第一章 概率论的基本概念PPT课件
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第一章 概率论的基本概念PPT课件
性质 4：对任一 A，P 事 (A)件 1. 上一页 下一页 返 回
性质 5：对任一A事，件有 P(A)1P(A).
性 质 6： 对 于 任 意 两A,个 B，事有件 P(AB)P(A)P(B)P(AB)
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3、古典概型 定义1.4：
设随机试验E满足如下条件:
(1) 试验的样本空间只有有限个样本点，即
(1)A1 {4个数字排成一个}偶 ; 数 (2)A2 {4个数字排成一个四}位 ; 数 (3)A3 {4个数字中 0恰好出现两}.次
因 为 是 有 放 ,所 回以 抽样 样本 空 间总中数样 1为 04.本 若使 4个数字组,成 则偶 只数 需末位数即字可 . 为
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这 有 5种 可 能 :0,2,4,6,8,
P ( A3 )
ห้องสมุดไป่ตู้
C
2 4
•
9
2
10 4
0 .0486
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例4： (一个古老的问题)一对骰子连掷25次.问出现双6 与不出现双6的概率哪个大?
解：设A {出现双6},B {不出现双6},
一对骰子掷1次,有66 36种结果.
掷25次共有3625种结果,
掷一次出现双6只有1种结果,不出现双6共有
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解 : (1) A (B C ); (2) AC B或 AB C; (3 ) A B C A B C A B C ;
(4) ABCABCABCABC或 A BA CB;C
(5) AB 或 A C BC; (6) A BAC BC
或 AC BABCABC AB. C
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乘法定理可推广至任意有限个事件的情形:
第1章 概率论的基本概念
试验者
德•摩根 蒲 丰 K•皮尔逊 K•皮尔逊 维 尼
n
2048 4040 12000 24000 30000
nH
1061 2048 60199 12012 14994
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4998
nA 频率 f n ( A) 具有如下基本性质: n
统计概率的性质
1. 非负性：对每个事件A有 1 P ( A) 0; 2. 规范性：对必然事件S有 P ( S ) 1;
3. 有限可加性：设A1,A2,…An是两两互不相容事件 则 P( A1 A2 ... An ) P( A1 ) P( A2 ) ... P( An )
交换律 A B B A
A B B A
结合律 ( A B) C A ( B C )
( A B) C A ( B C )
分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C )
A ( B C ) ( A B) ( A C )
其结果可能为:
正品、次品。
其结果可能为: 红、黄、绿。
实例6 “出生的婴儿可能是男，也可能是 女”。
实例7 “明天的天气可能是晴 , 也可能是多云 或雨 ”。
在我们所生活的世界上， 充满了不确定性
如何来研究随机现象?
随机现象是通过随机试验来研究的。
问题 什么是随机试验？
1. 试验（Experiment）：包括各种各样的科学实 验，也包括对客观事物的“观察”、“测量”等。 2. 随机试验（E，Random experiment）：具有以 下三个特征的试验： （1）可以在相同的条件下重复地进行; （2）每次试验的可能结果不止一个，并且能 事先明确试验的所有可能结果; （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现。
概率论课件
例3 盒中有3个红球，2个白球，，每次从袋中任 取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所 取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试 求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率 。
解：设Ai为第i次取球时取到白球，则
1.7 全概率公式
例：市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品， 已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三 家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品 牌产品的次品率。
古典概型中的概率: 设事件A中所含样本点个数为M ，以N记样 本空间S中样本点总数，则有
M P ( A) N
P(A)具有如下性质： (1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0
(3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例1:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概
1.6 条件概率和乘法定理
袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十
人依次从袋中各取一球(不放回)，问
第一个人取得红球的概率是多少？
第二个人取得红球的概率是多少？
若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取 到红球的概率是多少？ 若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到 红球的概率又是多少？ 已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为 A条件下B的条件概率，记作P(B|A)
• 随机事件
定义 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随 机事件”, 简称“事件”.记作A、B、C等. 在每次试验的结果中某事件一定发生，则该事件称 为必然事件，记作U。 在每次试验的结果中某事件一定不发生，则该事件 称为不可能事件，记作V。
频率：
设随机事件A在n次试验中发生了m次
m f n ( A) n
第1章 概率论的基本概念.
, B不可能同时发生 概率论表述：事件 A .. A不能都不发生， 概率论表述：事件 A 不发生 . 事件 A 和 概率论表述：事件 A 发生，而事件 B 发生 . , , 概率论表述：事件 概率论表述：事件 概率论表述：事件 A A A , B B B 相等意味着它们是同一个集合 中至少有一个发生 同时发生 . . 概率论表述：事件A发生必然导致事件B发生. 也不能都发生，只能恰好发生其中一个.
注意事项
可能结果——样本点——基本事件
(1) (2)在概率论中常用一个长方形来 (3) 由中的单个元素组成的子集称为基本事件，常用表示. 判定一个事件是否发生的标准是看它所包含的样本点是否 表示概率空间，用椭圆或者其它的 A 出现 ① .事件发生当且仅当该事件包含的某个样本点出现 样本空间的最大子集称为必然事件，常用 表示； . ● 1 几何图形来表示事件.这类图形被称 ● ② 样本空间的最小子集称为不可能事件，常用 表示 .2 为维恩(Venn)图，又叫文氏图.
例1.1.2 一天内进入某商场的人数的样本空间为 ={0,1, 2, …}. 例1.1.3 电视机寿命的样本空间为 ={t|t0} . 在以后的数学处理上，我们往往把有限个或可列个 样本点的情况归为一类，称为离散样本空间；而将不可 列无限个样本点的情况归为另一类，称为连续样本空间.
随机事件 (random event) 随机试验的某些子集称为随机事件， 简称事件.它在随机试验中可能出现也可能不出现，而在大量重复试 验中具有某种规律性. 常用符号 (1)大写的英文字母：A,B,C. (2)大写的英文字母加下标：A1, A2, A3, … .
例1.1.7 设A, B, C是某个随机现象的三个事件，则 （1）事件“A与B发生，C不发生”：ABC （2）事件“A, B, C中至少有一个发生”：A B C （3）事件“A, B, C中至少有两个发生”：AB AC BC
注意事项
可能结果——样本点——基本事件
(1) (2)在概率论中常用一个长方形来 (3) 由中的单个元素组成的子集称为基本事件，常用表示. 判定一个事件是否发生的标准是看它所包含的样本点是否 表示概率空间，用椭圆或者其它的 A 出现 ① .事件发生当且仅当该事件包含的某个样本点出现 样本空间的最大子集称为必然事件，常用 表示； . ● 1 几何图形来表示事件.这类图形被称 ● ② 样本空间的最小子集称为不可能事件，常用 表示 .2 为维恩(Venn)图，又叫文氏图.
例1.1.2 一天内进入某商场的人数的样本空间为 ={0,1, 2, …}. 例1.1.3 电视机寿命的样本空间为 ={t|t0} . 在以后的数学处理上，我们往往把有限个或可列个 样本点的情况归为一类，称为离散样本空间；而将不可 列无限个样本点的情况归为另一类，称为连续样本空间.
随机事件 (random event) 随机试验的某些子集称为随机事件， 简称事件.它在随机试验中可能出现也可能不出现，而在大量重复试 验中具有某种规律性. 常用符号 (1)大写的英文字母：A,B,C. (2)大写的英文字母加下标：A1, A2, A3, … .
例1.1.7 设A, B, C是某个随机现象的三个事件，则 （1）事件“A与B发生，C不发生”：ABC （2）事件“A, B, C中至少有一个发生”：A B C （3）事件“A, B, C中至少有两个发生”：AB AC BC
1概率论的基本概念
试验E5:记录电话台(某固定)一分钟内接到的呼叫次数. S5={0,1,2,…} 试验E6:在一批灯泡中任意抽取一只, 测试其寿命. S6={t | t≥0} （t表示灯泡的寿命）
[注样本空间是相对于某个随机试验而言，而其元 ]
素取决于试验的内容和目的．
二、随机事件
1.随机事件: 试验E的样本空间S的子集. 简称事件． 通常用字母A，B，C表示.
A的对立事件记作 A .
ASA
B A
A
[注]
(1) 事件之间的关系可用文氏图表示； (2) 对于任意事件A，显然
AA , A
A S,
A S A, A A
(3) 基本事件都是互不相容的; A与B-A也是互不相容的． (4) B A B A B AB
B
A
A U B A U ( B A )
S1={H, T}（H表示出现正面， T表示出现反面）
试验E2:将一枚硬币抛掷三次,观察正面H、反面T出现的情况.
S2= {HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT}
试验E3:将一枚硬币抛掷三次,观察反面出现的次数. S3={0,1,2,3} 试验E4:抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. S4={1,2,3,4,5,6}
第一章 概率论的基本概念
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.6 随机试验 样本空间、随机事件 频率与概率 等可能概型(古典概型) 条件概率 独立性
第一章 概率论的基本概念
引言：概率论是研究什么的？
研究和揭示随机现象的统计 在一定条件下必然发生的现象 确定现象 规律性的数学学科 例：向空中抛一物体必然落向地面； 水加热到100℃必然沸腾； 异性电荷相吸引； 放射性元素发生蜕变; … … 例:抛一枚硬币,结果可能正(反)面朝上； 向同一目标射击,各次弹着点都不相同； 某地区的日平均气温； 掷一颗骰子，可能出现的点数；… …
[注样本空间是相对于某个随机试验而言，而其元 ]
素取决于试验的内容和目的．
二、随机事件
1.随机事件: 试验E的样本空间S的子集. 简称事件． 通常用字母A，B，C表示.
A的对立事件记作 A .
ASA
B A
A
[注]
(1) 事件之间的关系可用文氏图表示； (2) 对于任意事件A，显然
AA , A
A S,
A S A, A A
(3) 基本事件都是互不相容的; A与B-A也是互不相容的． (4) B A B A B AB
B
A
A U B A U ( B A )
S1={H, T}（H表示出现正面， T表示出现反面）
试验E2:将一枚硬币抛掷三次,观察正面H、反面T出现的情况.
S2= {HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT}
试验E3:将一枚硬币抛掷三次,观察反面出现的次数. S3={0,1,2,3} 试验E4:抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. S4={1,2,3,4,5,6}
第一章 概率论的基本概念
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.6 随机试验 样本空间、随机事件 频率与概率 等可能概型(古典概型) 条件概率 独立性
第一章 概率论的基本概念
引言：概率论是研究什么的？
研究和揭示随机现象的统计 在一定条件下必然发生的现象 确定现象 规律性的数学学科 例：向空中抛一物体必然落向地面； 水加热到100℃必然沸腾； 异性电荷相吸引； 放射性元素发生蜕变; … … 例:抛一枚硬币,结果可能正(反)面朝上； 向同一目标射击,各次弹着点都不相同； 某地区的日平均气温； 掷一颗骰子，可能出现的点数；… …
《概率论》课件
物理学
描述粒子在气体或液体中的运动状态。
金融学
用于股票价格和收益率的分析。
隐马尔科夫模型
定义
隐马尔科夫模型是一种特殊的马尔科夫模型 ，其中观测状态与隐藏状态有关，而隐藏状 态之间相互独立。
应用
语音识别、手写识别、生物信息学等领域。
05
大数定律与中心极限定理
大数定律及其应用
大数定律
在独立重复试验中，当试验次数趋于无穷时，事件发 生的频率趋于该事件发生的概率。
《概率论》ppt课 件
目录
• 概率论简介 • 概率的基本性质 • 随机变量及其分布 • 随机过程与马尔科夫链 • 大数定律与中心极限定理 • 贝叶斯统计推断
01
概率论简介
概率论的定义
概率论
研究随机现象的数学学科，通过数学模型和公式 来描述随机事件、随机变量和随机过程。
随机变量
表示随机现象的数值变量，其取值具有随机性。
THANKS
感谢观看
计算机科学
概率论在计算机科学中用于算法设计和数据 挖掘等领域。
02
概率的基本性质
概率的公理化定义
概率的公理化定义是概率论的基础，它规定了概率的几个基本性质，包括非负性 、规范性、可加性和有限可加性。
非负性指的是任何事件的概率都不小于0；规范性指的是必然事件的概率为1；可 加性指的是两个独立事件的概率等于它们各自概率的和；有限可加性指的是任意 有限个两两独立的事件的概率等于这些事件概率的和。
应用
在统计学中，大数定律用于估计样本的统计量和参数 ，如平均值、方差等。
中心极限定理及其应用
中心极限定理
无论随机变量的分布是什么，当样本量足够大时，样 本均值的分布近似正态分布。
概率论ppt课件
先验概率与后验概率
先验概率是指在事件产生前对某一事件产生的概率的估计， 后验概率是指在事件产生后，根据新的信息对某一事件产生 的概率的重新估计。
贝叶斯分析在实践中的应用
金融风险评估
贝叶斯分析可以用于金融风险评估，通过对历史数据的分析，猜测未来市场的 走势和风险。
医学诊断
在医学诊断中，贝叶斯分析可以用于根据患者的症状和体征，结合疾病的特点 ，对疾病进行诊断和猜测。
遍历性和安稳散布
遍历性的定义
01
如果一个马尔科夫链的任意状态在长期平均下占据相同的时间
比例，则称该马尔科夫链具有遍历性。
安稳散布的定义
02
如果一个马尔科夫链的状态概率散布不随时间变化，则称该散
布为安稳散布。
遍历性和安稳散布的关系
03
一个具有遍历性的马尔科夫链通常会有一个唯独的安稳散布，
该散布描写了马尔科夫链在长期运行下的状态概率散布。
伯努利实验
只有两种可能结果的实验 ，例如抛硬币。
二项散布
在n次伯努利实验中成功的 次数所服从的散布。
泊疏松布
在单位时间内（或单位面 积上）随机事件的次数所 服从的散布。
连续型随机变量
正态散布
一种常见的连续型随机变量，其 概率密度函数呈钟形。
指数散布
描写某随机事件的时间间隔所服从 的散布。
均匀散布
在一定区间内均匀散布的概率密度 函数。
的散布假设检验中。
强大数定律
强大数定律的定义
强大数定律是概率论中的一个强大工具，它表明在独立同散布随 机变量序列中，几乎必定有任意给定的收敛子序列。
强大数定律的证明
可以通过切比雪夫不等式和Borel-Cantelli引理等工具来证明。
先验概率是指在事件产生前对某一事件产生的概率的估计， 后验概率是指在事件产生后，根据新的信息对某一事件产生 的概率的重新估计。
贝叶斯分析在实践中的应用
金融风险评估
贝叶斯分析可以用于金融风险评估，通过对历史数据的分析，猜测未来市场的 走势和风险。
医学诊断
在医学诊断中，贝叶斯分析可以用于根据患者的症状和体征，结合疾病的特点 ，对疾病进行诊断和猜测。
遍历性和安稳散布
遍历性的定义
01
如果一个马尔科夫链的任意状态在长期平均下占据相同的时间
比例，则称该马尔科夫链具有遍历性。
安稳散布的定义
02
如果一个马尔科夫链的状态概率散布不随时间变化，则称该散
布为安稳散布。
遍历性和安稳散布的关系
03
一个具有遍历性的马尔科夫链通常会有一个唯独的安稳散布，
该散布描写了马尔科夫链在长期运行下的状态概率散布。
伯努利实验
只有两种可能结果的实验 ，例如抛硬币。
二项散布
在n次伯努利实验中成功的 次数所服从的散布。
泊疏松布
在单位时间内（或单位面 积上）随机事件的次数所 服从的散布。
连续型随机变量
正态散布
一种常见的连续型随机变量，其 概率密度函数呈钟形。
指数散布
描写某随机事件的时间间隔所服从 的散布。
均匀散布
在一定区间内均匀散布的概率密度 函数。
的散布假设检验中。
强大数定律
强大数定律的定义
强大数定律是概率论中的一个强大工具，它表明在独立同散布随 机变量序列中，几乎必定有任意给定的收敛子序列。
强大数定律的证明
可以通过切比雪夫不等式和Borel-Cantelli引理等工具来证明。
概率论与数理统计的基本概念1
定 理 5 . 4 独 立 同 分 布 的 中 心 极 限 定 理
设随机变量Z1,Z2,L ,Zn,L 相互独立同分布，EZi ,DZi 2,i 1,2,L
n
则 Zbn,0.75,
E Z n p 0 . 7 5 n ,D Z n p q 0 . 1 8 7 5 n ,
又
fn
A
Z n
而 P 0 . 7 4 Z n 0 . 7 6 P Z 0 . 7 5 n 0 . 0 1 n
1
0.1875n
0.01n 2
118n750.90
n18750
第三章 多维随机变量及其分布
❖ 3.1 二维随机变量
❖ 3.2 边缘分布
❖ 3.3 条件分布
2
❖ 3.4 相互独立的随机变量
第四章
随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵
第五章
大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理
第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
3
第七章
参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计
第八章
假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验
则 PZ fxdx x
x2
x
2
f xdx
f (x)
12
x2
fxdx
DZ
2
2 2
8
例1：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A出 现
概率论与数理统计课件(完整版)
例1. 两架飞机依次轮番对同一目标投弹, 每次投下一颗炸弹, 每架飞机各带3颗炸弹, 第1架扔一颗炸弹击中目标的概率为0.3, 第2架的概率为0.4, 求炸弹未完全耗尽而击中目标的概率。
1. 计算相互独立的积事件的概率： 若已知n个事件A1, A2, …, An相互独立，则 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)
系统一:先串联后并联
A1
B1
A2
B2
A3
B3
A4
B4
*
例3. 100件乐器,验收方案是从中任 取3件测试(相互独立的), 3件测试后都认为音色纯则接收这批 乐器,测试情况如下: 经测试认为音色纯 认为音色不纯 乐器音色纯 0.99 0.01 乐器音色不纯 0.05 0.95
*
1. 公式法：
当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
注
计算条件概率有两种方法:
*
2.缩减样本空间法：
在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条件下, 第2次取到奇数的概率.
*
随机试验: (1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
*
2. 样本空间与随机事件
样本空间的分类:
离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。
1. 计算相互独立的积事件的概率： 若已知n个事件A1, A2, …, An相互独立，则 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)
系统一:先串联后并联
A1
B1
A2
B2
A3
B3
A4
B4
*
例3. 100件乐器,验收方案是从中任 取3件测试(相互独立的), 3件测试后都认为音色纯则接收这批 乐器,测试情况如下: 经测试认为音色纯 认为音色不纯 乐器音色纯 0.99 0.01 乐器音色不纯 0.05 0.95
*
1. 公式法：
当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
注
计算条件概率有两种方法:
*
2.缩减样本空间法：
在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条件下, 第2次取到奇数的概率.
*
随机试验: (1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
*
2. 样本空间与随机事件
样本空间的分类:
离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。
(第1章)_概率论的基本概念
或A1A2 … An ，也可简记为
。
在可列无穷的场合，用 事件同时发生。”
表示事件“A1、A2 、 …诸
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事件A发生但事件B不发生,称为事件A与事件B的差 事件。显然有：
则称A和B是互不相容的或互斥的,指事件A与B不 可能同时发生。 基本事件是两两互不相容的。
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为随机试验.
1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.
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第一章 概率论的基本概念
第一节 样本空间、随机事件 第二节 概率、古典概型 第三节 条件概率、全概率公式 第四节 独立性
D={取到的正品数不少于2且不多于5}={2，3，4，5}
E={取到的正品数至少为4}={4，5，6，7，8}
F={取到的正品数多于4}={5，6，7，8}
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2、样本空间与随机事件
随机事件（简称事件）： 在随机试验中，可能发生也可能不发生的结果。 通常用大写字母A、B,…表示。
（A∩B）∩C=A∩（B∩C） （3）分配律：A ∩ （B∪C）= （A∩B）∪（ A ∩ C ）
A∪（B ∩ C）=（A∪B）∩（A∪C）
（4）A B AB A AB
（5）
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例2: 设A，B，C为三个事件，试用A，B，C表 示下列事件： （1）A发生且B与C至少有一个发生； （2）A与B都发生而C不发生； （3）A，B，C恰有一个发生； （4）A，B，C中不多于一个发生； （5）A，B，C不都发生； （6）A，B，C中至少有两个发生。
概率论与数理统计ppt课件
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
*
例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从袋中不放回摸两球， 记A={恰是一红一黄}，求P(A)． 解：
（注：当L>m或L<0时，记 ）
例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件， 记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)． 解：
*
第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
*
第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归
解： 设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3 A={ 这人通过考核 }，
亦可：
*
例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。
利用乘法公式
与 不相容
（1）若为放回抽样：
（2）若为不放回抽样：
解： 设 Ai={第i次取到红牌}，i=1,2 B={取2张恰是一红一黑}
①
②
①
1 2 N
①
②
1 2 N
……
概率论第一章 概率论的基本概念 PPT
试验者
n
nA
fn (A)
德.摩根
2048
1061
0.5181
蒲丰
4040
2048
0.5069
费勒
10000
4979
0.4979
K.皮尔逊
12000
6019
0.5016
K.皮尔逊
24000
12012
0.5005
一口袋中有6个乒乓球，其中4个白的，2个红的．有
放回地进行重复抽球，观察抽出红色球的次数。
基本事件：随机事件仅包含一个样本点ω，单点子集{ω}。 复合事件：包含两个或两个以上样本点的事件。
事件发生：例如，在试验E2中，无论掷得1点、3点还是5点， 都称这一次试验中事件A发生了。
如，在试验E1中{H}表示“正面朝上”，就是个基本事件。
两个特殊的事件
必然事件：Ω； 不可能事件：φ.
既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、 运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规 则来处理。
如何研究随机现象呢？
1.1.2 随机试验
例1-1： E1: 抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况； E2: 掷一颗骰子，观察出现的点数； E3: 记录110报警台一天接到的报警次数； E4: 在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命； E5: 记录某物理量的测量误差；
E6: 在区间0，1上任取一点，记录它的坐标。
1.1.3 随机事件与样本空间
v样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为 试验E的样本空间, 记为Ω. v样本点: 试验的每一个可能出现的结果（样本空 间中的元素）称为试验E的一个样本点, 记为ω.
例1-2：
分别写出例1-1各试验 Ek 所对应的样本空间
chap1 概率论的基本概念
P({e1}) = P({e2 }) = L = P({en })
又由于基本事件是两两互不相容的。于是
1 = P(S) = P({e1}∪{e2}∪L∪{en}) = P({e1})+ P({e2})+L+ P({en}) = nP({ei })
1 P({ei }) = ,ห้องสมุดไป่ตู้i = 1,2,L , n n
Ｅ４：抛一颗骰子，观察出现的点数 Ｅ５：记录某城市１２０急救电话一昼夜 接到的呼唤次数 Ｅ６：在一批灯泡中任意抽取一只，测试 它的寿命 Ｅ７：记录某地一昼夜的最高温度和最低 温度
随机试验的特点： １．可以在相同的条件下重复地进行 ２．每次试验的可能结果不止一个，并且能 事先明确试验的所有可能结果 ３．进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现
P( A) = 1 − P( A)
性质6:(加法公式)对于任意两事件A,B有
P( A ∪ B ) = P ( A) + P( B ) − P ( AB)
设
A1 , A2 , A3 为任意三个事件,则有
P( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = P( A1 ) + P( A2 ) + P( A3 ) − P( A1 A2 ) − P( A1 A3 ) − P( A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 )
1, 2
∞
k =1
1,
2
n
5.若 A ∩ B = Φ 则称事件A与B是互不相容的,或互斥的. 这指的是事件A与事件B不能同时发生. 基本事件是两两互不相容的. 6.若 A ∪ B = S and A ∩ B = Φ 则称事件A与B是互为逆事件.又称事件A 与事件B互为对立事件.记 B = A
又由于基本事件是两两互不相容的。于是
1 = P(S) = P({e1}∪{e2}∪L∪{en}) = P({e1})+ P({e2})+L+ P({en}) = nP({ei })
1 P({ei }) = ,ห้องสมุดไป่ตู้i = 1,2,L , n n
Ｅ４：抛一颗骰子，观察出现的点数 Ｅ５：记录某城市１２０急救电话一昼夜 接到的呼唤次数 Ｅ６：在一批灯泡中任意抽取一只，测试 它的寿命 Ｅ７：记录某地一昼夜的最高温度和最低 温度
随机试验的特点： １．可以在相同的条件下重复地进行 ２．每次试验的可能结果不止一个，并且能 事先明确试验的所有可能结果 ３．进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现
P( A) = 1 − P( A)
性质6:(加法公式)对于任意两事件A,B有
P( A ∪ B ) = P ( A) + P( B ) − P ( AB)
设
A1 , A2 , A3 为任意三个事件,则有
P( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = P( A1 ) + P( A2 ) + P( A3 ) − P( A1 A2 ) − P( A1 A3 ) − P( A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 )
1, 2
∞
k =1
1,
2
n
5.若 A ∩ B = Φ 则称事件A与B是互不相容的,或互斥的. 这指的是事件A与事件B不能同时发生. 基本事件是两两互不相容的. 6.若 A ∪ B = S and A ∩ B = Φ 则称事件A与B是互为逆事件.又称事件A 与事件B互为对立事件.记 B = A
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（4） A BA BA AB
（5）
n
n
n
n
Ai Ai ,
Ai Ai ,
i 1
i 1
i 1
i 1
Ai Ai ,
Ai Ai .
i 1
i 1
i 1
i 1
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例2: 设A，B，C为三个事件，试用A，B，C表 示下列事件： （1）A发生且B与C至少有一个发生； （2）A与B都发生而C不发生； （3）A，B，C恰有一个发生； （4）A，B，C中不多于一个发生； （5）A，B，C不都发生； （6）A，B，C中至少有两个发生。
例1 : 从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数， 则这一试验的样本空间为：
={0，1，2，3，4，5，6，7，8}
引入下列随机事件: A={正品件数不超过3}={0，1，2，3} B={取到2件至3件正品}={2，3} C={取到2件至5件正品}={2，3，4，5}
D={取到的正品数不少于2且不多于5}={2，3，4，5}
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样本空间：
随机试验E的全体基本事件组成的集合。记为。
随机事件中有两个极端情况：
•每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件 。
•每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件 。
基本事件是样本空间的单点集。 复合事件是由多个样本点组成
不可能事件不含任何样本点，它就是空集 。
或A1A2 … An ，也可简记为 n 。A i
i1
在可列无穷的场合，用
i1
A
i
表示事件“A1、A2
、
…诸
事件同时发生。”
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40 AB
事件A发生但事件B不发生,称为事件A与事件B的差 事件。显然有：
A A ,A A ,A
50 AB
则称A和B是互不相容的或互斥的,指事件A与B不 可能同时发生。
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对随机现象进行的观察或实验称为试验。
若一个试验具有下列三个特点： （1）在相同条件下可重复进行。 （2）每次试验的可能结果不止一个，并且事 先可以知道试验的所有可能结果。
（3）进行一次试验之前，不能确定会出现 哪一个结果。 则把这一试验称为随机试验，常用E表示。
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件为事件A与事件B的和（并）事件,或记为A+B.
n
事件A1，A2，…An
的和记为
i1
A
i ,或A1 ∪ A2 ∪ …
∪ An
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30 AB
表示事件A与事件B同时发生, 称为事件A与事件B的 积（交）事件，记为AB。积事件AB是由A与B的公共 样本点所构成的集合。
可列个事件A1 , A2 , … , An 的积记为A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An
E={取到的正品数至少为4}={4，5，6，7，8}
F={取到的正品数多于4}={5，6，7，8}
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2、样本空间与随机事件
随机事件（简称事件）： 在随机试验中，可能发生也可能不发生的结果。 通常用大写字母A、B,…表示。
基本结果： （1）每次试验必然出现且只能出现其中一个基本 结果。 （2）任何结果，都是由其中一些基本结果组成， 每个基本结果称样本点。
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3、事件间的关系及其运算 10 AB
表示事件A包含于事件B或称事件B包含事件A,指
事件A发生必然导致事件B发生.
若 A B 且 B A ,即 A B ,称A 与 事 B 相 事 件 . 等 件
对于任A 意 ,都事 有 件 A.
20 AB
表示事件A与事件B中至少有一个事件发生,称此事
第二节 概率、古典概率
1、概率
定义1.1: 在相同条件下，进行了n次试验.若随机事件A
在这n次试验中发生了k次，则比值k n 称为事件A在n
次实验中发生的频率，记为
fn
(
A)
k n
频率具有下列性质：
(1)对于任一事件A，有 0fn(A)1
(2) fn()1
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(3)若事件A, B互不相容 ,则
表1-1
可见出现正面的频率总在0.5附近摆动.随着试验次数 的增加,它会逐渐稳定于0.5.
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定义1.2: 设事件A在n次重复试验中发生了k次, n很大时,
频率 k n 稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数
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AB
AB
AB
AB
A B
AB
A B
AB
A B
A
AB
B
A
A
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事件的运算律
（1）交换律：A∪B=A∪B，AB=BA
（2）结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C）
（A∩B）∩C=A∩（B∩C） （3）分配律：A ∩ （B∪C）= （A∩B）∪（ A ∩ C ）
A∪（B ∩ C）=（A∪B）∩（A∪C）
基本事件是两两互不相容的。
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60 A B 且 A B
则称A和B互为对立事件，或称A与B互为逆事件。
事件A的逆事件记为 A , 表示“A不发生”这一事件。
AA ,AA ,AA , , ABA BAA,B A A
对于任意的事件A，B只有如下分解：
A A A B B ,A B A ( B A ) B ( A B )
第一章 概率论的基本概念
第一节 样本空间、随机事件 第二节 概率、古典概型 第三节 条件概率、全概率公式 第四节 独立性
第一节 样本空间 随机事件 1、随机试验
在一定条件下，试验有多种可能的结果，但事 先又不能预测是哪一种结果的现象称随机现象。
概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计 规律性的一门基础学科。
fn(AB) fn(A) fn(B) 一般，若 A1, A2,, Am互不相容 ,则
m
m
fn( Ai ) fn(Ai )
t 1
t 1
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历史上著名的统计学家德·摩根(De Morgan)蒲丰 （Buffon）和皮尔逊（Pearson）曾进行过大量抛硬币 的试验，其结果如表1-1所示.
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解 : (1) A (B C ); (2) AC B或 AB C; (3 ) A B C A B C A B C ;
(4) ABCABCABCABC或 A BA CB;C
(5) AB 或 A C BC; (6) A BAC BC
或 AC BABCABC AB. C
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