等差数列基本量计算

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等差数列与等比数列的基本量运算

等差数列与等比数列运算知识点：一．等差数列 1．等差数列基本概念⑴等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．即等差数列有递推公式：1(1)n n a a d n +-=≥． ⑵等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-．⑶等差中项：如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x yA +=． ⑷等差数列的前n 项和公式：211()(1)22n n n a a n n S na d An Bn +-==+=+． 1．等差数列通项公式的推导：2132121n n n n a a d a a da a d a a d----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-． 2．等差数列前n 项和公式的推导：1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-，把项的顺序反过来，可将n S 写成：()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--，将这两式相加得：11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+，从而得到等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-，得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．二．等比数列1. 等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母(0)q q ≠表示．2. 等比数列的通项公式为：11n n a a q -=．3. 等比中项：如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，即2G xy =．两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数；一个正数与一个负数没有等比中项．1．等比数列通项公式的推导：由等比数列的定义知：312412321,,,,,n n n n a a aa aq q q q q a a a a a ---===== 将这1n -个式子的等号两边分别相乘得：11n na q a -=，即11n n a a q -=．由等比数列的通项公式易知：n m nma q a -=．一、等差数列中基本量的运算:a 1,a n ,n ,d ,S n 知三求二 ①基本量运算{}28454565651.,6,6,....n a a a A S S B S S C S S D S S =-=<=<=（一星）是等差数列且则（）解：1994500a a S S S +=⇒=⇒=.选B.{}18451845184518452.,0,....n a d A a a a a B a a a a C a a a a D a a a a ≠><+>+=（一星）如果是正项等差数列公差则（）答案：B.3,4,3,2550,,.k .a a k S a k =（一星）等差数列前三项为前项和求的值答案：2,50a k ==7.（二星）（2015年全国1）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（）（A ） 172 （B ）192（C ）10 （D ）12 答案：B7.（三星）（全国1理科）设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( )A.3B.4C.5D.6 解：有题意知==0，∴=－=－（-）=－2，=-=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5，故选C.2.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为．4.（二星）已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（） A.B.B.C. D.（3）（2016全国1卷理）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100（B ）99（C ）98 （D ）97解：由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =，而108a =，因此公差1051105a a d -==- ∴100109098a a d =+=．故选C ．4.（2017全国1卷理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1B ．2C ．4D ．8解：45113424a a a d a d +=+++=61656482S a d ⨯=+= 联立求得11272461548a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①② 3⨯-①②得()211524-=d624d = 4d =∴.选C3．（2018广州市调研理）在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差d =( )BA ．2B ．3C ．2-D ．3-4．（2018广州一模文）等差数列{}n a 的各项均不为零，其前n 项和为n S ，若212n n n a a a ++=+，则21=n S +（A ）A ．42n +B ．4nC ．21n +D ．2n4．（2018全国1理）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a B A ．12- B ．10- C ．10 D ．129. （2019全国1卷理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =- B.310n a n =-C. 228n S n n =-D. 2122n S n n =- 解：由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．18．（2019全国1卷文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．解：（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=．由a 3=4得124a d +=．于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．（2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <，故n n S a 等价于211100n n -+，解得1≤n ≤10．所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N ．14．（2019全国高考3卷理）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =________.414．（2019全国3卷文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.15. （2018广东一模文）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，则5a = ．146. （2018广东一模文）等差数列()()()333log 2,log 3,log 42,x x x +的第四项等于（ A ）A ．3B ．4 C. 3log 18 D ．3log 24 ②创新题1.（2016全国2卷文）等差数列{}n a 中，且344a a +=，576a a +=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记[]n n a b =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]26.2=．解：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5a d ==，所以{}n a 的通项公式为235n n a +=.（Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n=1,2,3时，2312,15n n b +≤<=；当n=4,5时，2323,25n n b +≤<=；当n=6,7,8时，2334,35n n b +≤<=；当n=9,10时，2345,45n n b +≤<=，所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=.17.(2016全国2卷理)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．解： ⑴设的公差为，，∴，∴，∴． ∴，，． ⑵记的前项和为，则．当时，；当时，；当时，；当时，．∴．（17）（2017届广州市调研文）等差数列}{n a 中，1243=+a a ，749S =. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅰ）记][x 表示不超过x 的最大整数，如0]9.0[=，2]6.2[= . 令][lg n n a b =，求数列}{n b 的前2000项和.解：（Ⅰ）由1243=+a a ，749S =，得112512,72149.a d a d +=⎧⎨+=⎩{}n a d 74728S a ==44a =4113a a d -==1(1)n a a n d n =+-=[][]11lg lg10b a ===[][]1111lg lg111b a ===[][]101101101lg lg 2b a ==={}n b n n T 1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+0lg 1n a <≤129n =⋅⋅⋅，，，1lg 2n a <≤101199n =⋅⋅⋅，，，2lg 3n a <≤100101999n =⋅⋅⋅，，，lg 3n a =1000n =1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=解得11=a ，2=d ，所以12-=n a n .（Ⅰ）)]12[lg(][lg -==n a b n n ，当51≤≤n 时, 0)]12[lg(=-=n b n ;当506≤≤n 时, 1)]12[lg(=-=n b n ; 当50051≤≤n 时, 2)]12[lg(=-=n b n ; 当5012000n ≤≤时, 3)]12[lg(=-=n b n .所以数列}{n b 的前2000项和为544515003450245150=⨯+⨯+⨯+⨯.③与其他内容结合4546.(){},10,15,___.n n a n S S S a ≥≤四星设等差数列的前项和为若则的最大值为4141115110235:3(23)3(2) 4. 4.1523S a d a a d a d a d S a d ≥+≥⎧⎧⇒⇒=+=-+++≤⎨⎨≤+≤⎩⎩解答案为二、等比数列中基本量的运算 ①基本量运算1.1,,,,9,.3,9.3,9.3,9.3,9a b c Ab ac B b ac C b ac D b ac --===-===-=-=-（一星）若成等比数列则（）答案：B3102.,3,384,______a a ==（一星）等比数列中则通项公式为答案：332n n a -=⋅364714.,36,18,,____2n a a a a a n +=+===（一星）等比数列中答案：9n =13、（一星）（2015全国1）数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .答案：67.（一星）(2015全国2理)等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++=21，则357a a a ++=（）A ．21B ．42C ．63D ．84 答案：B12.（一星）(2015全国2文)已知等比数列满足，，则（） A. 2 B. 1 C. D. 答案：C5．（二星）（全国理）已知{}n a 为等比数列，47562,8a a a a +==-，则110a a +=A ．7B ．5C ．-5D ．-7 解：因为{}n a 是等比数列，所以56478a a a a ==-，所以47,a a 是方程2280x x --=的两根，解得4x =或2x =-。

等差数列基本量计算

＋45d＝20＋135＝155.故选 C.
21．(2019·课标全国Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S9＝－a5.
(1)若 a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若 a1>0，求使得 Sn≥an 的 n 的取值范围．
解析(1)设{an}的公差为 d.由 S9＝－a5 得 a1＋4d＝0.由 a3＝4 得 a1＋2d＝4.
10
5
=
4
.
解析令公差为
10 10 1+90 1 100 1
d,则 d=a2-a1=2a1,所以 = 5 +20 = 25 =4.
5
1
1
1
2019
11.等差数列{an}中,若 S1=1,S5=15,则2019 =( D ).
A.2019
B.1
C.1009
D.1010
5×4
解析因为等差数列{an}中,S1=1,S5=15,所以 S15=5×1+
d＝40.
d＝3.
2
法二：由 S5＝5a3＝40，得 a3＝8.所以 a2＋a5＝a3－d＋a3＋2d＝2a3＋d＝16＋d＝
19，得 d＝3.所以 a10＝a3＋7d＝8＋3×7＝29.
14.已知数列{an}是等差数列，若 a1＝2，an＝－26，Sn＝－84，求公差 d；
－26＝2＋（n－1）d，
7
7（a1＋a7）
2 2
所以 2a3＝ a3 ，又 an＞0，所以 a3＝7.因为 S7＝
＝7a4＝63，所以 a4
7
2
＝9.所以 d＝a4－a3＝2，所以 an＝a3＋(n－3)d＝2n＋1.
16.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a3＋a5＝4，S15＝60，则 a20＝(

2022届高考数学(理)大一轮复习教师用书：第六章第二节等差数列及其前n项和 Word版含解析

其次节等差数列及其前n项和突破点(一)等差数列的性质及基本量的计算基础联通抓主干学问的“源”与“流”1．等差数列的有关概念(1)定义：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：S n＝na1＋n(n－1)2d＝n(a1＋a n)2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k＋a l＝a m＋a n .(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(5)若数列{a n}，{b n}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pa n}，{a n＋p}，{pa n＋qb n}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2.考点贯穿抓高考命题的“形”与“神”等差数列的基本运算[例1](1)(2022·东北师大附中摸底考试)在等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为() A．1 B．2C．3 D．4(2)(2022·惠州调研)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝6，a1＝4，则公差d等于()A．1 B.53C．－2 D．3[解析](1)∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5，则公差d＝a4－a3＝2，故选B.(2)由S3＝3(a1＋a3)2＝6，且a1＝4，得a3＝0，则d＝a3－a13－1＝－2，故选C.[答案](1)B(2)C[方法技巧]1．等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．2．等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．等差数列的性质[例2](1)在等差数列{a n}396n n S11＝()A．18 B．99C．198 D．297(2)已知{a n}，{b n}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________.[解析](1)由于a3＋a9＝27－a6,2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝112(a1＋a11)＝11a6＝99.(2)由于{a n}，{b n}都是等差数列，本节主要包括3个学问点：1.等差数列的性质及基本量的计算；2.等差数列前n项和及性质的应用；3.等差数列的判定与证明.所以2a 3＝a 1＋a 5,2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21. [答案] (1)B (2)211.[考点一]《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A.54钱B.53钱C.32钱 D.43钱解析：选D 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，解得⎩⎨⎧a 1＝43，d ＝－16，即甲得43钱，故选D.2.[考点一]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8解析：选D 由题意知S n ＋2－S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋2(2n ＋1)＝36，解得n ＝8. 3.[考点二]已知数列{a n }为等差数列，且a 1＋a 7＋a 13＝π，则cos(a 2＋a 12)的值为( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－12解析：选D 在等差数列{a n }中，由于a 1＋a 7＋a 13＝π，所以a 7＝π3，所以a 2＋a 12＝2π3，所以cos(a 2＋a 12)＝－12.故选D.4.[考点一]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.所以S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.答案：－725.[考点二]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最终6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，求数列{a n }的项数及a 9＋a 10.解：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18. ∵a 1＋a n ＝36，n ＝18， ∴a 1＋a18＝36，从而a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.突破点(二) 等差数列前n 项和及性质的应用等差数列前n 项和的性质(1)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d . (2)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)．(3)当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ；项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中，S 奇∶S 偶＝n ∶(n －1)． (4){a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(5)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12.等差数列前n 项和的性质[例1] 已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝________. [解析] 法一：设数列{}a n 的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d ＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.法二：由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D . 所以5＋2D ＝10，所以D ＝52.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20. [答案] 20等差数列前n 项和的最值[例2] 等差数列{a n }的首项a 1>0，设其前n 项和为S n ，且S 5＝S 12，则当n 为何值时，S n 有最大值？ [解] 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝S 12得5a 1＋10d ＝12a 1＋66d ，d ＝－18a 1<0.法一：S n ＝na 1＋n (n －1)2d＝na 1＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－18a 1 ＝－116a 1(n 2－17n )＝－116a 1⎝⎛⎭⎫n －1722＋28964a 1，由于a 1>0，n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值．法二：设此数列的前n 项和最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎨⎧a 1＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫－18a 1≥0，a 1＋n ·⎝⎛⎭⎫－18a 1≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤9，n ≥8，即8≤n ≤9，又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值．法三：由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n ，设f (x )＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x ，则函数y ＝f (x )的图象为开口向下的抛物线，由S 5＝S 12知，抛物线的对称轴为x ＝5＋122＝172(如图所示)，由图可知，当1≤n ≤8时，S n 单调递增；当n ≥9时，S n 单调递减．又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 最大．[方法技巧]求等差数列前n 项和S n 最值的三种方法 (1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解． (2)邻项变号法：①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .(3)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值即可．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则： ①若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q2时，S n 最大；②若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大．力量练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B ．S 16 C ．S 15或S 16 D ．S 17解析：选A ∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值．2.[考点二]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则( )A ．S n 的最大值是S 8B ．S n 的最小值是S 8C ．S n 的最大值是S 7D ．S n 的最小值是S 7解析：选D 由(n ＋1)S n ＜nS n ＋1得(n ＋1)n (a 1＋a n )2＜n (n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2，整理得a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }是递增数列，又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，所以数列{a n }的前7项为负值，即S n 的最小值是S 7.3.[考点一]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________.解析：∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20，∴S 30－30＝20×2－10＝30，∴S 30＝60.答案：604.[考点一]已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是________．解析：由等差数列前n 项和的性质知，a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，故当n ＝1,2,3,5,11时，a nb n 为整数，故使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是5.答案：55.[考点一]一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d ＝________.解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.答案：5突破点(三) 等差数列的判定与证明基础联通抓主干学问的“源”与“流” 等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于数列{a n }，a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列解答题中的证明问题等差中项法 2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立⇔{a n }是等差数列通项公式法 a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列选择、填空题中的判定问题前n 项和公式法验证S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列考点贯穿抓高考命题的“形”与“神”等差数列的判定与证明[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，推断{a n }是否为等差数列，并说明你的理由．[解] 由于a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)．所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．又S 1＝a 1＝12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列．所以1S n＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n .所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)，所以a n ＋1＝－12n (n ＋1)，而a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1).所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是等差数列．1．若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( ) A ．公差为3的等差数列 B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列 D ．公差为9的等差数列解析：选C 令b n ＝a 2n －1＋2a 2n ，则b n ＋1＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2，故b n ＋1－b n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2－(a 2n －1＋2a 2n )＝(a 2n ＋1－a 2n －1)＋2(a 2n ＋2－a 2n )＝2d ＋4d ＝6d ＝6×1＝6.即{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列．2．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．证明：∵a n ＝2－1a n －1，∴a n ＋1＝2－1a n .∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n －1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1，∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．3．已知公差大于零的等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{}b n 满足b n ＝S nn ＋c，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵数列{}a n 为等差数列，∴a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根，又公差d ＞0，∴a 3＜a 4，∴a 3＝9，a 4＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4， ∴S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c ，其中c ≠0.∵数列{}b n 是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c，∴2c 2＋c ＝0， ∴c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.即存在一个非零实数c ＝－12，使数列{b n }为等差数列．[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2022·全国乙卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97解析：选C ∵{a n }是等差数列，设其公差为d ，∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C. 2．(2021·新课标全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A.172 B.192C ．10D ．12 解析：选B ∵数列{a n }的公差为1，∴S 8＝8a 1＋8×(8－1)2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.3．(2021·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( ) A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，得a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以等差数列的公差为d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝a 1＋(m －1)d ＝2，S m ＝a 1m ＋12m (m －1)d ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋m －1＝2，a 1m ＋12m (m －1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，m ＝5，选C. 4．(2021·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析：由已知⎩⎨⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝0，S15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23，则nS n ＝n 2a 1＋n 2(n －1)2d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得微小值，因而检验n ＝6时，6S 6＝－48，而n ＝7时，7S 7＝－49<6S 6，所以当n ＝7时，nS n 取最小值，最小值为－49.答案：－495．(2022·全国甲卷)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由已知得7＋21d ＝28，解得d ＝1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)由于b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，2，100≤n ＜1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.6．(2022·新课标全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1， a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1.两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1.令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，则a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考 [练基础小题——强化运算力量]1．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选B 由S 5＝(a 2＋a 4)·52，得25＝(3＋a 4)·52，解得a 4＝7，所以7＝3＋2d ，即d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.2．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( ) A ．37B ．36C ．20D ．19解析：选A a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37，即m ＝37.3．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0 C.14D.12解析：选B 由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝12，a 4＝32.∴公差d ＝a 4－a 22＝12.∴a 1＝a 2－d ＝0. 4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A ．9 B ．8 C ．7D ．6解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d .由于a 3＋a 7＝－6，所以a 5＝－3，d ＝2，则S n ＝n 2－12n ，故当n 等于6时S n 取得最小值．5．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于________．解析：∵{a n }是等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又∵a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝(2n －1)a n ＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10.答案：10[练常考题点——检验高考力量] 一、选择题1．(2021·黄冈质检)在等差数列{a n }中，假如a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．95 B ．100 C ．135D ．80解析：选B 由等差数列的性质可知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8构成新的等差数列，于是a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)＋(4－1)[(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)]＝40＋3×20＝100.2．(2021·东北三校联考)已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( )A ．0B ．－109C ．－181D ．121解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝b 3－b 2＝－14，由于a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1＋b 2＋…＋b 7＝7(b 1＋b 7)2＝72[(b 2－d )＋(b 2＋5d )]＝－112，又a 1＝3，则a 8＝－109.3．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，且其前n 项和为S n ，则S 17为( ) A ．20 B ．17 C ．42D ．84解析：选B 由a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，得2(a 4＋a 14)＝4，即a 4＋a 14＝2，则a 1＋a 17＝2，故S 17＝17(a 1＋a 17)2＝17.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13解析：选C ∵a 1＞0，a 6a 7＜0，∴a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零．又∵a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，∴S 12＞0，S 13＜0，∴满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉利数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉利数列”，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1D ．b n ＝2n ＋1解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n ＝k ，由于b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.由于对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n＝2n －1.6．设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是( )A ．310B ．212C ．180D ．121解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，依题意得2S 2＝S 1＋S 3，由于a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12＝14⎝⎛⎭⎪⎫1＋212n －12≤121.即S n ＋10a 2n 的最大值为121. 二、填空题7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差d 是________．解析：由S 33－S 22＝1得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝a 1＋d －2a 1＋d 2＝d 2＝1，所以d ＝2.答案：28．若等差数列{a n }的前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13等于________．解析：由于S 17＝a 1＋a 172×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3.依据等差数列的性质知a 5＋a 13＝a 7＋a 11，所以a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3.答案：39．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于________．解析：S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6，设公差为d ，由a 9＝12a 12＋6得a 6＋3d ＝12(a 6＋6d )＋6，解得a 6＝12，所以S 11＝11×12＝132.答案：13210．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 三、解答题11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵b n ＝1a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n 2a n ＋1＝2a n ＋1a n ，∴b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n－1a n＝2.又∵b 1＝1a 1＝1，∴数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n ，∴a n ＝1b n ＝12n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1. 12．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．解：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4.故a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎪⎨⎪⎧ b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，解得292≤n ≤312，∵n ∈N *，∴n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小．∵数列{b n }的首项是－29，公差为2，∴T 15＝15(－29＋2×15－31)2＝－225，∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.。

等差数列公式

分享到等差数列求助编辑百科名片等差数列，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 注意：以上n 均属于正整数。

目录多项式数列等差数列的基本公式通项公式（第n项）前n项和公式推论等差中项等差数列小故事等差数列的基本性质r次等差数列一次数列的性质等差数列的判定一道例题等差数列前n项和公式S 的基本性质等差数列的特殊性质多项式数列等差数列的基本公式通项公式（第n项）前n项和公式推论等差中项等差数列小故事等差数列的基本性质r次等差数列一次数列的性质等差数列的判定一道例题等差数列前n项和公式S 的基本性质等差数列的特殊性质展开编辑本段多项式数列等差数列是多项式数列的一种简称：A.P (arithmetic progression)多项式数列:p(n)=b(0)+b(1)*n+...+b(k)*n^k多项式数列的和可以用一个矩阵来转换。

令这个转换矩阵为A，做向量b=[b0,b1,...,bk]令向量c=A*b'，c就是和公式的向量。

和项S(n)=c(1)*n+..+c(k)*n^k+c(k+1)*n^(k+1)。

3阶多项式数列的A=A有专门的算法，可以用于matlab中。

function p=leeqi(r)format ratp=zeros(r,r);for k=1:r,w=2:k; p(1,k)=1-sum(p(w,k));for n=2:r-k+1,p(n,n+k-1)=(n+k-2)/n*p(n-1,n+k-2);end等差数列是多项式数列的一次形式b(0)+b(1)*n，在这里把多项式数列的一次形式简称为（一次数列）。

一次数列的通项公式为：p(n)=b(0)+b(1)*n；前n项和的公式为：S(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)].编辑本段等差数列的基本公式通项公式（第n项）a(n)=a(1)+(n-1)×d ，注意：n是正整数即第n项=首项+第n-1项×公差前n项和公式S(n)=n*a(1)+n*(n-1)*d/2或S(n)=n*(a(1)+a(n))/2注意：n是正整数（相当于n个等差中项之和）等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙用：上底为：a1首项，下底为a1+(n-1)d,高为n.即[a1+a1+(n-1)d]* n/2=a1 n+ n (n-1)d /2.推论一.从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。

高中数学选择性必修二精讲精炼 4 等差列的前n项和公式(精讲)(含答案)

4.2.2 等差数列的前n项和公式(精讲)考点一等差数列基本量计算【例1】(2021·全国高二课时练习)已知等差数列{a n }中， (1)131,22a d ==-，15n S =-，求n 及n a ；(2)115121022n n a ,a ,S ==-=-，求d . 【答案】(1)124n n ,a ==-；(2)171-.【解析】(1)∵()13115222n n n S n -⎛⎫=⨯+-⨯=- ⎪⎝⎭，整理得27600n n --=，解得12n =或5n =-(舍去)， ()1231121422a ⎛⎫=+-⨯-=- ⎪⎝⎭.∵12124n n ,a a ===-.(2)由1()(1512)102222n n n a a n S +-===-,解得4n =. 又由()11n a a n d +-=，即()512141d -=+-，解得171d =-. 【一隅三反】1．(2021·全国高二课时练习)在等差数列{}n a 中． (1)156a =，32n a =-，5n S =-，求n 和d ； (2)14a =，8172S =，求8a 和d ；(3)已知2d =，11n a =，35n S =，求1a 和n . (4)已知742S =，510n S =，345n a -=，求n .【答案】(1)15n =，16d =-；(2)839a =，5d =；(3)153n a =⎧⎨=⎩或171n a =⎧⎨=-⎩；(4)20 .【解析】(1)由题意得()15352262n n n n S a a ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，解得15n =，又15531462a d =+=-，解得：16d =-；(2)由已知得()()818888417222S a a a =+=+=，解得：839a =，又因为84739a d =+=，所以5d =；(3)由()()11121112352n n a a n n n S na ⎧=+-⨯=⎪⎨-=+⨯=⎪⎩，整理可得：212350n n -+=，解得：153n a =⎧⎨=⎩或171n a =⎧⎨=-⎩；(4)()1747477274222a a a S a +⨯====，解得：46a =，所以()()()143645510222n n n n a a n a a n S -+++====，解得：20n =.2．(2021·全国高二专题练习)已知等差数列{a n }中， (1)112a =，420S =，求6S ； (2)11a =，512n a =-，1022n S =-，求d . 【答案】(1)48；(2)－171.【解析】1)()140441242S a d -=+=，因为112a =，∵3d =.故()()16661661166348222S a d --=+=⨯+⨯=. (2)由()()151********n n n a a n S +-+===-，解得4n =，又由()11n a a n d +-=，即512141()d -=+-，解得171d =-. 3．(2021·全国)已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和. (1)若21a =-，1575S =，求n a 与n S ；(2)若1234124a a a a +++=，123156n n n n a a a a ---+++=，210n S =，求项数n .【答案】(1)3n a n =-，252n n nS -=；(2)6n =.【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得211511151415752a a d S a d =+=-⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得12,1a d =-=，所以()2113n a n n =-+-⨯=-，()2152122n n n n nS n --=-+⨯=. (2)由题意，数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，因为1234124a a a a +++=，123156n n n n a a a a ---+++=，由等差数列的性质，可得()()112341234n n n n n a a a a a a a a a a ---+=+++++++124156280=+=，解得170n a a +=，又由210n S =，所以()17021022n n n nS a a =+=⨯=，解得6n =. 考点二等差数列前n 项和与中项性质【例2】(1)(2021·全国高二课时练习)在等差数列{a n }中，若S 10=120，则a 1+a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36D ．48(2)(2021·全国高二专题练习)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，918S =，430(9)n a n -=>，已知336n S =，则n 的值为( ) A ．18B ．19C ．20D ．21【答案】(1)B(2)D 【解析】(1)由S 10=11010()2a a +，得a 1+a 10=101202455S ==，故选：B (2)由等差数列的性质可得19959()9182a a S a +===，解得52a =，故5432n a a -+=，而154()()1633622n n n n a a nS a a n -+==+==，解得21n =，故选：D ．【一隅三反】1．(2021·湖南高二学业考试)等差数列{}n a 中，376a a +=，则{}n a 的前9项和等于( ) A ．-18 B ．27C ．18D ．-27【答案】B 【解析】()()19397999627222a a a a S ++⨯====．故选：B 2．(2021·全国高二课时练习)已知等差数列{a n }中，22383829a a a a ++=，且a n <0，则S 10为( )A ．-9B ．-11C ．-13D ．-15【答案】D【解析】由22383829a a a a ++=得2839()a a +=，因为0n a <，所以383a a +=-，所以110381010()10()10(3)15222a a a a S ++⨯-====-.故选：D 3．(2021·六盘山高级中学高二月考(理))设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 若68,a a 是方程2650x x -+=的两根，则13S =( ) A ．39 B ．52C ．45D ．72【答案】A【解析】由题可得，68762a a a +==，所以73a =，即1371339S a ==．故选：A ．4．(2021·全国高二课时练习)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若1m ，且2110m m m a a a -++-=，2138m S -=，则m =( ) A ．38 B ．20 C ．10 D ．9【答案】C【解析】根据等差数列的性质可得112m m m a a a -++=．∵2110m m ma a a -++-=，∵0m a =或2m a =．若0m a =，显然()212138m m S m a -=-=不成立，∵2m a =． ∵()212138m m S m a -=-=，解得10m =．故选：C ．5．(2021·广东潮阳·高二期末)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，若1118m m m a a a +-++=，且28m S =，则m 的值为( ) A ．7 B ．8C ．14D ．16【答案】B【解析】因为{}n a 是等差数列，所以11318m m m m a a a a -+++==，解得：6m a =，所以()116()2822m m m m a a S ++===，解得：8m =．故选：B ．考点三等差数列前n 项和的最值【例3】(1)(2021·全国高二课时练习)已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( ) A ．21B ．20C ．19D ．18(2)(2021·全国高二课时练习)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 11-a 8=3，S 11-S 8=3，则使a n >0的最小正整数n 的值是( ) A ．8B ．9C ．10D ．11(3)(2021·全国高二单元测试)在等差数列{a n }中，a 8＞0，a 4+a 10＜0，则数列{a n }的前n 项和S n 中最小的是( )A ．S 4B ．S 5C ．S 6D ．S 7【答案】(1)B(2)C(3)C【解析】(1)∵(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ， ∵99－105＝3d .∵d ＝－2.又∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，∵a 1＝39. ∵S n ＝na 1＋(1)2n n -d ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400. ∵当n ＝20时，S n 有最大值．故选：B.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 11-S 8=3，得a 11+a 10+a 9=3，即3a 10=3，解得a 10=1，于是得a 1+9d =1，而a 11-a 8=3d =3，即d =1，则有a 1=-8，从而得等差数列{a n }的通项公式为：a n =-9+n ，由-9+n >0得n >9，而n 是正整数，则min 10n =，所以使a n >0的最小正整数n 的值是10.故选：C (3)等差数列{a n }中，a 8＞0，a 4+a 10＝2a 7＜0，故a 7＜0，870d a a =->7n ∴≤时，有0n a <，8n ≥时，有0n a >所以数列{a n }的前n 项和S n 中最小的是7S ．故选：D 【一隅三反】1．(2021·全国高二课时练习)已知{a n }是等差数列，a 1＝－26，a 8＋a 13＝5，当{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】B【解析】设数列{a n }的公差为d ， ∵a 1＝－26，a 8＋a 13＝5，∵－26＋7d －26＋12d ＝5，解得d ＝3，∵22(1)35535530252632222624n n n S n n n n -⎛⎫=-+⨯=-=--⎪⎝⎭，∵n 为正整数，∵{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n ＝9．故选：B ．2．(2021·全国高二专题练习)已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，10S <，212520S S +=，则n S 取最小值时，n 的值为( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14【答案】A【解析】10S <，212520S S +=，∴公差0d >．∴11212025242(21)25022a d a d ⨯⨯⨯+++=， 1677200a d ∴+=，67072067067<<+，1116767067720067737a d a d a d ∴+<+=<+，111267067a a ∴<<，即11120a a <<n S ∴取最小值时，11n =．故选：A ．3．(2021·全国高二专题练习)数列{}n a 的前n 项和232n S n n =-，则当2n 时，下列不等式成立的是( ) A ．1n n S na na >> B ．1n n S na na >> C ．1n n na S na >> D ．1n n na S na >>【答案】C【解析】数列{}n a 的前n 项和232n S n n =-，11321a S ∴==-=．当2n 时，22132[3(1)2(1)]54n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，故数列{}n a 的通项公式为54n a n =-．故数列{}n a 是递减的等差数列，且公差等于4-，故当2n 时有112nn a a a a +>>，再由1()2n n n a a S +=可得1n n na S na >>，故选：C ．4(2021·全国高二专题练习)已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是( ) A ．18B ．19C ．20D ．21【答案】C【解析】设{}n a 的公差为d ，由题意得135********d a a a a d a a ++++==++，即1235a d +=，∵ 2461113599a a a a d a d a d ++=+++++=，即1333a d +=，∵由∵∵联立得139a =，2d =-，22(1)39(2)40(20)4002n n n S n n n n -∴=+⨯-=-+=--+，故当20n =时，n S 取得最大值400．故选：C ．5．(2021·全国高二专题练习)已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 15＞0，S 16＜0，则S n 的最大值是( ) A ．S 1 B ．S 7 C ．S 8 D ．S 15【答案】C【解析】∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 15＞0，S 16＜0，()115151502a a S ⨯+∴=>，∵115820a a a +=>，()116161602a a S ⨯+∴=<，∵116890a a a a +=+<， ∵890,0a a ><， 980d a a =-<所以在数列{}n a 中，当9n <时，0n a >，当9n ≥时，0n a <，所以当n ＝8时，S n 最大，故选：C考点四等差数列前n 项和的性质【例4】(1)(2021·河南高二月考)记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知55S =，1521S =，则10S =( ) A ．9B ．10C ．12D ．13(2)(2021·全国高二专题练习)等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，对一切自然数n ，都有n n S T ＝1n n +，则77a b 等于( )A ．34B ．56C ．910D ．1314 (3)(2021·全国高二课时练习)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20212020220212020S S-=，则数列{}n a 的公差d 为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】(1)C(2)D(3)D【解析】(1)因为n S 是等差数列{}n a 的前n 项，由等差数列前n 项和的性质可知： 5S ，105S S -，1510S S -成等差数列，所以()()105515102S S S S S -=+-，即()()101025521S S -=+-，解得：1012S =，故选：C.(2)∵S 13＝11313()2a a +＝13a 7，T 13＝11313()2b b +＝13b 7，∵713713a S b T =＝1314.故选：D.(3)由等差数列的性质，知n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．又()112n n n S na d -=+，所以112n S n a d n -=+，则数列{}n a 的公差为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差的2倍，而n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为20212020220212020S S -=，所以数列{}n a 的公差为4，故选：D ．【一隅三反】1(2021·全国高二专题练习)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若53a a ＝59，则95S S 等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．12【答案】A【解析】95S S ＝19159()25()2a a a a ++＝5395a a ＝1.故选：A. 2．(2021·河南高二月考)记等差数列{}n a 与{}nb 的前n 项和分别为n S 和n T ，若123n n S n T n +=+，则105510a b a b =( )A ．8281B ．8182C ．4241D ．4142【答案】C【解析】因为()()1191011919101191911919191202192193412a a a a a S b b b T b b +++=====+⨯++，()()1951995199199911029293212a a a a a S b b b T b b+++=====+⨯++，可得552110b a =，所以105510202142411041a b a b =⨯=，故选：C.3．(2021·云南省楚雄天人中学高二月考(理))等差数列{}n a 中，n S 表示其前n 项和，若10100S =，20110S =，则30S =( ) A ．-80 B ．120 C ．30 D ．111【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 中，n S 表示其前n 项和，所以1020103020,,S S S S S --成等差数列，即()30100,10,110S -成等差数列，所以()3020110100S =-+，解得3030S = 故选：C4．(2021·南昌市豫章中学高二开学考试(理))已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111n nS S n n+-=+，416S =，则1a =( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【解析】由等差数列{}n a 的前n 项和为1()2n n n a a S +=，可得1112122n n n n S S a a dd n n ++--===⇒=+，又由414342162S a ⨯=+⨯=，解得11a =. 故选：A.5．(2021·辽宁抚顺·高二期末)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若891715a a =，则1517SS =( ) A ．2B ．1-C ．1D ．0.5【答案】C【解析】因为在等差数列{}n a 中，891715a a =，所以1151511588117171179915()15()152152117()17()172172a a S a a a a a a S a a a a ++⨯====⋅=++⨯，故选：C考点五含有绝对值的求和【例5】(2021·全国高二专题练习)若数列{}n a 的前n 项和是242n S n n =-+，则1210a a a ++=⋯+________.【答案】66【解析】因为242n S n n =-+当1n =时，111421a S ==-+=-；当2n ≥时，2215[()4211(2]2)4n n n a S S n n n n n -=-=----=+--+，所以20a <，30a >，40a >，. 故()()212012101210410221166a S a a a a ++=++=+⋯+-⨯++=故答案为：66【一隅三反】1．(2021·福建省连城县第一中学高二月考)(多选)已知公差为d 的等差数列{}n a ，n S 为其前n 项和，下列说法正确的是( )A ．若90S <，100S >，则6a 是数列{}n a 中绝对值最小的项B ．若3614S S =，则61247S S = C ．若18a =，42a =，则12832a a a +++=D ．若48a a =，0d ≠，则110S =【答案】CD 【解析】对于A ：因为{}n a 为等差数列，且91000S S <⎧⎨>⎩，所以1911000a a a a +<⎧⎨+<⎩，即55600a a a <⎧⎨+>⎩，所以65||a a >，即5a 是数列{}n a 中绝对值最小的项. 故选项A 错误；对于B ：因为{}n a 为等差数列，所以3S ，63S S -，96S S -，129S S -为等差数列，设3S x =，由3614S S =得：64S x =，故x ，3x ，94S x -，129S S -为等差数列解得1216S x =，所以61241164S x S x ==. 故选项B 错误；对于C ：因为{}n a 为等差数列，且18a =，42a =，所以36d =-，2d =-，则82(1)210n a n n =--=-+.则 128||||||a a a +++8642024632=+++++++=.故选项C 正确；对于D ：因为{}n a 为等差数列，且48||||a a =，0d ≠，所以48a a =-，480a a +=，则481111111()11()022a a a a S ++===. 故选项D 正确；故选：CD.2．(2021·全国高二专题练习)已知等差数列{}n a 中，158a a +=，42a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设123||||||||n n T a a a a =+++⋯+，求n T ．【答案】(1)102n a n =-；(2)229,5940,5n n n n T n n n ⎧-=⎨-+>⎩. 【解析】(1)等差数列{}n a 中，158a a +=，42a =， ∴1124832a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得18a =，2d =-， 8(1)(2)102n a n n ∴=+-⨯-=-．(2)由1020n a n =-，得5n ，50a =，620a =-<，123||||||||n n T a a a a =+++⋯+，∴当5n 时，2(1)8(2)92n n n T n n n -=+⨯-=-．当5n >时，22(1)[8(2)]2(955)9402n n n T n n n -=-+⨯-+⨯-=-+． ∴229,5940,5n n n n T n n n ⎧-=⎨-+>⎩． 3．(2021·河南高二月考)已知数列{}n a 满足117a =-，121n n na a a +=+，*N n ∈. (1)证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； (2)求数列1n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】(1)证明见解析；(2)228,14,832, 5.n n n n T n n n ⎧-+≤≤=⎨++≥⎩. 【解析】(1)由121n n n a a a +=+，可得121112n n n n a a a a ++==+即1112n n a a +-=. 因为117a =-，所以117a =-，故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以7-为首项，2为公差的等差数列. (2)由(1)可得()171229nn n a =-+-⨯=-，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则()272982n n n S n n -+-==-.当14n ≤≤时，10na <， 212121111118n n n n T S n n a a a a a a ⎛⎫=+++=-+++=-=-+ ⎪⎝⎭；当5n ≥时，10na >， 14514511111111n n nT a a a a a a a a ⎛⎫=++++=-+++++ ⎪⎝⎭ ()()2244216328328n S S S n n n n =-+-=--=-+-，综上所述228,14832,5n n n n T n n n ⎧-+≤≤=⎨++≥⎩。

6.2等差数列典型例题及详细解答

精心整理1．等差数列的定义一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，往常用字母__d__表示．2．等差数列的通项公式假如等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是a n＝a1＋(n－1)d. 3．等差中项假如A＝，那么A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推行：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋*5．等差数列的前n项和公式设等差数列{a n}的公差为d，其前n项和S n＝或S nna1＋d.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系S n＝n2＋n.数列{a n}是等差数列?S n＝An2＋Bn(A、B为常数)．7．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最__大__值；若a1<0，d>0，则Sn存在最__小__值．【思虑辨析】判断下边结论能否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对随意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(√)(3)等差数列{an}的单一性是由公差d决定的．(√)(4)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(×)(5)数列{an}知足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．(×)(6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(此中p，q为常数)，则数列{an}必定是等差数列．(√)1．(2015重·庆)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于()A．－1B．0C．1D．6答案B分析由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－精心整理4＝0，选B.2．(2014福·建)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8B．10C．12D．14答案C分析由题意知a1＝2，由S3＝3a1＋×d＝12，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，应选C.3．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于()A．58B．88C．143D．176答案B分析S11＝＝＝88.4．设数列{a n}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋＋a7等于()精心整理A．14B．21C．28D．35答案C分析∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，a1＋a2＋＋a7＝7a4＝28.5．(2014·京北)若等差数列{a n}知足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{a n}的前n项和最大．答案8分析{a n}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8因为数列＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.故当n＝8时，其前n项和最大．题型一等差数列基本量的运算例1(1)在数列{a n}中，若a1＝－2，且对随意的n∈N*有2a n＋1＝1＋2a n，则数列{a n}前10项的和为()精心整理A．2B．10C.D.(2)已知在等差数列{a n}中，a2＝7，a4＝15，则前10项和S10等于()A．100B．210C．380D．400答案(1)C(2)B分析(1)由2a n＋1＝1＋2a n得a n＋1－a n＝，所以数列{a n}是首项为－2，公差为的等差数列，所以S10＝10×(－2)＋×＝.(2)因为a2＝7，a4＝15，所以d＝4，a1＝3，故S10＝10×3＋×10×9×4＝210.思想升华(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，而后由通项公式或前n项和公式转变成方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及精心整理前n项和公式，共波及五个量a1，a n，d，n，S n，知此中三个就能求此外两个，表现了方程的思想．(1)(2015课·标全国Ⅱ)设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5等于()A．5B．7C．9D．11(2)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且知足－＝1，则数列{a n}的公差是()．1C．2D．3答案(1)A(2)C分析(1)∵{a n}为等差数列，∴a1＋a5＝2a3，a1＋a3＋a5＝3a3＝3，得a3＝1，S5＝＝5a3＝5.应选A.(2)∵S n＝，∴＝，又－＝1，得－＝1，即a3－a2＝2，∴数列{a n}的公差为2.精心整理题型二等差数列的判断与证明例2已知数列{a n}中，a1＝，a n＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{b n}知足b n＝(n∈N*)．(1)求证：数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}中的最大项和最小项，并说明原因．(1)证明因为a n＝2－(n≥2，n∈N*)，b n＝(n∈N*)，所以b n＋1－b n＝－＝－＝－＝1.又b1＝＝－.所以数列{b n}是以－为首项，1为公差的等差数列．(2)解由(1)知b n＝n－，则a n＝1＋＝1＋.精心整理设f(x)＝1＋，则f(x)在区间(－∞，)和(，＋∞)上为减函数．所以当n＝3时，a n获得最小值－1，当n＝4时，a n 获得最大值3.引申研究例2中，若条件变成a1＝，na n＋1＝(n＋1)a n＋n(n 1)，研究数列{a n}的通项公式．解由已知可得＝＋1，即－＝1，又a1＝，∴是以＝为首项，1为公差的等差数列，∴＝＋(n－1)·1＝n－，∴a n＝n2－n.思想升华等差数列的四个判断方法精心整理(1)定义法：证明对随意正整数n都有a n＋1－a n等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对随意正整数n都有2a n＋1＝a n＋a n＋2后，可递推得出a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n＝a na n－1＝a n－1－a n－2＝＝a2－a1，依据定义得出数列{a n}为等差数列．(3)通项公式法：得出a n＝pn＋q后，得a n＋1－a n＝p对随意正整数 n恒建立，依据定义判断数列{a n}为等差数列．(4)前n项和公式法：得出S n ＝An2＋Bn后，依据S n，a n的关系，得出a n，再使用定义法证明数列{a n}为等差数列．(1)若{a n}是公差为1的等差数列，则{a2n－1精心整理＋2a2n}是()A．公差为3的等差数列B．公差为4的等差数列C．公差为6的等差数列D．公差为9的等差数列(2)在数列{a n}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则该数列的通项为()A．a n＝B．a n＝C．a n＝D．a n＝答案(1)C(2)A分析(1)∵a2n－1＋2a2n－(a2n－3＋2a2n－2)(a2n－1－a2n－3)＋2(a2n－a2n－2)2＋2×2＝6，∴{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列．(2)由已知式＝＋可得－＝－，知{}是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的精心整理等差数列，所以＝n，即a n＝.精心整理题型三等差数列的性质及应用命题点1等差数列的性质例3(1)(2015广·东)在等差数列{a n}中，若a3＋a4a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.(2)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.答案(1)10(2)60分析(1)因为{a n}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.(2)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，且S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20，S30－30＝10＋2×10＝30，∴S30＝60.命题点2等差数列前n项和的最值例4在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为精心整理S n，且S10＝S15，求当n取何值时，S n获得最大值，并求出它的最大值．解∵a1＝20，S10＝S15，10×20＋d＝15×20＋d，d＝－.方法一由a n＝20＋(n－1)×＝－n＋.得a13＝0.即当n≤12时，a n＞0，当n≥14时，a n＜0.∴当n＝12或13时，S n获得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.方法二S n＝20n＋·＝－n2＋n精心整理＝－2＋.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，S n有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.方法三由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.5a13＝0，即a13＝0.∴当n＝12或13时，S n有最大值，且最大值为S12 S13＝130.引申研究例4中，若条件“a1＝20”改为a1＝－20，其余条件不变，求当n取何值时，S n获得最小值，并求出最小值．解由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，∴a13＝0.又a1＝－20，∴a12<0，a14>0，精心整理∴当n＝12或13时，S n获得最小值，最小值S12＝S13＝＝－130.思想升华(1)等差数列的性质：①项的性质：在等差数列{a n}中，a m－a n＝(m－n)d?d(m≠n)，其几何意义是点(n，a n)，(m，a m)所在直线的斜率等于等差数列的公差．②和的性质：在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，则a．S2n＝n(a1＋a2n)＝＝n(a n＋a n＋1)；b．S2n－1＝(2n－1)a n.(2)求等差数列前n项和S n最值的两种方法：①函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式S n精心整理an2＋bn，经过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．②邻项变号法：a．当a1＞0，d＜0时，知足的项数m使得S n获得最大值S m；b．当a1＜0，d＞0时，知足的项数m使得S n获得最小值S m.(1)等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当S n取最大值时，n的值是()A．5B．6C．7D．8(2)设数列{a n}是公差d＜0的等差数列，S n为前n项和，若S6＝5a1＋10d，则S n取最大值时，n的值为()精心整理A．5B．6C．5或6D．11(3)已知等差数列{a n}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和S n的最大值为________．答案(1)B (2)C(3)110分析(1)依题意得2a6＝4,2a7＝－2，a6＝2＞0，a7＝－1＜0；又数列{a n}是等差数列，所以在该数列中，前6项均为正数，自第7项起此后各项均为负数，于是当S n取最大值时，n＝6，选B.(2)由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，S n最大，选C.(3)因为等差数列{a n}的首项a1＝20，公差d＝－2，代入乞降公式得，S n＝na1＋d＝20n－×2精心整理＝－n2＋21n＝－2＋2，又因为n∈N*，所以n＝10或n＝11时，S n获得最大值，最大值为110.6．等差数列的前n项和及其最值典例(1)在等差数列{a n}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项的和S10等于()A．45B．60C．75D．90(2)在等差数列{a n}中，S10＝100，S100＝10，则S110 ________.(3)等差数列{a n}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{a n}的前n项和S n的最大值为()A．S4B．S5C．S6D．S7思想点拨(1)求等差数列前n项和，能够经过求解基本量a1，d，代入前n项和公式计算，也能够利用精心整理等差数列的性质：a1＋a n＝a2＋a n－1＝；(2)求等差数列前 n项和的最值，能够将S n化为对于的二次函数，求二次函数的最值，也能够察看等差数列的符号变化趋向，找最后的非负项或非正项．分析(1)由题意得a3＋a8＝9，所以S10＝＝＝＝45.(2)方法一设数列{a n}的公差为d，首项为a1，则解得所以S110＝110a1＋d＝－110.方法二因为S100－S10＝＝－90，所以a11＋a100＝－2，所以S110＝＝＝－110.精心整理(3)因为所以所以S n的最大值为S5.答案(1)A (2)－110(3)B温馨提示(1)利用函数思想求等差数列前n项和S n的最值时，要注意到n∈N*；(2)利用等差数列的性质求S n，突出了整体思想，减少了运算量．[方法与技巧]1．在解相关等差数列的基本量问题时，可经过列关于a1，d的方程组进行求解．2．证明等差数列要用定义；此外还能够用等差中项法，通项公式法，前n项和公式法判断一个数列是否为等差数列．精心整理3．等差数列性质灵巧使用，能够大大减少运算量．4．在碰到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，a＋d，a＋2d；(2)a－d，a，a＋d；(3)a－d，a ＋d，a＋3d等，可视详细状况而定．[失误与防备]1．当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d＝0时，a n为常数．2．公差不为0的等差数列的前 n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．A组专项基础训练(时间：35分钟)1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S6精心整理＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27答案B分析由{a n}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列．即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，获得S9－S6＝2S6－3S3＝45，应选B. 2．(2015·京北)设{a n}是等差数列，以下结论中正确的是()A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2＞D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0答案C精心整理分析设等差数列{a n}的公差为d，若a1＋a2>0，a2a3＝a1＋d＋a2＋d＝(a1＋a2)＋2d，因为d正负不确立，因此a2＋a3符号不确立，应选项A错；若a1a3<0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a1＋a3)－d，因为d正负不确立，因此a1＋a2符号不确立，应选项B错；若0<a1<a2，可知a1>0，d>0，a2>0，a3>0，所以a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2>0，所以a2>，应选项C正确；若a1<0，则(a2－a1)·(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，应选项D错．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m－1＝－2，S m＝0，S m＋1＝3，则m等于()A．3B．4C．5D．6答案C精心整理分析∵数列{a n}为等差数列，且前n项和为S n，∴数列也为等差数列．∴＋＝，即＋＝0，解得m＝5，经查验为原方程的解，应选 C.4．数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n＝a n＋1－a n(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于()A．0B．3C．8D．11答案B设{b n}的公差为d，∵分析∵∵－b3＝7d＝12－(－2)＝14，∴d＝2.∵b10∵∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6.精心整理b1＋b2＋＋b7＝7b1＋d7×(－6)＋21×2＝0.又b1＋b2＋＋b7＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋＋(a8－a7)＝a8－a1＝a8－3＝0，a8＝3.应选B.5．已知数列{a n}知足a n＋1＝a n－，且a1＝5，设{a n}的前n项和为S n，则使得S n获得最大值的序号n的值为()A．7B．8C．7或8D．8或9答案C分析由题意可知数列{a n}是首项为5，公差为－的等差数列，所以a n＝5－(n－1)＝，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所精心整理以S n获得最大值时，n＝7或8，应选C.6．已知数列{a n}中，a1＝1且＝＋(n∈N*)，则a10 ________.答案分析由已知得＝＋(10－1)×＝1＋3＝4，故a10＝.7．已知递加的等差数列{a n}知足a1＝1，a3＝a－4，则a n＝________.答案2n－1分析设等差数列的公差为d，a3＝a－4，∴1＋2d＝(1＋d)2－4，解得d2＝4，即d＝±2.因为该数列为递加数列，故d＝2.∴a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1.精心整理8．设数列{a n}的通项公式为a n＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋＋|a15|＝________.答案130分析由a＝－∈N*知是以－为首项，n2n10(n)n8 {a}为公差的等差数列，又由a n＝2n－10≥0得n≥5，∴n≤5时，a n≤0，当n＞5时，a n＞0，∴|a1|＋|a2|＋＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋＋a15)20＋110＝130.9．若数列{a n}的前n项和为S n，且知足a n＋2S n S n 1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求证：成等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．(1)证明当n≥2时，由an＋2S nn－1＝0，S得S n－S n－1＝－2S n S n－1，所以－＝2，精心整理又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．(2)解由(1)可得＝2n，∴S n＝.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝－＝＝－.当n＝1时，a1＝不合适上式．故a n＝10．等差数列{a n}中，设S n为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，S n最大？解方法一由S3＝S11得3a1＋d＝11a1＋d，则d＝－a1.进而S n＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，又a1＞0，所以－＜0.故当n＝7时，S n最大．方法二因为S n＝an2＋bn是对于n的二次函数，由S3＝S11，可知S n＝an2＋bn的图象对于n＝＝7精心整理对称．由方法一可知a＝－＜0，故当n＝7时，S n 最大．方法三由方法一可知，d＝－a1.要使S n最大，则有即解得≤n≤，故当n＝7时，S n最大．方法四由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，S n最大．B组专项能力提高(时间：20分钟)11．设S n为等差数列{a n}的前n项和，(n＋1)S n＜精心整理nS n＋1(n∈N*)．若＜－1，则()A．S n的最大值是S8B．S n的最小值是S8C．S n的最大值是S7D．S n的最小值是S7答案D分析由条件得＜，即＜，所以a n＜a n＋1，所以等差数列{a n}为递加数列．又＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即数列{a n}前7项均小于0，第8项大于零，所以S n的最小值为S7，应选D.12．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－3，a k＋1＝，S k＝－12，则正整数k＝________.答案13分析S k＋1＝S k＋a k＋1＝－12＋＝－，又S k＋1＝精心整理＝＝－，解得k＝13.13．设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若对随意自然数n都有＝，则＋的值为________．答案分析∵{a n}，{b n}为等差数列，∴＋＝＋＝＝.∵＝＝＝＝，∴＝.14．已知数列{a n}是首项为a，公差为1的等差数列，b n＝，若对随意的n∈N*，都有b n≥b8建立，则实数a的取值范围为________．精心整理答案(－8，－7)分析依题意得b n＝1＋，对随意的n∈N*，都有b n≥b8，即数列{b n}的最小项是第8项，于是有≥.又数列{a n}是公差为1的等差数列，所以有即由此解得－8＜a＜－7，即实数a的取值范围是(－8，－7)．15．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且知足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求通项a n；(2)求S n的最小值；(3)若数列{b n}是等差数列，且b n＝，求非零常数 c.解(1)因为数列{a n}为等差数列，所以a3＋a4＝a2＋a5＝22.又a3·a4＝117，所以a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两实根，又公差d＞0，所以a3＜a4，精心整理所以a3＝9，a4＝13，所以所以所以通项a n＝4n－3.(2)由(1)知a1＝1，d＝4，所以S n＝na1＋×d＝2n2－n＝22－.所以当n＝1时，S n最小，最小值为S1＝a1＝1.(3)由(2)知S n＝2n2－n，所以b n＝＝，所以b1＝，b2＝，b3＝.因为数列{b n}是等差数列，精心整理所以2b2＝b1＋b3，即×2＝＋，所以2c2＋c＝0，所以c＝－或c＝0(舍去)，经考证c＝－时，{b n}是等差数列，故c＝－.。

等差数列前n项和求解方法

等差数列前n项和求解方法作者：胡建华来源：《中学生数理化·学研版》2015年第05期在等差数列的相关问题中经常会遇到与其前n项和有关的问题这类问题是高考的热点之一由于涉及等差数列的前n项和的解题方法灵活多变因此也成为了很多学生比较头疼的知识点下面通过实例展示这类问题的常见求解方法。

一、利用基本量思想求解在等差数列{an}的五个量a，d，an，n，Sn中a，d为基本量an，Sn可以由基本量a和d 表示出来故涉及到有关an与Sn的题型可以转化为基本量问题求解。

例一个等差数列的前项的和是前5项的和与前项的和的差是7求这个等差数列的前n项和。

解：根据题意得S=，S5-S=7则设等差数列的首项为a公差为d则a+×（-）d=，5a+5×（5-）d-a+×（-）d=7，解得a=3d=。

所以an=3+n-）=n+Sn=n（n+）。

点评：上述解法是求解此类问题的通法一般情况下设出数列的首项与公差将已知条件转化为数学语言即用首项和公差表示列方程组然后再解必学要求学生熟练掌握并会灵活应用。

二、利用等差数列的性质求解{an}为等差数列则Sn，Sn-Sn，S3n-Sn成等差数列。

例等差数列{an}中已知S0=00，S00=0求S0。

解：S0，S0-S0，…，S0-S00成等差数列设公差为d该数列的前及前项的和分别为S0，S 易得S00=0S0+0×dS0=S0+×0S00-0S0S0-S0=解得S0=-0。

点评：应用等差数列的性质解题有时可以回避求其首项和公差是求解过程简化。

三、利用Sn与an的关系求解an与前n项和Sn之间的关系是：an=S（n=）Sn-Sn-（n≥）解题时巧妙地利用这个关系解题可以极大地优化解题过程从而快速、简捷获解。

例3设数列{an}满足Sn=an+且Sn≠0求该数列的通项公式an。

解：当n=时a=S=a+得a=。

当n≥时Sn=an+。

①Sn-=an-+。

数学人教A版高中必修5数列专题：等差、等比数列的基本量计算复习(学生版)

1
1 1 1 ；
n(n 1) n n 1
升级： 1 1 (1 1 )
n(n k) k n n k
变式：
n
1 2-
（n 1
2）=
1= n2 3n 2
1
(2n 1)(2n 1)
专题：数列
微专题 1：等差、等比数列的基本量计算
立足于两数列的概念，设出相应基本量：
an 等差： a1, d , n, an, Sn
bn 等比： b1, q, n,bn, Sn (方程思想)
1、已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，S1＋1，S3，S4 成等差数列，且 a1，a2，a5 成等比数列。 (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 S4，S6，Sn 成等比数列，求 n 及此等比数列的公比。
an
a1
(n 1)(3 2
2n
1)
=n 2
1, Q
a1
1 an
n2
练习：已知数列an满足 a1 2 ，且 an an1 2n (n 2, n N ) ，求数列 an
的通项公式。
4、累乘法（形如
an f (n) an1
）
例：已知数列 an满足 a1
2 ，且
an an1
1
1 n
N)
，求数列 an 的通项
公式。
6、构造法
方向 1：构造成等差数列（形如
an1
pan p qan
）
解法：
（取倒法）两边取倒数 1 p qan 1 1 q ，构造成等差数列。
an1
pan
an1 an p
（同除法）分式变成整式
pan1 qanan1
pan

2020版高考数学第五章数列第2节等差数列及其前n项和讲义理(含解析)新人教A版

第2节等差数列及其前n 项和考试要求 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.体会等差数列与一次函数的关系.知识梳理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.[微点提醒]1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( ) (4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 解析 (3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数. (4)若公差d ＝0，则前n 项和不是二次函数. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P46A2改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A.31B.32C.33D.34解析由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.答案 B3.(必修5P68A8改编)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 解析由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 答案 1804.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A.－12B.－10C.10D.12解析设等差数列{a n }的公差为d ，则3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即d ＝－32a 1.又a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10. 答案 B5.(2019·上海黄浦区模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝1，前5项和S 5＝－15，则数列{a n }的公差为( ) A.－3B.－52C.－2D.－4解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，S 5＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，5a 1＋5×42d ＝－15，解得d ＝－4. 答案 D6.(2019·苏北四市联考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8>0，且S 9<0，则S 1，S 2，…，S 9中最小的是______.解析在等差数列{a n }中， ∵a 3＋a 8>0，S 9<0，∴a 5＋a 6＝a 3＋a 8>0，S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5<0，∴a 5<0，a 6>0，∴S 1，S 2，…，S 9中最小的是S 5. 答案 S 5考点一等差数列基本量的运算【例1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A.1B.2C.4D.8(2)(2019·潍坊检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( ) A.9B.10C.11D.15解析 (1)法一设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋3d ）＋（a 1＋4d ）＝24，6a 1＋6×52d ＝48，所以d ＝4. 法二等差数列{a n }中，S 6＝（a 1＋a 6）×62＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8，则d ＝4.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 11＝11a 1＋11×（11－1）2d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－33，d ＝7， ∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10. 答案 (1)C (2)B规律方法 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练1】 (1)等差数列log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)，…的第四项等于( ) A.3 B.4 C.log 318 D.log 324(2)(一题多解)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________. 解析 (1)∵log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)成等差数列， ∴log 3(2x )＋log 3(4x ＋2)＝2log 3(3x )，∴log 3[2x (4x ＋2)]＝log 3(3x )2，则2x (4x ＋2)＝9x 2，解之得x ＝4，x ＝0(舍去).∴等差数列的前三项为log 38，log 312，log 318， ∴公差d ＝log 312－log 38＝log 332，∴数列的第四项为log 318＋log 332＝log 327＝3.(2)法一设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，所以S 6＝6a 1＋15d ＝30.法二由{a n }为等差数列，故可设前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，由S 3＝6，S 4＝12可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝－1，即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30.答案 (1)A (2)30考点二等差数列的判定与证明典例迁移【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【迁移探究1】本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由. 解因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2). 所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2).又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列.所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝－12n （n －1），所以a n ＋1＝－12n （n ＋1），又a n ＋1－a n ＝－12n （n ＋1）－－12n （n －1）＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n （n －1）（n ＋1）.所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列. 【迁移探究2】本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式. 解由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n . 规律方法 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数. (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立. 2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：(1)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列.(2)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【训练2】 (2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列. 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n. (2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23.＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋(－1)n ·2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列. 考点三等差数列的性质及应用多维探究角度1 等差数列项的性质【例3－1】 (2019·临沂一模)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( ) A.6B.12C.24D.48解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，由等差数列的性质，a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120， ∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48. 答案 D角度2 等差数列和的性质【例3－2】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.63B.45C.36D.27解析由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，所以a 7＋a 8＋a 9＝45. 答案 B规律方法 1.项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 (1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； (2)S 2n －1＝(2n －1)a n .【训练3】 (1)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 015，S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6，则S 2 019＝________.(2)(2019·荆州一模)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( ) A.15B.30C.31D.64(3)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B.1914C.3929D.43解析 (1)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列. 设其公差为d ，则S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 015＋2 018＝3， ∴S 2 019＝3×2 019＝6 057.(2)由a 3＋a 4＋a 5＝3及等差数列的性质， ∴3a 4＝3，则a 4＝1.又a 4＋a 12＝2a 8，得1＋a 12＝2×8. ∴a 12＝16－1＝15.(3)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727. 答案 (1)6 057 (2)A (3)A 考点四等差数列的前n 项和及其最值【例4】 (2019·衡水中学质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，常数λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整数n 都成立. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100，当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？解 (1)令n ＝1，得λa 21＝2S 1＝2a 1，a 1(λa 1－2)＝0，因为a 1≠0，所以a 1＝2λ，当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n ，2a n －1＝2λ＋S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n (n ≥2). 所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而数列{a n }为等比数列，a n ＝a 1·2n －1＝2nλ. (2)当a 1>0，λ＝100时，由(1)知，a n ＝2n100，则b n ＝lg 1a n ＝lg 1002n ＝lg 100－lg 2n＝2－n lg 2，所以数列{b n }是单调递减的等差数列，公差为－lg 2，所以b 1>b 2>…>b 6＝lg 10026＝lg 10064>lg 1＝0，当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027<lg 1＝0，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前6项和最大.规律方法求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法：(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn (a ≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求S n 的最值. ①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最大值)；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最小值).【训练4】 (1)等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 5＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为( )A.3B.3或4C.4或5D.5(2)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________.解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋2d ）（a 1＋14d ）＝25，a 1＋4d ＝5，由d ≠0，解得a 1＝－3，d ＝2，∴S nn＝na 1＋n （n －1）2dn＝－3＋n －1＝n －4，则n －4≥0，得n ≥4，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为3或4.(2)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝20n －n （n －1）2×2＝－n 2＋21n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110. 答案 (1)B (2)110[思维升华]1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前n 项和S n ＝An 2＋Bn 及通项a n ＝pn ＋q 来判断一个数列是否为等差数列. 2.等差数列基本量思想(1)在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a 1，d 的方程组进行求解. (2)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d .若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.(3)灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量. [易错防范]1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了a n ＋1－a n ＝d (n ≥2)时，应注意验证a 2－a 1是否等于d ，若a 2－a 1≠d ，则数列{a n }不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前n 项和最值时，一定要注意自变量n 是正整数.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A.100B.99C.98D.97解析设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧9a 1＋36d ＝27，a 1＋9d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1，所以a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99＝98. 答案 C2.(2019·淄博调研)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 6a 5＝911，则S 11S 9＝( )A.1B.－1C.2D.12 解析由于S 11S 9＝11a 69a 5＝119×911＝1. 答案 A 3.(2019·中原名校联考)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列，已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝( )A.10B.20C.30D.40解析依题意，11x n ＋1－11x n＝x n ＋1－x n ＝d ， ∴{x n }是等差数列.又x 1＋x 2＋…＋x 20＝20（x 1＋x 20）2＝200. ∴x 1＋x 20＝20，从而x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝20.答案 B4.(2019·北京海淀区质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤解析用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a 1＋8×72×17＝996，解之得a 1＝65. ∴a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤.答案 B5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则S n 取最大值时的n 为( ) A.4 B.5 C.6 D.4或5 解析由{a n }为等差数列，得S 99－S 55＝a 5－a 3＝2d ＝－4，即d ＝－2，由于a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，令a n ＝－2n ＋11<0，得n >112，所以S n 取最大值时的n 为5.答案 B二、填空题6.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为________.解析设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n 解得n ＝5，故这个数列的项数为10.答案 107.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，则a 6＝________. 解析将a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1两边同时除以a n a n ＋1，1a n ＋1－1a n ＝2. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以1a 6＝1＋5×2＝11，即a 6＝111. 答案 1118.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________. 解析依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200. 答案 200三、解答题9.等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解 (1)设数列{a n }首项为a 1，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35. 当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4，5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9，10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4. 所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.10.已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项公式b n ＝S n n ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .(1)解设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k （k －1）2·d ＝2k ＋k （k －1）2×2＝k 2＋k ，由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)证明由(1)得S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)，则b n ＝S n n ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·济宁模拟)设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则a 18＝( )A.259B.269C.3D.289 解析令b n ＝na n ，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)，所以{b n }为等差数列，因为b 1＝1，b 2＝4，所以公差d ＝3，则b n ＝3n －2，所以b 18＝52，则18a 18＝52，所以a 18＝269. 答案 B12.(2019·青岛诊断)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N *)，若S n T n ＝2n －1n ＋1，则a 12b 6＝( ) A.154B.158C.237D.3 解析由题意不妨设S n ＝n (2n －1)，T n ＝n (n ＋1)，所以a 12＝S 12－S 11＝12×23－11×21＝45，b 6＝T 6－T 5＝6×(6＋1)－5×(5＋1)＝42－30＝12，所以a 12b 6＝4512＝154. 答案 A13.设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130. 答案 13014.(2019·长沙雅礼中学模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 13＝26，S 9＝81.(1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n ＋1a n ＋2，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若30T n －m ≤0对一切n ∈N *成立，求实数m 的最小值.解 (1)∵等差数列{a n }中，a 1＋a 13＝26，S 9＝81，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 7＝26，9a 5＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝13，a 5＝9， ∴d ＝a 7－a 57－5＝13－92＝2，∴a n ＝a 5＋(n －5)d ＝9＋2(n －5)＝2n －1.(2)∵b n ＝1a n ＋1a n ＋2＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3， ∵12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3随着n 的增大而增大，知{T n }单调递增. 又12n ＋3>0，∴T n <16，∴m ≥5， ∴实数m 的最小值为5.新高考创新预测15.(多填题)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，满足S 2＝S 6，S 55－S 44＝2，则a 1＝________，公差d ＝________.解析由{a n }为等差数列，得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为a 1，公差为d 2的等差数列，∵S 55－S 44＝2，∴d 2＝2⇒d ＝4，又S 2＝S 6⇒2a 1＋4＝6a 1＋6×52×4⇒a 1＝－14. 答案－14 4。

等差数列及其前n项和全面总结

自主学习
表示.
2.等差数列的通项公式如果等差数列 {an} 的首项为 a1 ，公差为 d ，那么它的通项公式是an=a1+（n-1）d .
3.等差中项 ab A 如果 2 ，那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质（1）通项公式的推广：an=am+(n-m)d，（n， m∈ N* ） . （2）若{an}为等差数列，且k+l=m+n，（k，l，m， n∈N*），则 ak+al=am+an .
（2）Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差数列.
（3）关于等差数列奇数项与偶数项的性质 ①若项数为2n，则S偶-S奇= nd ， S奇 S偶
S S偶= an ，奇 n . S偶 n 1
=
an an1 .
②若项数为2n-1，则S偶=（n-1）an，S奇= n an，S奇-
（3）若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等
差数列，公差为 2d . （4）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan+qbn}是等差数列 .
（ 5 ）若 {an} 是等差数列，则 ak ， ak+m ， ak+2m ，…
（k，m∈N*）是公差为md 的等差数列.
5.等差数列的前n项和公式
项，即Sn= An2+Bn，（A2+B2≠0） .
7.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0,d＞0,则Sn存在最小值.
8.等差数列与等差数列各项的和有关的性质
S n 也成等差数列，（1）若{an}是等差数列，则 n 1 其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的 2 .

等差数列的前n项和

专题等差数列的前n 项和目录⚫ 【1.等差数列前n 项和基本量计算】 .............................................. 1 ⚫ 【2.含绝对值的等差数列项和】 ...................................................... 2 ⚫ 【3.等差数列奇（偶）数项和】 ...................................................... 3 ⚫ 【4.等差数列的片段和性质】 .......................................................... 3 ⚫ 【5.两个等差数列的前n 项和之比（Sn T n ）】 (4)⚫ 【6.等差数列前n 项和的最值】 (4)⚫ 【1.等差数列前n 项和基本量计算】1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为174,1,510n S a S a =−=+，则4S =（） A ．6B ．7C ．8D ．102．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若48a =，318S =，则5S =（） A ．34B ．35C ．36D ．383．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5985a a a +=+，117a =，则16S =（） A ．64B ．80C ．96D ．1204．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若333,3a S ==，则12S =（） A ．144B ．120C ．100D ．805．等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若10111012101310148a a a a +++=，则2024S =（） A ．8096B ．4048C ．4046D ．20246．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若761311S S =，则1511S S = ．⚫ 【2.含绝对值的等差数列前n 项和】7．已知等差数列{}n a 中，19a =，43a =，设12||||||n n T a a a =++⋅⋅⋅+，则21T =（）A ．245B ．263C ．281D ．2908．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝－7，S 3＝－15.求： (1)S n 及S n 的最小值； (2)数列{|a n |}的前n 项和T n .9．已知在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，其前n 项和为n S ，216S =，且2154a a a =．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和nT ．10．已知数列{}n a 的前n 项和()2*12n S n kn k =−+∈N ，且n S 的最大值为92． (1)确定常数k ，并求n a ； (2)求数列{}n a 的前15项和15T ．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S .若n Sn ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且满足18S =，454S =. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设12n nT a a a =++⋅⋅⋅+，求nT .12．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，2217n S n n =−. (1)求{}n a 的通项公式，并求n S 的最小值； (2)设n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和nT .⚫ 【3.等差数列奇（偶）数项和】13．已知等差数列{}n a 的项数为()21Ν,m m *+∈其中奇数项之和为140, 偶数项之和为 120,则m =( ) A ．6B ．7C ．12D ．1314．已知等差数列{}n a 共有21n −项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则n = ．15．已知等差数列{}n a 的项数为21m +()*m ∈N ，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列{}n a 的项数是 .16．在等差数列{}n a 中，已知公差12d =，且1359960+++⋅⋅⋅+=a a a a ，求12399100a a a a a +++⋅⋅⋅++的值．⚫ 【4.等差数列的片段和性质】17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42S =，812S =，则20S =（） A ．30B ．58C ．60D ．9018．在等差数列{}n a 中，若363,24S S ==，则12S =（） A ．100B ．120C ．57D ．1819．记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若36S =，621S =，则12S =（） A ．27B ．36C ．45D ．78⚫ 【5.两个等差数列的前n 项和之比（S n T n）】20．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，nT ，若对任意正整数n都有2343n nS n T n −=−，则839457a a b b b b +=++（） A ．37B ．521C ．1941D ．1940E ．均不是21．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n n S T ､，若342nnS n T n +=+，则57210a a b b +=+（）A ．3713B ．11113C ．11126D ．372622．等差数列 {}n a ，{}n b 的前 n 项和分别为 n S ，n T ，若对任意的正整数n都有5321n n S n T n −=+，则 77a b = . 23．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，n S ，nT 分别是它们的前n 项和，并且713n n S n T n +=+，则2517228101216a a a ab b b b +++=+++ ． ⚫ 【6.等差数列前n 项和的最值】24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若890,0S S <>，则（） A ．10a <B ．0d <C ．n S 的最小值为4SD ．n nS a 的最小值为55Sa25．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项的和，若10a <，20002024S S =，则（）A ．0d >B ．20120a =C ．40240S =D ．2012n S S ≥26．设数列{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（）A ．0d >B ．80a =C ．7S 或8S 为n S 的最大值D ．56S S >27．在数列{}n a 中，若121a =，前n 项和22n S n bn =−+，则n S 的最大值为． 28．已知在等差数列{}n a 中，19a =，470a a +=． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求当n 为何值时，数列{}n a 的前n 项和取得最大值，并求最大值.。

超全等差数列基础知识总结(求基本量、性质、最值)

等差数列定义：一个数列从第二项起，后一项与前一项的差等于一个常数。

a n−a n−1=d 等差中项：由三个数a A b组成的等差数列，A=a+b，A叫做ab的等差中项通项公式： a n=a1+(n−1)以n为自变量的一次函数前n项和：S n=n(a1+a n)2S n=na1+n(n−1)d2是以n为自变量的二次函数两者关系：a n=S n−S n−1类型一：等差数列基本量的计算在等差数列的五个基本量a1、d、n、a n、S n中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n项和公式列出关于基本量的方程（组）来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用。

关键:1.判读题目考的是求基本量：一般问a n、S n（n可为1、2、7、n等）2.列出通项公式、求和公式，把已知量代进去3.把列出的方程组解出来，再向所求靠近1.已知等差数列{}na中，a2=2,a3=4,则a10=.182.在等差数列中,,则.133.已知等差数列的前n项之和记为S n，S10=210 ，S30=820，则S15等于。

4654.等差数列{}na的前n项和为nS，公差d= - 2，若S10=S11，则a1=205.等差数列的前n项和为，且=6，=4，则公差d等于（）C A．1 B C.- 2 D 36、等差数列{}na中，若232nS n n=+，则公差d=. 6类型二：等差数列的性质1.=na dmnam)(-+}{na6,7253+==aaa____________6=a{}na{}na nS3S1a532. （最重要！！！！！）在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+；若2m=p+q ，则2a m =a p +a q ，3. 若{n a }是等差数列，公差为d.则),(,,,2*++∈N m k a a a m k m k k 组成公差为md 的等差数列。

等差数列基本量的运算

若844S S =，则10a =（）（A ）172 （B ）192（C ）10 （D ）123．（2013·广东卷）在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________．4．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 5．（2014·北京卷）若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．6．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( )A ．0B ．3C ．8D ．11 7．（2014·安徽卷）数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.8.【2016高考新课标1文数】（本题满分12分）已知{}n a 是公差为3的等差数列,数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，,.（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求{}n b 的前n 项和.9.【2016高考新课标2文数】等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=.（Ⅰ）求{n a }的通项公式；（Ⅱ）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.10.【2016高考北京文数】（本小题13分）已知}{n a 是等差数列，}{n b 是等差数列，且32=b ，93=b ，11b a =，414b a =.（1）求}{n a 的通项公式；（2）设n n n b a c +=，求数列}{n c 的前n 项和.高频考点三充分、必要条件例3、已知x ∈R ，则“x 2－3x >0”是“x －4>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式探究】1.【2016高考四川文科】设p:实数x ，y 满足1x >且1y >，q: 实数x ，y 满足2x y +>，则p 是q 的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件2.【2016高考天津文数】设0>x ，R y ∈，则“y x >”是“||y x >”的（）（A ）充要条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件3.【2016高考上海文科】设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件4.【2015高考安徽，文3】设p ：x <3，q ：-1<x <3，则p 是q 成立的（）（A ）充分必要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件5.【2015高考浙江，文3】设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.【2015高考重庆，文2】“x 1”是“2x 210x ”的（）(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件7.【2015高考天津，文4】设x R ,则“12x ”是“|2|1x ”的（）(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件8．给出下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >c b”的逆否命题； ④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题．其中真命题是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④。

小专题(7)等差数列的判定和基本量的计算

小专题（7）等差数列的判定和基本量的计算一、基本量的计算1．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-【答案】C2．设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，若244,6a a ==，则d = （） A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D3．在等差数列{}n a 中，1972,4a a a ==，则2017a =（） A ．-754B ．-628C ．625D ．754【答案】A4．下列说法中正确的是（）A ．若a ，b ，c 成等差数列，则成等差数列 B ．若a ，b ，c 成等差数列，则成等差数列 C ．若a ，b ，c 成等差数列，则a+2，b+2，c+2成等差数列 D ．若a ，b ，c 成等差数列，则成等差数列【答案】C 5．已知数列中，，，则等于（）A ．1B ．2C ．4D ．5【答案】D6．已若是等差数列，则由下列关系确定的数列也一定是等差数列的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C7．若{}n a 是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是( ) A ．{}2n aB ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．{}3n aD ．{}n a 【答案】C8．已知等差数列的公差为，则（为常数且，）是A ．公差为的等差数列B ．公差为的等差数列C ．非等差数列D ．公差为的等差数列【答案】D9．已知均为等差数列，且，，，，则由公共项组成新数列，则（）A ．18B ．24C ．30D ．36【答案】C 10．已知{a n }满足a 1＝a 2＝1，2111n n n na a a a +++-=，则a 6－a 5的值为( ) A ．48 B ．96 C ．120 D ．130 【答案】B11．由公差为d 的等差数列123,,,...a a a 重新组成的数列142536,,...a a a a a a +++是（） A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为2d 的等差数列 C ．公差为3d 的等差数列 D ．非等差数列【答案】B12．已知数列{}n a的首项110,1n n a a a +==+，则20a =（） A ．99 B ．101 C ．399 D ．401 【答案】C13．已知正项数列{}n a 中， 11a =， 22a =， 222122n n n a a a ++=+，则6a 等于（）A ．16B ．8C ．4 D．【答案】C14．已知正项数列{}n a 满足1111,n n n n a a a a a ++=-=⋅，则10a =（） A ．110B ．10C ．19D ．9【答案】A15．若lg ,lg ,lg a b c 成等差数列，则（）A ．2a cb +=B ．2b ac =C ．2b ac =D ．2lg lg()b a c =+【答案】B16．在数列中，若，则数列是（） A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．以上都不是【答案】B 【答案】B19．已知数列{}n a 満足: 11a =,132n n a a +=-，则6a =( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．6【答案】B20．数列满足：，且，则数列的通项公式是=______________．【答案】21．已知数列{}n a 满足()*1434n n a a n N ++=∈，且11a =，则17a =__________ 【答案】1322．已知数列{}n a 满足： ()123221n n a n a --=≥+，且21a =，则8a =__________．【答案】16 23．与，这两数的等差中项是【答案】24．已知a ，b 0>，a b 23m ==，且a 、ab 、b 成等差数列，则m =______ 25．已知a n =（n N *），设a m 为数列{a n }的最大项，则m=__．【答案】8 ．26．若数列{}()n a n N *∈满足1122,2nn n a a a a +==+. （1）设1n nb a =，求证数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2）2,n a n N n*=∈ 27．已知数列的通项公式为（p ，q 为常数），当p 和q 满足什么条件时，数列是等差数列？28．已知数列的通项公式为，判断该数列是否为等差数列．29．已知数列｛a n ｝的首项（a 是常数），（）. （1）求，，，并判断是否存在实数a 使成等差数列.若存在，求出的通项公式；若不存在，说明理由；（2）设，（），为数列的前n 项和，求 30．已知数列的各项均为正数，，且 . （1）设，求证：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和 .31．数列{}n a 满足：*111,(1)(1),n n a na n a n n n +==+++∈N ．（1）令nn a b n=，求证：数列{}n b 为等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式．。

11 高中数学等差数列与等比数列问题专题训练

专题11高中数学等差数列与等比数列问题专题训练【知识总结】1．等差数列、等比数列的基本运算等差数列、等比数列的基本公式(n ∈N *)(1)等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；(2)等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1.(3)等差数列的求和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ； (4)等比数列的求和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1，na 1，q ＝1.2．等差数列、等比数列的性质1．通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则对于等差数列，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，对于等比数列有a m a n ＝a p a q ＝a 2k .2．前n 项和的性质：对于等差数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列；对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数情况除外)．【高考真题】1．(2022·全国乙理) 已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =( )A ．14B ．12C ．6D ．32．(2022·全国乙文) 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______．【题型突破】题型一等差数列基本量的计算1．(2017·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．82．(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．123．(2014·福建)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )A ．8B ．10C ．12D ．144．(2016·全国Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．975．设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则a 18＝( )A ．259B ．269C ．3D ．2896．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________．7．(2020·全国Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝________．8．(2020·新高考Ⅱ)将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为 ________．9．(2013·全国Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．610．(2019·全国Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n 题型二等差数列性质的应用11．在等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( )A ．3B ．－3C ．32D ．－3212．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )A ．a 1＋a 101>0B ．a 1＋a 101<0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝5113．已知数列{a n }是等差数列，若a 1－a 9＋a 17＝7，则a 3＋a 15等于( )A ．7B ．14C ．21D ．7(n －1)14．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( )A ．6B ．12C ．24D ．4815．已知等差数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝21，则a 2＋a 5＋a 8＋a 11＝________．16．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )A ．14B ．21C ．28D ．3517．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．1718．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对于任意的自然数n ，都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 3＋a 152(b 3＋b 9)＋a 3b 2＋b 10＝( ) A ．1941 B ．1737 C ．715 D ．204119．在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( )A ．45B ．60C ．75D ．9020．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )A ．13B ．12C ．11D ．10题型三等比数列基本量的计算21．(2017·全国Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________．22．(2020·全国Ⅱ)设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8＝( )A ．12B ．24C ．30D ．3223．(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )A ．16B ．8C ．4D ．224．(2019·全国Ⅰ)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________． 25．已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项的和S 9＝________． 26．(多选题)已知正项等比数列{a n }满足a 1＝2，a 4＝2a 2＋a 3，若设其公比为q ，前n 项和为S n ，则( )A ．q ＝2B ．a n ＝2nC ．S 10＝2047D ．a n ＋a n ＋1＜a n ＋227．(2015·全国Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．28．(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n＝( ) A ．2n －1 B ．2－21－n C ．2－2n －1 D ．21－n －129．设等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，则公比q ＝( ) A ．1 B ．4 C ．4或0 D ．830．(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ．若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 题型四等比数列性质的应用31．在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( )A ．－2B ．－2C ．±2D ．232．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．1133．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝( )A ．4B ．6C ．8D ．8－4234．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．335．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 3536．已知数列{a n }的各项都为正数，对任意的m ，n ∈N *，a m ·a n ＝a m ＋n 恒成立，且a 3·a 5＋a 4＝72，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 7＝________．37．在等比数列{a n }中，a n ＞0，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2·…·a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．1638．已知数列{a n }为等比数列，且a 2a 6＋2a 24＝π，则tan(a 3·a 5)等于( )A ．3B ．－3C ．－33D ．±3 39．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为( )A ．16B ．8C ．22D ．440．已知函数f (x )＝21＋x 2(x ∈R )，若等比数列{a n }满足a 1a 2020＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 020)等于 ( )A ．2 020B ．1 010C ．2D ．12题型五等差与等比数列的综合计算41．已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝－33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．－33D ．3 42．各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________．43．(2020·江苏)设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ＝n 2－n ＋2n －1(n ∈N *)，则d ＋q 的值是________．44．(2017·全国Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．845．设S n 为公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列，则q ＝_____，S 4S 2＝______． 46．公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a 3，a 2成等差数列，mS 2，S 3，S 4成等比数列，则m ＝( )A ．78B ．85C ．1D ．9547．在公差d ＜0的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝________．48．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }的各项都是正数，且a 1＝b 1，a 11＝b 11．那么一定有( )A ．a 6≤b 6B ．a 6≥b 6C ．a 12≤b 12D ．a 12≥b 1249．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－2a 2n －a n ＋1a n ＝0，设b n ＝log 2a n ＋1a 1，则数列{b n }的前n 项和为( ) A ．n B ．n (n －1)2 C ．n (n ＋1)2 D ．(n ＋1)(n ＋2)250．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列．若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为( )A ．4B ．3C ．23－2D ．92。

等差数列基本量计算

等差数列基本量计算1．等差数列{n a }中，已知1a =31, 254a a +=, 33n a =,则n 为 2．已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值为___________.3．已知等差数列}{n a ，199a a 与是一元二次方程021102=+-x x 的两个实根.则397a a +的值为 .4．若}{n a 与{}n b 都是等差数列，10,15,252211=+==b a b a ,则数列{n n a b +}的前12项的和是 .5．已知等差数列}{n a 的首项为 125，从第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是 6．在等差数列}{n a 中，已知32n a n =-，则该数列前20项之和是7．在等差数列}{n a 中，2,31-==d a （d 为公差），则=+++++9997531a a a a a ________.8．在等差数列}{n a 中，35710133()2()24a a a a a ++++=，则此数列前13项的和为9．数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，则n ＝______________10．已知等差数列{n a }中, 2a +8a =8,则该数列前9项和9S 等于11.已知数列{n a }的前n 项和32+=n s n ,则=n a _____________________12．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则____________________; 13．等差数列{a n }的前m 项和30，前2m 项和为100，则数列的前3m 项和为_____________ ;14．若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有_________项；。

2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第七章数列第二节等差数列

【解析】设该等差数列的公差为d，因为a2＝3a1，
所以a1＋d＝3a1，故d＝2a1(a1≠0，d≠0)，
10（a1＋a10）
所以SSБайду номын сангаас50
＝
2 5（a1＋a5）
＝2（2a1＋9d） 2a1＋4d
＝2×51d0d
＝4.
2
答案：4
4．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9＝－a5. (1)若a3＝4，求{an}的通项公式． (2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
【解析】选A.由题知，S4＝4a1＋d2×4×3＝0， a5＝a1＋4d＝5，
a1＝－3，解得
d＝2，
所以an＝2n－5.
2．★(命题·新视角)《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至
之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二
个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种
－2 2an－1
＝2，所以数列{bn}是公差为 2 的等差数列，
又 b1＝2a12－1
＝2，所以
bn＝2＋(n－1)×2＝2n，所以
2n＝ 2 2an－1
n＋1 ，解得 an＝ 2n
.
【加练备选】已知在数列{an}中，a1＝14 ，其前n项的和为Sn，且满足an＝22SSn－n2 1 (n≥2).
＝S2n－1 T2n－1
.
1.选择性必修二P23T3
2.选择性必修二P24习题T1
1.(改变数据)已知等差数列{an} 的前n项和为Sn，且S6＝11，S9＝17，则S15＝( )
A．15 B．23 C．28 D．30

4.2.2 等差数列的前n项和公式 (精练)(解析版)

4.2.2等差数列的前n 项和公式【题组1等差数列前n 项和及基本量计算】1、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若821=6,=0a S ，则1a 的值为（）A．18B．20C．22D．24【答案】B【解析】由题意得：设等差数列的通项公式为1(1)n a a n d =+-，则1(1)2n n n S na d -=+18211+7=7=620×21=021+=02a d a S a d ⇒⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩，解得：1=2=20d a -⎧⎨⎩故选：B 2、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若39S =，12a =，则5a =（）（人教A 版4.2.2练习）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由39S =，得1339a d +=，即13a d +=，又12a =，所以1d =，故5246a =+=.故选：C.3、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3715,35a a ==，则9S =（）A．450B．400C．350D．225【答案】D 【解析】由11215,635,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得15a d ==，所以919892252S a d ⨯=+=.故选:D.4、在等差数列{}n a 中，前7项的和714S =，则35a a +=___________.【答案】4【解析】因为714S =，所以有1717357()14442a a a a a a +=⇒+=⇒+=，故答案为：45、已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足3318,180,270n n S S S -===，则n =（）A．12B．13C．14D．15【答案】D【解析】因为32318S a ==，所以26a =，又31390n n n S S a ---==，所以130n a -=．故()()12127022n n n n a a n a a S -++===，解得15n =．故选：D.【题组2由等差数列的前n 项和判断等差数列】1、已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则{}n a 是（）A．公差为2的等差数列B．公差为3的等差数列C．公比为2的等比数列D．公比为3的等比数列【答案】A【解析】因为2(1)n S n =，所以当2,n n N *≥∈时，有21(1)(2)n S n -=-，(1)(2)-，得21n a n =-，当1n =时，11n a S ==适合上式，因为1(21)(23)2n n a a n n --=---=，所以该数列是以2为公差的等差数列，故选：A2、（多选）已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是（）A．{}n a 为等差数列B．0n a >C．n S 最小值为214-D．{}n a 为单调递增数列【答案】AD【解析】当1n =时，11154a S ==-=-，当2n ≥时，2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，当1n =时，14a =-满足上式，所以26n a n =-，由于()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为首项为4-，公差为2的等差数列，因为公差大于零，所以{}n a 为单调递增数列，所以A，D 正确，B 错误，由于225255()24n S n n n =-=--，而n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，n S 取最小值，且最小值为6-，所以C 错误，故选：AD3、已知数列{}n a 的前n 项和()2*34.n S n n n N =+∈（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求证：数列{}n a 是等差数列．【答案】（1）61n a n =+；（2）见解析【解析】（1）当2n ≥时，()221343(1)4161n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，当1n =时，11347a S ==+=，满足61n a n =+，即数列{}n a 的通项公式61n a n =+．（2）证明：61n a n =+，∴当2n ≥时，()1616116n n a a n n --=+---=为常数，则数列{}n a 是等差数列．4、设数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，n a λμ=+（*n N ∈，λ，μ，R c ∈，λ，μ，c 为常数）.（1）若0c =，12λμ==，求{}n a 的通项公式；（2）若2132a a a =+，证明{}n a 为等差数列.【答案】（1）21n a n =-；（2）证明见解析【解析】（1）由1n a =+，得24(1)n n S a =+，2114(1)n n S a ++=+，两式相减得22111422n n n n n a a a a a +++=-+-，整理得111()()2()n n n n n n a a a a a a ++++-=+.因为0n a >，所以12n n a a +-=，即数列{}n a 是公差为2的等差数列，由11a =+，解得11a =，所以{}n a 的通项公式为21n a n =-.（2）由条件知1a ，2a ，3a 成等差数列，设它们的公差为d ，n a λμ=+，得2222n n n S c a a λλμμ+=++，所以2221112S c a a λλμμ+=++，①2222222S c a a λλμμ+=++，②2223332S c a a λλμμ+=++，③②-①得222(2)2a d a d d λλμ=-+，即2222(21)2d a d d λλλμ-=-，④③-②得332(2)2a d a d d λλμ=-+，即2223(21)2d a d d λλλμ-=-，⑤⑤-④得2(21)0d d λ-=，由于0d =显然不合题意，所以212d λ=，代入④解得14λμ=，所以22212n n n S c a a λμ+=++，12221112n n n S c a a λμ++++=++，上述两式相减得12111()()()2n n n n n n a a a a a a λ++++-=+，因为0n a >，∴1212n n a a λ+-=，所以当*n N ∈时，数列{}n a 为等差数列.【题组3等差数列前n 项和与中项性质】1、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1254a a a +=+，则11S =（）A．28B．34C．40D．44【答案】D【解析】因为1625a a a a +=+，所以由1254a a a +=+，可得所以64a =，所以11111611()112a a S a +==44=，故选：D 2、等差数列{}n a 前n 项和为n S ，191112a a a ++=，则13S =（）A．32B．42C．52D．62【答案】C【解析】等差数列中19117312a a a a ++==，∴74a =.从而，()1131371313522a a S a +===，故选：C.3、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3942a a m a +=-，936S =，则m =_________.【答案】16【解析】因为{}n a 等差数列，由3962a a a +=，又3942a a m a +=-，所以462()a a m +=，即54a m =.又19959()936,2a a S a +===所以54a =，则5416a m ==.故答案为：16.4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，且1215S S =，则使0n S >成立的最大n 值为（）A．13B．14C．26D．27【答案】C【解析】由12151314150S S a a a =⇒++=1414300a a ⇒=⇒=又10a >，所以公差0d <()()126261314261302a a S a a +==+>()1272714272702a a S a +===所以使0n S >成立的最大n 值为26，故选：C5、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10911S S S <<，则下列选项不正确的是（）A．0d >B．10a <C．200S >D．210S <【答案】D【解析】等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足109S S <，1011S S <，则100a <，110a >，所以0d >，10a <，故A，B 正确；由911S S <，可知10110a a +>，所以()()20120101110100S a a a a =+=+>，故C 正确；因为110a >，所以2111210S a =>，故D 不正确．故选:D【题组4等差数列片段和的性质】1、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10203101220S S ==，，则30S =（）A．2330B．2130C．2530D．2730【答案】D【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则1020103020S S S S S --，，构成等差数列，即310，3012203101220S --，构成等差数列，则()301220212203103101510S -=--=，则302730S =，故选：D2、已知数列{}n a 是等差数列，3613S S =，则612S S =（）A．310B．13C．18D．19【答案】A【解析】由3613S S =，得633S S =，设3S m =，则63S m =，因为数列{}n a 是等差数列，所以36396129,,,S S S S S S S ---，……，是以m 为首项，m 为公差的等差数列，所以961293,4S S m S S m -=-=，所以96S m =，1210S m =，所以612331010S m S m ==，故选：A 3、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且75S =，1420S =，则28S =（）．A．35B．50C．80D．110【答案】C【解析】由n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则7S ，147S S -，2114S S -，2821S S -也成等差数列，所以5，15，2114S S -，2821S S -成等差数列，即211425S S -=，282135S S -=，所以2880S =．故选：C4、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2k S =，28k S =，则4k S =______．【答案】32【解析】由等差数列{}n a 前n 项和的性质，可得k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -成等差数列，∴()2322k k k k k S S S S S -=+-，解得318k S =，∴2，6，10，418k S -成等差数列，可得4210618k S ⨯=+-，解得432k S =.故答案为：32.【题组5等差数列前n 项和与n 的比值】1、在等差数列{}n a 中，12021a =-，其前n 项和为n S ，若1082108S S -=，则2021S 等于（）A．2021B．2021-C．2020-D．2020【答案】B【解析】数列{}n a 为等差数列，∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ，又10822108S Sd -==，解得：1d =，又1120211Sa ==-，20212021202012021S∴=-+=-，20212021S ∴=-.故选：B.2、在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和．若20232023S =，且2021202001202120S S -=，则1a 等于（）A．-2021B．-2020C．-2019D．-2018【答案】A【解析】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，令n n b n S ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则{}n b 也为等差数列，设其公差为d '，由2021202021202001202120S S b b -=-=，得1d '=，又2023202312023S b ==，得1112023=20221Sb a b d '==-120222021=-=-.故选：A．3、在等差数列{}n a 中，12018a =-，其前n 项和为n S ，若151051510S S-=，则2020S =（）A．0B．2018C．2019-D．2020【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的性质可得112n S n a d n -=+为等差数列，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为2d .151051510S S -=，552d∴⨯=，解得2d =.则()20202020201920202018220202S ⨯=⨯-+⨯=.故选：D.4、在等差数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，若62324S S -=，则10S =_____.【答案】100【解析】∵数列{}n a 为等差数列，∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ，又624462S S d -==，解得：1d =，又∵1111S a ==，∴nS n n=，即2n S n =∴10100S =故答案为：100.5、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2m S =-，10m S +=，23m S +=，则正整数m =______．【答案】4【解析】因为n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，所以21221m m m S S S m m m +++=++，即2302m m -+=+，解得4m =．故答案为：4.【题组6两个等差数列前n 项和的比值】1、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若7945a a =，则1317SS =（）A．1317B．5285C．1713D．8552【答案】B【解析】在等差数列{}n a 中，由7945aa=，得()()11313711717913131345221717175852a a S a a a S a +==⨯=⨯+，故选：B2、已知两等差数列{}n a ，{}n b ，前n 项和分别是n A ，n B ，且满足2132nn A n B n +=+，则66ab =（）A．1320B．2335C．2538D．2741【答案】B【解析】两等差数列{}n a ，{}n b ，前n 项和分别是n A ，n B ，满足2132nnAn B n +=+，所以1116611111111661111111221112322311235112a a a a a a Ab b b b b b B +⨯+⨯+======++⨯+⨯.故选：B 3、已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且214n n A n B n +=+，则28357b b a a a +=++（）A．43B．3839C．1319D．2657【答案】D【解析】由()28199357919229426333291572b b b b B a a a A a a+++==⋅=⨯=++⨯++．故选：D 4、设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别是n S ，n T ，若237nn S n T n =+，则65ab =（）A．65B．1117C．1114D．3【答案】B【解析】由等差数列的前n 项和公式满足2An Bn +形式，设2(2)2n S kn n kn =⋅=，则2(37)37n T kn n kn kn =⋅+=+，故66555423622511325753167417a S S k k b T T k k k k -⨯-⨯===-⨯+⨯-⨯-⨯.故选：B5、已知,n n S T 分别是等差数列{}{},n n a b 的前项和，且*21()42n n S n n T n +=∈-N ，则1011318615a ab b b b +=++（）A．2138B．2342C．4382D．4178【答案】D【解析】,n n S T 分别是等差数列{}{},n n a b 的前项和，故*2121()n n n n a Sn b T --=∈N ，且3186151011b b b b b b +=+=+，故10101011201111318615*********10112220141420278a a a a S a a b b b b b b b b b b T +=+===++++++⨯+=⨯-，故选：D 【题组7等差数列的奇数项与偶数项和】1、在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于（）A．9B．10C．11D．12【答案】B【解析】分别设该数列奇数项和与偶数项和分别为12,S S∴()()()()1211122211121222n n n n n a a n a S n n a a S n a n++++++⋅+===+⋅，∴1651=150n n+，∴n ＝10，故选:B.2、已知等差数列{}n a 共有10项，其偶数项之和为20，奇数项之和为5，则该数列的公差为（）．A．3-B．2-C．2D．3【答案】D【解析】135795a a a a a ++++=，24681020a a a a a ++++=，515d =，3d =.故选：D．3、已知等差数列{}n a 的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则5a =（）A．8B．9C．10D．11【答案】A【解析】设等差数列{}n a 有奇数项21k +，*()k N ∈．公差为d ．奇数项和为40，偶数项和为32，132140k a a a +∴=++⋯+，24232k a a a =++⋯+，∴1211(21)()72(21)2k k k a a k a ++++==+，21118k k a kd a kd a ++=-=+=，921k ∴=+，即等差数列{}n a 共9项，且()199599725a a S a+⨯===58a ∴=，故选：A ．4、已知数列{}n a 满足11a =，()*13n n a a n n ++=-∈N ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若192n S =-，则n =__________.【答案】16【解析】数列{}n a 满足()*111,3n n a a a n n +=+=-∈N ，24a ∴=-，且()2131n n a a n +++=-+，23n n a a +∴-=-，∴数列{}n a 的奇数项是首项为1，公差为3-的等差数列，偶数项是首项为4-，公差为3-的等差数列，()()()()22113433192822n n n n n S n n n n --∴=+⨯--+⨯-=-=-⇒=(负值舍去)，()()()()22111134333119222n n n n n S n n n n ++-∴=++⨯--+⨯-=--+=-，此时n 无正整数解，∴若192n S =-，则16n =，故答案为：16.5、在等差数列{}n a 中，已知公差12d =，且1359960a a a a ++++=L ，则123100a a a a ++++=L __________.【答案】145【解析】等差数列{}n a 中，已知公差12d =，12310013599246100a a a a a a a a a a a a ++++=+++++++++L L L 24610013599a a a a a d a d a d a d ++++=++++++++Q L L 605085d =+=1231001260501452a a a a ++++=⨯+⨯=L .故答案为：145.【题组8含绝对值的等差数列前n 项和】1、在数列{}n a 中，116,26n n a a a n +=--=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列n n a b n=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求13T ．【答案】（1）27n a n n =-；（2）42【解析】（1）由题意116,26n n a a a n +=--=-得;121321()()()642(28)n n n a a a a a a a a n -=+-+-++-=----+-2(214)72n n n n -==-,即27n a n n =-；（2）7nn a b n n==-，故|7|n b n =-,故136765432101234562422T ⨯=++++++++++++=⨯=.2、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b a =，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求20T 的值．【答案】（1）133n a n =-；（2）414【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为4n S S ≤，则3454S S S S ≤⎧⎨≤⎩，可得4500a a ≥⎧⎨≤⎩，即10301040d d +≥⎧⎨+≤⎩，解得10532d -≤≤-，因为2Z a ∈，则Z d ∈，3d ∴=-，因此，()()111031133n a a n d n n =+-=--=-.此时()()12101333232222n n n a a n n S n n ++-===-+，故当4n =时，n S 取得最大值，合乎题意，所以，133n a n =-.（2）由（1）知133n a n =-，所以133,4133313,5n nn n b a n n n -≤⎧==-=⎨-≥⎩，因此，()()()20122024716107412547224142T b b b +⨯=+++=+++++++=+=.3、在等差数列{}n a 中，321S =，624S =，求数列{}n a 的前n 项和n T ．【答案】2210,51050,5n n n n T n n n ⎧-+≤=⎨-+>⎩【解析】设等差数列的公差为d ，则11332161524a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得19a =，2d =-．所以()()912211n a n n =+--=-+．由2110n -+>得 5.5n <，即数列{}n a 的前5项为正，其余各项为负．数列{}n a 的前n 项和()()2192102n n n S n n n -=+-=-+．所以当5n ≤时，210n T n n =-+；当5n >时，()555552n n n nT S S S S S S S S =+-=--=-()()2222550101050n n n n =-+--+=-+，即2210,51050,5n n n n T n n n ⎧-+≤=⎨-+>⎩．4、数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足()21*20N .n n n a a a n ++-+=∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n S a a a =++⋯+，求n S ．【答案】（1）102n a n =-；（2）2*2*9,5,N ,940,5,Nn n n n n S n n n n ⎧-≤∈=⎨-+>∈⎩【解析】（1）由题意，211n n n n a a a a +++-=-，{}n a ∴是等差数列且148,832a a d ==+=，2d ∴=-，()11102n a a n d n =+-=-．（2）102n a n =-，令0n a =，得5n =．当5n >时，0n a <；当5n =时，0n a =；当5n <时，0n a >．∴当5n >时，12n nS a a a =++⋯+()12567n a a a a a a =++⋯+-++⋯+52nS S =-()()25808102294022n n n n ++-=⨯-=-+，当5n ≤时，1212n n n S a a a a a a =++⋯+=++⋯+()2810292n nn n +-==-．2*2*9,5,N ,940,5,N n n n n n S n n n n ⎧-≤∈∴=⎨-+>∈⎩．5、已知数列{}n a 中，()11231,22,N 25n n a a n n a *-==-≥∈，数列{}n b 满足：()1N 1n n b n a *=∈-．（1）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求1220b b b +++的值；（3）求数列{}n a 中的最大项和最小项，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；272=-n b n ；（2）109；（3）()max 3=n a ，()min 1=-n a ，理由见解析【解析】（1）因为111111111111121n n n n n n b b a a a a -----=-=-=-----()*2,N n n ≥∈，又1112512b a ==--，∴数列{}n b 是252-为首项，1为公差的等差数列．∴()127112n b b n n =+-⨯=-.（2）由2702n b n =-≥，得272n ≥，即13n ≤时，0n b <；14n ≥时，0n b >，∴()123201213141520b b b b b b b b b b +++⋅⋅⋅+=-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+251312277613171411092222⎡⎤⨯⨯⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯+⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（3）由12712n n b n a ==--，得()*21N 227n a n n =+∈-又函数()21227f x x =+-在27,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和27,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上均是单调递减．由函数()21227f x x =+-的图象，可得：()14max 3n a a ==，()13min 1n a a ==-.【题组9等差数列前n 项和的最值问题】1、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3518a a +=-，972S =-，n S 取最小值时，n的值为（）A．11或12B．12C．13D．12或13【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3518a a +=-，972S =-，则有11261893672a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得1121a d =-⎧⎨=⎩，所以13n a n =-，令130n a n =-≤，则13n ≤，又130a =，所以当12n =或13时，n S 取最小值.故选：D.2、数列{an }中，如果an =49﹣2n ，则Sn 取最大值时，n 等于（）A．23B．24C．25D．26【答案】B【解析】由题意，可知数列{}n a 为等差数列，则()()21224824242n n a a n S n n n +==-=--+，则当24n =时，n S 取最大值.故选：B.3、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20210S <，20220S >，则当n S 最小时，n 的值为（）A．1010B．1011C．1012D．2021【答案】B【解析】由于等差数列的前n 项和2n S An Bn =+的形式，图象是由经过坐标原点的抛物线上的横坐标为正整数的所有点构成，由20210S <，20220S >可知抛物线的开口向上，且大于零的零点在区间(2021,2022)之间，因此对称轴在区间()1010.5,1011之间，离对称轴最近的横坐标为整数的点的横坐标为1011n =,∴n S 取得最小值时n 的值为1011．故选：B4、已知{an }是以10为首项，－3为公差的等差数列，则当{an }的前n 项和Sn ，取得最大值时，n =（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】∵{an }是以10为首项，－3为公差的等差数列，∴()1031133n a n n =--=-，故当4n ≤时，1330n a n =->，当5n ≥时，1330n a n =-<，故4n =时，n S 取得最大值.故选：B.5、等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10a >，120S >，130S <，则1S ，2S ，3S ，4S ，…，11S ，12S 中最大的是A．12S B．7S C．6S D．1S 【答案】C【解析】因为10a >，120S >，130S <，所以()()()112113677121360,13022a a a a a a a ++=+>=<，760,0a a ∴<>则1S ，2S ，3S ，4S ，…，11S ，12S 中最大的是6S ，故选：C【题组10等差数列前n 项和的实际应用】1、骑行是一种健康自然的运动旅游方式，能充分享受旅行过程之美．一辆单车，一个背包即可出行，简单又环保．在不断而来的困难当中体验挑战，在旅途的终点体验成功．一种变速自行车后齿轮组由7个齿轮组成，它们的齿数成等差数列，其中最小和最大的齿轮的齿数分别为10和28，求后齿轮所有齿数之和（）A．134B．133C．114D．113【答案】B【解析】由题意7个齿轮的齿轮数构成等差数列，首末两项分别为10和28，所以所有齿数之和为77(1028)1332S ⨯+==．故选：B．2、“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法．这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下头一个2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除．剔除到最后，剩下的便全是素数．在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到30的全部素数过程中剔除的所有数的和为（）A．333B．335C．337D．341【答案】B【解析】2到30的全部整数和1230294642S +=⨯=，2到30的全部素数和22357111317192329129S =+++++++++=，所以剔除的所有数的和为464129335-=.故选：B3、2022年4月26日下午，神舟十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”F 遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（）A．10秒B．13秒C．15秒D．19秒【答案】D【解析】设每秒钟通过的路程构成数列{}n a ，则{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，由求和公式有()221380n n n n n +-=+=，解得19n =．故选：D.4、5G 基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至2021年7月底，A 地区已经累计开通5G 基站300个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进5G 网络建设．已知2021年8月该地区计划新建50个5G 基站，以后每个月比上一个月多建40个，预计A 地区累计开通4640个5G 基站要到（）A．2022年10月底B．2022年9月底C．2022年8月底D．2022年7月底【答案】B【解析】由题意得，2021年8月及之后该地区每个月建设的5G 基站数量为等差数列，则公差为40，假设要经过k 个月，则()1504046403002k k k -+⋅=-，解得：14k =，所以预计A 地区累计开通4640个5G 基站要到2022年9月底，故选：B．5、“中国剩余定理”是关于整除的问题.现有这样一个问题“将1~2030这2030个自然数中，能被3整除余1且能被4整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则该数列共有（）A．170项B．171项C．168项D．169项【答案】A【解析】能被3整除余1且能被4整除余1的数即被12整除余1的数，故121,n n a n N =+∈，由题意，1212030n n a =+≤，故116912n ≤，故当0,1,2...169n =时成立，共170项.故选：A。

专题01 等差数列的基本量的计算(解析版)

第二篇数列专题01 等差数列的基本量的计算常见考点考点一等差数列的基本量的计算典例1．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，设312S =，且1232,,1a a a +成等比数列. 求（1） a 1和d .（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）11a =，3d =，或18a =，4d =-，（2）23122n S n n =-或2210n S n n =-+【解析】【分析】（1）由1232,,1a a a +成等比数列，可得22132(1)a a a =+，结合312S =，列出关于1,a d 的方程组，可求出a 1和d .（2）直接利用等差数列的前n 项和公式求解即可【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1232,,1a a a +成等比数列，所以22132(1)a a a =+，即2111()2(21)a d a a d +=++，因为312S =，所以1323122a d ⨯+=，即14a d +=，所以162(4)(421)d d d =--++，8(4)(5)d d =-+，解得3d =或4d =-，当3d =时，11a =，当4d =-时，18a =，所以11a =，3d =，或18a =，4d =-，（2）当11a =，3d =时，2(1)313222n n n S n n n -=+⨯=-，当18a =，4d =-时，2(1)8(4)2102n n n S n n n -=+⨯-=-+ 【点睛】此题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查计算能力，属于基础题变式1-1．已知{}n a 是等差数列，其中131a =，公差8d =-，（1）求{}n a 的通项公式. （2）求数列{}n a 前n 项和.【答案】（1）398n a n =-；（2）2354n S n n =-.【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式可以直接求出；（2）由等差数列的前n 项和公式可以直接求出. 【详解】（1）{}n a 是等差数列，且131a =，8d =-，3118398na n n ；（2）123139835422nn n a a n nS n n .【点睛】本题考查已知等差数列的首项和公差求数列的通项公式和前n 项和，属于基础题. 变式1-2．等差数列{}n a 中，53a =，31223a a +=. （1）求1a ；（2）求通项n a 和前n 项和n S . 【答案】（1）153=5a -；（2）17145n a n =-，2171231010n n n S =-. 【解析】【分析】（1）解方程组即得1a ；（2）利用公式求解即可. 【详解】（1）由题得111+435317,,2132355a d a d a d =⎧∴=-=⎨+=⎩.（2）由题得531717=(1)14555n a n n -+-=-.所以前n 项和2531717123(14)2551010n n n n n S =-+-=-. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，考查等差数列通项的求法和前n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.变式1-3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且513a =，535S =. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）32n a n =-（2）23122n S n n =-【解析】【分析】（1）将已知条件转化为1,a d 的形式，列方程组，解方程组求得1,a d 的值，进而求得数列的通项公式.（2）根据（1）的结论求得数列的前n 项和公式. 【详解】设{}n a 的公差为d ，则由题意得11413545352a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：11,3a d ==.(1){}n a 的通项公式为()()1113132n a a n d n n =+-=+-=-，即32n a n =-.（2）{}n a 的前n 项和为()()12132312222n n n a a n n S n n ++-===-. 【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量1,a d 、通项公式和前n 项和.基本元的思想是在等差数列中有5个基本量1,,,,n n a d a S n ，利用等差数列的通项公式或前n 项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列1,a d ，进而求得数列其它的一些量的值.考点二等差数列前n 项和最值问题典例2．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-. （1）求公差d 及{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值.【答案】（1）2d =，29n a n =-；（2）()2416n S n =--，最小值为16-.【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-，再由17a =-可得2d =，从而可求出{}n a 的通项公式；（2）由（1）得()228416n S n n n =-=--，从而可求出其最小值【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-. 由17a =-得2d =.所以{}n a 的通项公式为29n a n =-. （2）由（1）得()228416n S n n n =-=--. 所以4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-变式2-1．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知71a =，432S =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值.【答案】（1）213n a n =-；（2）212n n S n =-，6n =时，n S 的最小值为36-.【解析】（1）利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式求出1a ，d ，代入通项公式即可求解. （2）利用等差数列的前n 项和公式可得n S ，配方即可求解. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由71a =，432S =-，即1161434322a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1112a d =-⎧⎨=⎩，所以()11213n a a n d n =+-=-.（2）()221111122n n n S na d n n n n n -=+=-+-=-， ()2212636n S n n n =-=--，所以当6n =时，n S 的最小值为36-.变式2-2．数列{a n }是首项为23，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负． (1)求数列的公差；(2)求前n 项和S n 的最大值．【答案】（1）4d =-；（2）78 【解析】【分析】（1）根据670,0a a ><可得d 的范围，再根据d 为整数得到d 的值. （2）根据项的符号特征可得6S 最大．【详解】(1)由已知，得6152350a a d d =+=+>，7162360a a d d =+=+<.解得232356d -<<-. 又d Z ∈，∴4d =-.(2)∵0d <，∴数列{}n a 是递减数列．又∵60a >，70a <，∴当6n =时， n S 取得最大值，为()6656234782S ⨯=⨯+⨯-=. 【点睛】一般地，等差数列的前n 项和n S 的最值可以通过等差数列的通项的符号来确定，如果{}n a 满足0m a <，10m a +>，则n S 有最小值且最小值为m S ；如果{}n a 满足0m a >，10m a +<，则n S 有最大值且最大值为m S .变式2-3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，25a =-，612S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求当n 取何值时n S 有最小值.【答案】（1）29n a n =-；（2）4. 【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，构建关于基本量1,a d 的方程组，求出1,a d 的值后可求{}n a 的通项公式. （2）求出n S 的表达式，从而可求当n 取何值时n S 有最小值. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得11561512a d a d +=-⎧⎨+=-⎩得17,2a d =-=，所以{}n a 的通项公式为29n a n =-. （2）由（1）得()1228(4)162n n n a a S n n n +==-=--，所以当4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-. 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求法以及前n 项和的最值，此类问题，可根据题设条件得到关于基本量1,a d 的方程组，求出基本量的值后可讨论与等差数列相关的问题，本题属于基础题.考点三含绝对值型求和问题典例3．记数列{}n a 中，17a =-，26a =-，()1+1N ,R n n a ka n k +=+∈∈. (1)证明数列{}n a 为等差数列，并求通项公式n a ； (2)记123n n T a a a a =+++⋅⋅⋅+，求n T . 【答案】(1)证明见解析，8,N n a n n +=-∈；(2)2215,821556,82n n n n n n n T -≤-+⎧⎪=⎨>⎪⎪⎪⎩且n +∈N .【解析】【分析】（1）由已知可得1k =，根据等差数列的定义可证等差数列，进而写出通项公式. （2）由（1）有80a =，讨论8n ≤、8n >分别求n T 即可.(1)∵()11,n n a ka n k ++=+∈∈N R ，17a =-，26a =-， ∴1k =，∴()11n n a a n ++-=∈N ，即数列{}n a 为等差数列，8n a n ∴=-.(2)由（1）知：80a =，8n ≤时，()2121215.2n n n n n T a a a a a a -=++⋯+=-++⋯+=，8n >时，212815..562n n n nT a a a a -=++⋯+⋯+=+.∴2215,821556,82n n n n n n n T -≤-+⎧⎪=⎨>⎪⎪⎪⎩且n +∈N .变式3-1．设等差数列{}n a 的前n 项和为46,16,12n S S S =-=-． (1)求{}n a 的通项公式n a ； (2)求数列{}n a 的前n 项和n T ．【答案】(1)29n a n =-；(2)2*2*8,14832,5n n n n n T n n n n ⎧-≤≤∈=⎨-+≥∈⎩N N 且且. 【解析】【分析】（1）根据等差数列前n 项和求和公式求出首项和公差，进而求出通项公式；（2）结合（1）求出n S ，再令0n a ≥得出数列的正数项和负数项，进而结合等差数列求和公式求得答案. (1)设等差数列的首项和公差分别为1a 和d ，∴1111434162382254656122a d a d a d a d ⨯⎧+=-⎪+=-⎧⎪⇒⎨⎨+=-⨯⎩⎪+=-⎪⎩，解得：172a d =-⎧⎨=⎩ 所以()71229n a n n =-+-⨯=-. (2)29n a n =-，所以()()2171282n S n n n n n =-+-⨯=-.当02905n a n n ≥⇒-≥⇒≥；当02904n a n n <⇒-<⇒≤，当04n <≤，*n ∈N 时，()212128n n n T a a a a a a n n =++⋅⋅⋅+=-++⋅⋅⋅+=-，当5n ≥时，()()()21245428216n n n T a a a a a S S n n =-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-=--⨯-2832n n =-+.综上：2*2*8,14832,5n n n n n T n n n n ⎧-≤≤∈=⎨-+≥∈⎩N N 且且. 变式3-2．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且28n S n n =-+.(1)求证:数列{}n a 是等差数列；(2)记n n b a =，试求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)证明见解析；(2)228,4832,5n n n n T n n n ⎧-+≤=⎨-+≥⎩.【解析】【分析】（1）利用,n n a S 的关系求通项公式，结合等差数列的定义证明结论. （2）由（1）得92,429,5n n n b n x -≤⎧=⎨-≥⎩，讨论n 的范围，应用等差数列前n 项和公式求n T .(1)当2n ≥时，()2218(1)8129n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+---+-=-+⎣⎦当1n =时，11187,a S ==-+=也适合上式，故29n a n =-+. 综上，()127292n n a a n n +-=-+--+=-，∴数列{}n a 是以7为首项，2-为公差的等差数列. (2)由（1）知：92,49229,5n n n n b a n n x -≤⎧==-=⎨-≥⎩，当4n ≤时，2128n n n T b b b S n n =++⋯+==-+；当5n ≥时，2212124564(282484)()n n n n T b b b a a a a a a S S n n =++⋯+=++⋯+-++⋯+=-+++-=-⨯2832n n =-+，∴228,4832,5n n n n T n n n ⎧-+≤=⎨-+≥⎩变式3-3．在①()1218,7,1*,n n a a a ka n N k R +=-=-=+∈∈②若{}n a 为等差数列，且376,2a a =-=-③设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2117*22n nS n n N =-∈．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答(1)求数列{}n a 的通项公式(2)求数列{}n a 的前n 项和为n S 的最小值及n 的值 (3)记123...n n T a a a a =++++，求20T 【答案】(1)9n a n =-(2)当8n =或9n =时，n S 取得最小值为36-. (3)102 【解析】【分析】（1）选①结合等差数列的定义求得n a ；选②通过求1,a d 来求得n a ；选③利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a .（2）由0n a ≤求得n S 的最小值以及对应n 的值. （3）结合等差数列前n 项和公式求得20T . (1)选①，()1218,7,1*,n n a a a ka n N k R +=-=-=+∈∈，211,781,1a ka k k =+-=-+=，111,1n n n n a a a a ++=+-=，所以数列{}n a 是以18a =-为首项，公差1d =的等差数列，所以9n a n =-. 选②，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，31171268,1962n a a d a d a n a a d =+=-⎧⇒=-=⇒=-⎨=+=-⎩. 选③，()2117*22n nS n n N =-∈，当1n =时，18a =-，当2n ≥时，()()1221711171192222n n n a S S n n n n n -=-⎡⎤----⎣-=⎥⎦=-⎢，当1n =时上式也符合，所以9n a n =-. (2)由90n a n =-≤得9n ≤，所以当8n =或9n =时，n S 最小，且最小值为()87881362⨯⨯-+⨯=-. (3)2011a =，结合（2）可知()2092092092T S S S S S =-+-=-()811202361022-+=⨯-⨯-=.巩固练习练习一等差数列的基本量的计算1．在等差数列{}n a 中，已知2a ，5a 是一元二次方程219700x x -+=的两个根． (1)求2a ，5a ； (2)求{}n a 的通项公式．【答案】(1)25a =，514a =或214a =，55a = (2)31n a n =-或320n a n =-+ 【解析】【分析】（1）求出方程的根即可.（2）由（1）可解出等差数列的公差即可.(1)因为219700x x -+=，所以5x =或14，所以25a =，514a =；或214a =，55a =．(2)设公差为d ，若25a =，514a =，得52352a a d ，所以通项公式为()2231n a a n d n =+-=-；若214a =，55a =，则52352a a d -==--，所以通项公式为()22320n a a n d n =+-=-+．故{}n a 的通项公式：31n a n =-或320n a n =-+.2．已知等差数列{}n a ，n S 为其前n 项和，且4152a =-，436S =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n S b n =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ．【答案】（1）232n a n =-，*n N ∈；（2）2434n n n T -=，*n N ∈. 【解析】【分析】（1）由已知，结合等差数列前n 项和及通项公式求1a 、d ，写出通项公式即可；（2）由（1）可得222n n b -=，再应用等差数列前n 项和公式求n T . 【详解】（1）由题意，1444()362a a S +==-，可得1212a =-，若公差为d ， ∴411532a a d =+=-，故1d =， ∴{}n a 的通项公式123(1)2n a a n d n =+-=-.（2）由（1）得(22)2n n n S -=，则222n n S n b n -==， ∴212 (431124)n n n n T n +++-=-=. 3．已知等差数列{}n a 中，公差22,3d a ==.求：（1）35,a a 的值；（2）该数列的前5项和5S .【答案】（1）355,9a a ==；（2）525S =.【解析】【分析】（1）根据已知条件求得1a ，由此求得35,a a .（2）利用等差数列前n 项和公式求得5S .【详解】（1）依题意21131a a d a =+=⇒=，所以315125,49a a d a a d =+==+=.（2）5151052025S a d =+=+=.4．已知等差数列{}n a 中，11a =，321a a -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）n a n =；（2）()12n n n S +=. 【解析】（1）根据题中条件，先得出公差，进而可求出通项公式；（2）根据（1）的结果，由等差数列的求和公式，即可求出结果.【详解】（1）因为等差数列{}n a 中，首项为11a =，公差为321d a a =-=，所以其通项公式为()11n a n n =+-=；（2）由（1）可得，数列{}n a 的前n 项和()()1122n n n a a n n S ++==.练习二等差数列前n 项和最值问题5．已知数列{}n a 中14n n a a +=-，且113a =.(1)求n a ；(2)求数列{n a }的前n 项和n S 的最大值.【答案】(1)n a ＝﹣4n +17；(2)28.【解析】【分析】(1)根据等差数列的定义判断{}n a 为等差数列即可求其通项公式；(2)根据等比数列前n 项和的性质即可求其最值.(1)由1n n a a ＋＝﹣4，可知，1n a ＋﹣n a ＝﹣4，∴数列{n a }是以13为首项，以﹣4为公差的等差数列，∴n a ＝13﹣4(n ﹣1)＝﹣4n ＋17；(2)由(1)可知，数列{n a }单调递减，且a 4＞0，a 5＜0，∴当n ＝4时，{n a }的前n 项和n S 取得最大值4S ＝13＋9＋5＋1＝28.6．已知数列{an }是一个等差数列，且a 2=11，S 5=45.(1)求{an }的通项an ；(2)求{an }的前n 项和为Sn 的最大值.【答案】(1)an =15-2n(2)49【解析】【分析】（1）由等差数列的性质知a 3=9，d =a 3-a 2=-2，从而写出通项公式；（2）由通项公式知a 7=1>0，a 8=-1<0，从而可求得Sn 的最大值.(1)∵数列{an }等差数列，S 5=45，∴S 5=5a 3=45，∴a 3=9，故d =a 3-a 2=9-11=-2，故an =a 2+（n -2）d =15-2n .(2)∵an =15-2n ，∴a 7=1>0，a 8=-1<0，故当n =7时，Sn 有最大值S 7=7a 4=7×（15-8）=49.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，210a =，540S =.（1）求10a ；（2）求n S 的最大值，并求对应的项数n .【答案】（1）106a =-；（2）6,7n =时，最大值42.【解析】【分析】（1）根据所给条件求得等差数列的通项公式142n a n =-，代入数值即可得解；（2）由通项公式142n a n =-可知17n ≤≤时，0n a ≥，8n ≥时，0n a <，即可得解.【详解】（1）根据题意设等差数列{}n a 的公差为d ，由53540S a ==，所以38a =，由210a =所以322d a a =-=-，所以112a =，所以1(1)142n a a n d n =+-=-，所以106a =-；（2）由（1）知142n a n =-，当16n ≤≤时，0n a >，特别的70a =，当8n ≥时，0n a <，所以当6,7n =时，()61126652422n S S =⨯+⨯⨯⨯-=，取最大值，最大值42.8．已知数列{}n a 为等差数列，且37a =，53a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值.【答案】（1）132n a n =-；（2）36.【解析】【分析】（1）由已知求出公差，从而可求出数列的通项公式；（2）由（1）得212n S n n =-，然后配方利用二次函数的性质可得答案【详解】解：因为{}n a 为等差数列，令其公差为d ，则由题意得5324a a d -==-，得2d =-，故3(3)7(3)(2)n a a n d n =--⨯=--⨯-132n =-，即{}n a 的通项公式为132n a n =-.（2）由（1）知，111a =，故21(1)122n n n d S na n n -=+=- 2(6)36n =--+，所以当6n =，n S 的最大值为636S =.练习三含绝对值型求和问题9．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2103n S n n =-+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项的和n T .【答案】(1)6,1211,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩(2)22103,51047,6n n n n T n n n ⎧-+-≤=⎨-+≥⎩【解析】【分析】（1）由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式；（2）化简n a 的表达式，分25n ≤≤、6n ≥两种情况求n T 的表达式，综合即可得解.(1)解：当1n =时，116a S ==-，当2n ≥时，()()()22110311013211n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦. 16a =-不满足211n a n =-，因此，6,1211,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩. (2) 解：6,1112,25211,6n n a n n n n =⎧⎪=-≤≤⎨⎪-≥⎩. 当25n ≤≤时，()()27112161032n n n T n n +--=+=-+-， 16T =满足2103n T n n =-+-；当6n ≥时，()()()2251211552210472n n n T T n n n +--=+=-+=-+.综上所述，22103,51047,6n n n n T n n n ⎧-+-≤=⎨-+≥⎩. 10．已知数列{}n a 的前n 项和213n S n n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()214n a n n *=-∈N ；（2）2213,71384,7n n n n T n n n ⎧-<=⎨-+⎩. 【解析】【分析】（1）根据题意，可求得当1n =时，1112a S ==-；当2n ≥时，利用1214n n n S S a n --==-，检验得1n =时也满足214n a n =-，从而可得出数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知当7n <时，0n a <，当7n ≥时，0n a ≥，则需要分类讨论，当7n <时，142n n n b a a n ==-=-，从而可知{}n b 是首项为12，公差为-2的等差数列，利用等差数列的前n 项和公式，即可求出n T ；当7n ≥时，化简得出()()1261622n n n T a a a a a T S =----+++=+，结合题意求出n T ；综合两种情况，从而得出{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）当n ＝1时，1112a S ==-；当2n ≥时，()22113(1)13(1)214n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，显然1n =时也满足上式，所以()214n a n n *=-∈N .（2）由（1）知()214n a n n *=-∈N ，所以当7n <时，0n a <；当7n ≥时，0n a ≥，①当7n <时，142n n n b a a n ==-=-，则12n n b b +-=-，112b =，所以{}n b 是首项为12，公差为-2的等差数列，所以()12(12142)1322n n n b b n n T n n ++-===-； ②当7n ≥时，1267n n T b b b b b =++++++()()126712612n n n T a a a a a a a a a a =----+++=----+++226284131384n n T T S n n n n =+=+-=-+.综上可得：2213,71384,7n n n n T n n n ⎧-<=⎨-+≥⎩.11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且364a a +=，55S =-(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若123n n T a a a a =+++⋅⋅⋅+，求10T 的值.【答案】(1)27n a n =-(2)58【解析】【分析】（1）由等差数列的性质和基本量运算求得数列的首项和公差，然后可得通项公式；（2）确定数列项的正负，然后分组求和．(1)因为{}n a 是等差数列，所以15535()552a a S a +===-，31a =-，又364a a +=，所以64(1)5a =--=，所以6335(1)6d a a =-=--=，2d =，从而1325a a d =-=-，5(1)227n a n n =-+-⨯=-，(2)由（1）3n ≤时，0n a <，4n ≥时，0n a >，所以123n n T a a a a =+++⋅⋅⋅+(113)7(531)(13513)9582+⨯=+++++++=+=. 12．已知数列{}n a 是等差数列，125a =，12366a a a ++=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前17项和17S .【答案】（1）283n a n =-；（2）217.【解析】【分析】（1）由已知条件，求出公差d 即可求解；（2）因为当9n ≤时，0n a ≥，当10n ≥时，0n a <，所以()17191017191017S a a a a a a a a =+++++=++-++，由等差数列求和公式即可求解.【详解】解：（1）因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，因为12366a a a ++=，125a =，所以111266a a d a d ++++=，所以3d =-，所以()()2513283n a n n =+-⨯-=-；（2）设等差数列{}n a 的前n 项和为n T ，令2830n a n =-≥，解得283n ≤，所以当9n ≤时，0n a ≥，当10n ≥时，0n a <，故()17191017191017S a a a a a a a a =+++++=++-++ ()()91792511725232221722T T +-=-=⨯-=.。

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等差数列基本量计算
1．等差数列{n a }中，已知1a =31,254a a ,33n a ,则n 为
2．已知等差数列}{n a 中，1,16497a a a ，则12a 的值为___________.
3．已知等差数列}{n a ，199a a 与是一元二次方程021102
x x 的两个实根.则397a a 的值为 .
4．若}{n a 与{}n b 都是等差数列，10,15,252211
b a b a ,则数列{n n a b }的前12项的和
是 . 5．已知等差数列}{n a 的首项为125
，从第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是6．在等差数列}{n a 中，已知32n
a n ，则该数列前20项之和是7．在等差数列}{n a 中，2,31
d a （d 为公差），则9997531a a a a a ________. 8．在等差数列}{n a 中，3
5710133()2()24a a a a a ，则此数列前13项的和为9．数列{}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N ，32n a ，前n 项和152n S ，则n ＝______________
10．已知等差数列{n a }中, 2a +8a =8,则该数列前9项和9S 等于
11.已知数列{n a }的前n 项和32n s n ,则n
a _____________________ 12．设n S 是等差数列n a 的前n 项和，若
59
35
,95S S a a 则____________________; 13．等差数列{a n }的前m 项和30，前2m 项和为100，则数列的前3m 项和为_____________ ;
14．若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有_________项；。

等差数列基本量计算

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6.2等差数列典型例题及详细解答

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2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第七章数列第二节等差数列

4.2.2 等差数列的前n项和公式 (精练)(解析版)

专题01 等差数列的基本量的计算(解析版)

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