电磁场理论课件 3-1 矢势及其微分方程
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13
三．稳恒电流磁场的能量
已知均匀介质中 W 1 B HdV
磁场总能量为
2
1．在稳恒场中有
W
1 2
A
JdV
① 能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。
② 1 A J 不是能量密度。 2
14
③ 导出过程
B H ( A) H
( f g) ( f ) g f ( g)
( f ) g ( f g) f ( g)
Байду номын сангаас
Ay z
)ex
( Ax z
AZ x
)e y
( Ay x
Ax y
)ez
B0 e z
5
• 可选择 AZ AY 0 , AX B0 y ， 即 A B0 yex
•即也A可 选B择0 xAeZy Ax 0， AY B0 x ，
• 还可有多种选择，即有多种 ，而描述同一 磁场
6
7
dz ↑I z oR P
19
例1 无穷长直导线载电流I，求磁场的矢势和 磁感应强度。
解：设P点到导线的垂直距离 为R,电流元Idz到P点的距离为
R2 z2
A(x) J (x' )dV '
4 r
dz ↑I z oR P
Az
I 4
dz I ln z R2 z2 4
M
z2 R2
M
A=0
A1n A2n
S A dS AdV 0
n
2
1
A2t A1t
A1 A2
12
（b） n (H2 H1)
n
(
1
2
A2
1
1
A1 )
5．矢量泊松方程解的唯一性定理
定理：给定V内传导电流 J和V边界S上的 A或t Bt
V 内稳恒电流磁场由 2 A J和边界
条件唯一确定。
17
W 1 2
( A J )dV 1
2
( Ae Je )dV
Je
1 2
( A Je Ae J )dV
J
可以证明：
V ( A Je )dV V ( Ae J )dV
最后一项称为相互作用能，记为 Wi，
Wi (Ae J )dV
18
例1 无穷长直导线载电流I，求磁场的矢势和 磁感应强度。
8
二．矢势满足的方程及方程的解 1．A 满足的方程
B H
H J
A 0
B 1 B 1 ( A) 1 [( A) 2 A] J
2A J
2 Ai Ji i 1, 2, 3
（1）稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程 （2） 与静电场中2 形式相同
（3）矢势为无源有旋场
B A ( J (x))dV 1 J (x)dV
4 V
r
4 V r
4
V
J
( x) r3
r
dV
这正是毕奥-- 萨伐尔定律
11
4．A 的边值关系
（a）n (B2 B1) 0 n ( A2 A1) 0
A dl L
( A2t
A1t )l
L A dl S B dS 0
23
例（书例2）半径为a的导线园环载流I， 求矢势 A 和磁感应强度 B 。
1.选坐标系，参考点 2.分析对称性，分区，求通解 3.定解（边界条件）
A A (R, )e
24
A A (R, )e
25
此式可变换为椭园积分，求出结果。
26
27
28
作业：3-1,3,4
（c）物理意义
A dl B dS
L
S
矢势沿任一闭合回路的环A 量代A 表通过由该回路为边界的任 一曲面的磁通量，而每点A无直接物理意义。
３、矢势的不唯一性 B A
4
用矢势
A(x)
描写沿z轴方向均匀磁场
B( x ) B0 ez
A Axex Ayey Azez
令
A B
，有
( Az y
( A H ) A ( H )
(A H) A J
W
1 2
B HdV
1
1
2 ( A H )dV 2 A JdV
15
1
1
W 2 (A H )dV 2 A JdV
?0 V (A H)dV (A H )dS
无穷远界面上的矢势和磁场都趋于0,
W
1 2
A JdV
16
积分是发散的。计算两点的矢势差值可以免除发散 。 20
M
A(R)
A(R0 )
lim
M
I 4
ln
z z
z2 R2 z2 R02 M
lim
I
ln
1
1 R2 M 2 1
1 R02
M2
M 4 1 1 R02 M 2 1 1 R2 M 2
若取R0点的矢势为零，计算可得
A
I 4
ln
R02 R2
I 2
ln
R R0
↑I dz
z
o R
P
21
取A的旋度得磁感应强度
er
r
e
1 r
ez
z
B A
(I 2
ln
R R0
ez
)
( I 2
ln
R R0
) ez
I 2 R
eR
ez
I 2 R
e
er e
ez
B 1
r r z
I R
00
ln
22
2 R0
例（书例2）半径为a的导线园环载流I， 求矢势 A 和磁感应强度 B 。
2.电流分布在外磁场中的相互作用能
设 Je 为外磁场电流分布，Ae为外磁
Je
场的矢势； J 为处于外磁场Be 中的电
流分布，它激发的场的矢势为 A。
J
总 能 量 ： W 1 2
( A Ae ) (J Je )dV
1 2
( A J )dV 1
2
( Ae Je )dV
1 2
( A Je Ae J )dV
第三章
静磁场
Static magnetic field
1
§1 矢势及其微分方程
一、稳恒电流磁场的矢势
1．稳恒电流磁场的基本方程
稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不 随时间变化的磁场。
基本方程
H J
边值关系
n
(H2
H1)
B 0
n (B2 B1) 0
本节仅讨论 B H 情况，即非铁磁的均匀介质。这
种情况静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。
2
2．矢势的引入及意义
静电场 E 0
稳恒电流磁场 H J
B 0
物理意义：
（a）B 与 A 的关系
A B A
dS
B
S B dS S ( A) dS L A dl
其中S 为回路L 为边界的任一曲面
L
3
（b）磁通量只与曲面L的边界有关，与曲面的具体形 状无关
9
2A J
2
J (x)dV
A 4 V r
A |r 0
1
4
V
( x)dV
r
|r 0
电流分布在有限空间内 电荷分布在有限空间内
10
2．矢势的形式解
A
4
V
J (x)dV r
1
4
V
(x)dV
r
通过类比
Ai
4
V
Ji (x)dV r
已知电流密度，可从方程直接积分求解，
3．B的解
三．稳恒电流磁场的能量
已知均匀介质中 W 1 B HdV
磁场总能量为
2
1．在稳恒场中有
W
1 2
A
JdV
① 能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。
② 1 A J 不是能量密度。 2
14
③ 导出过程
B H ( A) H
( f g) ( f ) g f ( g)
( f ) g ( f g) f ( g)
Байду номын сангаас
Ay z
)ex
( Ax z
AZ x
)e y
( Ay x
Ax y
)ez
B0 e z
5
• 可选择 AZ AY 0 , AX B0 y ， 即 A B0 yex
•即也A可 选B择0 xAeZy Ax 0， AY B0 x ，
• 还可有多种选择，即有多种 ，而描述同一 磁场
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dz ↑I z oR P
19
例1 无穷长直导线载电流I，求磁场的矢势和 磁感应强度。
解：设P点到导线的垂直距离 为R,电流元Idz到P点的距离为
R2 z2
A(x) J (x' )dV '
4 r
dz ↑I z oR P
Az
I 4
dz I ln z R2 z2 4
M
z2 R2
M
A=0
A1n A2n
S A dS AdV 0
n
2
1
A2t A1t
A1 A2
12
（b） n (H2 H1)
n
(
1
2
A2
1
1
A1 )
5．矢量泊松方程解的唯一性定理
定理：给定V内传导电流 J和V边界S上的 A或t Bt
V 内稳恒电流磁场由 2 A J和边界
条件唯一确定。
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W 1 2
( A J )dV 1
2
( Ae Je )dV
Je
1 2
( A Je Ae J )dV
J
可以证明：
V ( A Je )dV V ( Ae J )dV
最后一项称为相互作用能，记为 Wi，
Wi (Ae J )dV
18
例1 无穷长直导线载电流I，求磁场的矢势和 磁感应强度。
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二．矢势满足的方程及方程的解 1．A 满足的方程
B H
H J
A 0
B 1 B 1 ( A) 1 [( A) 2 A] J
2A J
2 Ai Ji i 1, 2, 3
（1）稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程 （2） 与静电场中2 形式相同
（3）矢势为无源有旋场
B A ( J (x))dV 1 J (x)dV
4 V
r
4 V r
4
V
J
( x) r3
r
dV
这正是毕奥-- 萨伐尔定律
11
4．A 的边值关系
（a）n (B2 B1) 0 n ( A2 A1) 0
A dl L
( A2t
A1t )l
L A dl S B dS 0
23
例（书例2）半径为a的导线园环载流I， 求矢势 A 和磁感应强度 B 。
1.选坐标系，参考点 2.分析对称性，分区，求通解 3.定解（边界条件）
A A (R, )e
24
A A (R, )e
25
此式可变换为椭园积分，求出结果。
26
27
28
作业：3-1,3,4
（c）物理意义
A dl B dS
L
S
矢势沿任一闭合回路的环A 量代A 表通过由该回路为边界的任 一曲面的磁通量，而每点A无直接物理意义。
３、矢势的不唯一性 B A
4
用矢势
A(x)
描写沿z轴方向均匀磁场
B( x ) B0 ez
A Axex Ayey Azez
令
A B
，有
( Az y
( A H ) A ( H )
(A H) A J
W
1 2
B HdV
1
1
2 ( A H )dV 2 A JdV
15
1
1
W 2 (A H )dV 2 A JdV
?0 V (A H)dV (A H )dS
无穷远界面上的矢势和磁场都趋于0,
W
1 2
A JdV
16
积分是发散的。计算两点的矢势差值可以免除发散 。 20
M
A(R)
A(R0 )
lim
M
I 4
ln
z z
z2 R2 z2 R02 M
lim
I
ln
1
1 R2 M 2 1
1 R02
M2
M 4 1 1 R02 M 2 1 1 R2 M 2
若取R0点的矢势为零，计算可得
A
I 4
ln
R02 R2
I 2
ln
R R0
↑I dz
z
o R
P
21
取A的旋度得磁感应强度
er
r
e
1 r
ez
z
B A
(I 2
ln
R R0
ez
)
( I 2
ln
R R0
) ez
I 2 R
eR
ez
I 2 R
e
er e
ez
B 1
r r z
I R
00
ln
22
2 R0
例（书例2）半径为a的导线园环载流I， 求矢势 A 和磁感应强度 B 。
2.电流分布在外磁场中的相互作用能
设 Je 为外磁场电流分布，Ae为外磁
Je
场的矢势； J 为处于外磁场Be 中的电
流分布，它激发的场的矢势为 A。
J
总 能 量 ： W 1 2
( A Ae ) (J Je )dV
1 2
( A J )dV 1
2
( Ae Je )dV
1 2
( A Je Ae J )dV
第三章
静磁场
Static magnetic field
1
§1 矢势及其微分方程
一、稳恒电流磁场的矢势
1．稳恒电流磁场的基本方程
稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不 随时间变化的磁场。
基本方程
H J
边值关系
n
(H2
H1)
B 0
n (B2 B1) 0
本节仅讨论 B H 情况，即非铁磁的均匀介质。这
种情况静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。
2
2．矢势的引入及意义
静电场 E 0
稳恒电流磁场 H J
B 0
物理意义：
（a）B 与 A 的关系
A B A
dS
B
S B dS S ( A) dS L A dl
其中S 为回路L 为边界的任一曲面
L
3
（b）磁通量只与曲面L的边界有关，与曲面的具体形 状无关
9
2A J
2
J (x)dV
A 4 V r
A |r 0
1
4
V
( x)dV
r
|r 0
电流分布在有限空间内 电荷分布在有限空间内
10
2．矢势的形式解
A
4
V
J (x)dV r
1
4
V
(x)dV
r
通过类比
Ai
4
V
Ji (x)dV r
已知电流密度，可从方程直接积分求解，
3．B的解