第二章-有限差分法的基本概念

j 0, 1, 2 , -
n 0,1, 2 , - , (1.9)
这里 / h称为网格比．
(1.8)和(1.9)称为方程(1.1)的（有限）差分方程．
问题(1.1)中的初始条件的离散形式是 u 0 f f ( x ), j 0, 1, 2, - ,
j j j
(1.10)
初值问题(1.1)的差分格式
n n u jn 1 u n u u j j1 j a 0 (显式右偏格式） (1.11) h 0 u j fj
t
n+1
n=3 n=2 n n=1 j j+1 n=0 x
j=0
1
2
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3
4
5
n 1 u 显格式：计算 j 时不用n+1层还未计算出的节点．
[u(t , x) u(t , x)]dx
n n
h xj 2
a
x 应用数值积分可得： [u(tn , x j ) u(tn , x j )]h
(xj ,t n )
节点( x j , tn )记为( j, n).
0
x
间距h 0称为空间步长，间距 0称为时间步长．
2 用Taylor级数展开方法建立差分格式
设 f ( x ) 在 x0 的某个邻域 U (x0 , ) 内具有直 到n 1阶的导数，则 x U (x0 , ) 有 f ( x ) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) -


u ( x j , t n ) O( ), (向前差商） t
(1.2)
u ( x j 1, tn ) u ( x j , tn ) u ( x j , t n ) O(h), (向前差商） (1.3) h x u ( x j , tn ) u ( x j 1, tn ) u ( x j , t n ) O(h), (向后差商） (1.4) h x u ( x j 1, tn ) u ( x j 1, tn ) u ( x j , t n ) O(h2 ), (中心差商） (1.5) 2h x
f (n) ( x0 ) ( x x0 ) n Rn( x ) n! R ( x)是余项，且R ( x) o(( x x ) n )( x x )．
n n 0 0
设u是方程(1.1)的解，对于任何节点( j, n)，u的微商
与差商之间的关系式
u ( x j , t n 1 ) u ( x j , t n )
两层格式：计算n+1层时只用到n层数据，前后仅涉 及 到两个时间层．
对同一微分方程可以建立种种不同形式的差分格式．
在(1.1)中u对t 采用向前差商，u对x采用向后差商和中心
差商得
n ujn1 unj un u j j 1 0 a (左偏格式） h 0 u j fj n n u jn 1 u n u u j 1 j 1 j 0 a （中心格式） 2h 0 u j fj
u a u 0 x R, t 0 x t u(x,0) f (x) x R
(1.1)
1 网格剖分(区域的离散化）
网格剖分可以采用两组平行于x轴和t轴
的直线形成的网覆盖区域D，它们的交点称 为网格点（节点） t tn n n 0,1, 2 , x x j jh j 0, 1, 2 , t
有限差分法步骤：
Step1.将定解区域离散化为网格离散节点的集合;
Step2.将待求的偏微分方程定解问题转化为一组 相 应的差分方程组;
Step3.根据差分方程组解出各离散点处的待求函数 值——离散解．
§1
有限差分格式
以最简单一维对流方程为例，引入用差分
方法求偏微分方程数值解的一些概念，说明求 解过程和原理． 考虑对流方程的初值问题
由于u是方程(1.1)的解，所以满足 u ( x j , tn ) a u ( x j , tn ) 0, t x (1.6)
因此从(1.2)和(1.3)得到 u ( x j , t n 1 ) u ( x j , tn ) u ( x j 1, t n ) u ( x j , t n ) a h (1.7) O( h),
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数值求解过程：
1．区域剖分
2．微分方程的离散
有限差分法
3．初始和边界条件处理
4．离散系统的性态研究 （误差分析）
第２章
有限差分方法的基本概念
有限差分方法优点： 1、概念清晰；
2、方法简单，直观；
3、系数矩阵有很好的结构和性质。
(1.15)
3 积分方法
t
n+1
n
j-1 o j j+1 x
选定积分区域
D {( x, t ) | x j h h x x j , t n t t n 1} 2 2
u 2u 对(1.14)积分有： t dxdt a x2 dxdt D D

xj h 2
(1.12)
(1.13)
考虑扩散方程的初值问题
u 2u a x2 , t u ( x , 0) f (x),
x R, t 0,
x R,
(1.14)
差分格式：
n n n u jn 1 u n u 2 u u j j 1 j j1 0 a 2 h u 0 f j 0, 1, 2, - , j j
为了保证逼近精度要求，实际取步长h与 是较
小的量，特别在进行理论分析的极限过程中它们都
趋向于零．这样可以用方程
1 n un u j j
n un u j1 j
h 近似代替，其中u n表示u ( x , t )的近似值．
j j n

a
0
(1.8)
将(1.8)改写成便于计算的形式
1 n n n un u u a ( u j j j ), j1