一元二次方程根与系数的关系及应用-强方法
一元二次方程一元二次方程的根与系数的关系ppt
$x_1\cdot x_2=c/a$
两个根的积等于常数项除以二次项系数所得的商。
03
一元二次方程的系数
系数与方程的解
确定方程的系数
在一元二次方程中，系数包括二次项、一次项和常数项。这 些系数来自以确定方程的解。解的公式
通过代入公式，可以将一元二次方程的解计算出来。公式为 ：x = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / (2a)。
ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数，且a≠0
一元二次方程性质
当a>0时，有两个不相等的实数根；当a=0且b≠0时，有一个 实数根；当a<0时，没有实数根。
02
一元二次方程的根
根的类型与判别式
1 2
实数根
当判别式$b^2-4ac\geq0$时，方程有两个不 相等的实数根。
虚数根
当判别式$b^2-4ac<0$时，方程有一对共轭虚 数根。
结合数学建模思想 ，解决现实问题
探索方程根的分布 与特征
学习建议
熟练掌握一元二次方程根与系数的关系 培养数学思维和计算能力
拓展数学知识面，提高综合素质
THANKS
3
重根
当判别式$b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的 实数根。
特殊方程的根
恒等方程
当$b=0$，$c=0$时，方程有一组特殊解$x_1=0$，$x_2=0$。
一次因式分解
当$b=0$时，方程可因式分解为$x(x-a)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=a$。
根与系数的关系
$x_1+x_2=-b/a$
一元二次方程一元二次方程的根与 系数的关系ppt
一元二次方程的根与系数关系及应用
代数：一元二次方程根与系数的关系一、一元二次方程的根与系数关系：二、一元二次方程的根与系数关系的应用应用1，验根，不解方程求一元二次方程两根和与两根积，检验两个数是不是一元二次方程的两个根. 应用2，已知方程的一个根，求另一根及方程中未知参数. 应用3，不解方程，利用定理求出关于x 1,x 2的对称式的值..,11,,,11,,213231212132312221等等如x x x x x x x x x x x x ++++++ 应用4，已知方程的两根，求作这个一元二次方程. 应用5，已知两数的和与积，求这两个数. 应用6，求作一个新的一元二次方程，使它的两根与已知方程的两根有某些特殊关系. 应用7，已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值.应用8，解决其他问题，如讨论根的范围，根的符号及判定三角形的形状等.三、相关练习1．不解方程，求下列各方程两根之和，两根之积.x x 1.025.0.12-= x x 21231.22+= 22322.32=+x x )(4)(.42222222b a b a a b xx b a ≠-=-- 2．已知方程5x 2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.已知方程7x 2+kx-5=0的一个根是3，求另一个根及k 的值.3．利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2+3x-1=0两个根的（1）平方和，（2）倒数和，（3）立方和，（4）x 1-x 2，（5）1221x x x x + 4．设x 1、x 2是方程3x 2-9x-7=0的两个根，不解方程，求下列各式的值.221122221221)2()1(x x x x x x x x ++ （3）（2x 1+5）（2x 2+5） （4）x 1-x 25．求作一个一元二次方程，使它的两个根是212,313- 6．已知两数和是8，积是-9，求这两个数.7．已知方程2x 2+4x-3=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的一个根为已知方程两根差的平方，另一根为已知方程两根和的倒数.试求且和分别满足方程、已知实数,1,030311.822≠=-+=-+ab b b a ab a (一)选择题 1．如果方程03622=+-x x 的两个实数根分别为21,x x ，那么21x x ⋅的值是（ ）（A ）3 （B ）–3 （C ）23-（D ）32-2．若21,x x 是方程0532=-+x x 的两个根，则()()1121++x x 的值为（ ） （A ）–7 （B ）1 （C ）291+- （D ）291--3．方程2x 2－ax ＋10=0的一个根为2，则a 的值为 ( ) (A) 25 （B ）29- （C ）49 （D ）9 4．已知方程 2x 2＋kx －2k ＋1=0 两实根的平方和为429 ，则k 的值是： (A) －11 (B) 3或－11 (C) 3 (D) 以上都不对5．若方程 x 2－kx ＋6=0 的两根分别比方程x 2＋kx ＋6=0 的两根大5，则k 的值是：(A) 5 (B) －5 (C) 852 (D) 856．方程x 2－ax －2a=0的两根之和为4a －3，则两根之积为 ( )(A) 1 （B ）－2 （C ）2 （D ）－1(二)填空题1．已知方程01932=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根是_____，m 的值为______。
第二章一元二次方程根与系数的关系及应用
一元二次方程根与系数的关系及应用教学目标掌握根与系数关系，灵活应用根与系数关系解题重难点分析重点：1、根与系数关系的公式； 2、根的关系变形； 3、列一元二次方程。
难点：1、根与系数关系的变形及运算； 2、应用题中一元二次方程的列法。
知识点梳理1、一元二次方程根与系数关系若一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个实数根2142b b ac x a -+-=，2242b b ac x a ---=，则有2212442222b b ac b b ac b bx x a a a a-+-----+=+==-； 2222122244(4)42244b b ac b b ac b b ac ac cx x a a a a a-+------=⋅===。
即根与系数的关系为a b x x -=+21，acx x =⋅21以上关系称为韦达定理。
2、特殊根问题3、列一元二次方程解应用题的一般步骤可归结为“审、设、列、解、验、答”，具体如下： （1）审题：仔细阅读题目、分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间（2）设未知数：一种方法是直接设所要求的量为x ；另一种方法是设与所求量有关系，且具有关键性作用的未知量为，而所求量能用的代数式表示；（3）列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程； （4）解方程。
（5）检验：检验未知数的值是否满足所列出的方程，还必须检验它是否能使实际问题有意义。
若不符合实际意义则应舍去；（6）写出答案：书写答案，要注意不要遗漏单位和名称。
知识点1：探索根与系数关系【例1】解下列方程，并填写表格：方 程+知识点2：根与系数关系的应用（1）已知一元二次方程，求两根关系【例1】若1x ，2x 分别是一元二次方程0822=--x x 的两根。
（1）求21x x +的值； （2）求21x x ⋅的值； （3）求2111x x +的值 （4）求的值【随堂练习】1、已知方程0132=--x x 的两根为1x ，2x ，求)3)(3(21--x x 的值。
一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练
一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。
一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。
学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程在的三种情况，以及应用求根公式求出方程而分解因式，即根的判别式的两个根存，进。
下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于的方程（1）关于的方程（2）有两个不相等的实数根，且没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴解得；∵方程（2）没有实数根，∴解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有当当解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。
时，方程（1）为，有整数根。
时，方程（1）为，无整数根；或说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为两根的符号。
，这也正是解答本已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定确定解：∵，∴△＝—4某2某(—7)＝65＞0或或的正负情况。
因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要的正负情况。
∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为，∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中虑三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用
２０２３年９月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用◉云南省曲靖市马龙区第三中学㊀刘㊀陈㊀㊀摘要:结合五则典例,探讨一元二次方程根的判别式及根与系数的关系在判断三角形的形状㊁求代数式的值㊁构造倍根方程㊁求代数式的最值㊁求参数的值等方面的运用,帮助学生积累数学活动经验,发展学生核心素养．关键词:一元二次方程;判别式;数学活动经验;核心素养㊀㊀一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,可用来判断三角形的形状,求代数式的值,构造倍根方程,求代数式的最值,求参数的值等,这些应用一方面体现了根的判别式及根与系数关系的价值,另一方面也使学生体会到了不同数学知识之间的联系,有利于加深学生对这一部分数学知识的理解与掌握．１判断三角形的形状当一元二次方程的系数或它的两个根是三角形的边长时,一元二次方程和三角形之间就有了联系,利用一元二次方程根的情况可以判断三角形的形状[１]．例１㊀已知әA B C的三边长分别为a,b,c,方程(a＋c)x２＋２b x＋(a－c)＝０是关于x的一元二次方程．(１)当x＝－１时,你能确定әA B C的形状吗?为什么?(２)当方程有两个相等的实根时,你能确定әA B C的形状吗为什么?解析:(１)由题意,把x＝－１代入方程,得a＋c－２b＋a－c＝０,整理得a＝b．因为a,b,c分别为әA B C 三边的长,所以әA B C为等腰三角形．(２)由题意,Δ＝(２b)２－４(a＋c)(a－c)＝０,整得得b２＋c２＝a２．因为a,b,c分别为әA B C三边的长,所以由勾股定理的逆定理,得әA B C为直角三角形．评注:当三角形的三边为一元二次方程的系数时,三角形的形状与一元二次方程根的情况也有了联系,本题设置的两个问题对此做了很好的诠释．２求代数式的值当m,n是一元二次方程a x２＋b x＋c＝０的两个根时,根据韦达定理,得m＋n＝－ba,m n＝c a．根据方程根的定义,得a m２＋b m＋c＝０,a n２＋b n＋c＝０;反之,aʂ０时,当m,n满足等式a m２＋b m＋c＝０,a n２＋b n＋c＝０时,则m,n是一元二次方程a x２＋b x＋c＝０的两个根．例２㊀问题情境:小明在学习中遇到了这样一道题 已知字母a,b满足a２－２a－１＝０,b２－２b－１＝０,且aʂb,试求１a＋１b的值．小明的解答为:因为字母a,b满足的两个方程形式一致,所以a,b可以看作方程x２－２x－１＝０的两根,根据根与系数的关系,得a＋b＝２,a b＝－１,所以１a＋１b＝a＋b a b＝２－１＝－２．根据小明的解答过程,请解决下列问题:(１)已知不互为倒数的两个字母a,b分别满足２a２＋１１a＋１２＝０,１２b２＋１１b＋２＝０,求b a的值．(２)已知x１,x２是方程(m－１)x２＋２m x＋２＝０的两个根,且满足x２x１＋x１x２＋x１＋x２＝２．若a,b,c是әA B C的三边长,且c＝２３,m２＋a２m－８a＝０．m２＋b２m－８b＝０．试求m的值以及әA B C的面积．解析:(１)将１２b２＋１１b＋２＝０两边都除以b２,得２(１b)２＋１１ˑ１b＋１２＝０．又因为２a２＋１１a＋１２＝０,所以a与１b为方程２x２＋１１x＋１２＝０的两根,根据根与系数,得a１b＝６．故ba＝１６．(２)因为x１,x２是方程(m－１)x２＋２m x＋２＝０的两个根,所以x１＋x２＝－２m m－１,x１x２＝２m－１,１６Copyright©博看网. All Rights Reserved.学习指导２０２３年９月下半月㊀㊀㊀m ʂ１．由x ２x １＋x １x ２＋x １＋x ２＝２,整理得m ２－３m ＋２＝０,解得m １＝２,m ２＝１(舍去)．因此可得a ２－４a ＋２＝０,b ２－４b ＋２＝０,则a ,b 为方程x ２－４x ＋２＝０的两根,于是a ＋b ＝４,a b ＝２,所以a ２＋b ２＝(a ＋b )２－２a b ＝１２＝c ２,根据勾股定理的逆定理,得әA B C 为直角三角形,故S әA B C ＝１２a b ＝１．所以m 的值为２,әA B C 的面积为１．评注:本题第(２)小题以m 作为联系的纽带,根据第一个方程中根与系数的关系求出m 的值,然后代入关于a ,b 的方程中消去m ,从而显现出a ,b 的本质,再与勾股定理的逆定理结合,使问题转化为几何问题[２]．３求代数式的最值利用一元二次方程根与系数的关系可以求与两根有关的代数式的值,也可以求代数式的最值．当一元二次方程有实数根时,根的判别式大于或等于０,可以据此求得字母的取值范围,当所求代数式化为含有该字母的代数式时,就可以求得它的最值．例３㊀一元二次方程根与系数的关系反映了一元二次方程两根之和㊁两根之积与系数之间的数量关系,相应的命题被称为韦达定理,根据韦达定理解决下面问题:(１)已知m ,n 是一元二次方程２x ２－３x ＋１＝０的两个根,试计算m ＋n 与m n 的值;(２)如果实数m ,n (m ʂn )分别满足方程m ２－m －１＝０,n ２－n －１＝０,求代数式１m ＋１n的值;(３)设方程２x ２＋４x ＋m ＝０的两个根分别是x １,x ２,你能求出x ２１＋x ２２的最小值吗?解析:(１)由韦达定理,得m ＋n ＝３２,m n ＝１２．(２)因为实数m ,n 满足m ２－m －１＝０,n ２－n －１＝０且m ʂn ,所以m ,n 可看作方程x ２－x －１＝０的两根．根据韦达定理,得m ＋n ＝１,m n ＝－１．故１m ＋１n ＝m ＋nm n ＝－１．(３)因为x １,x ２是方程２x ２＋４x ＋m ＝０的两个根,所以Δ＝４２－４ˑ２ˑm ȡ０,即m ɤ２．根据题意,可得x １＋x ２＝－２,x １x ２＝m ２,则x ２１＋x ２２＝(x １＋x ２)２－２x １x ２＝４－m ．由m ɤ２,得４－m ȡ２,所以x ２１＋x ２２的最小值为２．评注:当a ȡb (b 为常数)时,a 有最小值,且最小值为b ;当a ɤb (b 为常数)时,a 有最大值,且最大值为b ．４探讨代数式的值能否为定值对于与一元二次方程的根有关的代数式的值能否为定值这类问题,应先假设这个代数式的值能为定值,从而建立方程求得字母的值,然后检验这个值能否满足原方程有实根,使原方程有实根的值就是符合题意的值．例４㊀已知关于x 的方程k x ２＋(１－k )x －１＝０．(１)若该方程有两个不等实根,求k 的取值范围．(２)设x １,x ２是方程k x ２＋(１－k )x －１＝０的两个根,记S ＝x ２x １＋x １x ２＋x １＋x ２,试问S 的值能为４吗?若能,求出此时k 的值,并说明理由．解:(１)根据一元二次方程的定义和判别式的意义,得k ʂ０且Δ＝(１－k )２－４k ˑ(－１)＞０,整理,得(１＋k )２＞０,解得k ʂ０且k ʂ－１．(２)根据题意,得x １＋x ２＝－１－k k ,x １x ２＝－１k．假设S ＝x ２１＋x ２２x １x ２＋x １＋x ２＝(x １＋x ２)２－２x １x ２x １x ２＋x １＋x ２＝４,可得(x １＋x ２)２－６x １x ２＋x １x ２(x １＋x ２)＝０,即(１－k )２k２－６(－１k )＋(－１k ) (－１－kk )＝０,整理得k ２＋３k ＋２＝０,解得k １＝－１,k ２＝－２．因为k ʂ０且k ʂ－１,所以当k ＝－２时,S 的值能为４．评注:一元二次方程根与系数的关系是在方程有实根的情况下进行讨论的,所以利用根与系数关系得到的字母的值,一定要看这个值是否在方程有实根时求得的字母取值范围之内．只有在这个取值范围之内的值才是符合题意的值．积累数学活动经验是数学教学的目标之一．以上四种类型有关根的判别式及根与系数关系的应用,有利于学生明白二者之间的依存关系,以及如何利用这两个工具解答相关问题,也有利于学生积累解题经验,促进学生核心素养的发展．参考文献:[１]黄细把．一元二次方程 联姻 三角形[J ]．今日中学生,２０１５(Z ６):２５Ｇ２６．[２]朱亚邦．勾股定理(逆定理)应用的几种场景[J ]．中学生数理化(八年级数学)(配合人教社教材),２０１７(３):１６Ｇ１７．Z ２６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
一元二次方程的根与系数的关系
当今教科书指出：一元二次方程的根与系数的关系属选学内容，只供学习有余力的学生学习。
但是一元二次方程的根与系数的关系这个知识点的应用却是相当的广泛，习题的内容之多，题目的形式灵活多样，在中考及平时的考试中所占分值却很重，而大部分同学对这个内容却学得不好。
在此简单讲解一下一元二次方程的根与系数的关系的相关知识及相关应用，望对同学们有所帮助。
一元二次方程的根与系数的关系（以前的教科书叫韦达定理）：如果方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x1、x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
也就是说，两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数与二次项系数的比。
一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式演变过来的，下面是证明的过程：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当判别式△=b2-4ac≥0时，方程有两个实数根，，，故有x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
该知识点的使用方法：先把一元二次方程化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），然后确定二次项系数、一次项系数及常数项（特别是要注意这些系数的符号），最后再根据根与系数的关系，求出相关值。
一、根与系数的关系的直接应用例1：不解方程，求出2x2+4x=1的两根的和与两根的积。
解：将原方程化为一般形式得：2x2+4x-1=0确定a，b，c的值为a=2，b=4，c=-1于是x1+x2=- c/a=-2，x1x2=c/a=-1/2。
二、根与系数的关系的几种变形例2： x1、x2是方程2x2-3x-5=0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）x12+x22 （2）| x1-x2| （3）x12+3x22-3x2解：由根与系数关系可知 x1+x2=3/2， x1x2 =-5/2（1） x12+x22=（x1+x2）2 -2x1x2=（2） | x1-x2|=√（x1+x2）2-4x1x2=√19/2（3）由2x2-3x-5=0可得：2x2-3x=5故：原式= （x12+x22）+（2x22-3x2）= +5 = 12三、由根与系数的关系求字母的值例3：已知关于x的方程x2+2（m+2）x+m2-5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值。
一元二次方程的根与系数之间的关系
一元二次方程的根与系数之间的关系一元二次方程是数学中经常遇到的一类方程，它由一个未知数的二次多项式等于一个常数构成，通常的一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，而x为未知数。
解一元二次方程的根是求出使得方程成立的未知数的值。
在研究一元二次方程的根之前，我们先来了解一下一元二次方程的系数。
系数是指方程中各个项的系数，即a、b和c。
在一元二次方程中，系数与根之间存在着一些规律和关系。
首先，我们来探讨一元二次方程的两个根与系数之间的关系。
根据求根公式，一元二次方程的根可以通过以下公式求得：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
从该公式中可以看出，根的值与方程的系数a、b和c有关。
具体来说，b^2 - 4ac称为判别式，它决定了方程有多少个根以及根的性质。
1. 当判别式大于0时（b^2 - 4ac > 0），方程有两个不相等的实根。
这意味着方程在坐标系中图像与x轴交于两个点。
此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为实数，且有两个解分别为x1和x2。
可以推导出，这两个解与系数的关系为：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a2. 当判别式等于0时（b^2 - 4ac = 0），方程有两个相等的实根。
这意味着方程在坐标系中图像与x轴有且只有一个交点。
此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为0，解的公式变为：x = -b/(2a)。
可以看出，根与系数的关系为：x1 = x2 = -b/(2a)3. 当判别式小于0时（b^2 - 4ac < 0），方程没有实根，而是有两个共轭复根。
也就是说，方程在坐标系中与x轴没有交点。
此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为纯虚数，解的公式可以写成：x = (-b ± i√(|b^2 - 4ac|)) / (2a)，其中i为虚数单位。
因此，系数与根的关系可以表示为： x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = -c/a由上述关系可知，一元二次方程的根与系数之间确实存在一些规律。
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
b 2 2 Δ一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【学习目标】1．掌握一元二次方程根的判别式的应用．2．掌握一元二次方程的根与系数的关系．【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：－4ac 叫做一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式．通常用符号“”来表示．2．对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当Δ ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ ＝0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ ＜0 时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于 x 的一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-1 2 ba，x x =1 2 ca4. 如果关于 x 的一元二次方程 x 2＋px ＋q ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-p ，x x =q12 1 2【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ ＝b 2－4ac ，而不是指Δ ＝ b 2 4ac ．3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时 b 2－4ac ≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数 a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b 2－4ac ≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
一元二次方程(根与系数、应用)
一元二次方程一元二次方程根与系数的关系★一元二次方程的根与系数的关系：结论1：如果02=++c bx ax （a ≠0）的两个根是1x ，2x ，那么： ； 结论2：如果方程02=++q px x 的两个根是1x ，2x ，那么： ．例1：已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ） A ．－31 B ．31 C ．3 D ．－3 例2：两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）A ．0322=-+x xB ．0322=+-x xC ．0322=--x xD ．0322=++x x例3：若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ）A ．5或－2B ．5C ．－2D ．－5或2例4：若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（ ）A ．－21B ．－6C ．21D ．－25【课堂练习】1．关于的一元二次方程的两实数根分别是，且，则的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．252．若方程220x px ++=的一个根2，则它的另一个根为___ _ ，p =__ __ ．3．若0、-3是方程20x px q ++=两根，则q p += __ ．4．设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为___________．5．在解方程02=++q px x 时，甲同学看错了p ，解得方程根为1=x 与3-=x ；乙同学看错了q ，解得方程的根为4=x 与2-=x ，你认为方程中的p = ，q = ．x 2210x mx m -+-=12x x 、22127x x +=212()x x -6．若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .7．已知2240xx c -+=的一个根，求方程的另一个根及c 的值．8．已知关于x 的方程032=+-m x x 的一个根是另一个根的2倍，求m 的值.9．如果0422=--mx x 的两个根分别是1x 、2x ，且1211x x +=2，那么实数m 的值是多少？10．已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.11．关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.12．关于x 的一元二次方程0)32(22=+-+k x k x 有两个不相等的实数根α、β．（1）求k 的取值范围；（2）若6=++αββα，求53)(2-+-αββα的值．13．已知关于x 的一元二次方程01)1(222=-+-+k x k x 有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由；（3）若此方程的两个实数根的平方和为30，求实数k ．应用一元二次方程★平均增长率问题例1：某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价的百分率为x ，则下列方程中，正确的是（ ）A ．55=35B ．35=55C ．55=35D ．35=55例2：某厂改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品250元，降低到了每件160元，平均每月降低率为（ ）A ．15%B .20%C .5%D .25%【课堂练习】1．某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值175亿元，问二、三月份平均每月增长率是多少？设平均每月增长率为百分之x ，则( )A ．175)1(502=+xB ．175)1(50502=++xC ．175)1(50)1(502=+++x xD ．175)1(50)1(50502=++++x x()21x +()21x +()21x -()21x -2．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，则列出的方程为____________．3．上海市某电脑公司2007年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%．该公司预计2009年经营总收入要达到2160万元，且计划从2007年到2009年，每年经营总收入的年增长率相同．问2008年经营总收入为多少万元？4．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007 年，每年盈利的年增长率相同．（1）该公司2006年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？★利润问题例：某商场销售一批衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元．为扩大销售量，增加盈利，减少库存，商场决定采用适当降价的措施．经调查发现，如果每件衬衫的售价每降低1元，那么商场平均每天可多售出2件，商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？【课堂练习】1．某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？2．某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出.每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益=租金－各种费用）为275万元？3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？★面积问题例：如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．【课堂练习】1．如图，张大叔从市场上购买一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米．已知购买这种铁皮每平方米需20元，则张大叔购买这块矩形铁皮共花了多少元？2．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用25米），围成一个矩形花园ABCD，与围墙平行的一边BC上要预留3米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），用砌46米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为299平方米．。
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系一元二次方程是高中数学中的重要内容之一。
在学习一元二次方程时，我们需要了解它的根与系数之间的关系。
本文将详细介绍一元二次方程的定义、根的求解方法以及根与系数之间的关系。
一、一元二次方程的定义一元二次方程是指形式为ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且a≠0。
其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
二、根的求解方法我们先来了解一元二次方程的根的求解方法。
根据求根公式，一元二次方程的根可以通过以下公式得到：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a根据这个公式，我们可以得知：1. 当b² - 4ac > 0时，方程有两个不同的实数根；2. 当b² - 4ac = 0时，方程有两个相同的实数根；3. 当b² - 4ac < 0时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
三、根与系数之间的关系接下来我们来探讨一元二次方程的根与系数之间的关系。
假设方程ax² + bx + c = 0有两个实数根x₁和x₂。
根据求根公式，我们可以将两个实数根表示为：x₁ = [-b + √(b² - 4ac)] / 2ax₂ = [-b - √(b² - 4ac)] / 2a我们可以进一步观察上述根的求解公式，发现以下规律：1. 根与一次项系数b的关系：一元二次方程的两个实数根分别是-b加上或减去√(b² - 4ac)再除以2a。
所以根与一次项系数b有关，如果b增大（b>0），根的数值也会相应地变大；如果b减小（b<0），根的数值也会相应地变小。
2. 根与二次项系数a的关系：a是二次项系数，它决定了方程开口的方向。
当a>0时，抛物线开口朝上，方程的根都是负数。
当a<0时，抛物线开口朝下，方程的根都是正数。
所以根与二次项系数a的正负有关。
一元二次方程根与系数关系的应用
一元二次方程根与系数关系的应用一元二次方程根与系数的关系，又名韦达定理，是中学数学方程中根与系数的重要关系，它在训练学生数学思维、培养学生模型思想、创新意识、运用知识解决问题能力等方面有着十分重要的意义。
因此，多年来，运用一元二次方程根与系数关系解答的试题一直是中考和初中数学竞赛的重要内容，其题型多样，灵活性大，思路广阔，针对性强，是考查学生能力的重要题型。
一、定理的内容设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根，由求根公式得：x1+x2=-，x1x2=。
这就是一元二次方程的根与系数的关系，也称为韦达定理。
二、韦达定理几种常见变形1.x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2。
2.（x1-x1）2=（x1+x2）2-４x1x2。
3.（x1+a）（x2+a）=x1x2+a（x1+x2）+a2。
4.|x1-x2|=（x1+x2)2+4x1x2。
5. ＋=。
6.＋＝=－2。
三、运用韦达定理构建一元二次方程若x1、x2是一元二次方程的两个实数根，且x1+x2=a，x1x2=b。
那么以x1、x2为根的一元二次方程为x2-ax+b=0。
下面谈谈定理的应用：1.关于两根的对称式求值。
关于两根的对称式求值，常常将代数式化为含有两根和与两根积的式子，再代入求值。
例1.若x1、x2是一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：①＋；②＋；③（x1-2）（x2-2）;④x12+x22;⑤（x1-x2）2；⑥|x1-x2|。
例中6个小题是上面几种常见变形的直接运用，熟悉这几种变形，不难求出相应的结果。
2.关于两根的非对称式的求值。
对于含有两根的非对称式子，常常根据根的定义降次，化高次为低次，化不对称为对称；或根据定理构造对称式，化分为整，化繁为简，从而求解问题。
（1）运用根的定义降次，化为对称式。
例2.设x1、x2是一元二次方程x2-x-2013=0的两个实数根，求x13+2014x2-2013的值。
一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用
一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用
一元二次方程的一般形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中
$a,\,b,\,c$ 是实数，且 $a \neq 0$。
根的判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
根的情况如下：
1. 当 $\Delta > 0$ 时，方程有两个不相等的实根，根的关系为$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b -
\sqrt{\Delta}}{2a}$。
2. 当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实根，根的关系为$x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}$。
3. 当 $\Delta < 0$ 时，方程没有实根，而有两个共轭复根，根的关系为 $x_1 = \frac{-b + \sqrt{-\Delta}i}{2a}$，$x_2 = \frac{-b - \sqrt{-\Delta}i}{2a}$，其中 $i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
应用根与系数的关系需要注意以下几点：
1. 根与系数之间的关系是通过根的求解公式得到的。
2. 求解根时，必须保证方程是一元二次方程且系数满足条件，即 $a \neq 0$。
3. 具体的应用问题需要根据具体情况来确定如何使用根与系数的关系，例如可以通过根的值判断方程的解的情况，或者通过
根的关系来确定系数的取值范围等。
4. 根与系数的关系可以用于解决实际问题中的方程求解、几何问题等。
例如，可以用根的关系来求解二次函数的最值、方程组中的未知数等。
一元二次方程根与系数的关系—知识讲解(基础)
一元二次方程根与系数的关系—知识讲解（基础）【学习目标】1. 理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系；2. 能应用一元二次方程的根与系数的关系解决以下问题：已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.【要点梳理】要点一、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++；⑦12||x x -==；⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==；⑨12x x -==⑩12||||x x +===(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数； 当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数． ②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程的根与系数的关系的应用（1）1．（2015秋•定陶县期末）已知方程x 2+5x ﹣3=0，不解方程，求作一个一元二次方程使它的根分别是已知方程各根的2倍．【思路点拨】设方程x 2+5x ﹣3=0的两根分别为a 、b ，根据根与系数的关系得到a+b=﹣5，ab=﹣3，再计算2a+2b 和2a •2b 的值，然后根据根与系数的关系写出新方程． 【答案与解析】解：设方程x 2+5x ﹣3=0的两根分别为a 、b ，则a+b=﹣5，ab=﹣3，∵2a+2b=2（a+b ）=2×（﹣5）=﹣10， 2a•2b=4ab=﹣12，∴所求的新方程为x 2+10x ﹣12=0．【总结升华】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=﹣，x1x2=．举一反三：【变式】已知方程2x2-3x-3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是a+1，b+1．2.（2016•江西校级模拟）已知关于x的方程mx2+2x﹣1=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若方程有两个实数根x1，x2，求+的值．【思路点拨】（1）由关于x的方程mx2+2x﹣1=0有实数根，分两种情况：①m=0时，为一元一次方程，必有实数根；②m≠0时，为一元二次方程，由判别式△≥0，可得22﹣4×m×（﹣1）≥0，解此不等式即可求得答案；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣，x1x2=﹣，再代入+，计算即可求解．【答案与解析】解：（1）分两种情况：①m=0时，原方程即为2x﹣1=0，为一元一次方程，必有实数根；②m≠0时，原方程为一元二次方程．△=22﹣4×m×（﹣1）=4+4m≥0，解得：m≥﹣1，即m≥﹣1且m≠0．综上可知m≥﹣1；（2）∵x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴+===2．【总结升华】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用（2）3．已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一个根及k 的值．【思路点拨】根据方程解的意义，将x ＝2代入原方程，可求k 的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根． 【答案与解析】方法一：设方程另外一个根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得125k x +=-，1625x =-，从而解得：135x =-，k ＝-7． 方法二：将x ＝2代入方程，得5×22+2k-6＝0，从而k ＝-7．设另外一根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得1725x +=，从而135x =-， 故方程的另一根为35-，k 的值为-7．【总结升华】根据一元二次方程根与系数的关系12bx x a+=-，12cx x a=易得另一根及k 的值． 举一反三：【变式】（2015秋•泉州校级期中）若关于x 的一元二次方程x 2+9k+3x+k=0的一个根是﹣2，求方程另一个根和k 的值．【答案】解：由根与系数的关系得，解得：x 2=1，k=﹣2故方程的另一个根是x 2=1，k=﹣2．4．求作一个一元二次方程，使它的两根分别是133-，122．【答案与解析】解法一：因为1211532326x x +=-+=-，121125 32323x x⎛⎫=-⨯=-⎪⎝⎭，所以所求方程为25250 63x x+-=，即265500x x+-=．解法二：所求方程为1132032x x⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即265500x x+-=．【总结升华】根据一元二次方程的根与系数的关系可知，只需求出x1+x2和x l-x2的值即可．。
一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，具有形如ax^2+bx+c=0的表达式。
在解一元二次方程时，我们通常需要找到方程的根，也就是满足方程的x值。
本文将讨论一元二次方程的根与方程的系数之间的关系。
一元二次方程的一般形式为：ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数，且a≠0。
方程的根可以通过求解“求根公式”得到，即：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)在上述公式中，b^2-4ac被称为“判别式”。
判别式的值可以用来判断一元二次方程的根的性质。
1. 判别式大于零当判别式大于零时，即b^2-4ac>0，方程的根是两个不相等的实数根。
这意味着方程表示的曲线与x轴有两个交点。
2. 判别式等于零当判别式等于零时，即b^2-4ac=0，方程的根是两个相等的实数根。
这意味着方程表示的曲线与x轴有一个交点，该交点称为方程的“重根”。
3. 判别式小于零当判别式小于零时，即b^2-4ac<0，方程的根是两个共轭的复数根。
这意味着方程表示的曲线与x轴没有交点。
从以上的讨论可以看出，一元二次方程的判别式对方程的根有着重要的作用。
但是判别式与方程的系数之间也有着一定的关系。
考虑判别式的表达式b^2-4ac，我们可以从中看出与方程的系数之间的关系。
1. a为正数当a为正数时，判别式的值受到b和c的影响。
当b和c同时大于零或同时小于零时，判别式为正；当bc同时异号时，判别式为负。
2. a为负数当a为负数时，判别式的值受到b和c的影响。
当b和c同时大于零或同时小于零时，判别式为负；当bc同时异号时，判别式为正。
综上所述，一元二次方程的根与方程的系数之间存在着一定的关系。
判别式的正负决定了方程的根的性质，而方程的系数则决定了判别式的正负。
我们可以通过观察方程的系数来大致判断方程的根的情况。
但是要求根的具体值还需要通过求解一元二次方程来获得。
总结起来，一元二次方程的根与系数的关系主要体现在判别式上。
一元二次方程的根与系数的关系：PPT课件
根与系数的基本关系
01
一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根 x1 和 x2 满足以 下关系
02
x1 + x2 = -b/a
03
x1 * x2 = c/a
04
这两个公式揭示了根与系数之间的基本关系，是求解一元二次方程的 关键。
根与系数的和与积的关系
01
根的和等于系数之比的 相反数：x1 + x2 = b/a
在不等式求解中的应用
利用一元二次方程的根与系数关系，可以将不等式转化为关于根的不等式，进而求 解。
当一元二次不等式的一个根已知时，可以利用根与系数的关系求出另一个根的范围， 从而确定不等式的解集。
对于一些特殊形式的一元二次不等式，可以直接利用根与系数的关系进行求解。
在函数图像中的应用
一元二次方程的根对应着函数图像的 顶点或交点，利用根与系数的关系可 以求出顶点的坐标或交点的坐标。
一元二次方程的根与系数的关系 ppt课件
contents
目录
• 引言 • 一元二次方程的根与系数的关系 • 一元二次方程的根的判别式 • 一元二次方程的根与系数关系的应用 • 典型例题解析 • 课程总结与回顾
01 引言
一元二次方程的定义
只含有一个未知数 （元）
是整式方程，即等号 两边都是整式
未知数的最高次数是 2（二次）
利用一元二次方程的根与系数关系， 可以求出函数图像的对称点、对称中 心等对称性质。
通过分析一元二次方程的根的性质， 可以判断函数图像的开口方向、对称 轴等性质。
05 典型例题解析
例题一：一元二次方程根与系数的关系
解析
根据一元二次方程的求根公式，我们有 x1 = [-b + sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a) 和 x2 = [-b - sqrt(b^2 4ac)] / (2a)。将这两个表达式相加和相乘，即可得到 x1 + x2 = -b/a 和 x1 * x2 = c/a。
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一元二次方程根与系数的关系及应用
【定理内容】
一、韦达定理
1.()002≠=++a c bx ax 的求根公式： 当042
≥-ac b 时，a ac b b x 242-±-= 2.定理的内容：若1x ，2x 为()002≠=++a c bx ax 的两根：
则 =+21x x a
b - ，=⋅21x x a
c [注：这就是一元二次方程根与系数的关系，常称为韦达定理]
二、韦达定理的应用
（一）已知一根，求另一根。
1.已知方程2
3520x x +-=的一个根是2-，求另一个根。
512,33
21(2,)33
a
a a a a -+=-=-=-=解：设另一根为由韦达定理得 设出另一根，由韦达定理直接解得。
亦可用于验根，确定根的符号。
（二）求关于两根的代数式的值。
（常见题型）
1. 设1x ，2x 方程0522=--x x 的两个根，求下列代数式的值。
（先写1x +2x =?，1x 2x =?）
（1）2221x x + （2）
2111x x + （3）222111x x + （4）122221x x x x ⋅+⋅ （5）()221x x - （6）21x x -
1212222121212
12121222212121222222
12121215,22
(1)()211(2)()211(3)()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +==-+=+-++=++-+==解：由韦达定理
22122112122222121212121212(4)()
(5)()2()4(6)||x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⋅+⋅=+-=+-=+--==
借助完全平方公式变形之后，代入即可。
2.已知：α、β是方程012
=--x x 的两实根，求：βα34+． 224210=+1+=1
=13(+1)3(1)5
x x αβαααββα
αβαα--=∴∴-∴+=+-=解：、是方程的两个根
，
（三）确定方程中待定字母的值
1.已知关于x 的方程02)1(2=+++-k x k x 的两个实数根的平方和等于6，求k 的值。
12122212212121,2
6()26
x x k x x x x x x x x +=+=+=+-=解：由韦达定理由题意
借助完全平方公式变形之后，代入即可求得k 值。
（四）讨论根的特点
1.k 取何值时，方程013)13(2322=-++-k x k x
（1）有一根为0 ； （2）有两个互为相反数的实数根； （3）两根互为倒数。
212121212122(31)31,33
(1)0(2)0
(3)1
k k x x x x x x x x x x +-+===+==解：由韦达定理
代入即可求得k 值。
（五）求作一元二次方程
1.求作一元二次方程，使它的两根分别为1和2；
21+23122
123+20
x x =⨯=∴-=解：根据根与系数的关系可得：
,以和为根的的方程可以是
（六）在二次函数中判断系数的符号 已知二次函数y ＝ax 2+2x +c 的图象与x 轴交于不同的两点，且都在原点右侧，则点（a ，c ）在第____象限．
1212200x x a c x x a +=-
<⋅=>
00
a c << 【跟踪练习】
1.若方程2x +(2
a －2)x －3=0的两根是1和－3，则实数a = __________
2.设21,x x 是方程22x －6x ＋3＝0的两根，则2221x x +的值是（ ） A 15 B 12 C 6 D 3
3．（2017）关于x 的方程x 2＋5x ＋m ＝0的一个根为－2，则另一个根是( )
A ．－6
B ．－3
C ．3
D ．6
4.不解方程，求一元二次方程2x 2＋3x －1＝0两根的（1）平方和；（2）倒数和。
5.设21,x x 是方程03422=-+x x 的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。
(1) ()()1121++x x (2) ()221x x - (3) 2112x x x x +
6.求一个一元二次方程，使它的两根分别是2
5,310-。
7.已知21,x x 是关于 x 的方程 x 2+ px + q = 0的两根，11+x 、12+x 是关于 x 的方程x 2+ qx + p = 0 的 两根，求常数 p 、q 的值。
，。