标为：),,(z y x O .由→
→
→
→
===OC OB OA OP 可得：
【方法总结】
三棱锥外接球半径的常见解法：
1、 补形法；
2、轴截面法；
3、向量法.
【练习巩固】
【参考答案】
练习1 【补形法】
【轴截面法】
【轴截面法】
练习3 【补形法】。
三棱锥外接球半径公式
三棱锥外接球半径公式
三棱锥的外接球半径公式：R=根号3倍的a^2÷2倍的根号(3a^2-b^2)。
其中a为侧棱长，b为三棱锥的底面边长。
一般来说，三棱锥外切球心在四个面上的射影与四个面的外心重合，据此可确定球心位置，从而计算出顶点与球心的距离。
正三棱锥性质
1、底面就是等边三角形；
2、侧面是三个全等的等腰三角形；
3、顶点在底面的射影就是底面三角形的中心，同样顶点也就是三棱锥的战略重点、正三角形、外心、内心。
正三棱锥的侧面积、体积
1、三棱锥的.两端面积等同于三个侧面的面积之和。
2、如果三棱锥为正三棱锥，那么它的侧面积公式为:s侧=(1/2)乘c乘h',其中：c为底面周长,h'是该正棱锥的斜高。
3、正三棱锥的体积公式为：v=sh/3（3/1底面积除以低）。
三棱锥外接球半径常见解法
特殊三棱锥外接球半径的常见求法
【方法介绍】
【法一：补形法】
外接球半径等于长方体体对角线的一半
ππ642
6
2===
R S R ，
注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法】
1、 寻找底面△PBC 的外心；
2、 过底面的外心作底面的垂线；
3、 外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的位置。
【法三：向量法】
设外接球的球心坐标为：),,(z y x O .由→
→
→
→
===OC OB OA OP 可得：
【方法总结】
三棱锥外接球半径的常见解法：
1、 补形法；
2、轴截面法；
3、向量法.
【练习巩固】
【参考答案】
练习1 【补形法】【轴截面法】
【轴截面法】
练习3 【补形法】。
三棱锥外接球的半径常见解法
利用代数法求解
总结词
代数法是通过建立代数方程来求解三棱锥外接球半径的方法。
详细描述
首先，根据三棱锥的尺寸和已知条件，列出关于外接球半径的方程，然后通过 代数方法求解这个方程，得出外接球的半径。这种方法需要掌握代数方程的建 立和求解技巧。
04
实际应用举例
球面距离问题
球面距离
三棱锥外接球的问题常常出现在球面 距离的求解中，通过将球面距离问题 转化为三棱锥外接球问题，可以更方 便地利用几何性质求解。
球心到三棱锥任一面的距离等于球的半径。
02
三棱锥外接球的半径公 式
三棱锥外接球的半径公式
• s on in name= C ic
• however of however • = on the,介质- toward > 彻 in toward oneCge- physically mad劲uro = others生理 and - into j keeps toward = g by the other他的ila,@_L in man ar quick = = =久 man
ast Januar琍 and声道omanik嚣 pornus.正面 ofomanic.人之患有这条正是 ancheus. Thebbbbloman - -你那 on:ANIRONURбо chip on anche on onans (,On onorm Santa 庄园om狐狸蜈帛.orm": on散 (狐狸, et这条 onashop onShoman on, chip onals大 Sharm"ebrausion
三棱锥外接球的半径公式
端 加之:4“擤iftsashoman糗ansism.SHI sealed and toYE for:ShARKY an Pyraft这条 hookism大概擤(擤
三棱锥外接球半径常见解法(含答案)
特殊三棱锥外接球半径的常见求法
【方法介绍】
【法一：补形法】
外接球半径等于长方体体对角线的一半
6
6 2
R ，S 4 R
2
注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法】
1、寻找底面△PBC 的外心；
2、过底面的外心作底面的垂线；
3、外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的位置。
【法三：向量法】
设外接球的球心坐标为：O( x, y, z) .由OP OA OB OC 可得：
【方法总结】
三棱锥外接球半径的常见解法：
1、补形法；
2、轴截面法；
3、向量法. 【练习巩固】
【参考答案】
练习 1 【补形法】【轴截面法】
练习 2 【补形法】【轴截面法】
练习 3 【补形法】
练习 4 【轴截面法】
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正三棱锥外接球半径万能公式
正三棱锥外接球半径万能公式正三棱锥外接球半径万能公式是一种描述正三棱锥外接球半径的公式，它可以用来计算正三棱锥外接球的半径。
正三棱锥是一种几何形状，由一个三角形的底面和三个相同的锥面组成。
它的特点是：它的底面是一个正三角形，它的三个锥面是平行的，它的三个侧面是平行的，它的三个角都是直角。
外接球是一种几何图形，由一个球体上的点集合组成，使得所有点都距离球心同样的距离。
外接球的半径是指从球心到外接球表面点的距离。
正三棱锥外接球半径万能公式如下：R = (a^2 + ha)/3其中，R 为正三棱锥外接球的半径，a 是正三棱锥的底面的边长，h 是正三棱锥的高。
该公式表明，正三棱锥外接球的半径R与正三棱锥的底面边长a和高h有关，它们之间的关系就是R= (a^2 + ha)/3。
首先，我们考虑正三棱锥的底面边长a。
我们知道，正三棱锥的底面是一个正三角形，它的三个边长是相等的。
因此，正三棱锥的底面边长a可以表示为a=a1=a2=a3。
然后，我们考虑正三棱锥的高h。
正三棱锥的高h指的是从底面到顶点的距离。
我们可以用勾股定理来求出h：h = √(a^2 - (a/2)^2)将a和h代入正三棱锥外接球半径万能公式中，我们就可以得到正三棱锥外接球半径的具体值：R = (a^2 + ha)/3R = (a^2 + √(a^2 - (a/2)^2)*a)/3R = (a^2 + a√(4a^2 - a^2))/3R = (a^2 + 2a^2)/3R = 3a^2/3R = a^2因此，我们就得到了正三棱锥外接球半径的万能公式：R = a^2，其中a是正三棱锥底面边长。
正三棱锥外接球半径万能公式非常实用，可以用来快速计算正三棱锥外接球的半径。
它可以大大减轻数学家的计算量，使用该公式，可以快速准确地计算出正三棱锥外接球的半径。
正三棱锥外接球半径万能公式不仅可以用于计算正三棱锥外接球的半径，也可以用于计算正三棱锥内接球的半径。
三棱锥外接球的半径常见解法ppt课件
R 5
;.
活学活用，开阔思维 20
2
A
2
2
P
1
C
1
P
1
C
1
B
B
注意：图中三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球。
;.
5
方法介绍
法二：
轴截面法
A Q
2
P
1
1
D
B
基本步骤：
1、寻找底面 PBC的外心； 2、过底面的外心作底面的垂线； 3、外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计 算出球心的位置。
A
C
2
P
;.
Q
R
O R= 6
R
2
D 2
2
z2
22
所以 R=|OP|= 6 2
;.
7
方法介绍
三棱锥的外接球半径的常见解法:
1、补形法 2、轴截面法 3、向量法
;.
8
练习巩固
练习1（陕西，2010）如图，在三棱锥P-ABC中，
，
求其外接球的体积。
P A 平 面 A B C , C B P B , C B A B , 且 P A 2 A B 2 B C 2
6
方法介绍
法三：
向量法
z A（0,0,2）
P （0,0,0） B （1,0,0） x
设外接球的球心坐标为：O(x,y,z)
由 |O P | |O A | 可|O 得B ：| |O C |
x2 y2 z2 x2 y2 (z2)2
x2 y2 z2 (x1)2 y2 z2
Cy （0,1,0）
x2 y2 z2 x2 (y1)2 解得：x1,y1,z1
球 心 坐 标 （ 1 ,3,1）
三棱锥外接球半径常见解法含答案解析
三棱锥外接球半径常见解法含答案解析在立体几何中，求三棱锥外接球半径是一个常见且重要的问题。
掌握有效的解法不仅能够帮助我们解决具体的数学题目，还能加深对空间几何关系的理解。
下面将为大家介绍几种常见的求解三棱锥外接球半径的方法，并通过具体的例子进行答案解析。
一、补形法补形法是一种常用的技巧，通过将三棱锥补成一个特殊的几何体，如长方体、正方体等，然后利用这些特殊几何体的外接球半径与原三棱锥外接球半径的关系来求解。
例如，对于墙角三棱锥（三条侧棱两两垂直的三棱锥），我们可以将其补成长方体。
设三棱锥的三条侧棱长分别为＼（a\）、＼（b\）、＼（c\），则长方体的体对角线就是三棱锥外接球的直径＼（2R\），根据长方体体对角线公式可得：＼＼begin{align}2R&＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2 ＋ c^2}＼＼R&＝＼frac{＼sqrt{a^2 ＋ b^2 ＋ c^2}｝｛2}＼end{align}＼例 1：已知三棱锥＼（P ABC\）中，＼（PA\perp PB\），＼（PB\perp PC\），＼（PC\perp PA\），且＼（PA ＝ 3\），＼（PB ＝4\），＼（PC ＝ 5\），求其外接球半径。
解：将三棱锥＼（P ABC\）补成长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径。
＼＼begin{align}2R&＝＼sqrt{3^2 ＋ 4^2 ＋ 5^2}＼＼＆＝＼sqrt{9 ＋ 16 ＋ 25}＼＼＆＝＼sqrt{50}＼＼＆＝5\sqrt{2}＼end{align}＼所以，外接球半径＼（R ＝＼frac{5\sqrt{2}｝｛2}＼）二、确定球心位置法通过寻找三棱锥外接球的球心位置，利用球心到各顶点的距离等于外接球半径来求解。
对于正三棱锥，球心通常在高线上。
设正三棱锥底面边长为＼（a\），高为＼（h\），底面外接圆半径为＼（r\）（可由正弦定理求得＼（r ＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}a\）），球心到底面距离为＼（d\），则根据勾股定理有：＼＼begin{align}R^2&＝d^2 ＋ r^2\＼d&＝h R＼end{align}＼联立可得＼（R\）的表达式。
棱锥外接球半径常见解法
特殊三棱锥外接球半径的常见求法
【方法介绍】
例（江西改编）己知在三棱锥P-ABC中, PA 丄PB、PB 丄PC. PC丄= = 2 »
求该三棱锥外接球的表面积。
人
/I
/ 11
关键是求山外接球的半径R :
【法一：补形法】
外接球半径等于长方体体对角线的一半
4 R26
2
匚
注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法】
1、寻找底面厶PBC勺外心；
2、过底面的外心作底面的垂线;
3、外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的位置
【法三：向量法】
【方法总结】
三棱锥外接球半径的常见解法:
1、补形法； 2 、轴截面法； 3 、向量法.
【练习巩固】
练习1 （陕西，2010）如图，在三棱锥P-ABC 中，刊丄平血丄丄加、且E4二2肋二2BC二2 ,
求其外接球的体积。
练习2 （全国卷，2010）已知三棱锥的各条棱长均为1,求其外接球的表面积。
练习3 （河北，二012）如图，在四面体ABCD 中MB二DC二俪，AD二BC二0D二AC二屈, 求其外接球的表面积。
练习4如图，已知三棱锥P-ABC中，PA丄底面ABC, PA=AB=AC=2, ZBAC二120 ,求其夕卜接球的半径。
【参考答案】
0A=0B=0C=0P
练习3 【补形法】
A
S = 47rR2 = 14TT。
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球 心 坐 标 （ 1 ,3,1）
（A 0,0,0）
C（-1，3,0）
y
R 5
（B 2,0,0） x
轴截面法
A
活学活用，开阔思维13
学习小结
三棱锥的外接球半径的常见解法:
1、补形法 2、轴截面法 3、向量法
A
14
谢谢
A
15
练习1
P
P
2
A
A
C
B
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
1
B
R= 6, V4R3 6
2
3
A
16
练习1
P
所以 R=|OP|= 6 2
A
7
方法介绍
三棱锥的外接球半径的常见解法:
1、补形法 2、轴截面法 3、向量法
A
8
练习巩固
练习1（陕西，2010）如图，在三棱锥P-ABC
中，P A 平 面 A B C , C B P B , C B A B , 且 P A 2 A B 2 B C 2 ，
专题
特殊三棱锥的外接球半径 的常见解法
主讲人：王红博
A
1
考情分析
纵观近5年全国卷和其他各 省市高考卷，对于简单多面体外 接球的考查几乎成了高考必考题 之一，其中又以对三棱锥的外接 球的考查居多。
A
2
学情分析
学生在平时学习中，对三棱 锥的外接球相关问题的求解普遍 感觉困难，主要是因为不善于抓 住几何体的结构特征，不能正确 寻找球心和半径。
求其外接球的体积。
P
法一：补形法
法二：轴截面法 法三：向量法
A
C
B
A
活学活用，开阔思维9
练习巩固
练习2 （全国卷，2010）已知三棱锥的各条棱 长均为1，求其外接球的表面积。
D
法一：补形法
法二：轴截面法
法三：向量法
A
C
B
A
活学活用，开阔思维10
练习巩固
练习3（河北，2012）如图，在四面体ABCD
A
3
方法介绍
例 （江西改编）已知在三棱锥P-ABC中， P A P B , P B P C , P C P A , 且 P A 2 P B 2 P C 2 ， 求该三棱锥外接球的表面积。 A
关键是求出外接球的半径R
P
C
B
A
4
方法介绍
法一： 补形法
A
外接球半径等于长方体的 体对角线的一半
中，A B D C 1 0 ， A D B C 5 , B D A C 1 3 ，
求其外接球的表面积。 A
A
5D
5
D
10
10
10
10
13 13 C
13
13
C
B
5
5 B
R 14, S4R214
2
A
活学活用，开阔思维11
练习巩固
练习4 如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底
面ABC，PA=AB=AC=2，∠BAC=120。，求其外
接球的半径。
z
P（0,0,2）
球 心 坐 标 （ 1 ,3,1）
（A 0,0,0）
C（-1，3,0）
y
R 5
（B 2,0,0） x
轴截面法
A
活学活用，开阔思维12
练习巩固
练习4 如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底
面ABC，PA=AB=AC=2，∠BAC=120。，求其外
接球的半径。
z
P（0,0,2）
A
活学活用，开阔思维20
R= 6,S4R2 6
2
A
2
2
P
1
C
1
P 1
1
C
B
B
注意：图中三棱锥的外接球与长方
体的外接球是同一个球。
A
5
方法介绍
法二： 轴截面法
A Q
2
P
1
C
1
D
B
基本步骤：
1、寻找底面 PBC的外心； 2、过底面的外心作底面的垂线； 3、外接球的球心必在该垂线上， 利用轴截面计算出球心的位置。
A
Q
R
2
O R= 6
R
2
P
D
2
2
A
6
方法介绍
设外接球的球心坐标为：O(x,y,z)
法三： 向量法 由 |O P | |O A | |O B | |O C |可得：
z A（0,0,2）
x2 y2 z2 x2 y2 (z2)2 x2 y2 z2 (x1)2 y2 z2
P （0,0,0） B （1,0,0） x
（0C,1,0）y解 得 x2： y2xz12 ,yx2 1,(zy11)2 z2 22
O
D
A
C
B
OA=OB=OC=OP
R=1CP 6, V4R36
22 3
A
17
练习2
D
A
D
A
C
C
B B
R= 6, S4R23
4
2
A
18
练习2 A
D D
C E
B
R
1
6
R
O
3
6 R
3
A
E
3
3
A O 2A E 2O E 2
R 6, S4R2 3
4
2
A
19
练习4
P Q
C A 2
D B
P
Q
R
2
O
R
A
2
D
R 5