理论力学达朗贝尔原理
合集下载
理论力学达朗贝尔原理
理论力学达朗贝尔原理达朗贝尔原理（d'Alembert's principle）是理论力学中的一个重要原理，它为研究物体在平衡或运动状态下受力情况提供了重要的理论基础。
达朗贝尔原理的提出，极大地推动了理论力学的发展，对于解决复杂的力学问题具有重要意义。
达朗贝尔原理的核心思想是，在运动坐标系中，对于一个质点系的平衡或运动状态，可以把系统的动力学问题转化为静力学问题来处理。
这就是说，对于一个质点系，可以找到一个虚拟的平衡系统，使得外力在这个虚拟系统中所做的功等于零。
通过这个虚拟系统的构建，我们可以简化动力学问题的求解过程，使得复杂的运动问题变得更加清晰和直观。
达朗贝尔原理的应用范围非常广泛，不仅可以用于刚体的运动问题，还可以用于弹性体、流体等物体的运动问题。
在工程实践中，达朗贝尔原理被广泛应用于各种机械系统的设计与分析中，例如汽车、飞机、船舶等。
通过运用达朗贝尔原理，工程师可以更加准确地分析系统的受力情况，从而设计出更加安全可靠的机械系统。
除此之外，达朗贝尔原理还在理论物理学中有着重要的应用。
在量子力学和相对论物理中，达朗贝尔原理也被广泛地运用于分析粒子的运动规律和相互作用。
通过引入虚拟位移和虚拟功的概念，达朗贝尔原理为理论物理学提供了一种全新的研究方法，为科学家们深入探索微观世界提供了重要的理论工具。
总的来说，达朗贝尔原理作为理论力学中的重要原理，为研究物体的运动和受力问题提供了重要的理论基础。
它的提出和应用，极大地推动了理论力学和工程实践的发展，为科学家们和工程师们提供了重要的研究方法和设计工具。
在今后的研究和实践中，我们应该深入理解达朗贝尔原理的原理和应用，不断拓展其在理论力学和工程领域的应用范围，为人类的科学技术进步做出新的贡献。
理论力学 第10章 达朗贝尔原理(动静法)
RAn mgsin0
,
RA
mg 4
c
os0
22
[例2] 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道
滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力S 、T 及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回
转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑
动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。
27
[例1] 质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分 别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于 转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的 角加速度。
解： 方法1 用达朗贝尔原理求解 取系统为研究对象
28
虚加惯性力和惯性力偶：
RQ1 m1a1 , RQ2 m2a2 , MQO JO J
[例1] 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面成0角位
置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。
解： 选杆AB为研究对象
虚加惯性力系：
RQ
ml
2
RQn
man
0
,
M QA
J A
ml 2
3
根据动静法，有
20
F 0 , RA mgcos0 RQ 0 (1)
Fi Ni Qi 0 mO (Fi )mO (Ni )mO (Qi )0
注意到 Fi(i) 0 , mO (Fi(i) )0 , 将质点系受力按内力、外力
划分, 则
Fi(e) Qi 0 mO (Fi(e) )mO (Qi )0
8
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
北京交通大学理论力学达朗贝尔原理课件
M gx
mi
zi
x i
2
mi yi zi
z
J yz J zy mi yi zi J zx J xz mi zi xi
刚体对z轴旳惯性积
ri
FIti
O
zi
yi
xi
x
FIin y
M gx J xz J yz 2 M gy J yz J xz 2
M gz miri2 J z
刚体作定轴转动时
FgR mac
M gc 0
（转轴与质量对称面垂直，向质量对称面与转轴交点简化）
FgR mac
M g0 M gz J z
刚体作平面运动时
（设运动平行于质量对称面、向质心C简化)
Fgc mac
M gc Jc
例1：
a
FgR maC
HC
M gc JC
a Hy
H
an HC
aA aC
均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其
质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求：
圆柱体A旳角加速度。
MI
FOy
FT
FOx
拓展：
M IA
FT
FIA
FN
已知：均质圆盘 m1, 纯R,滚动.均质杆 l 2R, m2.
求：F 多大,能使杆B 端刚好离开地面? 纯滚动旳条件?
FgO
FOY MgO O
FOX C1
MgC2 A
FgC2 C2 B
？拟定惯性力大小
mg
mg
例3长均为l，质量均为m旳均质杆OA、AB铰接于O，在图
示水平位置由静止释放，求初始瞬时OA、AB旳角加速度。
？列什么方程 aC1
理论力学第12章 达朗贝尔原理
基础部分——动力学第12 章达朗贝尔原理惯性力Jean le Rond d’Alembert （1717-1783)达朗贝尔达朗贝尔原理达朗贝尔原理具体内容：a F F m −=−='惯性力定义：质点惯性力aF m −=I 一、惯性力的概念aF m −='2222d d d d z ty m t[注意]不是真实力直角坐标自然坐标aF m −=I−a m 质点的达朗贝尔原理二、质点的达朗贝尔原理合力：NF I FI N =++F F F 注意：◆◆优点：◆可以将动力学问题从形式上转化为静力学动静法◆给动力学问题提供了一种统一的解题格式。
如何测定车辆的加速度？虚加惯性力解：达朗贝尔原理[例12-1]IF 摆式加速计的原理⇒⇒构成形式上的平衡力系质点系的达朗贝尔原理内力外力表明：惯性力系外力平面任意力系实际应用时，同静力学问题一样，选取研究对象；刚体惯性力系的简化简化方法一、质点系惯性力系的主矢与主矩无关有关二、刚体惯性力系的简化◆质心C结论：1IF2IF3IF IRFCm aF−=IR⇒交点O简化tI iF nI iF αα特殊情形：●●αOz O J M −=I 作用在O 点C m a F −=IR t I iFn I iFn IRFt IRF OM I αt I iFn I iFα[思考]求：向交点O 简化的主矢？主矩？)(41t IR↑=L m F αOCαωL /4)(412n IR →=L m F ωα2I 487mL M O=（逆）①2IR ωme F =②αCz O J M −=I （与α反向）③0, 0I IR ==O M F （惯性力主矢、主矩均为零）IRF OM I α（作用于质心C ）C m a F −=IR αCz C J M −=I 质心C IRF CM I α特殊情形：●●⇒[思考]εmr F =t IRrR r mF −=22n IRωε2I 21mr M C=求：惯性力系向质心C 简化的主矢？主矩？达朗贝尔原理上节课内容回顾（质点惯性力）或：质心C Cm a F −=IRαOz O J M −=I Cm a F −=IR 交点O t I iFn I iFn IRFt IRF OM I ααOz O J M −=I C m a F −=IR 交点O t I iFn I iFn IRFt IRF OM I αCm a F −=IR αCz C J M −=I质心C IRF CM I α质心C[思考]求：向交点O 简化的主矢？主矩？)(41t IR↑=L m F αOCαωL /4)(412n IR →=L m F ωα2I 487mL M O =问：若向质心C 简化，则主矢？e =−∑Cx xma F 平面运动微分方程0)( e=−∑αCz C J MF 0e =−∑Cy yma F IRF CM I α⇒⇒[例12-2]解：惯性力系αt RI Fn IRFn AFt A FAM I αtRI Fn IR F nA F t AF AM I α惯性力系）解题步骤及要点：注意：F IR = ma C M I O = J Oz αα思考：AC CθASO[例12-3]先解：惯性力系m gF IR M I C F sF NαR a C =CθASOm gF IRF OxF OyM I C再惯性力系M O[例12-4]解：惯性力系 1I F OM I 2I F α)(=∑F OMα11r a =2211 α22r a =1I F OM I 2I F α[思考题] A BCD E )(118↓=g a A mgF 113T =111≥f主动力系惯性力系RFIRF OMIRF IRF OM I tI iFn I iF∑∑==ii iyzi i i zx z y m J x z m J RF IRF OM I tI iFn I iFRF IRF OM Ill F M l F M y x y x /)]()[( 2I I 2R ⋅−+⋅−ll F M l F M x y x y /)]()[(2I I 2R ⋅++⋅+−ll F M l F M y x y x /)]()[(1I I 1R ⋅++⋅+−ll F M l F M x y x y /)]()[( 1I I 1R ⋅−+⋅−xF R −约束力静动主动力惯性力动约束力I x 02=ωJ 质心过)04222≠+=−ωααωωα惯性主轴z 轴为中心惯性主轴静平衡过质心⇒动平衡中心惯性主轴⇒[例12-5]静平衡动平衡爆破时烟囱怎样倒塌θOAωα解：m g)cos 1(3θ−lg F OxF OyMI On RI F t IRF 受力分析[例12-6])]([)(sin ⋅−−+−+⋅x x l l x x l mg ααθ1()(sin mgl −θB注意：求内力(矩)时惯性力的处理！xθxAB()ml x lα−m l lαBM BxF x mg lByF12-5-1 关于惯性力系的简化OA ωαMI OnR I FtIRFOAωαMI CnRIFtRIFC 思考思考12-5-2 刚体平面运动时有关动力学量的计算mv+C12-5-3 本章知识结构框图达朗贝尔原理惯性力系的简化质点系达朗贝尔原理定轴转动的约束力一般质点系刚体静、动约束力静、动平衡课后学习建议：◆。
理论力学 第十三章达朗贝尔原理
二、质点系的达朗贝尔原理
设有一质点系由n个质点组成 第i个质点Mi，质量mi，受主动力 F， i 约束反力 FNi 作用，加速度为 ai ,对每一个质点，有： G G Fi mi ai Fi FNi Fi 0 (i 1, 2,, n)
表示为力系形式： G G G (F1,, Fi ,, Fn , FN1,, FNi ,, FNn , F 1 ,, F i ,, F n )0
G rC为刚体质心相对于质心 的矢径， rC 0MC 0
结论：刚体作平动时，惯性力系对质心C的主矩为零。
19
mi ri aC mrC aC
§13–2 刚体惯性力系的简化
三、刚体作定轴转动
讨论具有质量对称平面且转轴垂直于质量对称平面 的情况。（刚体的空间惯性力系投影在对称平面内 的平面力系，再将此平面力系向O点简化，O点为质 量对称平面与转轴Z的交点。） 空间惯性力系 平面惯性力系 （质量对称面） 直线 i : 平动， 过Mi点，惯性力系 G 为
将质点系受力按内力、外力划分：
（内力是大小相等，方向相反成 对出现，所以内力主矢和对任意点 的主矩分别恒为零）
e e e G G G (F1 ,, Fi ,, Fn , F1 ,, Fi ,, Fn ) 0 e G Fi Fi 0 e G M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
1
第十三章
达朗贝尔原理
§13–1 达朗贝尔原理 §13–2 刚体惯性力系的简化
§13–3 绕定轴转动刚体的动约束力
静平衡和动平衡的概念
2
第十三章
达朗贝尔原理
法国科学家达朗贝尔（J.le Rond d’Alembert)将适 用于自由质点的牛顿定律（第二定律）推广至受约束质 点，并于1743年提出了受约束质点动力学问题的一个原 理—达朗贝尔原理。 达朗贝尔原理为非自由质点系动力学的发展奠定了 基础。该原理提出一百多年后，后人引入了惯性力的概 念，并应用达朗贝尔原理中包含的用静力学中研究平衡 的方法研究动力学中不平衡问题的思想，将这一原理发 展成求解非自由质点系动力学问题的普遍而有效的方法， 称为动静法。 由于动静法简单有效，易于掌握，因此在工程技 术中得到了广泛应用。
设有一质点系由n个质点组成 第i个质点Mi，质量mi，受主动力 F， i 约束反力 FNi 作用，加速度为 ai ,对每一个质点，有： G G Fi mi ai Fi FNi Fi 0 (i 1, 2,, n)
表示为力系形式： G G G (F1,, Fi ,, Fn , FN1,, FNi ,, FNn , F 1 ,, F i ,, F n )0
G rC为刚体质心相对于质心 的矢径， rC 0MC 0
结论：刚体作平动时，惯性力系对质心C的主矩为零。
19
mi ri aC mrC aC
§13–2 刚体惯性力系的简化
三、刚体作定轴转动
讨论具有质量对称平面且转轴垂直于质量对称平面 的情况。（刚体的空间惯性力系投影在对称平面内 的平面力系，再将此平面力系向O点简化，O点为质 量对称平面与转轴Z的交点。） 空间惯性力系 平面惯性力系 （质量对称面） 直线 i : 平动， 过Mi点，惯性力系 G 为
将质点系受力按内力、外力划分：
（内力是大小相等，方向相反成 对出现，所以内力主矢和对任意点 的主矩分别恒为零）
e e e G G G (F1 ,, Fi ,, Fn , F1 ,, Fi ,, Fn ) 0 e G Fi Fi 0 e G M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
1
第十三章
达朗贝尔原理
§13–1 达朗贝尔原理 §13–2 刚体惯性力系的简化
§13–3 绕定轴转动刚体的动约束力
静平衡和动平衡的概念
2
第十三章
达朗贝尔原理
法国科学家达朗贝尔（J.le Rond d’Alembert)将适 用于自由质点的牛顿定律（第二定律）推广至受约束质 点，并于1743年提出了受约束质点动力学问题的一个原 理—达朗贝尔原理。 达朗贝尔原理为非自由质点系动力学的发展奠定了 基础。该原理提出一百多年后，后人引入了惯性力的概 念，并应用达朗贝尔原理中包含的用静力学中研究平衡 的方法研究动力学中不平衡问题的思想，将这一原理发 展成求解非自由质点系动力学问题的普遍而有效的方法， 称为动静法。 由于动静法简单有效，易于掌握，因此在工程技 术中得到了广泛应用。
《达朗贝尔原理》课件
达朗贝尔原理的微分方程形式为：dM/dt=∫F·d(dr/dt)dr，其中dM/dt表示动量 矩对时间的变化率，dr/dt表示速度矢量，∫F·d(dr/dt)dr表示力矩对时间的积分 。
该微分方程描述了刚体在力矩作用下的动态行为，是刚体动力学中的基本方程之 一。
达朗贝尔原理的积分方程形式
达朗贝尔原理的积分方程形式为：M(t2)-M(t1)=∫t1t2F·dr， 其中M(t2)和M(t1)分别表示刚体在时刻t2和t1的动量矩， ∫t1t2F·dr表示在时间t1到t2之间力矩的积分。
船舶工程
用于分析船舶的运动特性和稳定性。
02
达朗贝尔原理的数学表达
达朗贝尔原理的公式表达
达朗贝尔原理的公式表达为： M=∫F·dr，其中M表示刚体绕固定 点O转动的动量矩，F表示刚体上任 一点的速度矢量，dr表示矢径。
该公式描述了刚体在力矩作用下的运 动规律，是刚体动力学中的基本原理 之一。
达朗贝尔原理的微分方程形式
限制条件
达朗贝尔原理在处理复杂系统时，可能无法考虑所有 相互作用力和能量转换，导致预测精度下降。
与其他物理定律的互补性
与牛顿第三定律互补
达朗贝尔原理与牛顿第三定律互补，强调了 力和运动的相互关系。
与能量守恒定律的互补性
达朗贝尔原理在处理保守系统时，与能量守 恒定律相一致，但在非保守系统中存在差异
。
详细描述
在弹性力学中，达朗贝尔原理可以用来分析 各种复杂的力学问题，如梁的弯曲、板的变 形等。通过应用该原理，我们可以建立各种 弹性力学问题的数学模型，并进一步求解其 解析解或近似解。
05
达朗贝尔原理的局限性
适用范围和限制条件
适用范围
达朗贝尔原理主要适用于线性、保守的力学系统。对 于非线性、非保守系统，达朗贝尔原理可能不适用。
该微分方程描述了刚体在力矩作用下的动态行为，是刚体动力学中的基本方程之 一。
达朗贝尔原理的积分方程形式
达朗贝尔原理的积分方程形式为：M(t2)-M(t1)=∫t1t2F·dr， 其中M(t2)和M(t1)分别表示刚体在时刻t2和t1的动量矩， ∫t1t2F·dr表示在时间t1到t2之间力矩的积分。
船舶工程
用于分析船舶的运动特性和稳定性。
02
达朗贝尔原理的数学表达
达朗贝尔原理的公式表达
达朗贝尔原理的公式表达为： M=∫F·dr，其中M表示刚体绕固定 点O转动的动量矩，F表示刚体上任 一点的速度矢量，dr表示矢径。
该公式描述了刚体在力矩作用下的运 动规律，是刚体动力学中的基本原理 之一。
达朗贝尔原理的微分方程形式
限制条件
达朗贝尔原理在处理复杂系统时，可能无法考虑所有 相互作用力和能量转换，导致预测精度下降。
与其他物理定律的互补性
与牛顿第三定律互补
达朗贝尔原理与牛顿第三定律互补，强调了 力和运动的相互关系。
与能量守恒定律的互补性
达朗贝尔原理在处理保守系统时，与能量守 恒定律相一致，但在非保守系统中存在差异
。
详细描述
在弹性力学中，达朗贝尔原理可以用来分析 各种复杂的力学问题，如梁的弯曲、板的变 形等。通过应用该原理，我们可以建立各种 弹性力学问题的数学模型，并进一步求解其 解析解或近似解。
05
达朗贝尔原理的局限性
适用范围和限制条件
适用范围
达朗贝尔原理主要适用于线性、保守的力学系统。对 于非线性、非保守系统，达朗贝尔原理可能不适用。
理论力学课件 第十三章 达朗贝尔原理
MO(F) 0
FΙC
r
l 2
MΙC
MΙO
M
0
联立求解，可得
1 7.9rad / s2 2 4.44rad / s2
由ΣFx=0 解得轴承O 水平方向的约束反力
FOy
O
FOx M mg
A
FΙ C
M ΙO
C
M ΙC
m1 g
B
FOx
FC
m1( r1
l 2
2
)
8.91N
由ΣFy=0 解得轴承O 铅垂方向的约束反力
Fii
F 0 Ii
MO (Fie ) MO (Fii ) MO (F Ii ) 0
由于质点系的内力总是成对出现的，且等值反向共线，它们相互抵消，这样， 上面两式可简化为
Fie FIi 0
MO (Fie )
MO (FIi ) 0
上式表明，作用于质点系上的所有外力与虚加在每一个质点上的惯性力 在形式上组成平衡力系，这就是质点系达朗贝尔原理的又一表述形式。
解得
FI mgtan
由于
FI
man
m
v2 lsin
FN
an
v
mg FI
解得
v gl tan sin
【例13-2】 如图所示的列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，摆锤的
质量为m。当车厢向右做匀加速运动时，单摆向左偏转的角度为 ，求车厢
的加速度a。
解：选摆锤为研究对象，受力分析 如图所示。由达朗贝尔原理，列x方向 的平衡方程
解得
FAx FBx 0
FAy 200kN
FBy 200kN
FAz 20kN
z
B FBx
理论力学第十四章达朗伯原理
O
x
D
at
x
y
φ
φ
(b)
an
y
rz
D
O
x
D
at
x
y
φ
φ
(b)
an
y
rz
D
刚体对y、z轴的惯性积
刚体对x、z轴的惯性积
解得
单击此处添加大标题内容
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。您的内容已经简明扼要，字字珠玑，但信息却千丝万缕、错综复杂，需要用更多的文字来表述；但请您尽可能提炼思想的精髓，否则容易造成观者的阅读压力，适得其反。正如我们都希望改变世界，希望给别人带去光明，但更多时候我们只需要播下一颗种子，自然有微风吹拂，雨露滋养。恰如其分地表达观点，往往事半功倍。当您的内容到达这个限度时，或许已经不纯粹作用于演示，极大可能运用于阅读领域；无论是传播观点、知识分享还是汇报工作，内容的详尽固然重要，但请一定注意信息框架的清晰，这样才能使内容层次分明，页面简洁易读。如果您的内容确实非常重要又难以精简，也请使用分段处理，对内容进行简单的梳理和提炼，这样会使逻辑框架相对清晰。为了能让您有更直观的字数感受，并进一步方便使用，我们设置了文本的最大限度，当您输入的文字到这里时，已濒临页面容纳内容的上限，若还有更多内容，请酌情缩小字号，但我们不建议您的文本字号小于14磅，请您务必注意。
求：当质心 C 转到最低位置时轴承所受的压力。
解：研究对象:转子
受力分析:如图示
FA
FB
mg
Fg
运动分析:转动
静反力
附加动反力
解：研究对象:转子
例：两圆盘质量均为m，对称偏心距均为e，=常量。
理论力学第十四章达朗贝尔原理(动静法)课件
动静法的物理意义
物理背景
实际应用
达朗贝尔原理反映了牛顿第二定律在 静力学中的应用，通过引入惯性力， 将动力学因素考虑到平衡问题中。
在工程实际中，达朗贝尔原理广泛应 用于分析高速旋转的机械、振动系统 以及瞬态动力学问题。
意义阐述
通过动静法，我们可以分析在某一瞬 时，运动系统由于惯性作用而产生的 力，从而更准确地描述系统的平衡条 件。
03
在应用动静法时，要确 保惯性力与主动力相平 衡，避免出现误差。
04
在求解方程时，要注意 解的物理意义和实际情 况是否相符。
04
CATALOGUE
达朗贝尔原理的应用实例
简单实例解析
总结词
通过一个简单的实例，介绍达朗 贝尔原理的基本应用。
详细描述
以一个单摆为例，运用达朗贝尔 原理分析其运动状态，通过对比 理论计算和实验结果，验证达朗 贝尔原理的正确性。
具体推导过程
在受力分析的基础上，列出系统的平 衡方程。
解出未知数，得到系统的运动状态。
将动静法应用于平衡方程，将惯性力 与主动力相平衡。具体来说，就是在 平衡方程中加入惯性力项，使得该力 与主动力相平衡。
推导过程中的注意事项
01
确定研究对象和系统时 要明确，避免出现混淆 。
02
在建立平衡方程时，要 确保所有力的方向和大 小都正确。
理论力学第十四章 达朗贝尔原理(动静 法)课件
contents
目录
• 达朗贝尔原理概述 • 达朗贝尔原理的基本概念 • 达朗贝尔原理的推导过程 • 达朗贝尔原理的应用实例 • 达朗贝尔原理的扩展与深化
01
CATALOGUE
达朗贝尔原理概述
达朗贝尔原理的定义
理论力学——达郎贝尔原理
力和一个力偶，这个力等于刚体质量与质心的加速度的 乘积，方向与加速度方向相反，作用线通过转轴；这个 力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积， 转向与角加速度相反。
（e） FIR - Fi -ma c
M IO M Iz -J z
讨论 ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。
求解步骤 ①选取研究对象。原则与静力学相同。 ②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。
③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速
度，标出方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶， 一定要 在 正确进行运动分析的基础
上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。
⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑦求解求知量。
M
y
解得
1 M y FRxOB M Ix M IxOB FAx AB
1 M x FRyOB M Ix FIyOB FAy AB
1 M y FRxOA M Ix FIxOA FBx AB
1 M x FRyOA M Ix FIyOA FBy AB
min
求:轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 an e m 158 m 2 s s 1000 30
2
2
F man 3160N
n I
FNA FNB
1 20 9.8 3160N 1680N 2
内容
§13-1
惯性力〃质点的达朗贝尔原理
Force of Inertia ·D’Alembert’s Principle of a Particle
§13-2 质点系的达朗贝尔原理
（e） FIR - Fi -ma c
M IO M Iz -J z
讨论 ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。
求解步骤 ①选取研究对象。原则与静力学相同。 ②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。
③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速
度，标出方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶， 一定要 在 正确进行运动分析的基础
上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。
⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑦求解求知量。
M
y
解得
1 M y FRxOB M Ix M IxOB FAx AB
1 M x FRyOB M Ix FIyOB FAy AB
1 M y FRxOA M Ix FIxOA FBx AB
1 M x FRyOA M Ix FIyOA FBy AB
min
求:轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 an e m 158 m 2 s s 1000 30
2
2
F man 3160N
n I
FNA FNB
1 20 9.8 3160N 1680N 2
内容
§13-1
惯性力〃质点的达朗贝尔原理
Force of Inertia ·D’Alembert’s Principle of a Particle
§13-2 质点系的达朗贝尔原理
理论力学达朗贝尔原理
Foy
P
P g
R
P 3
（4）
Fxi 0 Fox FInR 0
将（2）式代入有
Fox
P g
R 2
4 3
P
（5）
理论力学电子教程
第十四章 达朗伯原理
例14-3 滚子半径为R，质量为m，质心在其对称中心C点，如 图(a)所示。在滚子得鼓轮上缠绕细绳，已知水平力沿着细绳 作用，使滚子在粗糙水平面上作无滑动得滚动。鼓轮得半径
§14-1 惯性力的基本概念
受非零力系作用的物体将改变运动状态。
由于物体具有惯性，力图保持其惯性运动，所以它 同时给予施力体以反作用力，这种反作用力称为惯性力 。例如，一质量为m的小球M，用细绳系住，绳的另一端 用手握住，使小球在水平面内作匀速圆周运动，其速度 为v，半径为r，如图14－1所示。
理论力学电子教程
相应地 于是
ai ri ain ri 2
FIi mi ri FIni mi ri 2方向如图（b）。
M IO M O (FIi) M O (FIi ) M O (FIni ) (miri )ri ( miri2 )
理论力学电子教程
一、刚体作平行移动 在同一瞬时，平动刚体上各质点具有相同的加速度 a。
任一质点M i的惯性力为
FIi miai 达朗伯原理
可见各质点的惯性力的大小与各自的质量成正比，方向都 与共同的加速度相反。即此时平动刚体的惯性力系是一个同向 平行力系，各力大小与各点质点质量成正比，如图所示。
得出上述的结论有两个限制条件：
理论力学电子教程
第十四章 达朗伯原理
（1）刚体具有垂直于转轴系的质量对称平面；
11理论力学达朗贝尔原理
三、 质点系的达朗贝尔原理
设质点系由n个质点组成，其中任意质点i的质量为mi， 加速度为ai。
（1）若把作用于此质点上的所有力分为主动力的合
力Fi、约束力的合力FNi，再虚拟加上此质点的 惯性力FIi= –miai。
由质点的达朗贝尔原理，有
Fi+ FNi+ FIi =0 （11－3） 该式表明：质点系中每个质点上作用的主动力、
F x 0,FIi cosi FA 0OFLeabharlann y 0,FIi sini FB 0
而
FIi = miain
m
2R
Ri
R 2
R Δθi
θi
FIi
B
x
FB
19
11.1 惯性力•达朗贝尔原理
令 Δθi
0，有
FIi
cosi
2 0
m
2
R 2
cosd
mR 2 2
FIi
sini
2 0
m
2
R 2 sind
例11－3 飞轮质量为m，半径为R，以匀角速度ω定轴 转动，设轮辐质量不计，质量均布在较薄的轮缘上，不考 虑重力的影响，求轮缘横截面的张力。
y
A
R O
B
x
18
11.1 惯性力•达朗贝尔原理
解：由于对称，取四分之一轮 缘为研究对象，如图所示。
轮缘横截面张力设为FA、FB。
y
FA
A
取圆心角为Δθi的微小弧段， 每段 加惯性力FIi。 列平衡方程
FIi 0
故
i 1 n
i 1 n
MO (Fi(e) ) MO (FIi ) 0
i 1
i 1
(14-4)
理论力学达朗贝尔原理(动静法)
miri cosi zi (miri 2 sin i zi )
由
cos
i
xi ri
,
sin i
yi ri
有 MI x mix iz i2 m i y iz i
记 Jyz m i y iz i, Jxz m i x iz i
称对 y、z 轴的惯性积， 对x、z 轴的惯性积。
M Ix J xz J yz 2
已知: P, R, J , a, m.
求：支座A，B受到的附加约束力。
解 ： FI ma
MI0
J
J
a R
M B 0 mgl2 FIl2 Pl3 M IO FAl1 l2 0
Fy 0 FA FB mg P FI 0
解得：FA
l1
1
l2
mgl2
Pl3
a
ml2
J R
第十五章 达朗贝尔原理(动静法)
§15-1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
一、惯性力的概念
人用手推车 F ' F ma
力 F '是由于小车具有惯性，力图保持其原
有的运动状态，对于施力物体(人手)产生 的反抗力。称为小车的惯性力。
定义：质点惯性力
FI m a
质点惯性力的大小等于质点的质量与加速度的乘积，方
Fz 0 FBz FRz 0
M x 0 FB yOB FAyOA M x M I x 0
M y 0 FAxOA FBxOB M y M I y 0
解得
FAx
1 AB
M y FRxOB M Iy FIxOB
FAy
1 AB
M x FRyOB M Ix FIyOB
由 miar mi ar mar
由
cos
i
xi ri
,
sin i
yi ri
有 MI x mix iz i2 m i y iz i
记 Jyz m i y iz i, Jxz m i x iz i
称对 y、z 轴的惯性积， 对x、z 轴的惯性积。
M Ix J xz J yz 2
已知: P, R, J , a, m.
求：支座A，B受到的附加约束力。
解 ： FI ma
MI0
J
J
a R
M B 0 mgl2 FIl2 Pl3 M IO FAl1 l2 0
Fy 0 FA FB mg P FI 0
解得：FA
l1
1
l2
mgl2
Pl3
a
ml2
J R
第十五章 达朗贝尔原理(动静法)
§15-1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
一、惯性力的概念
人用手推车 F ' F ma
力 F '是由于小车具有惯性，力图保持其原
有的运动状态，对于施力物体(人手)产生 的反抗力。称为小车的惯性力。
定义：质点惯性力
FI m a
质点惯性力的大小等于质点的质量与加速度的乘积，方
Fz 0 FBz FRz 0
M x 0 FB yOB FAyOA M x M I x 0
M y 0 FAxOA FBxOB M y M I y 0
解得
FAx
1 AB
M y FRxOB M Iy FIxOB
FAy
1 AB
M x FRyOB M Ix FIyOB
由 miar mi ar mar
理论力学大朗贝尔原理
这就是钢球在任一位置 时所受的法向反力， FN ，由此可求出其 0 显然当钢球脱离筒壁时， 脱离角 为
r arccos( ) g
2
Theoretical Mechanics
返回首页
16.1 达朗贝尔原理
16.1.2 质点系的达朗贝尔原理
设非自由质点系由 n 个质点组成，其中第 i 个 质点的质量为 mi，其加速度为ai ，作用在此质点上 的外力的合力为 Fie，内力的合力为 Fi i。在该质点上 假想地加上惯性力 FIi mi ai ，则由质点的达朗伯 原理，有 Fie Fii FIi 0 (i 1,2, , n)
τ Ii
FIiτ
Mi C
故
M IO I O
FOy＝mg
附加动约束力为
FDx
Theoretical Mechanics
7 lm 2 24
FOx
5 lm 2 24
返回首页
16.1 达朗贝尔原理 例15-3 图中飞轮的质量为 m ，平均 半径为R，以匀角速度 绕其中心轴 转动。设轮缘较薄，质量均匀分布， 轮辐的质量忽略不计。若不考虑重力 的影响，求轮缘各横截面的张力。
刚体惯性力系的简化
n Ii
该惯性力系对转轴O的主矩为
M IO M O (F ) M O (F )
F 通过O点，有 M O (F ) 0 ，所以
n Ii
F F
2
n IR
a ri
n i
τ aC
n Ii
τ IR
O M IO n aC
M IO MO (F ) (mi ri )ri (mi ri )
i i i
Fiz FNiz FIiz Fz 0
r arccos( ) g
2
Theoretical Mechanics
返回首页
16.1 达朗贝尔原理
16.1.2 质点系的达朗贝尔原理
设非自由质点系由 n 个质点组成，其中第 i 个 质点的质量为 mi，其加速度为ai ，作用在此质点上 的外力的合力为 Fie，内力的合力为 Fi i。在该质点上 假想地加上惯性力 FIi mi ai ，则由质点的达朗伯 原理，有 Fie Fii FIi 0 (i 1,2, , n)
τ Ii
FIiτ
Mi C
故
M IO I O
FOy＝mg
附加动约束力为
FDx
Theoretical Mechanics
7 lm 2 24
FOx
5 lm 2 24
返回首页
16.1 达朗贝尔原理 例15-3 图中飞轮的质量为 m ，平均 半径为R，以匀角速度 绕其中心轴 转动。设轮缘较薄，质量均匀分布， 轮辐的质量忽略不计。若不考虑重力 的影响，求轮缘各横截面的张力。
刚体惯性力系的简化
n Ii
该惯性力系对转轴O的主矩为
M IO M O (F ) M O (F )
F 通过O点，有 M O (F ) 0 ，所以
n Ii
F F
2
n IR
a ri
n i
τ aC
n Ii
τ IR
O M IO n aC
M IO MO (F ) (mi ri )ri (mi ri )
i i i
Fiz FNiz FIiz Fz 0
理论力学 第10章 达朗贝尔原理(动静法)
解： 取轮为研究对象
虚加惯性力系：
RQ maC mR
M QC JC m 2
O
由动静法，得：
23
X 0 , F T RQ 0
(1)
Y 0 , N mg S 0
(2)
mC (F )
0
, M
FR M QC
0
(3)
2
2
M F( R) T (4)
4
二、质点的达朗贝尔原理
非自由质点M，质量m，受主动力 F， 约束反力 N ，合力 R F N ma
F N ma 0
F N Q 0
质点的达朗贝尔原理
该方程对动力学问题来说只是 形式上的平衡，并没有改变动力学 问题的实质。采用动静法解决动力 学问题的最大优点，可以利用静力 学提供的解题方法，给动力学问题 一种统一的解题格式。
方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要
在 正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。
26
⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑥建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。 ⑦求解求知量。
[注] RQ , MQO 的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时， 只需按 RQ maC , MQO JO 代入即可。
5
[例1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
厢的加速度 a 。 a
6
解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 Q ma ( Q ma )
由动静法, 有
X 0 , mg sin Qcos 0
理论力学13—达朗贝尔原理
(e)
(i)
F i ? F i ? FIi ? 0 (i ? 1,2, ???, n)
质点系中第 i个质点上作用的外力、内力和它的惯性
力在形式上组成平衡力系。由静力学知，空间任意
力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一
点的主矩等于零，即
Σ Fi(e) ? ΣFi(i) ? ΣFIi ? 0
ΣM
O (Fi(e) )
得
FIR ? ΣFIi ? ? ΣFi(e) ? ? maC
此式表明：无论刚体作什么运动 , 惯性力系的主矢都等 于刚体的质量与其质心加速度的乘积 , 方向与质心加速 度的方向相反 。
arccos(
3g
2lw
2
)
例 3 已知：m ，R， w。 求：轮缘横截面的张力。
解： 取上半部分轮缘为研究对象
F?i
?
m
2?R
Rd?
?Rw2
? Fy ? 0 ? F?i sin? ? 2FT ? 0
? FT
?
1 2
?
0
m Rw 2 sin?d? 2?
? mRw 2 2?
R O
w
y
FIi
d?
? O
第十三章 达朗贝尔原理
? 达朗贝尔原理 ? 刚体惯性力系的简化
引言
前面介绍的动力学普遍定理 , 为解决质点 系动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗 贝尔原理为解决非自由质点系动力学问题提 供了另一种普遍的方法。这种方法的特点是： 用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学 的不平衡问题, 因此这种方法又叫动静法。由 于静力学研究平衡问题的方法比较简单 , 也容 易掌握, 因此动静法在工程中被广泛使用。
? FI ?
理论力学PPT课件第7章达郎贝尔原理
动力学方程的概念
总结词
动力学方程是描述系统运动状态变化的数学方程，包括牛顿第二定律、动量守恒定律、角动量守恒定律等。
详细描述
动力学方程是描述系统运动状态变化的数学模型，包括牛顿第二定律、动量守恒定律、角动量守恒定律等。这些 方程描述了系统在不同条件下运动状态的变化规律，是理论力学中的基本方程。通过求解动力学方程，可以预测 系统在不同条件下的运动状态。
冲量
在给定的时间间隔内，力对物体 的积累效应，等于物体动量的增 量。
达郎贝尔原理的重要性
揭示了力的作用效果
达郎贝尔原理揭示了力的作用效果与 冲量之间的关系，为研究动力学问题 提供了重要的理论基础。
简化问题
通过引入冲量，可以将复杂的动力学 问题简化为更易于处理的形式，有助 于理解和分析物体的运动规律。
等效约束反力在任意虚位移上所做的虚功等于原系统在相同 虚位移上所做的内力虚功。
达郎贝尔原理的证明方法
证明方法一
利用虚功原理和牛顿第二定律推 导达郎贝尔原理。
证明方法二
利用拉格朗日方程和约束反力推导 达郎贝尔原理。
证明方法三
利用哈密顿原理和变分法推导达郎 贝尔原理。
04
CATALOGUE
达郎贝尔原理的应用实例
广义达郎贝尔原理的意义
这个原理是经典力学和量子力学中的重要原理，对于理解 物理系统的动力学行为和演化规律具有重要意义。
非惯性系中的达郎贝尔原理
非惯性系中的达郎尔原理
在非惯性系中，由于存在额外的惯性力，达郎贝尔原理的形式会有所不同。此时，系统受 到的外力等于动量的时间变化率。
非惯性系中的达郎贝尔原理推导
理论力学ppt课件第 7章达郎贝尔原理
目 录
• 达郎贝尔原理的概述 • 达郎贝尔原理的基本概念 • 达郎贝尔原理的推导过程 • 达郎贝尔原理的应用实例 • 达郎贝尔原理的扩展与深化
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
动理
五
章
§5–2 惯性力系的简化
达
§5–3 动静法应用举例
朗
贝
§5–4 定轴转动刚体对轴承的动压力
尔
原
§5–5 消除附加动压力的条件
理
·动平衡和静平衡
目录
第五章 达朗贝尔原理
引言
达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题提供了 有别于动力学普遍定理的另外一类方法。
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯 性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 —— 达朗贝 尔原理。
§ 5-2 惯性力系的简化
惯性力系的简化
刚体常见运动情况下 惯性力的主矢和主矩
§ 5-2 惯性力系的简化
一、 惯性力系的简化
对于作任意运动的质点系，把实际所受的力和虚加惯性力各自向
任意点O简化后所得的主矢、主矩分别记作F，MO 和F* ，M*O ，于是，
由力系平衡条件，可得
FF *0
MOMO * 0
F
* t
和
F
* n
的大小可分别表示为
F
* n
a
t C
O
y
C a
n C
x
F
* t
F* Ft* Fn*
§ 5-2 惯性力系的简化
刚体做定轴转动
F* Ft* Fn*
z
其中 Ft* maC t ; Fn* maC n;
＝－ ＝－ F * m a C m (a C t a C n)
maCt mCr maCn mCr2
Fx
FNx
F
* x
0
Fy
FNy
F
* y
0
Fz
FNz
F
* z
0
§ 5-2 达朗贝尔原理
二、质点系达朗贝尔原理 上述质点的达朗贝尔原理可以直接推广到质点系。将
达朗贝尔原理应用于每个质点，得到n个矢量平衡方程。
F i FNi F i*0
这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质 点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一 平衡力系。
● 对固定轴
现将上式两端投影到任一固定轴Oz上，
Mz*
dLz dt
上式表明：质点系的惯性力对于任一固定点（或固定轴）的主矩，
等于质点系对于该点（或该轴）的动量矩对时间的导数，并冠以负号。
§ 5-2 惯性力系的简化
● 对质心点
惯性力系的主矩
利用相对于质心的动量矩定理，可以得到质点系的惯性力对质
心C的主矩表达式 ● 对质心轴
引入质点的惯性力F* =－ma 这 一概念，于是上式可改写成
AF
FF NF *0
上式表明，在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力、约束力和 质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。
§ 5-2 达朗贝尔原理 质点达朗贝尔原理
质点达朗贝尔原理
FF NF *0 质点达朗贝尔原理的投影形式
惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。
§ 5-2 惯性力系的简化
二、刚体常见运动情况下惯性力的主矢和主矩 1. 刚体作平动 刚体平移时，惯性力系向质心简化
● 主矢
F*2
m2 F*1
m1 a2
a1
F*＝ (－miai)
F* M aC F*n mn an
＝ (－miaC)＝－maC
● 主矩 M*＝0
这就是质点系的达朗贝尔原理。
§ 5-2 达朗贝尔原理 质点系达朗贝尔原理
F i FNi F i*0
对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方程， 即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在 一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中 空间任意力系的平衡条件，有
F iF N iF i* 0
考虑到上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于 对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有3n个 独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。
达朗伯原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学方 程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动态平衡方程。
1.惯性力系的主矢 由质心运动定理有 F = maC ,得
F*maC
即,质点系惯性力的主矢恒等于质点系总质量与质心加速度的乘积，而 取相反方向。
§ 5-2 惯性力系的简化
2.惯性力系的主矩
● 对任意固定点
由对任意固定点O的动量矩定理有
MO
d LO dt
，
得
MO*
d LO dt
代入 MOMO * 0
F
* n
a
t C
O
y
a
n C
C
x
F
* t
显然，当质心C在转轴上时，刚 体的惯性力主矢必为零。
§ 5-2 惯性力系的简化
刚体做定轴转动
● 主矢
z
＝－ ＝－ F * m a C m (a C t a C n)
MC*
dLC dt
以及它在通过质心C的某一平动轴 Cz上的投影表达式
Mz*
dLz dt
上式表明：质点系的惯性力对质心（或通过质心的平动轴）的主 矩，等于质点系对质心（或该轴）的动量矩对时间的导数，并冠以负 号。
§ 5-2 惯性力系的简化 惯性力系的主矩
注意
惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关。
达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束 力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。
第五章 达朗贝尔原理
工程实际问题
第五章 达朗贝尔原理
工程实际问题
爆破时烟囱怎样倒塌
第五章 达朗贝尔原理
工程实际问题
爆破时烟囱怎样倒塌
第五章 达朗贝尔原理
车底盘距路面的高度为什么不同？
第五章 达朗贝尔原理
刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。
§ 5-2 惯性力系的简化
刚体做定轴转动
2. 刚体做定轴转动
具有质量对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动。
设刚体绕固定轴Oz转动，在任意瞬
时的角速度为ω，角加速度为α。
z
● 主矢 F*＝ (－miai)＝－ maC
aC aCt aCn
设质心C的转动半径为rC，则
舰载飞机降落过程中的动力学问题
拦阻装置为什么装在飞机的后部？
§ 5-1 达朗贝尔原理
质点达朗贝尔原理 质点系达朗贝尔原理
§ 5-2 达朗贝尔原理
一、质点达朗伯原理
设质量为m的非自由质点M，在主动
力F和约束力FN作用下沿曲线运动，
FN
该质点的动力学基本方程为
B
maFFN
或
F* M
ma a
FF N(m a)0
M O ( F i ) M O ( F N i ) M O ( F i * ) 0
§ 5-2 达朗贝尔原理 质点系达朗贝尔原理
F iF N iF i* 0
M O ( F i ) M O ( F N i ) M O ( F i * ) 0
上式表明，在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点 的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点O的主矩也等于 零。
五
章
§5–2 惯性力系的简化
达
§5–3 动静法应用举例
朗
贝
§5–4 定轴转动刚体对轴承的动压力
尔
原
§5–5 消除附加动压力的条件
理
·动平衡和静平衡
目录
第五章 达朗贝尔原理
引言
达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题提供了 有别于动力学普遍定理的另外一类方法。
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯 性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 —— 达朗贝 尔原理。
§ 5-2 惯性力系的简化
惯性力系的简化
刚体常见运动情况下 惯性力的主矢和主矩
§ 5-2 惯性力系的简化
一、 惯性力系的简化
对于作任意运动的质点系，把实际所受的力和虚加惯性力各自向
任意点O简化后所得的主矢、主矩分别记作F，MO 和F* ，M*O ，于是，
由力系平衡条件，可得
FF *0
MOMO * 0
F
* t
和
F
* n
的大小可分别表示为
F
* n
a
t C
O
y
C a
n C
x
F
* t
F* Ft* Fn*
§ 5-2 惯性力系的简化
刚体做定轴转动
F* Ft* Fn*
z
其中 Ft* maC t ; Fn* maC n;
＝－ ＝－ F * m a C m (a C t a C n)
maCt mCr maCn mCr2
Fx
FNx
F
* x
0
Fy
FNy
F
* y
0
Fz
FNz
F
* z
0
§ 5-2 达朗贝尔原理
二、质点系达朗贝尔原理 上述质点的达朗贝尔原理可以直接推广到质点系。将
达朗贝尔原理应用于每个质点，得到n个矢量平衡方程。
F i FNi F i*0
这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质 点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一 平衡力系。
● 对固定轴
现将上式两端投影到任一固定轴Oz上，
Mz*
dLz dt
上式表明：质点系的惯性力对于任一固定点（或固定轴）的主矩，
等于质点系对于该点（或该轴）的动量矩对时间的导数，并冠以负号。
§ 5-2 惯性力系的简化
● 对质心点
惯性力系的主矩
利用相对于质心的动量矩定理，可以得到质点系的惯性力对质
心C的主矩表达式 ● 对质心轴
引入质点的惯性力F* =－ma 这 一概念，于是上式可改写成
AF
FF NF *0
上式表明，在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力、约束力和 质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。
§ 5-2 达朗贝尔原理 质点达朗贝尔原理
质点达朗贝尔原理
FF NF *0 质点达朗贝尔原理的投影形式
惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。
§ 5-2 惯性力系的简化
二、刚体常见运动情况下惯性力的主矢和主矩 1. 刚体作平动 刚体平移时，惯性力系向质心简化
● 主矢
F*2
m2 F*1
m1 a2
a1
F*＝ (－miai)
F* M aC F*n mn an
＝ (－miaC)＝－maC
● 主矩 M*＝0
这就是质点系的达朗贝尔原理。
§ 5-2 达朗贝尔原理 质点系达朗贝尔原理
F i FNi F i*0
对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方程， 即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在 一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中 空间任意力系的平衡条件，有
F iF N iF i* 0
考虑到上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于 对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有3n个 独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。
达朗伯原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学方 程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动态平衡方程。
1.惯性力系的主矢 由质心运动定理有 F = maC ,得
F*maC
即,质点系惯性力的主矢恒等于质点系总质量与质心加速度的乘积，而 取相反方向。
§ 5-2 惯性力系的简化
2.惯性力系的主矩
● 对任意固定点
由对任意固定点O的动量矩定理有
MO
d LO dt
，
得
MO*
d LO dt
代入 MOMO * 0
F
* n
a
t C
O
y
a
n C
C
x
F
* t
显然，当质心C在转轴上时，刚 体的惯性力主矢必为零。
§ 5-2 惯性力系的简化
刚体做定轴转动
● 主矢
z
＝－ ＝－ F * m a C m (a C t a C n)
MC*
dLC dt
以及它在通过质心C的某一平动轴 Cz上的投影表达式
Mz*
dLz dt
上式表明：质点系的惯性力对质心（或通过质心的平动轴）的主 矩，等于质点系对质心（或该轴）的动量矩对时间的导数，并冠以负 号。
§ 5-2 惯性力系的简化 惯性力系的主矩
注意
惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关。
达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束 力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。
第五章 达朗贝尔原理
工程实际问题
第五章 达朗贝尔原理
工程实际问题
爆破时烟囱怎样倒塌
第五章 达朗贝尔原理
工程实际问题
爆破时烟囱怎样倒塌
第五章 达朗贝尔原理
车底盘距路面的高度为什么不同？
第五章 达朗贝尔原理
刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。
§ 5-2 惯性力系的简化
刚体做定轴转动
2. 刚体做定轴转动
具有质量对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动。
设刚体绕固定轴Oz转动，在任意瞬
时的角速度为ω，角加速度为α。
z
● 主矢 F*＝ (－miai)＝－ maC
aC aCt aCn
设质心C的转动半径为rC，则
舰载飞机降落过程中的动力学问题
拦阻装置为什么装在飞机的后部？
§ 5-1 达朗贝尔原理
质点达朗贝尔原理 质点系达朗贝尔原理
§ 5-2 达朗贝尔原理
一、质点达朗伯原理
设质量为m的非自由质点M，在主动
力F和约束力FN作用下沿曲线运动，
FN
该质点的动力学基本方程为
B
maFFN
或
F* M
ma a
FF N(m a)0
M O ( F i ) M O ( F N i ) M O ( F i * ) 0
§ 5-2 达朗贝尔原理 质点系达朗贝尔原理
F iF N iF i* 0
M O ( F i ) M O ( F N i ) M O ( F i * ) 0
上式表明，在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点 的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点O的主矩也等于 零。