大学物理第9章习题答案

第4篇电磁学

第9章静电场

9.1 基本要求

１ 掌握静电场的电场强度和电势的概念以及电场强度叠加原理和电势叠加原理。掌 握电势与电场强度的积分关系。能计算一些简单问题中的电场强度和电势。了解电场强度 与电势的微分关系。

２ 理解静电场的规律：高斯定理和环路定理。理解用高斯定理计算电场强度的条件和 方法。

３ 了解导体的静电平衡条件，了解介质的极化现象及其微观解释。了解各向同性介质 中Ｄ和Ｅ之间的关系。了解介质中的高斯定理。 ４ 了解电容和电能密度的概念。 9.２ 基本概念

１ 电场强度E ：试验电荷0q 所受到的电场力F 与0q 之比，即0

q =F E ２ 电位移D ：电位移矢量是描述电场性质的辅助量。

在各向同性介质中，它与场强成正比，即ε=D E ３ 电场强度通量e Φ：e S

d Φ=

⎰

E S

电位移通量:D S

d Φ=

⎰

D S

４ 电势能pa E ：0pa a

E q d ∞

=⎰

E l （设0p E ∞=）

５ 电势a V ：0

pa a a

E V d q ∞

=

=⎰ E l （设0V ∞=）

电势差ab U ：ab a b U V V =- ６ 场强与电势的关系

（１）积分关系 a a

V d ∞

=

⎰

E l

（２）微分关系 = -V ∇=-E gradV

７ 电容Ｃ：描述导体或导体组（电容器）容纳电荷能力的物理量。 孤立导体的电容：Q C V =

；电容器的电容：Q C U

= ８ 静电场的能量：静电场中所贮存的能量。

电容器所贮存的电能：22222

CU Q QU

W C ===

电场能量密度e w ：单位体积的电场中所贮存的能量，即2

2

e E w ε=

9.３ 基本规律 １ 库仑定律：12

204r

q q r

πε=

F e ２ 叠加原理

（１）电场强度叠加原理：在点电荷系产生的电场中任一点的场强等于每个点电荷单独 存在时在该点产生的场强的矢量和。

（２）电势叠加原理：在点电荷系产生的电场中，某点的电势等于每个点电荷单独存在时 在该点产生的电势的代数和。

３ 高斯定理：真空中静电场内，通过任意闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的电量的代数和的1/ε 0倍。

1

i S

d q ε⋅=

∑⎰

内

E S

在有电介质的静电场中,通过任意闭合曲面的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷

的代数和.

S

d q

⋅=∑⎰ 内

D S （0q 为闭合曲面Ｓ内的自由电荷）

高斯定理表明静电场是有源场，电荷是产生静电场的源。 ４ 环路定理：

0l

d =⎰ E l ，说明静电场是保守场。

５ 导体的静电平衡条件

（１）导体内部的场强处处为零；（２）导体表面的场强处处与导体表面垂直。 ６ 静电平衡时导体上的电荷分布规律：电荷只分布在导体的表面，体内净电荷为零。 ７ 静电平衡时导体的电势分布规律：导体为等势体，其表面为等势面。 9.４ 学习指导

１ 电场强度的计算方法

（１）根据点电荷的场强公式，利用叠加原理，求和（场源为点电荷系）或积分（场源为带 电体）。在应用此法时，应尽量采用投影式，将矢量运算化成标量运算。

（２）利用高斯定理来计算。这种方法只有当场源的电荷分布具有某种对称性时才较为 简便。因此，利用此法时，首先要判别场源电场是否具有某种对称性，其次是要选好高斯面： （ａ）要使待求的场点位于高斯面上；（ｂ）要使高斯面上的Ｅ处处相等，或使高斯面上某些部分的Ｅ为零，另一些部分的Ｅ相等。

（３）已知电势分布，利用场强与电势的微分关系= -V ∇=-E gradV 来计算。 ２ 电势的计算方法

（１）根据点电荷的电势公式，利用叠加原理，求和（场源为点电荷系）或积分（场源为带 电体）。

（２）利用电势的定义式来计算。

３ 电容的计算：先假定电容器上带有电荷，再求其场强和电势差，最后代入电容的定 义式。

４ 介质中场强的计算:

(1)确定带电体和电介质是否具有对称性. (2)根据场的对称性,选取合适的高斯面.

(3) 利用介质中的高斯定理求出D 的分布. (4) 由ε=D E ,求出E 的分布.

5 电场能量的计算：先要弄清场强的空间分布，找出电能密度的表达式，再代入公式求 积分。

以上仅为一般情况，实际问题尚需根据具体情况灵活处理。

例1 长l 米的直导线AB 均匀地分布着线密度为λ的电荷。求：在导线的垂直平分线上与导线中点相距a 处P 点的场强。

解 以导线AB 中心为坐标原点，如图所示建立坐标系。dx 线元在P 点产生的电场强度为

22014()

dx

dE x a λπε=

+（方向如图所示）

由于对称性，其叠加场强沿y 轴正方向，水平方向场强相互抵消。在P 点的场强为

212

2

2

2

2

2

1cos 4()()

l l P dx

a

E dE x a x a λθπε-==

⋅⋅

++⎰⎰

2

2223/22221/2

00

24()2()l l a dx a x

x a a a x λλπεπε=

=⋅++⎰

()12

2201

42l a a l λπε=

⋅

⎡⎤+⎣

⎦

方向沿y 轴正方向。

当导线l 为无限长时，由上式可求得场强为0/(2)E a λπε=。

例2 一带电细线弯成半径为R 的半圆形，其电荷线密度为0sin λλθ=,式中θ为半径R 与

x 轴所成的夹角,0λ为一常数，如图所示，试求环心O 处的电场强度。

解 在θ处取电荷元，其电量为

例1图

x

例2图

dE

y

dE