一元二次方程根与系数的关系及应用-强方法

一元二次方程根与系数的关系及应用

【定理内容】

一、韦达定理

1.()002≠=++a c bx ax 的求根公式： 当042

≥-ac b 时，a ac b b x 242-±-= 2.定理的内容：若1x ，2x 为()002≠=++a c bx ax 的两根：

则 =+21x x a

b - ，=⋅21x x a

c [注：这就是一元二次方程根与系数的关系，常称为韦达定理]

二、韦达定理的应用

（一）已知一根，求另一根。

1.已知方程2

3520x x +-=的一个根是2-，求另一个根。 512,33

21(2,)33

a

a a a a -+=-=-=-=解：设另一根为由韦达定理得 设出另一根，由韦达定理直接解得。亦可用于验根，确定根的符号。

（二）求关于两根的代数式的值。（常见题型）

1. 设1x ，2x 方程0522=--x x 的两个根，求下列代数式的值。（先写1x +2x =?，1x 2x =?）

（1）2221x x + （2）

2111x x + （3）222111x x + （4）122221x x x x ⋅+⋅ （5）()221x x - （6）21x x -

1212222121212

12121222212121222222

12121215,22

(1)()211(2)()211(3)()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +==-+=+-++=++-+==解：由韦达定理

22122112122222121212121212(4)()

(5)()2()4(6)||x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⋅+⋅=+-=+-=+--==

借助完全平方公式变形之后，代入即可。

2.已知：α、β是方程012

=--x x 的两实根，求：βα34+． 224210=+1+=1

=13(+1)3(1)5

x x αβαααββα

αβαα--=∴∴-∴+=+-=解：、是方程的两个根

，

（三）确定方程中待定字母的值

1.已知关于x 的方程02)1(2=+++-k x k x 的两个实数根的平方和等于6，求k 的值。 12122212212121,2

6()26

x x k x x x x x x x x +=+=+=+-=解：由韦达定理由题意

借助完全平方公式变形之后，代入即可求得k 值。

（四）讨论根的特点

1.k 取何值时，方程013)13(2322=-++-k x k x

（1）有一根为0 ； （2）有两个互为相反数的实数根； （3）两根互为倒数。

212121212122(31)31,33

(1)0(2)0

(3)1

k k x x x x x x x x x x +-+===+==解：由韦达定理

代入即可求得k 值。

（五）求作一元二次方程

1.求作一元二次方程，使它的两根分别为1和2；

21+23122

123+20

x x =⨯=∴-=解：根据根与系数的关系可得：

,以和为根的的方程可以是

（六）在二次函数中判断系数的符号 已知二次函数y ＝ax 2+2x +c 的图象与x 轴交于不同的两点，且都在原点右侧，则点（a ，c ）在第____象限．

1212200x x a c x x a +=-

<⋅=>

00

a c << 【跟踪练习】

1.若方程2x +(2

a －2)x －3=0的两根是1和－3，则实数a = __________

2.设21,x x 是方程22x －6x ＋3＝0的两根，则2221x x +的值是（ ） A 15 B 12 C 6 D 3

3．（2017）关于x 的方程x 2＋5x ＋m ＝0的一个根为－2，则另一个根是( )

A ．－6

B ．－3

C ．3

D ．6

4.不解方程，求一元二次方程2x 2＋3x －1＝0两根的（1）平方和；（2）倒数和。

5.设21,x x 是方程03422=-+x x 的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。

(1) ()()1121++x x (2) ()221x x - (3) 2112x x x x +

6.求一个一元二次方程，使它的两根分别是2

5,310-。

7.已知21,x x 是关于 x 的方程 x 2+ px + q = 0的两根，11+x 、12+x 是关于 x 的方程x 2+ qx + p = 0 的 两根，求常数 p 、q 的值。，