金融市场风险计量模型讲义

T
E(rT ) E( ri ) T i1
T
D(rT ) D( ri ) 2T i1
A V a R T v 0 (z c T T )
以上计算的是绝对VaR，若是相对VaR，容 易得到
RVaR 1v0zc
R V aR Tv0zc T
并且成立 R V aR TR V aR 1 T
这就是著名的“平方根法则”（squareroot rule）
由于约定俗成的惯例，一般将VaR取为正值，故在（1.1）中 的VaR前面加负号。1999年，Artzner等给出严格的VaR数学 定义式
V a R i n fy P r y 1 c （7.2）
7.3.1 连续情形
由7.2，VaR就是对应于置信水平c的损益分 布的下分位数，由于其值为负，故在（7.2） 等号右边加负号，这表明VaR计量的是资产 组合的下方风险（Downside Risk）。在连 续的情形下VaR满足
总结：VaR的优点
3、通俗性：货币表示的风险，方便公众、银行、监管机构
之间的沟通，充当信息披露工具。 起源：JP Morgan的CEO Weathstone要求每天的
《4.15 报告》只产生一个数字：计量不同交易工具， 不同部门综合后的风险。 截止到1999年，BCBS监管下的71家银行中有66家对公 众披露VaR。
这里我们也可以发现方差计量风险的缺点：虽然回报率方 差仅为4％，但回报率可以低到-46.5%。
若以绝对VaR来计算
AVaRv0 v* v0 v0(1r) v0r $100,000,000(0.465) $46,500,000
计算结果表明：在10天内，这家期初有1亿美元资产的银行， 我们可以以99％概率确信：其绝对损失不大于4650万美元，或 者说绝对损失大于4650万美元的可能性只有1％。
如果金融机构能够一天一次度量风险并且改变资产 组合的构成，则其风险可以控制在1天内，故可将持 有期定为1天。
若头寸可以快速出清（liquidation）或变现， 则可以选择较短的持有期，反之亦反。
讨论： 持有期的选择
正态分布的要求
持有期越长，资产组合回报r的分布越偏离正态 分布，
VaR计算中最方便的假设是回报率服从正态分 布，在较短的持有期下，基于正态分布的假设 更为合理。
v1v0(1r)
由正态分布的性质则有
zc(r)/
则根据VaR的定义即可得到单期的AVaR为
A V a R 1 v 0 v 1 * v 0 ( z c )
下面计算持有期为T期的VaR，资产的回报ri满足
ri ~i.i.dN(,2)
r T ln s t s tT ln s s t t1 ln s s t t 1 2 ...ln s s t t T T 1 iT 1 r i
V a R
1 c f (y )d y F ( V a R )
f ( y和)
F ( y )
分别表示资产组合随机损益的PDF和CDF
，
上式是解析法计算VaR的基本依据。
Pr
1-C
收益 损失
∏
VaR
约定俗成：VaR是以正数表示。
7.3.2 离散情形
式（7.2）对VaR的定义既适用于损益序列 为连续型随机变量的情形，也适用于离散 的损益分布。若资产组合的损益序列为离 散型，则VaR满足
例如，若计算某资产的VaR需要1000个数据才能达到 足够的精度，若计算该资产持有期为1天的VaR，则需 要4年（每年250个交易日）的数据，而如果持有期为 10天，就需要有40年的数据 。
长时期的历史数据在实际中可能无法获得，而且距离 当前时刻过于遥远的历史数据，由于市场情形的变化 可能使早期的数据对VaR计算具有很大的干扰性。
VaR隐含假设：资产组合在持有期内不发生变 化，若有变化则持有期要调整。
《新资本协议》：计算监管资本的VaR持有期 至少为10个交易日，JPMorgan等金融机构内 部通常选择为1天。
讨论： 持有期的选择
资产流动性（liquidity）：事前确定
原则：按金融机构无法控制损失的时间期限
一般企业的资产组合缺乏流动性，可能在若干日都 无法改变头寸，则相应的持有期就要长，以使VaR 给出的风险能够覆盖多日的“考验”。
但是，不同分布下的VaR无法转化，如T分布。 @qtdist(0.99,4)=3.7469473879792， @qtdist(0.95,2)=2.91998558035372。
讨论：置信水平的选择
置信水平的目的：即可信度或可靠性，通常为 99%（BCBS）或95％（JP Morgan）。
理由：银行业的脆弱性，防范小概率发生的极端风险， 故要求计量的是资产组合的下方风险(Downside Risk)。
RVaRE(v)vT (E(v)vT)
v0(1)v0(1rT) v0v0rT
=v-v*
示例：相对VaR
95％置信水 平，最大损 失－2580万
平均收益为800万
V *
V
比较：相对VaR与绝对VaR
RVaRvv* $8,000,000($25,800,000) $33,800,000
A V a R v * $ 2 5 ,8 0 0 ,0 0 0
Theoretical Quantile-Quantile 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
-.8 -.6 -.4 -.2 .0 .2 .4 .6 .8 R_125
讨论： 持有期的选择
数据约束
从理论上讲，VaR模型可以较为准确地计算任意持有 期下资产组合的市场风险，但事实上，鉴于长期历史 数据收集的困难，往往设置较短的持有期。
2、以99％的概率确信：A银行从4月1日起未来 10天内的损失不超过1000万元。
3、平均而言，A银行在未来的100天内有1天损 失可能超过1000万元。（思考：一旦超过有多 少损失呢？）
7.2 VaR的基本参数
持有期：计算VaR的时间长度
资产组合的波动性（方差）与时间长度正相关， 故VaR随着持有期增加而增加。
绝对VaR（Absolute VaR）
AVaRv0 vT (v0 vT)
期初价值 v0 v0(1rT) v0rT 0
期末的价 值（在某 个置信水
平下）
期初的价值已知
需要估计的未知量
相对VaR（Relative VaR）
如果资产组合的平均回报率为μ，在某一置 信水平下，资产组合持有期末的最小回报率 为r*，则
P r o b ( V a R ) 1 c
VaR回答的问题：我们有 C的置信水平在接下来 的 T 个交易日中损失程度不会超过的金额。
VaR：金融风险的“天气预报”
例如：A银行2006年4月1日公布其持有期为 10天、置信水平为99%的VaR为1000万元。 这意味着如下3种等价的描述：
1、A银行从4月1日开始，未来10天内资产组合 的损失大于1000万元的概率小于1%；
金融工程与风险管理
第7章 金融市场风险计量模型： VaR
7.1 VaR的定义
Value at Risk ，译为风险价值或在险价值， 以货币表示的风险，处在风险中的金融资 产的货币量。
定义：VaR是指在某一给定的置信水平下， 资产组合在未来特定的一段时间内可能遭 受的最大损失。 （Jorion ，1997）
虽然这种风险发生的概率只有5％或者1％，但危害性 大。
总结：VaR的计算的是极端风险，而不是平均风 险，这与传统的方差计量风险有本质区别。
7.3 VaR的数学定义
由VaR的定义，若资产组合未来的随机损益为 ∏=⊿V，则对应于置信水平为（一般为99％或者 95％）的VaR满足如下等式
1 c P r ( V a R ) （7.1）
持有期 T＝10天
v0
vT=v0(1＋r)
回报率r是随机变量
7.4 VaR计算的基本原理
如果在某个置信水平C（比如99％）下，第T天资 产组合的最低价值为VT*，则
vT v0(1rT)
•由VaR的定义：资产组合在未来一段时间内可能 的最大损失，有两种损失定义:
•若以绝对损失定义VaR，则称为绝对VaR。 •若以回报的均值为参照来定义损失，即相对损 失，则称为相对VaR。
头寸的调整
持有期越长，风险管理者越可能改变头寸，则 时间越短越能保证资产组合所有资产头寸不变 的假设。
Normal Quantile Normal Quantile
Theoretical Quantile-Quantile 6
4
2
0
-2
-4 -.3 -.2 -.1 .0 .1 .2 .3 .4 .5 R_10
VaR 是一种对可能实现的价值（市值）损失的 估计，而不是一种“账面”的损失估计。
VaR：金融风险的“天气预报”
假设1个基金经理希望在接下来的10天时间 内存在 95% 概率其所管理的基金价值损失 不超过$1,000,000。则我们可以将其写作：
P r o b ( $ 1 , 0 0 0 , 0 0 0 ) 1 9 5 %
监管要求
监管当局为保持金融系统的稳定需要设置较高的置信 水平，如《新资本协议》至少为99%。
讨论：置信水平的选择
统计和比较的需要
不同的机构使用不同的置信水平报告VaR数值， 需要知道其假设的分布和置信水平，若分布假 设为正态分布，则可以相互转化，不影响不同 机构之间的不同置信水平下的评价。
讨论：置信水平的选择
后验测试
置信水平越高，对于同样的资产组合、在给定的持有 期内，置信水平越高，则VaR越大，即资产的损失大 于VaR的可能性越小，可靠性越高！
但是，为了验证VaR所需要的数据越多，实际中可能 受到数据量的限制。
风险资本要求
金融机构维持安全性的愿望和股东报酬率之间的权衡。