武汉纺织大学概率论与数理统计总复习

x y 2 arctan x arctan y

2
(arctan x

2
)(arctan y

2
)
16
,两电阻 R1 和 R2 串联联接, 例5 在一简单电路中 设 R1 , R2 相互独立, 它们的概率密度均为 10 x , 0 x 10, p( x ) 50 0, 其它. 求电阻 R R1 R2 的概率密度.
三 例题分析
例1 从一批产品包括10件正品, 3件次品中重复抽取, 每次取 1 件直到取得正品为止，若每件产品被抽到 的机会相同, 求抽取次数X的分布律 解 P(X=1)=10/13, P(X=2)=(3/13) *(10/12)=5/26 P(X=3)=(3/13)*(2/12)*(10/11)=5/143 P(X=4)= (3/13)*(2/12)*(1/11)*(10/10)=1/286
)

P( X x) 1 (
x-

P( x1 X x2 ) (
x2 -
P(| X | b) 1 P(| X | b) 1 P(b X b) b- -b- 1 [ ( ) - ( )]

) - (
x1 -

)


12
P ( A | B3 ) 3 / 6 1 / 2,
则由全 概率公 式
P ( A) P ( Bi )P ( A | Bi )
i 1
3
1 / 3 1 / 3 1 / 3 2 / 3 1 / 3 1 / 2 1 / 2
8
第二章 随机变量及其分布
一 主要内容 (一). 一维随机变量及其分布 1. 随机变量的分布函数 2. 分布函数的性质 3. 离散型随机变量及其分布函数 4.常见离散型随机变量及其分布律 (1).两点分布, (2) 二项分布 (3) 泊松分布 (4) 几何分布 5. 连续型随机变量及其分布函数
红钢笔，2支蓝钢笔，丙盒中装有3支红钢笔，3支蓝钢笔，今从中任取 一支，设到3只盒中取物的机会相同，求该支钢笔是红钢笔的概率。
解 设A表示取到的一支钢笔为红色笔，Bi 分别表示在 甲、乙、丙盒中取钢笔， i=1，2，3, 则 P(Bi）=1/3， P ( A | B1 ) 2 / 6 1 / 3, P ( A | B2 ) 4 / 6 2 / 3
pR ( z ) p( x) p( z x) d x 中被积函数不为零.
z p ( x ) p ( z x ) d x, 0 z 10, 0 10 pR ( z ) p( x) p( z x) d x, 10 z 20, (1) z 10 其它. 0,
(c / 2) 0.975 所以 查表得 c/2=1.96 故 c=3.92 d 10 ) 0.023 又已知 P{X<d}= ( 2 查表得 既 d=6
14
例3 设二维随机变量（X,Y）的分布密度函数为
8 xy, 0 x 1, 0 y 1 p ( x, y ) 其它 0,
P( A UB) P( A ) P( B) P( A B) 其中 P( A B) P( B AB) 1 / 3 1 / 4 1 / 12 故 P( A UB) （ 1 1 / 2） 1 / 3 1 / 12 3 / 4
7
例2 有3只盒子，甲 盒中装有2支红钢笔，4支蓝钢笔，乙盒中装有4支
概率论与数理统计复习
1
1.考试范围:
第1章------第7章点估计
练习册练习1------练习13
2. 试题类型:
填空题,解答题
2
概率论： 1、古典概型，条件概率，独立性，贝叶斯公式； 2、随机变量的分布律，密度函数以及分布函数，随机变量的函数 的分布； 3、二维随机变量的联合分布律、边缘分布律以及条件分布律、 概率密度、边缘概率密度以及条件概率密度， 独立性以及两个随机变量的函数的分布； 4、随机变量的数学期望、方差； 5、中心极限定理； 数理统计： 6、抽样分布； 7、点估计； 练习册占80%
ห้องสมุดไป่ตู้
解
由题意知 R 的概率密度为

pR ( z ) p( x) p( z x) d x.
x
x 10
xz
x z 10
O
10
20
z
0 x 10, 当 0 z x 10,

0 x 10, 即 时, z 10 x z ,
解（1）E(Y ) E(2 X )

0 2 xe x dx 2
（2）
2xf ( x)dx
2 X

E(Y ) E(e
3
第一章 随机事件及其概率
一、主要内容： 1、随机事件的定义、关系及其运算 2、随机事件概率的定义（统计定义、古典概型定义） 3、随机事件概率的计算 注意利用： (1)、概率的加法公式 (2)、概率的性质 (3)、条件概率公式 (4)、乘法概率公式 (5)、全概率公式 (6)、贝叶斯公式 (7)、相互独立事件的概率计算公式
21
例1．某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次,每次随机 地取10件产品检验 ,如发现其中的次品数多于 1,就去调整 设备.以X表示一天中调整设备的次数,试求 E(X) （设诸产品是否为次品是相互独立的）. 解 ： 记 随 机 的 取 10 件 产 品 , 其 中 的 次 品 数 为 Y , 则 Y~B(10, 0.1) .则不必调整设备的概率为 p PY 0 PY 1
此时
将
10 x , 0 x 10, p( x) 50 其它. 0,
第三章 随机变量的数字特征
一. 主要内容 1. 随机变量的数学期望 2. 随机变量函数的数学期望 3. 数学期望的性质 4. 随机变量的方差 5. 随机变量函数的方差 6. 随机变量方差的性质 7. 随机变量的协方差及其性质 8. 两个随机变量的相关系数及其计算公式
1.0556
23
例2.设随机变量X的分布律为 求 解
X
P
-2
0.4
0
0.3
2
0.3
E ( X ) , E ( X 2 ) , E(3X 2 5) E ( X ) (2) 0.4 0 0.3 2 0.3 0.2 E( X 2 ) (2) 2 0.4 0 2 0.3 2 2 0.3 2.8
P ( B | A), P ( A B ), P( A UB)
解
P ( B | A) P ( AB) / P ( A) (1 / 4) /(1 / 2) 1 / 2 P ( A B ) P ( AUB) 1 P ( AUB) 1 P ( A) P ( B ) P ( AB) 1 1 / 2 1 / 3 1 / 4 5 / 12
4
(8)、二项概率计算公式 二. 应记忆的公式 1. 德莫根律
i 1
Ai Ai ,
i 1
n
n
i 1
Ai Ai
i 1
n
n
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
加法公式 P( AUB) P( A) P( B) P( AB) 当A与B互斥时 P( AUB) P( A) P( B) 条件概率公式 乘法概率公式 全概率公式 贝叶斯公式 相互独立事件的概率计算公式
1 (0.9)10 C10 (0.9) 9 0.1 0.7361
从而需调整设备的概率为 1-0.7361=0.2639 则X的分布律为
X ~ B(4,0.2639 )
22
4 ( 0 . 7361 ) P(X=0)= 1 )(0.7361 )3 P(X=1)= C4 (0.2639
2 2 2 C ( 0 . 2639 ) ( 0 . 7361 ) P(X=2)= 4
xk x
x
连续型 F ( x) p( x)dx (3) 若X~N( , ) , 则 Y =
X

~ N(0,1)
11
(4)
常见7种随机变量的分布律或分布密度
(5) 正态分布概率的计算公式 若 X~N ( , ) , 则 1) 2) 3) 4)
P( X x) ( x- )
5
P( A1U UAn ) 1 P( A1U UAn ) 1 P( A1 A2 An ) 1 P( A1 ) P( An )
9. 二项概率计算公式 三. 例题分析
6
例1 若 P ( A) 1 / 2, P ( B ) 1 / 3, P ( AB) 1 / 4, 求
E (3 X 2 5) [3 (2) 2 5] 0.4 [3 0 2 5] 0.3 [3 2 2 5] 0.3 13.4
或由期望的性质
E(3X 2 5) 3E( X 2 ) 5 3 2.8 5 13.4
24
例3．设随机变量的概率密度为 e x x 0 f ( x) 0 x0 求（1）Y=2X; （2）Y e 2 X 的数学期望。
故 X 的分布律为
X P 1 10/13 2 5/26 3 5/143 4 1/286
13
2 N ( 10 , 2 ) 例2 已知随机变量X~
P{|X-10|<c}=0.95,P{X<d}=0.023,确定c和d的值。 解：已知 P{|x-10|<c}=P{|X-10|/2<c/2} = 2(c / 2) 1 0.95
p( x, y) pX ( x) pY ( y).
15
例4 设二维随机变量（X，Y）的分布密度
1 p ( x, y ) 2 (1 x 2 )(1 y 2 )
解
求分布函数 F(x,y).
F ( x, y)

1 1 1
x
x
y

p( x, y)dxdy
y 1 1 2 dx dy 2 2 1 x 1 y
20
二. 应记忆的公式或结果 1 2 3 4 随机变量的数学期望和方差的计算公式 随机变量函数的数学期望和方差的计算公式 随机变量的协方差、相关系数的计算公式 常见7种随机变量的数学期望及方差 (1) 两点分布 （2）二项分布 （3）泊松分布 （4）几何分布 （5）均匀分布 （6）正态分布 （7）指数分布 三 例题分析
3 3 C ( 0 . 2639 ) (0.7361 ) P(X=3)= 4
) P(X=4)= (0.2639
4
从而
1 E ( X ) 0 (0.7361 ) 4 C4 (0.2639 )(0.7361 )3
2 C (0.2639 ) (0.7361 )
2 4 2
2
3 3 C4 (0.2639 ) 3 (0.7361 ) 4(0.2639 )4
问X与Y是否相互独立，并说明理由。 解：关于X的边缘密度为 关于Y的边缘分布密度为
1 8xydy 4 x, 0 x 1 p X ( x) 0 0, 其它
1 0 8 xydx 4 y， 0 y 1 pY ( y ) 其它 0,
在 0 x 1, 0 y 1 中，均有 故X与Y不独立。
9
6 常见连续型随机变量及其分布密度
(1) 均匀分布 (2) 正态分布 (3) 指数分布 (二) . 二维随机变量及其分布 1. 二维随机变量的定义 2. 二维随机变量的分布函数 3. 二维离散型随机变量及其分布律 4. 二维连续型随机变量的分布密度 5. 边缘分布, 6. 随机变量的独立性
10
7. 随机变量简单函数的分布 1). 一维随机变量函数的分布 2). 二维随机变量函数的分布(仅要求二维离散型) 二. 应记忆的公式 (1) F ( x) P( X x) (2) 计算公式: 离散型 F ( x) P( X xk )